Groupes : quotients, théorèmes d'isomorphisme

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1 Université Lille I Année M 402 feuille n Groupes : quotients, théorèmes d'isomorphisme Exercice {( (Quaternions) ) } z w Soit H = : (z, w) C w z 2 l'ensemble des quaternions. H désigne H privé de la ( ) ( ) ( ) ( ) 0 i i matrice nulle. On note =, i =, j =, k =. 0 0 i 0 i 0. Montrer que H est un sous-groupe de GL 2 (C). 2. Montrer que i 2 = j 2 = k 2 =, ij = k, jk = i, ki = j, ji = k, kj = i, ik = j. 3. En déduire que le sous-groupe de H engendré par i, j et k est d'ordre 8. On le note H Ecrire la table de H Vérier que les groupes (tous de cardinal 8) H 8, Z/2Z Z/2Z Z/2Z, Z/2Z Z/4Z, Z/8Z et D 4 sont 2 à 2 non isomorphes. Exercice 2 (Groupes à gauche) Soit une loi associative sur un ensemble G possédant un neutre à gauche e (i.e., ex = x pour tout x G) et tel que tout élément x possède un inverse à gauche x pour e (i.e., x x = e). Montrer que (G, ) est un groupe. (Indic : commencer par montrer que xx = e). Exercice 3 (Union de deux sous-groupes) Soient G un groupe et A et B deux sous-groupes. Montrer que A B est un sous-groupe de G ssi A B ou B A. Exercice 4 (Groupes dans lesquels tous les carrés valent le neutre) Soit G un groupe. Montrer que si x 2 = pour tout x G, alors G est un groupe abélien. Exercice 5 (Produit de deux groupes cycliques). Soit G un groupe abélien. Montrer que si a, b G sont d'ordre p, q premiers entre eux, alors ab est d'ordre pq. 2. Montrer que le résultat ( est) faux ( sans ) chacune des hypothèses G abélien et p, q premiers 0 entre eux. (Indic :, GL (Z/2Z)). Exercice 6 (Image directe et réciproque d'un sous-groupe engendré par une partie) Soient G, G deux groupes et f un homomorphisme de G dans G.. Montrer que si A G, alors f(< A >) =< f(a) >. 2. Montrer par contre qu'il est faux que si A G, alors f (< A >) =< f (A ) >. Exercice 7 (Sous-groupes d'un groupe cyclique). Montrer qu'un sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique. 2. Montrer que si d n alors il existe un unique sous-groupe de Z/nZ de cardinal d.

2 Exercice 8 (Image directe et réciproque de sous-groupes distingués). Montrer que l'image réciproque d'un sous-groupe distingué par un morphisme de groupes est un sous-groupe distingué. 2. Que dire de l'image directe d'un sous-groupe distingué? Exercice 9 (Produit de sous-groupes distingués) Soient H et K deux sous-groupes distingués d'un groupe G vériant H K = {}. Montrer que le produit interne HK = {hk /h H, k K} est un sous-groupe distingué de G isomorphe au produit direct H K. Exercice 0 (Groupes d'ordre pq) Soit G un groupe abélien de cardinal pq où p et q sont deux nombres premiers distincts. Montrer que G est un groupe cyclique. (Indic : montrer d'abord que si a est d'ordre p et b G\ < a >, alors b est d'ordre q ou pq). Exercice (Homomorphismes entre groupes cycliques) Déterminer tous les homomorphismes de groupes de Z/3Z dans Z/7Z, de Z/3Z dans Z/2Z, de Z/2Z dans Z/3Z. Exercice 2 (Groupes de réels additifs et multiplicatifs) Montrer que les groupes (R, +) et (R +, ) sont isomorphes. Exercice 3 (Groupes isomorphes à (Q, +)). Les sous-groupes (Q, +) et (Z, +) sont-ils isomorphes? 2. Les sous-groupes (Q, +) et (Q, ) sont-ils isomorphes? Exercice 4 (Groupes de matrices triangulaires) Soient T = {( a 0 c b ) : a, c R \ {0}, b R} et U = {( b 0 ) : b R}.. Montrer que T est un sous-groupe de GL 2 (R). 2. Montrer que U est un sous-groupe distingué de T. Exercice 5 (Produit de deux sous-groupes) Soit G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. On note HK = {hk; h H, k K}.. Montrer que HK est un sous-groupe de G si et seulement si HK = KH. En déduire que si H est distingué dans G alors HK est un sous-groupe de G. 2. On suppose désormais que h H, k K : hk = kh. Montrer que l'application f : H K G dénie par h H, k K : f(h, k) = hk est un homomorphisme de groupes. 3. Calculer le noyau et l'image de f. Donner une condition nécéssaire et susante pour que f soit un isomorphisme de groupes. Exercice 6 (Produit de deux sous-groupes, suite) Soient G un groupe, H et K deux sous-groupes d'ordre ni de G tels que H K = {e G }.. Montrer que le cardinal de HK est égal H K. 2. En déduire que si G = pq où p est premier et p > q alors G a au plus un sous-groupe d'ordre p. Montrer que si ce sous-groupe existe il est distingué dans G. Exercice 7 (Le groupe additif des rationnels modulo les entiers) Soit G le groupe Q/Z. Si q Q, on note cl(q) la classe de q modulo Z. 2

3 . Montrer que cl( 35 6 ) = cl( 5 6 ) et déterminer l'ordre de cl( 35 6 ). 2. Montrer que si x G il existe un unique α Q [0, [ tel que x = cl(α). 3. Montrer que tout élément de G est d'ordre ni et qu'il existe des éléments d'ordre arbitraire. Exercice 8 (Le groupe multiplicatif des réels modulo les réels positifs) Décrire le groupe-quotient R /R + et montrer qu'il est isomorphe à Z/2Z. Exercice 9 (Groupe dont le quotient par son centre est monogène) Soit G un groupe Z(G) = {h G; g g, gh = hg}.. Montrer que Z(G) est un sous-groupe distingué de G. 2. Montrer que si G/Z(G) est monogène G est abélien. Exercice 20 (Quotient d'un groupe de matrices) Soit G le sous-groupe de GL 2 (R) engendré par les matrices A = ( ) 2. Soit H le sous-groupe de G engendré par AB. Calculer H et B = 2. Montrer que H est distingué dans G. Calculer le quotient G/H; en déduire G. Exercice 2 (Groupe spécial linéaire) ( ) 0. 0 Rappel : si A est un anneau (en particulier, si A est un corps), on note GL n (A) l'ensemble des matrices carrées de dimension n à coecient dans A, qui sont inversibles. GL n (A) forme un groupe pour la loi de multiplication des matrices, appelé groupe linéaire. Une matrice carrée de dimension n est dans GL n (A) ssi son déterminant est un inversible de l'anneau A (ce qui revient à dire, lorsque A est un corps, que son déterminant est non nul). Pour simplier, on suppose dans l'exercice que A est un corps, noté K.. On note SL n (K) l'ensemble des matrices de déterminant. Dire pourquoi SL n (K) est un sous-groupe distingué de GL n (K) et montrer que GL n (K)/SL n (K) = K. 2. Montrer que les matrices diagonales (resp. triangulaires supérieures) de GL n (K) forment un sous-groupe. Sont-ils distingués? 3. Montrer que Z(GL n (K)) est le sous-groupe formé par les homothéties. Exercice 22 (Théorème de Cauchy) Soit G un groupe abélien d'ordre m.. Montrer que si x n = pour tout x G, alors m divise une puissance de n. (Indic : faire une récurrence sur m en introduisant le sous-groupe H engendré par un élément de G et le groupe quotient G/H). 2. Soit p un nombre premier divisant m. Montrer qu'il existe un élément de G dont l'ordre est divisible par p. (Indic. : utiliser.). 3. En déduire que si p m, il existe un élément de G d'ordre p. Exercice 23 (Indicateur d'euler ϕ(n)) On considère le groupe additif Z/nZ (n 2).. Montrer que pour tout a Z, ā est un générateur de Z/nZ ssi a et n sont premiers entre eux. 2. On note ϕ(n) le nombre de générateurs de Z/nZ. Montrer que si p est premier, ϕ(p α ) = p α p α (où α est un entier). 3

4 3. Montrer que si m et n sont premiers entre eux, alors ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). En déduire que pour n = p α p α k k, on a ϕ(n) = n( p ) ( ). p k 4. Montrer que pour tout n, d n ϕ(d) = n et que cette propriété caractérise la fonction ϕ. Exercice 24 (Sous-groupe ni du groupe multiplicatif d'un corps). Soit G un groupe abélien ni d'ordre n. On suppose que pour tout diviseur d de n, l'ensemble G(d) = {x G x d = } a au plus d éléments. Montrer qu'il y a dans G exactement ϕ(d) éléments d'ordre d. (Indic. : montrer d'abord que s'il existe un élément x G d'ordre d, alors < x >= G(d)). 2. En déduire que si K est un corps ni, alors le groupe multiplicatif (K, ) est cyclique. 4

5 Université Lille I Année M 402 feuille n Groupes : quotients, théorèmes d'isomorphisme Correction 6 HK = {hk /h H, k K}.. Soit φ : H K HK dénie par φ(h, k) = hk. Montrons que φ est bijective : φ est surjective par dénition de HK et si φ(h, k) = φ(h, k ) alors hk = h k et donc h h = k k or H K = {e G } et donc h h = e G et donc h = h, de même k = k et donc φ est injective. Comme φ est bijective Card H K = Card HK et donc Card HK = Card H.Card K. 2. Supposons qu'il existe deux sous-groupes H et K distincts et d'ordre p. Montrons d'abord que H K = {e G }. En eet H K est un sous-groupe de H et donc le cardinal de H K divise Card H = p avec p premier. Or comme H K alors H K H et donc Card H K =, c'est ce que nous voulions démontrer. Maintenant d'après la première question HK est un sous-groupe de cardinal p 2 dans le groupe G de cardinal pq < p 2. Donc il ne peut exister deux sous-groupe d'ordre p. Supposons maintenant que H soit un sous-groupe d'ordre p, c'est donc l'unique sousgroupe d'ordre p d'après ce que nous venons de démontrer. Pour g G le sous-groupe ghg est du même ordre que H (car pour g xé le morphisme θ g de G dans G, θ g (h) = ghg est un automorphisme et en particulier un biction donc Card θ g (H) = Card H ). Par conséquent ghg = H et donc H est un sous-groupe distingué. Correction 8 La relation d'équivalence associée au quotient R /R + est : x y xy > 0. Si x > 0 alors x + car x() > 0 (en fait x est équivalent à n'importe quel réel strictement positif) ; si x < 0 alors x car x( ) > 0, enn et + ne sont pas équivalents. Il y a donc deux classes d'équivalence : R /R + = {+, }. L'application φ : R /R + Z/2Z dénie par φ(+) = 0 et φ( ) = est un isomorphisme entre les deux groupes. ( ) Correction 20 Notons C = AB = 2.. Un calcul donne C 8 = I et pour k 7, C k I. Donc le groupe H engendré par C est d'ordre 8. Attention! même si A 2 = I et B 2 = I on a (AB) 2 I car AB BA. 2. Pour montrer que H est distingué il sut de montrer que ACA et BCB sont dans H. Mais ACA = ACA = AABA = BA = (AB) H. De même BCB = (AB). Donc H est distingué dans H. Un élément M de G s'écrit M = A a B b A a 2... A an B bn a i, b i Z. Mais dans G/H tout terme AB ou BA vaut I Donc G/H = {I, A, A 2, A 3,..., B, B 2, B 3,...} mais comme A 2 = B 2 = I et AB H alors G/H s'écrit simplement : G/H = { I, A }. Enn, par la formule G = H G/H nous obtenons G = 8 2 = 6.