Interdisciplinarité Mathématiques Sciences Physiques dans les nouveaux programmes de Seconde

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1 Interdisciplinarité Mathématiques Sciences Physiques dans les nouveaux programmes de Seconde Groupe IREM mathématiques et sciences physiques au lycée Gabriel Birague, Michèle Fauré, Pierre Lopez, Monique Mandleur, Monique Sosset Rédacteurs : Monique Mandleur, Monique Sosset, avec la collaboration de Pierre Lopez. Introduction : Professeurs de sciences physiques en classe de seconde, nous avons mis en place depuis l'année les nouveaux programmes. Comme le dit le texte officiel, des thèmes du programme de physique mettent en jeu certaines notions mathématiques, notamment la partie «Exploration de l espace». Plusieurs difficultés rencontrées, nous semblent liées à l'état des connaissances mathématiques de nos élèves. Nous en avons sélectionné quelques exemples des difficultés rencontrées, et nous nous sommes efforcés de préciser les différents moments où elles se situent dans l année. L organisation du travail en classe de sciences physiques se fait sur la base d'heures de travaux pratiques en groupes et de cours en classe entière. On ne saurait trop souligner l importance des séances de travaux pratiques. En effet, l organisation en groupes d une part, et d autre part le fait que les élèves soient en situation d expérimentation, avec du matériel à leur disposition, font des travaux pratiques des moments privilégiés d apprentissage. Souvent, c est au cours de ceux-ci que les élèves vont appréhender l essentiel du cours. Or il faut savoir qu en sciences physiques, les contenus des travaux pratiques sont planifiés à l avance. En effet, pour faciliter le travail des personnels de laboratoire, chaque semaine, le même sujet est abordé avec le même matériel dans toutes les classes. Le professeur se trouve de facto dans l obligation d enchaîner son programme. Il n est pas libre d adapter le rythme d avancement

2 2 Groupe IREM : mathématiques et sciences physiques au lycée de son cours au niveau de sa classe. Cela complique sérieusement le travail de l enseignant qui est obligé de passer à une partie nouvelle même si la précédente n est pas bien assimilée par l ensemble des élèves. L expérience de ces dernières années a montré que, outre des difficultés liées proprement à la physique, une assimilation imparfaite de certains concepts ou techniques mathématiques peut sérieusement perturber l organisation très rigide de la progression en sciences physiques. Aussi paraît-il fondamental d établir avec le professeur de mathématiques une progression concertée à défaut d être commune. A partir d exemples, nous essaierons de faire l analyse des difficultés rencontrées et de proposer un certain nombre de pistes de réflexion permettant d entamer une démarche commune aux professeurs de sciences physiques et de mathématiques. Le texte officiel du programme de sciences physiques en classe de seconde est paru au B.O. n 6 du 12 août Il est complété par deux documents d accompagnement respectivement en physique (184 pages) et en chimie (182 pages). On peut consulter ces documents sur le site du CNDP. Les exemples choisis relèvent de la partie du programme intitulée : I. Exploration de l espace. 1. De l atome à la galaxie. Contenus : 1.2 Echelle des longueurs. Par ailleurs il est fait mention des activités données dans le document d accompagnement de physique. On donnera les références par rapport à la version CD-ROM distribuée aux professeurs de sciences physiques. On peut aussi trouver ce document sur le site du CNDP (

3 Groupe IREM : mathématiques et sciences physiques au lycée 3 A] Premier exemple : première quinzaine de cours. Prenons l activité B1 du document d accompagnement page 11/184 ou l activité D1 page 28/184. Le but est de placer sur un axe les longueurs intervenant dans l univers, incluant les plus petites (10-15 m) et les plus grandes (10 20 m). Il est évident qu une graduation régulière, celle que les élèves ont l habitude d utiliser, ne peut convenir. Dans un premier temps, il s agit de leur en faire prendre conscience. Ensuite, il faut les amener à utiliser un axe gradué, tel qu entre deux graduations successives, il y ait un rapport de 10. On utilise donc, sans le dire aux élèves, une échelle logarithmique en base 10. D un point de vue technique, il est important de remarquer que l on ne peut placer correctement sur un tel axe que des puissances entières de 10. Il faut donc faire des approximations des distances représentées avec une puissance entière de 10. Par exemple, 7, aura pour approximation Autre exemple, 2, aura pour approximation Ce type d approximation peut surprendre les élèves. Il est donc important qu en mathématiques on ait déjà pratiqué de manière conséquente les ordres de grandeur. En classe de seconde, on peut d ailleurs, au moment de l étude des fonctions de référence, faire remarquer, par exemple, que le carré de 900 qui est égal à a pour ordre de grandeur Ou encore, que l inverse de 900 a pour ordre de grandeur Au-delà de ces considérations pratiques, on peut s interroger sur le caractère «outil» d un tel axe ; que peut-on en faire, si ce n est le «contempler»? Il faut comprendre que l idée introduite par un tel axe est la notion de comparaison relative. On trouve d ailleurs cette phrase dans les commentaires du programme de physique : Pour une meilleure compréhension des dimensions relatives du noyau et du nuage électronique de l atome, on peut donner dans le cadre du cours de physique ou de chimie un exemple transposé à l échelle humaine (si le cortège électronique avait la taille du Stade de France, le noyau de l atome aurait approximativement la taille d une tête d épingle placée au centre). Le rapport entre la taille du soleil et la taille du système solaire est du même ordre de grandeur. Malgré le caractère démagogique et parisien de la comparaison avec le Stade de France, il faut reconnaître que l idée de fond est là. On peut se servir de cet axe pour établir des comparaisons. En effet, deux couples de points équidistants sur cet axe sont dans le même rapport de longueur. On imagine sans peine le type de problème en physique que l on peut alors poser aux élèves une fois que l axe est constitué.

4 4 Groupe IREM : mathématiques et sciences physiques au lycée Exemple 1 : Données : Diamètre de la Terre : km Le rayon du Soleil est environ 100 fois plus grand que celui de la Terre. Distance Terre-Soleil = 150 millions km. Calculer le diamètre du Soleil. Si le Soleil avait la taille d une orange ( diamètre d environ 10 cm) : A l'aide de l'axe gradué, déterminer le diamètre qu'aurait la Terre dans ces conditions. Pour cela, placer sur l'axe gradué : le diamètre de la Terre, le diamètre du Soleil et le diamètre de l'orange. De la même façon, toujours à partir de l'axe gradué, indiquer ce que vaudrait la distance Terre-Soleil. Exemple 2 : Données : Dimension d'un atome : 0,1 nanomètre Dimension d'un noyau : 0,001 picomètre Si le noyau de l atome avait la taille d une tête d épingle (sphère de diamètre environ 1 mm ), quelle serait la dimension de l atome? Par quoi pourrait-on le représenter? De plus en mathématiques, on peut se saisir de l occasion pour faire intervenir les racines carrées. En effet, alors qu en physique on évite de poser le problème des points en dehors de la graduation, en mathématiques on peut se poser la question de la signification d un point entre deux graduations, notamment en abordant la question du milieu. En appliquant le principe précédent, on montre sans difficulté que le point au milieu de deux n graduations correspond à (et non à 0,5. 10 n ). Enfin à titre d approfondissement, on pourra faire des activités préparatoires à la fonction logarithme.

5 Groupe IREM : mathématiques et sciences physiques au lycée 5 B] Deuxième exemple : deuxième quinzaine de cours. - 1) Parallaxe entre les deux yeux : On prendra comme référence le TP Mesure de longueurs (2) page 39/184 et la fiche technique n 1 page 82/ L activité proposée est basée sur la méthode de la parallaxe entre les deux yeux. a) Principe de la méthode : L observateur cherche à déterminer la distance D qui le sépare d un objet. Il dispose pour cela d une règle graduée maintenue sur un support à hauteur des yeux. Il reste immobile, les yeux à une distance d de la règle, ferme son œil droit et vise avec l œil gauche (P 1 ) un point précis de l objet (par exemple le bord vertical gauche d un support ) en l alignant avec le zéro de la règle. Il change ensuite d œil (P 2 ) et repère la graduation h de la règle qui se trouve dans l alignement du support. Visée par l œil gauche Visée par l œil droit 1 On remarquera que dans le document d'accompagnement on a une représentation des yeux qui est faite avec deux yeux droits! Nous nous sommes permis de rétablir un certain réalisme.

6 6 Groupe IREM : mathématiques et sciences physiques au lycée b) Tâches données aux élèves : ---Faire un schéma permettant de modéliser la situation. ---Exprimer la distance D à partir de vos connaissances mathématiques en fonction de H, h et d. ---Mesurer h, H, d. ---Calculer D. ---Mesurer la distance D avec le mètre ruban. On la notera D rub. ---Evaluer l écart relatif (E.R.) entre D et D rub par la relation suivante : D D D D moy est la moyenne des valeurs D et D rub (soit : D+ 2 Drub ). ---Cette méthode convient-elle pour mesurer de grandes distances? Pourquoi? Comment faudrait-il l améliorer? moy rub. c) Eléments de réponses aux questions : Sans faire une correction détaillée, on trouvera ci-dessous le schéma attendu, avec les étapes de calculs permettant d obtenir la distance cherchée.

7 Groupe IREM : mathématiques et sciences physiques au lycée 7 AB OK = = D D d = H h P1 P2 Soit : D.h = D.H-d.H D.h-D.H = -d.h D(h-H) = -d.h D(H-h) = d.h D = H H h d) Observations faites lors du déroulement de cette activité : 1 ) On constate que les élèves éprouvent des difficultés à schématiser la situation par un triangle (le triangle P 1 P 2 O). On peut énoncer trois hypothèses pour expliquer cette difficulté. La première est le niveau d abstraction nécessaire pour passer d objets matériels comme les yeux ou l objet visé, à des points du plan. La deuxième consiste dans le fait que le schéma attendu représente une vue de dessus de la situation. Ceci peut être lié avec leurs difficultés à percevoir l espace. Enfin, le schéma n est pas fait à l échelle. Il est donc plus difficilement associé à la situation représentée. On voit alors les propositions que l on peut être amené à faire. Tout d abord, ce type d activité en seconde ne peut se concevoir que si les élèves ont eu, au préalable, par exemple au collège, une pratique concrète de mesures avec un entraînement à la schématisation. Le professeur de mathématiques, toujours au collège, doit se sentir concerné par ce type de problématique, par exemple au moment du théorème de Thalès. En ce qui concerne les vues de dessus, il serait intéressant de voir ce qui est fait dans certaines matières technologiques. Enfin, on peut considérer qu il est nécessaire de prendre le temps de commencer par un schéma fait à l échelle, et ne passer au schéma ci-dessus qu après avoir constaté l intérêt de l abandon du respect des proportions. 2 ) Une autre difficulté liée à la schématisation est l intervention du segment OK. Les élèves ont du mal à l identifier comme le segment dont la longueur est la grandeur cherchée. On est obligé de remarquer que ce segment est le seul dans la situation étudiée qui n a pas de matérialisation. Ceci peut expliquer la difficulté rencontrée. On retrouve donc ici la problématique de la schématisation. Un travail spécifique sur la schématisation est donc nécessaire en sciences physiques, et ceci peut encore être l occasion d une collaboration avec le professeur de mathématiques. On notera d ailleurs que dans la liste des compétences données dans le programme de physique-chimie on trouve : Faire le schéma d une expérience.

8 8 Groupe IREM : mathématiques et sciences physiques au lycée 3 ) L établissement de l expression de D en fonction des données à partir du théorème de Thalès pose des problèmes aux élèves. En premier lieu, ce que les élèves ont retenu du théorème de Thalès est : OA OB =. OP 1 OP 2 O C AB Le passage à = nécessiterait qu ils aient compris que le triangle OAB est une O K P 1 P 2 réduction du triangle OP 1 P 2 et donc que toutes les grandeurs caractéristiques de ces triangles (longueurs des côtés et hauteurs) sont dans le même rapport de proportion. Ensuite, les élèves ont du mal pour exprimer chaque segment à partir des indications figurant sur le schéma. Ceci est dû en partie à l utilisation de lettres de même nature pour désigner des objets différents et établir des relations entre elles. Par exemple, la lettre K désigne le point. De même la lettre O désigne le point correspondant. Mais par ailleurs, OK désigne une longueur représentée par la lettre D. L élève rencontre donc des difficultés pour écrire OC = D-d. D autre part, si l on considère le plan purement calculatoire, les élèves se trouvent confrontés à la résolution d une équation du premier degré à une inconnue. Or cette inconnue n est pas désignée par la lettre x, et qui plus est, les constantes intervenant dans cette équation sont sous forme littérale. Il ne nous semble pas qu un élève de collège ait l habitude de cette pratique. Il s ensuit que les élèves n ont pas le réflexe de faire le produit en croix ni d isoler D pour l exprimer. Ils n ont donc pas l idée de changer le terme D.H de membre dans l équation, ni de factoriser. Ils ne savent pas changer les signes en multipliant correctement par -1 et ne savent pas extraire D de l avant dernière relation. Par ailleurs, la séance de travaux pratiques ne dure que 1h30min. Ce temps qui nous est imparti, est très largement insuffisant pour tout traiter correctement compte tenu des difficultés évoquées précédemment. Il faudrait avoir la possibilité d utiliser des heures de cours pour mener à bien tout ce travail, ce qui n est pas toujours compatible avec la planification des séances de travaux pratiques. e) Propositions de modifications : 1 ) Aider les élèves à la réalisation des schémas de modélisation de la situation expérimentale de façon à ce qu'ils acquièrent des compétences dans ce domaine. Faire un premier schéma où l on se contenterait de représenter les segments de droite correspondant à

9 Groupe IREM : mathématiques et sciences physiques au lycée 9 une réalité physique pour les élèves, c est à dire en particulier dans lequel n interviendrait pas le tracé du segment OK. 2 ) Au cours de la réalisation de l expérience, les élèves sont tellement absorbés par la lecture de la règle graduée et du mètre ruban, qu ils perdent de vue la dimension qu ils cherchent finalement à évaluer, en l occurrence la distance OK. Il conviendrait donc de le leur rappeler et dans un deuxième temps, de leur faire construire un autre schéma dans lequel on ferait figurer le segment OK. 3 ) Laisser à l élève le temps nécessaire au relevé de mesures correctes, à l application numérique ainsi qu aux conclusions. Une durée d environ 30 à 35 minutes semble nécessaire. 4 ) Le travail du professeur de mathématiques serait alors la recherche de l établissement de la relation permettant de calculer D à partir de H, h et d lors de l étude du théorème de Thalès et l entraînement au calcul littéral. 2) Parallaxe entre deux observateurs : On peut prolonger l étude précédente en proposant aux professeurs de physique une idée de manipulation qui ne coûte pratiquement rien et qui «marche bien» d après l activité de la fiche technique n 0 2 page 83/184 du document d accompagnement du programme de physique. Dans notre lycée, les locaux ne s y prêtant pas, nous n avons pas pu réaliser l expérience préparée par les groupes d auto formation de physique. Nous avons dû mettre ne place une autre manipulation. a) Matériel pour la manipulation proposée : Pour quatre groupes élèves : tuteurs de jardin de hauteur 2 m environ bâtons de craie mètre ruban. Pour toute la classe : --- Un disque en carton blanc de diamètre 20 cm scotché au milieu du tableau. --- Un décamètre.

10 10 Groupe IREM : mathématiques et sciences physiques au lycée b) Réalisation de l expérience (par exemple par les élèves des groupes 5, 6, 7, 8) (voir schéma). O disque fixé sur le tableau table 2 D table 1 table 4 table 3 Deuxième visée: les 2 tuteurs de jardin T 1 et T 2 sont alignés avec O. table 6 table 8 T 2 T 1 d table 5 table 7 T 1 T 2 Première visée: les 2 tuteurs de jardin T 1 et T 2 sont alignés avec O. Un élève du groupe 5 tient un tuteur T 1 verticalement devant lui contre la table. La verticalité du tuteur est surveillée par l autre élève du même groupe qui repère en même temps la position du tuteur par rapport à la table par un trait tracé à la craie sur celle-ci. Ensuite, un élève du groupe 7 aligne son tuteur T 2 avec le tuteur précédent T 1 et le disque du tableau par une visée. On effectue également le marquage sur la table 7 de la position du tuteur. La même manipulation est réalisée simultanément par les élèves des groupes 6 et 8 avec les tuteurs T' 1 et T' 2. Il reste ensuite bien évidemment à mesurer les distances T 1 T 1, T 2 T 2 et d à l aide du mètre ruban et à faire le calcul de D après avoir reconnu que la situation géométrique est identique à celle de la parallaxe entre les deux yeux. D = T 2 T T ' 2 2 T' d 2 T T ' 1 1 En l'occurrence le décamètre permet d avoir une estimation directe de la valeur de D ce qui amène le calcul de l écart relatif entre la valeur de D calculée et la valeur mesurée. Celui-ci est inférieur à 3% alors que dans l expérience précédente il était de l ordre de 8 à 10 %.

11 Groupe IREM : mathématiques et sciences physiques au lycée 11 c) Observation : On a pu observer lors du déroulement : - Une plus grande facilité dans la schématisation, la localisation des tuteurs étant plus concrète pour les élèves que celle des yeux. - Une plus grande facilité dans la mesure des distances entre les tuteurs qu entre les pupilles. 3) Conclusion : Peut-être serait-il préférable de privilégier cette deuxième expérience plus «à taille humaine» et plus facilement schématisable. Cependant, une fois qu elle est maîtrisée, la méthode de la parallaxe entre les deux yeux est plus facile à mettre en œuvre dans la vie courante (une règle graduée suffit). Le professeur de mathématiques peut retenir de cette expérience que la «configuration Thalès-triangle» intervient à nouveau.

12 12 Groupe IREM : mathématiques et sciences physiques au lycée C) Troisième exemple :Troisième quinzaine de cours. 1) Mesure du rayon terrestre par la méthode d Eratosthène : Cette partie, qui utilise la proportionnalité et la trigonométrie, a été traitée en cours et sous forme d exercices car les TP proposés pages 43 à 46/184 du document d accompagnement sont difficiles à comprendre par les élèves et très contraignants dans leurs réalisations : - nécessité de deux lycées, situés approximativement sur le même méridien, distants d au moins 500 km - communication par téléphone portable ou messagerie d internet - mesures effectuées en même temps par les élèves des deux lycées - présence obligatoire du soleil (à huit heures du matin, fin octobre ce n est pas évident!) a) Principe de la méthode : Ceci peut être retrouvé sur le document d accompagnement page 45/184. ERATOSTHENE ( avant J.-C.), avait remarqué que le jour du solstice d été (21 juin), à midi, la surface de l eau, au fond des puits de Syène (aujourd hui Assouan) était entièrement éclairée, ce qui signifiait que les rayons solaires suivaient la verticale de Syène.

13 Groupe IREM : mathématiques et sciences physiques au lycée 13 Mais ce même jour, à la même heure, les rayons solaires, qui sont parallèles entre eux, donnaient une ombre portée au phare d Alexandrie, autrement dit, ils faisaient, avec la verticale d Alexandrie, un angle mesuré facilement par Ératosthène. Il trouva Cet angle est égal à l angle au centre (SOA). Remarque : On peut réaliser une maquette représentant l expérience à l aide d une lanterne, d une grosse sphère de polystyrène et de fines baguettes, en utilisant la fiche n 4 page 87/184 du document d accompagnement. b) Exercices proposés aux élèves : - énoncé : On considère en général un bâton AB planté en un point A à la surface de la Terre. On connaît la distance SA. On mesure l ombre AC du bâton. A partir de ces renseignements, les élèves doivent : schématiser la situation. trouver la valeur de la circonférence terrestre et le rayon de la Terre. N.B.: On a conservé les notations de la présentation de l expérience d Eratosthène dans ces exercices. - schémas attendus des élèves :

14 14 Groupe IREM : mathématiques et sciences physiques au lycée C ombre A B bâton S O L E I L rayon du Soleil β Verticale ayant la longueur du bâton S TERRE ombre Terre schéma 1 schéma 2 Outre le schéma vu dans l'expérience d'eratosthène (schéma 1), on attend donc un sous-schéma dans lequel on néglige la rotondité de la Terre (schéma 2). c) Observations faites lors de la résolution de ces exercices : - La première difficulté pour les élèves est de faire les deux schémas représentatifs de la situation. Parmi les erreurs trouvées on peut signaler : pour le schéma 1 : - ombre du bâton du côté du soleil - ombre des deux côtés du bâton (Peut-on voir là, la conséquence de la représentation de la lumière du Soleil en forme de cône, à la façon d une lampe avec son abat-jour? ) - lorsque la Terre et le Soleil sont représentés par l élève, il les place de telle sorte qu il mesure l ombre.la nuit! pour le schéma 2 :

15 Groupe IREM : mathématiques et sciences physiques au lycée 15 -Dans un premier temps, la modélisation n est pas naturelle pour l élève. Dans de nombreux schémas, AC est représenté par un arc de cercle. Le fait d assimiler l arc AC à un segment de droite car la distance AC est petite par rapport à la circonférence de la Terre pose un problème à l élève. La courbure de AC est considérée comme négligeable. Or la recherche des aspects négligeables d une situation est un objectif de formation en sciences physiques. -Dans un deuxième temps, si on a fait le schéma 2 et identifié l angle β les élèves trouvent assez facilement que la relation trigonométrique à utiliser est celle de la tangente. La définition générale (côté opposé divisé par côté adjacent) est connue mais du fait de la notation littérale, tous les élèves n arrivent pas à ombre AC l expression : tan β = = baton BA - AC et BA étant connus et en général mesurés avec la même unité, le calcul de tanβ ne pose pas de problème sauf au niveau des chiffres significatifs. - Le passage de tanβ à β à l aide de la calculette n est pas toujours assimilé. Nous avons découvert à cette occasion qu en début de seconde les élèves ignorent qu il existe différentes unités de mesure d angle. Par conséquent ils peuvent utiliser une calculette programmée en radians croyant qu il s agit de degrés. De plus ils transforment facilement 7 12 en 7,12 car les minutes d angles ne sont pas maîtrisées. - La deuxième difficulté concerne l égalité des angles alternes-internes (CBA) et (AOS). Les dimensions du bâton sont tellement petites par rapport à celles de la Terre, que les élèves n imaginent pas qu il puisse y avoir des angles égaux. Les professeurs de mathématiques pourront voir là un écho à une difficulté "classique" sur les angles (par exemple : grandeurs des angles d'un triangle liées aux dimensions des côtés). - Ensuite on doit utiliser une relation de proportionnalité pour déterminer la circonférence terrestre. Aucun élève n avait trouvé cette relation. L angle (BOS) calculé précédemment intercepte l arc AS à la surface de la Terre Un angle de 360 intercepterait la circonférence entière soit 2 π R. β 360 = AS 2.π.R De cette relation les élèves doivent tirer R. AS Écrire R = est particulièrement difficile pour les élèves surtout si on 2 π β 0 garde la notation littérale avant de remplacer les lettres par les valeurs numériques. Cette pratique est très courante en sciences physiques. Le professeur de mathématiques peut se saisir de cette occasion pour motiver des travaux sur le calcul littéral.

16 16 Groupe IREM : mathématiques et sciences physiques au lycée De plus, lors de l établissement de la relation de proportionnalité, les élèves confondent périmètre et surface. Enfin, lors du calcul numérique, les unités utilisées ne sont pas cohérentes entre elles (utilisation de km et de m). Autant d'éléments de réflexion pour le professeur de mathématiques. d) Approfondissement possible : Après ce travail en physique, qui peut ressembler dans une certaine mesure à des exercices faits en cours de mathématiques (d'où la nécessité encore une fois d'une connaissance mutuelle des objectifs et pratiques de nos deux matières), le professeur de mathématiques pourra envisager d'exploiter la situation plus complexe suivante en réinvestissement. Deux bâtons sont plantés en des lieux différents mais situés sur le même méridien (voir schéma). Le calcul de la valeur de l angle γ entre les deux verticales est totalement inconnu des élèves. Le professeur de mathématiques pourrait peut-être utiliser ce schéma en géométrie et en profiter pour rappeler les relations entre les angles d un triangle et les cas d égalité des angles délimités par des parallèles et une sécante. γ verticale de D D β P < verticale de P α < < S O L E I L

17 Groupe IREM : mathématiques et sciences physiques au lycée 17 2) Tracé et utilisation d un graphe : Mesure de l épaisseur d un cheveu : Ce TP figure page 48/184 et sur la fiche technique n 7 page 91/184 du document d accompagnement. a) Principe de la manipulation : En interposant successivement sur le trajet d un pinceau de lumière émis par une diode laser, des fils très fins de différents diamètres a, on obtient sur un écran une figure de diffraction différente pour chaque fil. On mesure pour chaque fil la longueur L de la tache centrale de diffraction obtenue sur l écran. On effectue ensuite un graphique sur lequel on place les points correspondant aux mesures. On relie ces points par une courbe que l'on considère comme la représentation graphique de la fonction L= f(a). Cette courbe, dite d étalonnage, va être utilisée pour la détermination du diamètre d un cheveu (voir graphique ci-dessous). Pour cela, on interpose le cheveu sur le trajet de la lumière émise par la diode laser. On obtient sur l écran une figure de diffraction, on mesure la longueur Lc de la tache centrale. En reportant cette valeur sur la courbe d étalonnage, on en déduit le diamètre a c du cheveu. Axe des abscisses : a en mètre ; axe des ordonnées : L en mètre.

18 18 Groupe IREM : mathématiques et sciences physiques au lycée b) Difficultés rencontrées par les élèves : Au moment où nous avons fait ce travail, la notation L = f(a) était inconnue des élèves. De plus ils ignorent ce que l on va mettre en abscisse ou en ordonnée. L inversion des axes est très courante. Même après une remarque du professeur, ils poursuivent leur travail et indiquent qu ils arriveront aussi au résultat. Ceci est vrai ici, mais ne peut être généralisé en physique. De ce fait nous sommes obligés d imposer le tracé de la courbe demandée. Les élèves ont des difficultés à graduer un axe. Le professeur est obligé de donner une échelle de graduation sur chaque axe. Par exemple : - 1 cm sur l axe des ordonnées correspondra à 1 mm de la tâche de diffraction. - 1 cm sur l axe des abscisses correspondra à 10 µm. Ils joignent les points les uns aux autres à l aide d une règle ; ils ne cherchent pas à faire une "courbe". En revanche, ils semblent maîtriser la lecture sur la courbe. c) Remarques pour le professeur de mathématiques : On serait tenté de ne rien dire tant ce qui précède est édifiant à la fois sur les manquements de l'enseignement des mathématiques au regard des besoins des sciences physiques, et sur les aspects redondants de certaines activités (si on prend pour critère le contenu des différents manuels). Cependant on se permettra trois réflexions. Avec une telle situation, le professeur de mathématiques a une occasion de faire intervenir les fonctions dans un contexte concret "vrai". Bien sûr, ceci n'est "viable" pour les élèves que si un accord existe entre les professeurs de mathématiques et de sciences physiques sur les "objets" utilisés (voir en annexe un exemple d'activité). Il nous paraît important de souligner l'aspect fondamental avec lequel intervient ici une fonction, à savoir la modélisation. En effet, le travail physique ne prend sens que lorsqu'on postule une relation fonctionnelle entre la dimension de la tache et l'épaisseur. D'autre part, le tracé reliant les points expérimentaux est pris comme définition de cette fonction. On voit alors l'enjeu important de la nature de ce tracé 2. Enfin, les difficultés avec les unités graphiques devraient inciter le professeur de mathématiques à ne pas négliger cet aspect dans la constitution de graphiques. Dans un article précédent sur la vitesse instantanée et les tangentes on a montré comment la notion d'unité graphique intervenait dans la compréhension des phénomènes. 2 Le tracé spontané par des segments de droite renvoie à l'étude des obstacles liés à la notion de fonction.

19 Groupe IREM : mathématiques et sciences physiques au lycée 19 D) Quatrième exemple : Quatrième quinzaine de cours. Comment déterminer l ordre de grandeur de la longueur d une molécule? L'Expérience de FRANKLIN : Dans cette partie on est amené à utiliser les formules de volumes, de surfaces, et les puissances de 10. De plus les élèves doivent se rendre compte que les unités de volume, surface et longueur ont un lien entre elles. Le T.P. réalisé par les élèves peut être retrouvé sur le document d accompagnement page 47/184 et sur la fiche technique n 6 pages 89-90/184. a) Principe de la méthode : On cherche à évaluer l ordre de grandeur de la taille d une molécule. L acide oléique est une molécule organique, insoluble dans l eau. On lâche une goutte d acide oléique en solution dans l acétone sur de l eau contenue dans un cristallisoir dont la surface est parsemée de particules de talc. En s étalant la goutte repousse les particules de talc. On observe un disque d acide oléique à la surface de l eau. On considère que les molécules déposées sur l eau restent en surface et se positionnent les unes contre les autres verticalement. On admet que l épaisseur du disque d acide oléique correspond à la longueur h d une molécule d acide oléique. Connaissant le volume V d acide oléique contenu dans une goutte et en mesurant la surface S de la tâche huileuse à la surface de l eau, on en déduit l épaisseur h du film d acide oléique et donc la V longueur h d une molécule. h = S b) Difficultés rencontrées par les élèves :

20 20 Groupe IREM : mathématiques et sciences physiques au lycée π d 2 - La formule donnant la surface d un disque en fonction du diamètre, s =, n est 4 pas connue. - Le lien entre les unités de longueur, de surface et de volume n est pas fait. ( longueur en cm, surface en cm 2, volume en cm 3 ) - La valeur trouvée est de l ordre du nanomètre ce qui oblige les élèves à manipuler les puissances de L utilisation de la calculette, à ce niveau n est pas évidente. Les signes des puissances négatives ne sont pas prises en compte qui, d autre part, font des erreurs dans les simplifications. - De plus, mais rien n'est plus classique, le fait de trouver une molécule de plusieurs centimètres de long (!), n attire pas l attention des élèves. E) Conclusion : Nous pensons avoir montré à travers tous ces exemples en quoi certaines notions, ou plus modestement certaines techniques mathématiques, sont fondamentales dans le travail du physicien. Leur mauvaise maîtrise entraîne chez les élèves des incompréhensions qui interférent avec l'assimilation des notions physiques. De plus le professeur de mathématiques trouvera dans toutes ces situations de quoi alimenter sa pratique dans une partie du programme de la classe de seconde qui souvent le laisse perplexe dans la mesure où peu de notions (pour ne pas dire aucune) sont à enseigner. Seule une pratique est à travailler. Bien sûr tout cela postule une collaboration entre les professeurs des deux matières, et souvent par manque de temps «institutionnel», les choses ne se font pas. Puisse cet article crée un pont, même modeste, entre nos deux disciplines!

21 Groupe IREM : mathématiques et sciences physiques au lycée 21 Annexe : un exemple d'activité faite dans une classe de seconde en mathématiques sur la base de l'activité menée en sciences physiques sur la mesure de l'épaisseur d'un cheveu. Titre : "Inversement proportionnel" Ce qui suit n'est pas un texte distribué aux élèves. C'est une sorte de scénario dont le professeur est le metteur en scène "en direct". Cette activité a été effectivement faite en classe de seconde 10 au lycée Louis Rascol à Albi par Pierre Lopez. On n'a pas eu le temps de faire une analyse de pratique, notamment sur la base d'une analyse "a priori". Cependant on s'est permis quelques réflexions temps en temps pour essayer de clarifier la "mécanique" qui est sous-jacente à cette activité. 1 ) Approche directe : a) Contexte : Au cours d'un TP en sciences physiques vous avez fait des mesures concernant les dimensions de la tache centrale de diffraction obtenue en interposant successivement un fil sur le trajet d un pinceau de lumière émis par une diode laser. Voici les relevés d'un groupe : a (en µm) L (en cm) 1,4 1 0,7 0,5 0,4 b) Graphique : Représentez dans un repère orthogonal "bien choisi" les points de coordonnées (a ; L) pour les valeurs du tableau ci-dessus.

22 22 Groupe IREM : mathématiques et sciences physiques au lycée c) Exploitation : Par un tracé à main levée reliant ses différents points, on représente la fonction donnant L en fonction de a. Déduisez-en, par lecture graphique, l'épaisseur d'un cheveu correspondant à L égale à O,9 cm. Prolongement : (travail à faire à la maison) Déterminez la fonction affine dont la représentation graphique passe par les points de coordonnées respectives (60 ; 1) et (80 ; 0,7). Déduisez-en une nouvelle estimation de l'épaisseur d'un cheveu correspondant à L égale à O,9 cm. 2 ) Signification de l'expression «inversement proportionnel» : a) Introduction : Il est manifeste que la largeur de la tache centrale de diffraction L n'est pas proportionnelle à l'épaisseur des fils a. Par ailleurs, dans ce genre de situation 3, on dit parfois que «L est inversement proportionnel à a «. Quel sens mathématique attribuez-vous à cette expression? b) Un tableau numérique : Constituez le tableau numérique donnant L en fonction de a On remarquera la formulation choisie volontairement floue. En effet, on cherche ici, non seulement, à travailler sur une question de sens, mais par ailleurs, on poursuit un objectif à long terme qui permettra précisément de mettre à mal l'usage, en particulier par les journalistes, de cette expression dans tous les cas de décroissance. 4 Au cours de la discussion menée en classe, une élève a évoqué la possibilité que ce soit l'inverse de L qui soit proportionnel à a. Bien sûr, elle a parfaitement raison, et ce point de vue peut paraître a priori mathématiquement plus

23 Groupe IREM : mathématiques et sciences physiques au lycée 23 c) Un graphique : Représentez dans un repère orthogonal "bien choisi", les points correspondant au tableau précendent. Pourquoi est-il légitime de considérer qu'il y a proportionnalité a 1 et L? d) Approximation «globale» : Calculez la moyenne des abscisses des points représentés. De même avec les ordonnées. On appelle point moyen le point dont les coordonnées sont respectivement les moyennes calculées. 1 On considère qu'il y a proportionnalité entre les deux grandeurs et L. En a conséquence on considère que la droite passant par le point moyen M et l'origine du repère est la représentation graphique de la fonction donnant L en fonction de a 1. Calculez dans ces conditions k tel que L = k. a 1. Déduisez l'épaisseur d'un cheveu correspondant à L = 0,9. "signifiant". Le choix fait se justifie par le fait que pour les physiciens dans ce genre de situation de "changement de variable", on garde en général la grandeur "image" ; on change la variable!