ENSEIGNEMENT A DISTANCE

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1 ours 269 Série 06 Mathématiques (2 ème degré) GEMETRIE ommunauté française de elgique ENSEIGNEMENT ISTNE (reproduction interdite sans autorisation)

2 Plan de la série 06 Leçon 11 : Trois lieux géométriques : le cercle, la médiatrice, la bissectrice 1 Introductionpage 1 2 Médiatrice d'un segment 2 3 issectrice d'un angle5 evoir à envoyer10 orrigé des T 11 Leçon 12 : rc capable et quadrilatère convexe inscrit à un cercle 1 Problème introductif 1 2 rc capable d'un angle aigu 3 3 Quadrilatère convexe inscriptible 5 evoir à envoyer7 orrigé des T 9 Enseignement à distance ommunauté française de elgique

3 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE Leçon 11 1 TRIS LIEUX GÉMÉTRIQUES : LE ERLE, L MÉITRIE, L ISSETRIE 1 INTRUTIN En géométrie, certaines droites, certaines courbes se définissent en termes de lieux géométriques Un lieu géométrique est un ensemble de points vérifiant une même propriété Vous connaissez l'exemple du cercle Un cercle se caractérise par un centre [], un rayon [r] et par la propriété suivante : hacun de ses points est à la distance r du r centre eci nous conduit à définir le cercle de la manière suivante : Le cercle de centre et de rayon r est le lieu géométrique des points situés à la distance r du centre T 1 4cm Les points et représentent deux villes sur une carte de géographie, distantes de 40 km (1 cm sur le papier correspond à 10 km sur le terrain) éterminez un point sur la carte correspondant à un endroit situé à 40 km de la ville et à 50 km de la ville Enseignement à distance ommunauté française de elgique

4 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE Leçon MÉITRIE 'UN SEGMENT 21 éfinition La médiatrice d'un segment [] est la perpendiculaire au segment en son milieu M 22 La médiatrice d'un segment est un lieu géométrique La médiatrice d'un segment est le lieu géométrique des points équidistants des extrémités du segment (à mémoriser) et énoncé se décompose en deux propositions 1 ère proposition : Tout point appartenant à la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités du segment 2 ème proposition (la réciproque de la première proposition) : Tout point équidistant des extrémités d'un segment appartient à la médiatrice de ce segment émontrons la 1 ère proposition Tout point appartenant à la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités du segment P ette propriété vous a été proposée dans le devoir de la leçon 4 Hypothèse : M milieu du segment [] M P un point quelconque de la médiatrice du segment [] Thèse : P = P Enseignement à distance ommunauté française de elgique

5 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE Leçon 11 3 émonstration Les triangles PM et PM sont isométriques En effet, M = M car M est le milieu de [] ; [PM] est commun aux deux triangles ; MP = MP = 90 Les deux triangles ont donc un angle de même amplitude compris entre deux côtés homologues de même longueur [ ] Ils sont isométriques Puisque les triangles PM et PM sont isométriques, les côtés [P] et [P] ont même longueur d'où P = P émontrons la 2 ème proposition Tout point équidistant des extrémités d'un segment appartient à la médiatrice de ce segment P Hypothèse : P est un point du plan tel que P = P Thèse : P appartient à la médiatrice du segment [] M émonstration Soit M le milieu du segment [] émontrons que la droite PM est la médiatrice du segment [] c'est-à-dire que PM est perpendiculaire à Les triangles PM et PM sont isométriques En effet, P = P par hypothèse ; M = M car M est le milieu de [] ; [PM] est commun aux deux triangles Les deux triangles ont donc les trois côtés homologues de même longueur [ ] Ils sont isométriques Puisque les triangles PM et PM sont isométriques, les angles MP et MP ont même amplitude, à savoir = 90 2 La droite PM est donc perpendiculaire au segment [], en son milieu PM est la médiatrice du segment Enseignement à distance ommunauté française de elgique

6 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE Leçon onstruction de la médiatrice P 1) vec pour centre, on trace deux arcs de cercle de même rayon > 2 2) vec le même rayon, on trace deux arcs de cercle de centre 3) Les deux arcs se coupent en P et R R La droite PR est la médiatrice du segment [] T 2 1) Ḅ éterminez un point équidistant des 3 points,, 2) Tracez le cercle circonscrit au triangle, c'est-à-dire le cercle passant par les sommets du triangle Enseignement à distance ommunauté française de elgique

7 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE Leçon ISSETRIE 'UN NGLE 31 éfinition La bissectrice d'un angle est la demidroite [ qui partage cet angle en deux angles de même amplitude 32 La bissectrice d'un angle est un lieu géométrique La bissectrice d'un angle est le lieu géométrique des points équidistants des côtés de l'angle (à mémoriser) et énoncé se décompose en deux propositions, mais précisons au préalable ce que nous entendons par la distance d'un point à une droite d M P La distance du point P à la droite d est la longueur du segment [PM] perpendiculaire à la droite d 1 ère proposition : Tout point appartenant à la bissectrice d'un angle est équidistant des côtés de l'angle 2 ème proposition (la réciproque de la première proposition) : Tout point équidistant des côtés d'un angle appartient à la bissectrice de cet angle Enseignement à distance ommunauté française de elgique

8 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE Leçon 11 6 émontrons la 1 ère proposition Tout point appartenant à la bissectrice d'un angle est équidistant des côtés de l'angle Hypothèse : est la bissectrice de M P un point quelconque de la bissectrice P N Thèse : de [ P est équidistant des demi-droites [ et [ ou encore PM = PN émonstration Les triangles PM et PN sont isométriques En effet, [P] est commun aux deux triangles ; MP = NP car est la bissectrice de ; PM = PN = 90 MP Les deux triangles ont donc un côté de même longueur adjacent à deux angles homologues de même amplitude [ ] Ils sont isométriques Puisque les triangles PM et PN sont isométriques, les côtés [PM] et [PN] ont même longueur d'où PM = PN émontrons la 2 ème proposition Tout point équidistant des côtés d'un angle appartient à la bissectrice de cet angle Hypothèse : P est un point équidistant des côtés de M l'angle, c'est-à-dire PM = PN P N Thèse : La demi-droite [P est la bissectrice de l'angle Enseignement à distance ommunauté française de elgique

9 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE Leçon 11 7 émonstration Les triangles PM et PN sont isométriques En effet, [P] est commun aux deux triangles ; PM = PN par hypothèse ; M = N car les deux triangles PM et PN vérifient la relation de Pythagore et M P PM P PN = = = N Les deux triangles ont donc les trois côtés homologues de même longueur [ ] Ils sont isométriques Puisque les triangles PM et PN sont isométriques, les angles MP et NP ont même amplitude La demi-droite [P est donc la bissectrice de l'angle 33 onstruction de la bissectrice d'un angle 1) vec pour centre, on trace un arc de cercle qui coupe les demi-droites [ et [ E respectivement en et en E 2) n trace deux arcs de cercle de même rayon, et ayant respectivement pour centres et E 3) Les deux arcs se coupent en un point F F La demi-droite [F est la bissectrice de l'angle T 3 1) éterminez un point intérieur au triangle et équidistant des 3 côtés Enseignement à distance ommunauté française de elgique

10 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE Leçon ) Tracez le cercle inscrit au triangle, c'est-à-dire le cercle tangent aux trois côtés du triangle 34 issectrice de deux droites sécantes d onsidérons deux droites et sécantes en M Traçons la bissectrice de l'angle et prolongeons cette demi-droite de N P d' "l'autre côté" du point Nous obtenons ainsi la bissectrice de l'angle Traçons la bissectrice de l'angle et prolongeons cette demi-droite de "l'autre côté" du point Nous obtenons ainsi la bissectrice de l'angle Les deux droites d et d' ainsi tracées sont les bissectrices des deux droites sécantes et Propriétés : 1) Les deux bissectrices d et d' sont perpendiculaires 2) Les deux bissectrices sont le lieu géométrique des points équidistants des deux droites et c'est-à-dire que, quel que soit le point P de d ou de d', dessin) PM = PN (voir Enseignement à distance ommunauté française de elgique

11 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE Leçon 11 9 T 4 b I a n donne deux droites sécantes a et b et un cercle de centre Recherchez les points du cercle équidistants des deux droites Enseignement à distance ommunauté française de elgique

12 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE Leçon EVIR À ENVYER 1 Soit un triangle dont on prolonge les côtés et Tracez un cercle tangent au côté ainsi qu'aux prolongements des côtés et 2 T + + n donne deux demi-droites et ainsi qu'un point T appartenant à onstruisez un cercle tangent à la demi- / droite [ et à la demi-droite [ au point T 3 n donne deux points et ainsi qu'un cercle de centre Recherchez les points du cercle équidistants des deux points et Enseignement à distance ommunauté française de elgique

13 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE Leçon RRIGE ES T T 1 étant situé à 40 km de la ville, on trace sur la carte un arc de cercle de centre et de 4 cm de rayon Le point appartient à cet arc étant situé à 50 km de la ville, on trace sur la carte un arc de cercle de centre et de 5 cm de rayon Le point appartient à cet arc Le point est l'intersection des deux arcs de cercle T 2 1) Ḅ a) Le point recherché est équidistant des points et Il appartient donc à la médiatrice du segment [] Traçons cette droite b) Le point recherché est équidistant des points et Il appartient donc à la médiatrice du segment [] Traçons cette droite c) Le point est l'intersection de ces deux médiatrices Enseignement à distance ommunauté française de elgique

14 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE Leçon ) Pour tracer le cercle circonscrit au triangle, nous devons en déterminer le centre c'est-à-dire un point équidistant des sommets,, ppliquons la méthode développée dans l'exercice précédent pour déterminer, le centre du cercle n trace le cercle circonscrit au triangle en prenant pour rayon T 3 1) a) Le point recherché est équidistant des côtés et Il appartient donc à la bissectrice de l'angle Traçons cette droite b) Le point recherché est équidistant des côtés et Il appartient donc à la bissectrice de l'angle Traçons cette droite c) Le point est l'intersection de ces deux bissectrices Enseignement à distance ommunauté française de elgique

15 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE Leçon ) M N P bservons un cercle inscrit à un triangle M, N, P sont les points de contact des tangentes n sait que M, N, P sont respectivement perpendiculaires à, et et que M = N = P = le rayon du cercle Le centre du cercle est donc un point équidistant des 3 côtés du triangle onstruction : P a) n trace les bissectrices de deux angles du triangle Elles se coupent en un point, centre du cercle inscrit b) n trace un segment [P] perpendiculaire à P = le rayon du cercle inscrit T 4 b I M N d d' a n trace les bissectrices d et d' des deux droites a et b Une des bissectrices coupe le cercle en deux points, M et N M et N sont deux points du cercle équidistants des deux droites a et b Enseignement à distance ommunauté française de elgique

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17 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE Leçon 12 1 R PLE ET QURILTERE NVEXE INSRIT UN ERLE 1 PRLEME INTRUTIF ôte 50 Mer Un bateau en détresse envoie au port le plus proche l'indication suivante : "Nous voyons les phares et sous un angle de 50 " Le responsable de la sécurité maritime retranscrit cette information sur sa carte en remettant "à plat" les données omment peut-il localiser la position du bateau? 11 Rappels sur les angles inscrits L'angle est un angle inscrit au cercle ; son amplitude est la moitié de l'amplitude de l'angle au centre qui intercepte le même arc 1 = 2 ou encore = 2 (voir la leçon 10) Enseignement à distance ommunauté française de elgique

18 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE Leçon 12 2 éplaçons le point sur l'arc (en pointillé) Quelle que soit la position du point, l'angle intercepte le même arc Son amplitude ne varie donc pas : = 1 2 Nous dirons que, de tout point pris sur l'arc (en pointillés), on voit le segment [] sous un angle d'amplitude constante ppliquons ce résultat au problème introductif Si et représentent les phares sur la carte, le bateau se situe en un point de l'arc de cercle (en pointillés) Mais comment le responsable de la sécurité peut-il construire le cercle sur sa carte? 12 Supposons le problème résolu M Supposons que l'on ait trouvé l'arc de cercle à partir duquel on voit le segment [] sous un angle de 50 nalysons le dessin 1) Le point, centre du cercle, appartient à la médiatrice du segment [] car = = le rayon 2) M = 1 = 1 2 =, d'où M = 90 = Le point se trouve donc à l'intersection de deux droites la médiatrice du segment [], la droite inclinée à 40 (90 - ) sur Enseignement à distance ommunauté française de elgique

19 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE Leçon pplication au problème introductif 40 M La côte La mer Pour localiser le bateau sur sa carte, le responsable de la sécurité maritime procèdera donc comme suit : 1) il tracera la médiatrice du segment [] ; 2) il tracera une droite passant par et formant avec un angle de 40 ; 3) l'intersection de ces deux droites est le point ; 4) avec pour centre et pour rayon, il tracera l'arc de cercle d'où l'on voit les deux phares et sous un angle de 50 Le bateau se situe en un point de cet arc 2 R PLE 'UN NGLE IGU Le problème précédent nous a amenés à un nouveau lieu géométrique : "le lieu géométrique des points d'où l'on voit un segment [] sous un angle d'amplitude constante" Reprenons ce problème dans sa généralité α n se donne un segment [] et un angle aigu α Représentons le lieu géométrique du point tel que = α Enseignement à distance ommunauté française de elgique

20 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE Leçon 12 4 Solution 90 -α M - ' n trace 1) la médiatrice du segment [] 2) Une droite passant par et formant avec un angle de (90 -α) L'intersection des deux droites est le point vec pour centre et pour rayon, on trace l'arc de cercle d'où l'on voit le segment [] sous un angle α et arc de cercle est un arc capable d'un angle α construit sur le segment [] ppliquons à l'arc de cercle ainsi construit une symétrie orthogonale par rapport à : nous obtenons un 2 ème arc de cercle d'où l'on voit le segment [] sous un angle α onclusion : Le lieu géométrique des points du plan d'où l'on voit le segment [] sous un angle donné α est constitué de deux arcs de cercle sous-tendus par la corde [] et symétriques par rapport à la droite, à l'exception des points et es arcs sont les arcs capables de l'angle α construits sur le segment [] T 1 1) n se donne deux points et Tracez le lieu géométrique des points du plan d'où l'on voit le segment [] sous un angle de 70 2) Quel est le lieu géométrique des points du plan d'où l'on voit le segment [] sous un angle droit? Enseignement à distance ommunauté française de elgique

21 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE Leçon ) MER Indiquez la position d'un bateau d'où l'on voit les phares et sous un angle de 40 et les phares et sous un angle de 30 3 QURILTERE NVEXE INSRIPTILE 31 Problème introductif est un quadrilatère convexe quelconque Existe-t-il un cercle comprenant les quatre sommets? En d'autres termes : Un quadrilatère convexe quelconque est-il toujours inscriptible à un cercle? 32 éfinition est un quadrilatère convexe si, lorsqu'on joint M N par un segment de droite deux points quelconques M et N intérieurs au quadrilatère, ce segment ne sort jamais du quadrilatère M N Quadrilatère convexe Voici un quadrilatère non- convexe : le segment [MN] sort du quadrilatère Enseignement à distance ommunauté française de elgique

22 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE Leçon bservons un quadrilatère convexe inscrit à un cercle 1 2 est un quadrilatère convexe inscrit au cercle de centre omparons les angles  et Ĉ du quadrilatère a)  = 1 ˆ 2 1 car un angle inscrit est la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc b) Ĉ = 1 ˆ 2 2 pour la même raison r + Ô = 360 onc  + Ĉ = 180 Ô1 2 En d'autres termes : deux angles opposés de ce quadrilatère sont supplémentaires 34 ondition pour qu'un quadrilatère convexe soit inscriptible à un cercle Un quadrilatère convexe est inscriptible à un cercle si deux angles opposés sont supplémentaires (à mémoriser) Le quadrilatère dessiné dans le problème introductif étant quelconque, il y a peu de chance qu'il soit inscriptible à un cercle! T 2 1) Un rectangle est toujours inscriptible à un cercle Justifiez 2) Un trapèze isocèle est-il toujours inscriptible à un cercle? Si oui, indiquez le centre du cercle Enseignement à distance ommunauté française de elgique

23 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE Leçon 12 7 EVIR À ENVYER 1 n donne un segment [] Tracez le lieu géométrique des points d'où l'on voit le segment [] sous un angle de 65 2 E F émontrez que le quadrilatère F est inscriptible à un cercle 3 E H F est un triangle quelconque F, E, sont les hauteurs du triangle émontrez que le quadrilatère HE est inscriptible à un cercle Indiquez le centre de ce cercle Enseignement à distance ommunauté française de elgique

24 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE Leçon MER Indiquez la position d'un bateau d'où l'on voit les phares et sous un angle de 58 et les phares et sous un angle de 66 Enseignement à distance ommunauté française de elgique

25 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE Leçon 12 9 RRIGE ES T T 1 1) 20 + ' n trace 1) la médiatrice du segment [] ; 2) une droite passant par et formant avec un angle de (90-70 ) = 20 L'intersection des deux droites est le point vec pour centre et pour rayon, on trace l'arc de cercle qui sous-tend la corde n applique à l'arc de cercle ainsi construit une symétrie orthogonale par rapport à Les deux arcs de cercle constituent le lieu géométrique des points d'où l'on voit le segment [] sous un angle de 70 2) Le lieu géométrique des points du plan d'où l'on voit un segment [] sous un angle droit est un cercle de diamètre [], à l'exception des points et (voir leçon 10) Enseignement à distance ommunauté française de elgique

26 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE Leçon ) ' ) n construit l'arc de cercle capable d'un angle de 40 sur le segment [] 2) n construit l'arc de cercle capable d'un angle de 30 sur le segment [] L'intersection des deux arcs est un point qui nous indique la position du bateau T 2 1) Un rectangle est un quadrilatère convexe avec 4 angles droits Il possède donc deux angles opposés supplémentaires : Â + Ĉ = = 180 Tout rectangle est donc inscriptible à un cercle Le centre de ce cercle est le point d'intersection des diagonales Enseignement à distance ommunauté française de elgique

27 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE Leçon ) 1 2 Soit un trapèze isocèle Montrons que ce trapèze est inscriptible à un cercle alculons  + Ĉ1  + Ĉ = ˆ + car le trapèze est isocèle (donc ˆ =  ) 1 Ĉ 1  + Ĉ = Ĉ + car Ĉ 2 = ˆ : ce sont des angles alternes internes 1 2 Ĉ1 'où  1 + Ĉ = 180 : le trapèze isocèle est inscriptible à un cercle Recherche du centre du cercle Le centre du cercle est un point équidistant des 4 sommets du trapèze Il se situe à l'intersection des médiatrices de deux côtés non parallèles Enseignement à distance ommunauté française de elgique

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29 ommunauté française de elgique Enseignement à distance Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GÉMÉTRIE orrigé 11 TRIS LIEUX GÉMÉTRIQUES : LE ERLE, L MÉITRIE, L ISSETRIE 1 a) Le centre du cercle est équidistant des demi-droites [ et [ Il appartient à la bissectrice de l'angle I Traçons cette droite b) Le centre du cercle est équidistant des demi-droites [ et [E Il appartient à la bissectrice de l'angle E Traçons cette droite E c) Les deux bissectrices se coupent en un point I, le centre du cercle recherché 2 T + + / a) Le cercle est tangent aux demi-droites [ et [ Le centre du cercle appartient donc à la bissectrice de l'angle Traçons cette droite b) Le cercle est tangent à la demi-droite [ en T Le centre du cercle appartient donc à la perpendiculaire en T à Traçons cette droite c) Les deux droites se coupent en un point, le centre du cercle recherché Enseignement à distance ommunauté française de elgique

30 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE orrigé M N Tout point équidistant des deux points et appartient à la médiatrice du segment [] Traçons cette droite La médiatrice coupe le cercle en deux points M et N qui sont les deux points recherchés Enseignement à distance ommunauté française de elgique

31 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GÉMÉTRIE orrigé 12 1 R PLE ET QURILTERE NVEXE INSRIT UN ERLE ' 2 E F Le quadrilatère F est inscriptible à un cercle puisque ˆ = 90, Fˆ = 90 et donc ˆ + Fˆ = 180 Enseignement à distance ommunauté française de elgique

32 Mathématiques 2 ème degré ours 269 Série 06 GEMETRIE orrigé H E F Le quadrilatère HE est inscriptible à un cercle puisque ˆ = 90, Ê = 90 et donc ˆ + Ê = 180 Le cercle circonscrit au quadrilatère HE est circonscrit au triangle rectangle HE Son centre est le milieu de l'hypoténuse H du triangle rectangle HE 4 32 ' 24 1) n construit un arc de cercle capable d'un angle de 58 sur le segment [] 2) n construit un arc de cercle capable d'un angle de 66 sur le segment [] L'intersection des deux arcs est un point qui nous indique la position du bateau Enseignement à distance ommunauté française de elgique

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