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1 Chapitre : Fonctions de référence I Fonctions affines Définition d'une fonction affine f est une fonction affine si, et seulement si, il existe deux réels a et b tels que pour tout x, f x ( ) = ax + b Si b = 0, f x Si a = 0, f x Variations d'une fonction affine ( ) = ax On dit que f est une fonction linéaire ( ) = b On dit que f est une fonction constante f est la fonction affine définie pour tout réel x par f ( x) = ax + b : tableau de variation d'une fonction affine selon le signe de a 3 Représentation graphique d'une fonction affine La représentation graphique de la fonction affine f est la droite d équation y = ax + b a est appelé coefficient directeur de la droite, et b ordonnée à l'origine Si b = 0, alors la droite passe par l'origine nde Fonctions de référence

2 Signe d'une fonction affine Méthode On résout f ( x) = 0 On construit le tableau de signes suivant le signe de a Exercice Une fonction affine f vérifie f 3 Déterminer l'expression de f x ( ) = et f ( ) = ( ) en fonction de x Quel est le sens de variation de la fonction affine f? 3 Donner son tableau de signes Exercice Soit f et g deux fonctions affines telles que f x ( ) = 3 x et g( x) = 3 x + Tracer à la calculatrice les droites C f et C g représentant f et g Faire une conjecture sur les coordonnées du point d'intersection, et la position relative entre C f et C g 3 Retrouver les résultats par le calcul Exercice 3 Un ticket de bus coûte,0 On peut aussi prendre un abonnement annuel de 30 ; le trajet coûte alors On note x le nombre de trajets en bus effectués dans l'année Donner l'expression de la fonction : f qui à x associe le prix total sans abonnement; g qui à x associe le prix total avec abonnement Donner l'expression réduite de h x ( ) = f ( x) g( x) Que représente h( x)? (économie éventuelle réalisée avec l'abonnement) 3 À partir de combien de trajets effectués dans l'année l'abonnement est-il intéressant?

3 II La fonction carré Définition de la fonction carré La fonction carré est la fonction f définie sur par : pour tout x, f ( x) = x Représentation graphique de la fonction carré Tableau de valeurs x f x ( ) La représentation graphique de la fonction carré est appelée parabole de sommet O Cette parabole OJ C est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ( ) f 3 Variations de la fonction carré La fonction carré f : x x est décroissante sur ;0 et croissante sur 0;+ Conséquences Deux réels positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre Deux réels négatifs et leurs carrés sont rangés dans l'ordre contraire

4 Tableau de variation de la fonction carré Exercice On considère la fonction f définie sur l'intervalle ;6 par f x Démontrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle ;0 Démontrer que la fonction f est décroissante sur l'intervalle 0;6 3 Dresser le tableau de variation de la fonction f Déterminer un encadrement de f ( x) lorsque : a x ;6 b x ;6 Exercice 5 On considère la fonction g définie sur par g( x) = ( x ) ( ) = x + 5 Démontrer que la fonction g est décroissante sur l'intervalle ; et croissante sur ;+ Dresser le tableau de variation de la fonction g 3 Déterminer un encadrement de g x ( ) lorsque : a 3 x b x 5 III La fonction inverse Définition de la fonction inverse La fonction inverse est la fonction f définie sur * ( x 0 ), par f ( x) = x * = ;0 0;+ f est définie sur * car l'inverse de 0 n existe pas

5 Représentation graphique de la fonction inverse Tableau de valeurs x 3 f ( x ) La représentation graphique de la fonction inverse est appelée hyperbole Elle est symétrique par rapport à l'origine du repère 3 Variations de la fonction inverse La fonction inverse f : x x est décroissante sur ;0 et décroissante sur 0;+ Conséquence Deux réels non nuls de même signe et leurs inverses sont rangés dans des ordres contraires Tableau de variation de la fonction inverse

6 Dans un tableau de variation, les doubles barres indiquent une valeur interdite c'est-à-dire une valeur pour laquelle la fonction n'est pas définie Exercice 6 On considère la fonction f définie sur \ 0 { } par f ( x) = x Visualiser la courbe représentative de la fonction f sur la calculatrice Conjecturer son sens de variation Démontrer la conjecture faite en 3 Déterminer un meilleur encadrement pour f x 0,5 < x < 3 Exercice 7 On considère la fonction f définie sur \ 0 ( ) sachant que { } par f ( x) = x + 3 Vérifier que tout réel x non nul, on a : f ( x) = + 3 x Déterminer les variations de la fonction f sur ;0 puis sur 0;+ 3 Dresser le tableau de variation de la fonction f Exercice 8 Soit x un réel différent de 3 Déterminer un encadrement de x sachant que 3 (La fonction inverse est x 3 décroissante sur 3 ; ) Vérifier graphiquement votre réponse à l'aide de la calculatrice x IV Transformations d'écritures Développer, factoriser des expressions Définition Développer une expression, c'est la transformer en somme de termes Factoriser une expression, c'est la transformer en produit de facteurs Soit a, b et c trois nombres réels Pour factoriser et développer, on utilise des égalités ci-dessous

7 Forme factorisée Forme développée ab+ c = ab+ ac Distributivité ( ) ( a+ b) = a + ab+ b ( a b) = a ab+ b ( a+ b)( a b) = a b Identités remarquables Exercice 9 Développer les expressions suivantes : A= ( 3x ) B = x+ C= ( x 3)( x+ 3) Factoriser les expressions suivantes : D= x x+ E= ( x+ 6) 5 F = ( x )( x+ 7) + ( x )( x+ 3) Signe d'un produit - Signe d'un quotient Signe de a + + Signe de b + + Signe de a bou a b, b Exercice 0 Résoudre les inéquations suivantes : ( ) x 3 x 9 0 x + 0 p 3 transmath Exercice Soit f la fonction définie sur par : f ( x) ( x )( x 3) 3( 8x )( x ) Développer f ( x ) Factoriser f ( x ) 3 En prenant soin de bien choisir une expression de f ( x ), calculer : f ( 0) ; f f 3 f x = ; ( ) Résoudre ( ) 0 5 Résoudre f ( x ) = 3 = + +

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