La Portance ou comment tuer un mythe.

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1 La Potance ou comment tue un mythe. I Intoduction : Intenet est un outil meveilleux qui devait pemette de popage à tous la science sans bouge de chez soi puisque a pioi la science existait avant Intenet, mais dans les lives et il fallait alle dans des bibliothèques. Lennui est quau lieu de épande cette science, et vu que quiconque 1 peut écie nimpote quoi et le mette en ligne en plus, bien pésenté, le document devient cédible, assiste-t-on, au contaie, à une popagation didées fausses, un peu, comme à une époque, le fait que les gens se soient déplacés de plus en plus loin de chez eux ait popagé les vius, micobes et donc maladies associées. Cest le cas en paticulie pou la potance qui paaît suffisamment magique pou que tout un chacun essaie de lexplique simplement. On lit ainsi cette espèce de syllogisme plus ou moins complet " les paticules fluide ont plus de chemin à faie côté extados, donc ça va plus vite, et la elation de Benoulli monte que la pession est alos plus faible à lextados quà lintados, donc potance". Mis à pat queffectivement, la elation de Benoulli pemet de conclue que vitesse et pession évoluent en sens contaie, tout est patiquement faux dans la suite daffimation cidessus. Il est dailleus spectaculaie quà lénoncé de la phase "distance plus gande, donc vitesse plus gande", pesonne ne se soit posé la question : pouquoi le temps de pacous devait ête le même en haut et en bas? Ca sans cette hypothèse, judicieusement escamotée, comment conclue que L 1 > L entaîne V 1 > V? Faites 1 km en heues et 1 km en 1 minutes et compaez les vitesses. Il est vai que la potance nest pas tès simple à explique et nos Anciens ont eu du mal à la touve su le plan théoique. Les calculs initiaux, poutant dans un cade élémentaie : - Fluide pafait : on suppose que la viscosité du fluide µ tend ves zéo et le nombe de Reynolds Re l =! V l " utilisant une échelle de longueu l de µ lobstacle est fixé à une valeu infiniment gande. - Écoulement pemanent donc indépendant du temps - Écoulement bidimensionnel : lobstacle est un cylinde à base quelconque attaqué pa le vent V! pependiculaiement aux généatices. - Une seule ligne de couant séchappe de lobstacle. avaient conduit au Paadoxe de dalembet généalisé : pas de taînée, pas de potance. Dans la suite, on notea H lensemble des hypothèses énoncées ci-dessus. 1 Lauteu de ces lignes contibue donc à ce gand mouvement de mise su le web de documents! Fançais : Jean le Rond DAlembet

2 Il a fallu attende N. Joukowski 3 pou voi quune patie de la solution avait été oubliée, que ce supplément de solution céait une ciculation Γ du vecteu vitesse autou du pofil, et que, in fine, on obtenait pou une tanche L de lobstacle, la potance : P = -! V " L ésultat appelé théoème de Joukowski 4 Finalement, compende la potance evient à compende pouquoi il sétablit une ciculation, le coollaie étant "quelle est la valeu de cette ciculation?". Tout dabod, quest-ce que la ciculation? Soit un champ de vecteu W dont la valeu dépend des points de lespace et éventuellement du temps, et une coube quelconque doigine A et dextémité B, la ciculation est définie pa lintégale :! AB = B " A W. dom La notion de "ciculation" est tès généale et intevient dans dautes domaines de la physique comme lélectomagnétisme. Dans le cas dun pofil daile, la ciculation autou dun pofil est calculée : a en penant le champ des vitesses V b le long dun cicuit qui fait le tou du pofil, patant du bod de fuite, côté extados, et y evenant côté intados. Soit :! = F " F + V. dom Puisque dom = t ds, où t est le vecteu tangent à lobstacle et ds lélément dabscisse cuviligne, il vient également : F "! = V t ds qui ne fait inteveni que la vitesse tangentielle V t F + Le pofil est défini pa appot à un cetain éféentiel, doigine O, qui pemet de distingue la patie supéieue du pofil extados où la vitesse tangentielle sea notée V + t, de la patie inféieue intados où la vitesse tangentielle est V! t. Dans le cas généal, ds +! ds -, mais si comme cas paticulie, on choisit un pofil squelettique, ces deux éléments dabscisse cuviligne sont identiques et lon peut écie : O F F! = " V + t ds + V " t ds = " V t - V t O F O ds 3 Nikolai Egoovich Zhukovsky : lécitue du nom de ce scientifique usse admet de nombeuses vaiantes. 4 On note au passage quune potance positive nécessite une ciculation négative.

3 Su cet exemple, on voit quune condition nécessaie pou quil y ait ciculation est quil existe une difféence de vitesse ente le haut et le bas, mais ce nest pas suffisant. On note en effet que si V! + t = V t implique bien! =, la écipoque est en généal fausse : cest le cas en paticulie pou un pofil dissymétique losque quil est placé à son incidence de potance nulle, donc de ciculation nulle dapès le théoème de Joukowski. La dissymétie du pofil implique que lon ait V! + t " V t mais lintégale donnant la ciculation est nulle pa compensation ente des zones où V! t! V + t > et dautes où V! t! V + t <. Pouquoi nos Anciens navaient initialement pas touvé de potance? Tout simplement pace quils avaient oublié la ciculation. Ils avaient bien emaqué quavec les hypothèses H le champ des vitesses était iotationnel, soit V = ga mais pensaient que le potentiel des F " vitesses Φ était une fonction continue. O, si V = ga, alos! = V. dom est égal F à! = gad". dom = d" = " F - F + F F + la ciculation était effectivement et iémédiablement égale à zéo. - " F + : ayant supposé le potentiel continu en F, O, dans le cade des hypothèses H, la seule et unique équation à ésoude est léquation de continuité ou consevation de la masse qui avec V = ga sécit :!" = le Laplacien de Φ est nul muni des conditions aux limites suivantes : V. n = en tout point du ou des obstacles où n est la nomale V! V " à linfini amont On notea P le poblème ci-dessus équation plus conditions aux limites. Nos Anciens avaient ésolu ce poblème en ayant touvé UNE solution Φ qui donnait effectivement une ciculation nulle et ils avaient pensé que cétait LA solution. Ceci auait été coect, si la difféence! =! -! qui véifie le système noté E :! " = gad!. n = en tout point du ou des obstacles gad! " à linfini amont nadmettait que la solution tiviale! = cte...ce qui nest pas le cas. Lexemple le plus simple consiste à pende pou obstacle un cylinde à base ciculaie de ayon R. Cette géométie incite à passe en coodonnées cuvilignes,!. Le poblème E devient : F + 3

4 ! " = " + " =!"! = R = + [,, ]!"! et!"! quand tend ves linfini Il est facile de voi que!, " = K " est solution non tiviale de ce poblème, solution qui donne un champ des vitesses V = ga "! = ", "! " =, K. La ciculation céée pa ce champ des vitesses est, autou du cylinde, dom =, R et ga " : [ ] =R =, K R avec F! = gad". dom = K d = K F + de sote que lon peut écie!, " = vaiables catésiennes x, y et les vaiables cuvilignes,! ". Comme la coespondance ente les est : " x = cos! y = sin! cette solution peut également sécie! " x, y = Actg y x. Ainsi, losque lon effectue le tou du cylinde, en patant de x = R et y = + soit = R et θ = et en etounant en x = R et y = - soit = R et θ = π qui semble ête le même point, la fonction! x, y passe de zéo à!. Ainsi! R, - -! R, + = ", il y a discontinuité du potentiel au point F. Dans le cas du cylinde, la solution complète est de la fome, à laddition dune constante abitaie :!, " = V cos " - + R + + " S La 1 èe patie de ce teme est le potentiel!, " = V cos " - + R solution du Laplacien pou le cylinde ciculaie qui ne cée aucune ciculation. Langle α est langle 4

5 dincidence telle que les composantes du vecteu vitesse à linfini sont V! = V! cos", sin". Il est fondamental de constate que S est solution du poblème quelle que soit la valeu de la ciculation Γ, quelle soit nulle, ou égale à + ou -,65! À ce stade, aucun citèe ne pemet de choisi une valeu unique de la ciculation... On dit que la ciculation su un obstacle "tout ond" comme le cylinde ciculaie est indéteminée. Pou un obstacle quelconque, léquivalent du poblème homogène E admet également une solution non tiviale et le champ des vitesses, solution du poblème dans le cade H, pou un pofil quelconque, est toujous de la fome : V = V! + v + " v 1 Le champ des vitesses V! + v = V! + gad" qui ne cée aucune ciculation est la solution du poblème dit "non-potant", tandis que v 1 = ga 1 qui cée une ciculation égale à lunité est appelé poblème "potant unitaie", tandis que! v 1 cée la ciculation Γ. Globalement v +! v 1 est le champ des vitesses de petubation dû à la pésence de lobstacle. Là encoe, si lobstacle est "tout ond", il ny a pas de citèe qui pemette de sélectionne une valeu unique de la ciculation Γ. II Condition de Joukowski, ou condition de Kutta 5 - Joukowski voie condition de Kutta, selon les pays! : Il sagit du fameux citèe qui va pemette de sélectionne une valeu unique de la ciculation, citèe qui nexiste que pou un pofil pésentant une pointe à laièe et en subsonique. Que se passe-t-il pou un pofil pointu losquune ciculation quelconque est affichée? En patique, le champ des vitesses a lallue suivante : Ciculation insuffisamment négative : point daêt aval contounement de la pointe : vitesse infinie point daêt amont 5

6 Ciculation top négative : contounement de la pointe : vitesse infinie point daêt aval point daêt amont Dans les deux cas epésentés, une mauvaise ciculation implique systématiquement un contounement de laête epésentée pa la pointe aièe du pofil. Théoiquement, ce contounement saccompagne dune vitesse locale infiniment gande dont loccuence est à ejete pou des aisons physiques. En éalité, que ce soit à cause de la viscosité ou de la compessibilité de lai, la vitesse ne peut pas ête infinie. Dès los la condition de Joukowski qui sénonce : Le champ des vitesses doit ête boné dans tout le domaine fluide evient à ajuste la ciculation de telle façon que la ligne de couant unique qui séchappe du pofil cf. H pate de la pointe afin que celle-ci ne soit plus contounée, ce qui donne : point daêt amont Selon la géométie de la pointe aièe, il existe, ou non, un point daêt : point daêt aval Losque la nomale au bod de fuite est discontinue, existe un point daêt. En effet, à la pointe, le vecteu vitesse doit ête tangent à la fois à lextados, à lintados et à la pat de ligne de couant qui séchappe du pofil. Du pou un vecteu dête tangent à 3 coubes distinctes : Seule possibilité...vecteu nul. 5 Allemand : Wilhem Kutta

7 !! V F! Dans cette configuation, toute théoique, le bod de fuite est un point de eboussement. Coélativement, extados, intados sont tangents et la ligne de couant pat avec cette diection commune. La vitesse, dans ce cas, nest pas nulle au bod de fuite. Ainsi, lexistence dune pointe va impose à lécoulement la céation dune ciculation afin que cette pointe ne soit pas contounée. Cela souligne toute limpotance que evêt le bod de fuite dans le mécanisme dexistence de la potance. Ceci est confimé los des modifications de cette zone, qui peuvent paaîte mineues, mais qui induisent des vaiations significatives de la potance. III La fin dun mythe : En intoduction, nous avons souligné note désaccod avec lexplication de la potance via "un tajet plus long à lextados qui induit une vitesse plus gande". Le meilleu conte-exemple que lon puisse donne est un cas paticulie de pofil Joukowski, qui est un pofil squelettique en ac de cecle. Pou ce pofil, placé à une incidence paticulièe, les paticules fluide pacouent exactement la même longueu, égale à lac de cecle lui-même et poutant une potance existe! On donnea également un aute conteexemple, mais en écoulement supesonique. III-1 Régime incompessible : Les pofils Joukowski constituent une famille de pofil autou desquels la solution du poblème P est connu analytiquement en utilisant les tansfomations "confomes". Tout le monde connaît des tansfomations géométiques qui, à un point M, associent un aute point M et qui vont tansfome une coube en une aute coube. On peut cite la tanslation, la otation, lhomothétie, laffinité, linvesion, etc. En loccuence, les tansfomations confomes constituent une classe de tansfomation qui pésente un intéêt en Mécanique des fluides ca, non seulement elles tansfoment un obstacle en un aute obstacle, mais également tansfoment lensemble des lignes de couant de lobstacle initial en les lignes de couant de lobstacle tansfomé. Pa ailleus, il existe un théoème dexistence dû à Riemann 6 qui stipule que tout pofil, donc cylinde à base quelconque, ne pésentant pas de point double ceci signifie en patique que les coubes intados extados nont pas le doit de se coupe peut ête tansfomé en un cylinde ciculaie autou duquel, dapès ce qui pécède, lécoulement est "connu". La estiction évoquée pa les guillemets est que, su le cylinde ciculaie, la ciculation est indéteminée. Pa conte, si le 6 Mathématicien Allemand : Geog Fiedich Benhad Riemann

8 pofil obtenu pa tansfomation pésente une pointe, la condition de Joukowski déteminea cette ciculation. Considéons un cylinde ciculaie de ayon R > 1 attaqué pa lécoulement V! = V! cos", sin". On effectue une tanslation de ce pofil, en le faisant glisse le long de laxe y de façon à ce quil passe pa les points ± 1. Il est commode dutilise la vaiable complexe, cest-à-die quau point M X, Y du plan du cylinde ciculaie est associé le complexe Z = X + iy. De même, à Px, y du plan du pofil sea associé le nombe complexe z = x + iy. Y Z Y Z -R +R X X Le passage du plan Z au plan Z est éalisé au moyen de la tanslation : Z = Z + i R - 1 On note que les points Z = ±1 sont issus de Z = ±1 - i R - 1. Si lon note R e i! = 1 - i R - 1, alos - R e -i! = -1 - i R - 1. Ensuite, le cylinde du plan Z est tansfomé pa la tansfomation de Joukowski écite ici sous la fome : z = Z + 1 Z De sote que, globalement, on passe du plan Z au plan z pa la tansfomation : z = Z + i R Z + i R - 1 de la fome z = H Z 1 En paticulie, le cylinde dont une équation paamétique est Z = R e i! est tansfomé en : z = R e i! + i R R e i! + i R - 1 8

9 En identifiant les paties éelle et imaginaie de cette expession, on obtient une epésentation de lobstacle au moyen du paamète θ qui vaie de à π, soit en notant D = R R R - 1 sin! : x = R cos! " D " [ ] 1-1 D y = R sin! + R Nos Anciens, qui étaient fots en géométie, ont apidement vu que léquation pécédente est celle dun ac de cecle, epésentant un pofil squelettique pacouu à lextados pou! "[!, -! ] et à lintados pou! "[ -!, +! ]. Pa quel miacle? Tout simplement en emaquant que la tansfomation de Joukowski peut sécie également : z - z + =! Z - 1 " Z + 1 Z - 1 Si le module du nombe complexe est peu palant, en evanche, lagument a une Z + 1 intepétation tès simple, puisquil sagit de langle fomé pa les deux vecteus joignant un point du cecle daffixe Z aux points ±1 : Y! Z X -1 +1! " Si Z est su la patie supéieue du cylinde, cet angle est positif, noté χ qui este constant quel que soit Z, popiété géométique fondamentale du cecle qui sénonce "toute code dun cecle est vue dun point du cecle sous un angle constant". Invesement, côté inféieu, langle est négatif et égal! - " également constant Il en ésulte que : su la patie supéieue su la patie inféieue Z - 1 Z + 1 = Z - 1 Z + 1 ei! Z - 1 Z + 1 = Z - 1 Z + 1 ei! - " 9

10 z - Coélativement, dans les deux cas, on obtient z + = Z - 1 e i! : ainsi, en Z + 1 décivant lobstacle tansfomé, le segment [-, +] est vu depuis le point daffixe z sous langle constant χ ce qui monte que lobstacle tansfomé est bien un ac de cecle pacouu dessus et dessous. Le champ des vitesses, epésenté pa la vitesse complexe conjuguée, dans le plan z est V z = df dz = df dz = V Z où F est le potentiel complexe de lécoulement, tandis dz dz H Z que V Z est le champ autou du cecle centé à loigine qui est "connu" 7, soit : V Z = V! e -i" - V! e i" R Z + i 1 Z 4 et H Z est la déivée pa appot à Z de la tansfomation 1 qui a pemis de passe du plan Z au plan z, soit : H Z = 1-1 Z + i R Il en ésulte que : V z = Z + i R - 1 V! e -i" - V! e i" R Z + 1 i Z Z i R - 1 Z i R Puisque z = H Z, il est possible dinvese cette elation pou tie Z en fonction de z et emplace dans lexpession ci-dessus, mais ceci est en patique inutile. Il vaut mieux gade Z comme paamète, et celui-ci étant donné, on calcule V z pa 6 et z pa 1. Lexpession 6 donne le champ des vitesses dans tout lespace. Si on ne veut ce champ que su lac de cecle, image de Z = R e i!, il vient : V V! = ou également : sin " - - R e i" i R - 1 R ei" i R - 1 i e -i" R e i" + i R R V! 7 7 Voi, pa exemple, Théoie de la Dynamique des Fluides - A. Bonnet J. Luneau - Éditions Cépaduès - p. 9 1

11 V V! = i e -i" e i" + i R - 1 sin " - - R 4 + R V! e i" - e i" e i" + e -i" Pou le moment, la ciculation est indéteminée, tant que la condition de Joukowki na pas été écite. On note que cette indétemination fait que, losque deux points daêt existent su le cylinde ciculaie, soit pou! < 4 " R V, faie vaie la ciculation evient à déplace les points daêt. On pend lhabitude de epée le point daêt aval pa Z 1 = R e i! où α est indéteminé, mais, de cette écitue, il ésulte que! = 4 " R V sin -. Lindétemination su Γ est donc simplement epotée su α. Coélativement, il vient apès quelques manipulations : V V! = sin " - cos " i e -i" R - 1 R 8 sin" - sin" qui monte notamment quau bod de fuite, soit pou! =!, la vitesse est infinie...à moins dapplique la condition de Joukowsi! On note que les points z = ± sont issus de Z = ± 1, eux-mêmes issus de Z = ± R e ± i!. En ces points, la déivée de la tansfomation sannule : la tansfomation nest localement pas confome, ce qui se taduit pa le fait que la coube à tangente continue quest le cylinde ciculaie donne localement une tangente discontinue epésentée pa les deux pointes avant et aièe du pofil. Si lon veut que la condition de Joukowski soit véifiée au bod de fuite, il faut que la pointe aièe coïncide avec le tansfomé du point daêt aval du cecle. O, la pointe aièe est issue de R e i! = 1 - i R - 1 qui doit coïncide avec R e i!. La condition de Joukowski nécessite que : Soit simplement! = ". R e i! = 1 - i R - 1 = R e i " 9 Langle α est ainsi déteminé, de même que la ciculation. O, avec le ésultat 9, le champ des vitesses 8 su lac de cecle se simplifie en : V V! = cos " i e -i" R - 1 R cos "

12 et lon note que le champ des vitesses nest plus singulie au bod de fuite de lac de cecle, soit losque! =! = ". Pa conte, il lest au point! = " - qui coespond à la pointe avant, sauf si! = qui est appelée "incidence dadaptation". On a ainsi = 1 + i e -i" R - 1 V! R V ada 11 champ des vitesses qui est égulie aussi bien au bod dattaque quau bod de fuite. Pou cette valeu dincidence, lanalyse locale de lécoulement monte que le fluide attaque lobstacle tangentiellement à lac de cecle, et, gâce à la condition de Joukowski quitte également tangentiellement lobstacle. On sait en effet, que les lignes de couant se coespondent dans la tansfomation. La constante abitaie qui intevient dans le potentiel complexe peut ête choisie de telle façon que lobstacle soit la ligne de couant Ψ =. O, en posant Z = R e i! léquation des lignes de couant est!, " = sin " sin - Ln. La ligne de couant Ψ = est constituée du cylinde = 1 donc de lac de cecle dans le plan tansfomé, et pou! 1 de limage de la coube déquation sin! - " = - sin" - " Ln - 1. En se donnant des valeus de solutions pou langle θ : allant de 1 à linfini, la elation ci-dessus founit deux soit! = " - Acsin sin" - " Ln - 1 soit! = " + + Acsin sin - Ln - 1 Ces deux solutions coespondent espectivement à la ligne de couant aval et à la ligne de couant amont. Le passage à la limite! 1 donne, soit! " le accod au BF est indépendant de lincidence et seffectue tangentiellement au pofil, soit! " + - accod au BA qui dépend explicitement de α. Coélativement, pou lincidence dadaptation, le accod au BA est! " - qui est la diection du BA. Le tacé complet de la ligne de couant Ψ = donne, pou lincidence dadaptation : 1

13 Les axes ne sont pas només, la figue étant dilatée selon y. La valeu de R choisie pou ce tacé, est telle que le ceux maximum elatif du pofil soit de 5. O, le ceux maximal coespond au tansfomé du point Z = i R, ce qui donne z = i R - 1, soit x = le maximum est au milieu du pofil et y max = R - 1. La code du pofil Joukowski étant l = 4, le ceux elatif est alos défini pa c = y max l elatif pemet donc de emonte à la valeu de R, avec, pécisément : = R - 1. La donnée du ceux R = 1 + 4c. On note donc quà lincidence dadaptation, le pacous intados extados des paticules est igoueusement identique, égal à la longueu de lac de cecle.! O, la longueu de cet ac peut ête calculée. En effet, on sait que cet ac passe pa les points ±, et pa, R - 1. Il en ésulte quil peut ête paamété pa : " x = R cos! R et lon touve que R = ayon de lac du cecle dont y = b + R sin! R - 1! le cente est R -, b =. Pa ailleus, on note que cet ac est défini ente " R - 1 "! 1 = Acsin - R cest le point x =, y = et! = " - Acsin - R cest le R, soit : point x = -, y =. La longueu de lac est donc s = R! -! 1 R s = R R " - R! - Acsin - 1 R +, 1 13

14 Cette expession est susceptible de modification pou facilite le passage à la limite R! 1, pou lequel on doit touve une simple plaque plane de longueu 4. On touve ainsi, également : s = 8! sin! 13 Pou le ceux choisi de 5, qui donne R! , la longueu de lac est s = Puisquà ladaptation le champ des vitesses est donné pa 11 : = 1 + i e -i" R - 1 V! R V ada le coefficient de pession, donné pa la elation de Benoulli Cp = 1 - devient, à lincidence dadaptation : " V z V! " V z V! Cp ada = 1 - R!1 R + R - 1 R sin" 14 ou de façon altenative, puisque R e i! = 1 - i R - 1 implique R - 1 sin! = - : R Cp ada = sin! - sin! sin" 15 Cette distibution de pession est epésentée ci-apès, pou θ vaiant de à π sachant que la coespondance ente x et θ est donnée pa 3 : 14

15 On note quà cette incidence, le Cp intados en ouge est constamment positif, avec au cente Cp max = sin! 4 alos que, mis à pat un tès faible voisinage des pointes, le Cp extados est négatif en bleu avec Cp min = sin! admet donc bien une potance positive. 4 : cette configuation Le coefficient de pession aux bods dattaque et de fuite est égal à Cp ada [ ] BA ou BF = 1 - cos 4! légèement positif. De façon généale, le coefficient de potance 8 est donné pa :! Cz = 8! R l sin " - " "Cz Note : Le coefficient " = 8 R est le gadient de potance dû à l incidence. Pou = l "Cz ce pofil, il vaut, avec l = 4 et R = 1 + 4c : " = 1 + 4c, tès poche = de " losque! la cambue elative est faible !! Coélativement, puisque lincidence dadaptation! de ce pofil est " ada. =, on a un coefficient de potance, visiblement non nul, donné pa : Cz ada = - 8! R l sin"! 8 Voi, pa exemple, Théoies de la Dynamique des Fluides - A. Bonnet J. Luneau - Éditions Cépaduès- p.1 15

16 O, à laide de 9 : R sin" l = - R - 1 l = - c l = - c, de sote que : Cz ada = 4! c 17! Avec lexemple choisi c =.5, il vient Cz ada!.683. Pa conséquent, il y a bien potance alos que les distances pacouues à lextados et à lintados sont pafaitement identiques. Ceci signifie donc que les temps de pacous intados extados sont difféents! Comment calcule ces temps de pacous? Puisque la notation t a été choisie pou les vecteus tangents, nous appelons τ le temps. On sait que léquation difféentielle des tajectoies est V x, y, z,! = dom de sote quen bidimensionnel, et avec la notation complexe, il vient : V z,! = dz. O, su t ds lobstacle, tajectoie paticulièe, on a dz = t ds, soit = = V z,! t ds. V z,! V z,! On peut facilement monte que V t = Vt - i Vn et que V z,! = Vt + Vn et comme la vitesse nomale Vn est nulle le long de lobstacle, il vient : = ds Vt 18 Expime Vt dans le plan de lac de cecle étant un peu fastidieux, il est plus simple de tout expime en fonction de la vaiable θ du plan Z. Pou cela, on a avec z = H Z : également dz = H Z dz et ds = dz = H Z dz = H Z R mais ds = H Z dz T où T = H Z dz = i ei! est le vecteu tangent dans le t = dz plan du cylinde ciculaie. t = V Z H Z Pa ailleus Vt = V H Z z H Z tangentielle le long du cylinde ciculaie. T = VT H Z où VT est la vitesse 16

17 Ainsi, la elation 18 devient = H Z R d" VT 19 Y Z Y Z y z " -! -R +R! A F X F A X A F - + x Côté supéieu, on note que le temps mis pa les paticules pou alle de A à F est : F! + = " = A H Z F R d " soit, compte tenu de légalité! = " : VT A! + = H Z R d" VT - Alos que, côté intados, on a :! " = H Z R d 1 VT + - a Calcul de VT : Patant de 4 : V Z = V! e -i" - V! e i" R Z + i avec! = 4 " R V sin - V R e i! 1 Z et Z = R e i!, il vient : = i V " e -i! [ sin! - - sin - ] de sote que VT = V R e i! T = V R e i! i e i! sécit : [ ] VT = - V! sin " - + sin - En paticulie, à lincidence dadaptation : b Calcul de H Z : En patant de 5, on a : VT ada = - V! [ sin" - sin ] 17

18 H R e i! = R e i! - 1+ i R - 1 R e i! i R - 1 R e i! + i R - 1 qui sécit également : H R e i" = e i" - e i e i" + e -i ou H R e i! = e i" - i sin i e i! sin! - sin" [ cos! + i sin! - sin" ]! Il en ésulte, puisque H R e i! = H R e i! H R e i! que : H R e i! = sin! - sin" 1 + sin " - sin" sin! 3 En combinant et 3, les temps de pacous donnés pa et 1 sont : d Doù! + = - R sin - sin V " 1 + sin - sin sin - + [ ] d! " = - R sin - sin V 1 + sin - sin sin - [ ] Il ne este plus quà calcule ces deux intégales. Le tavail est facilité en emaquant que sin! - sin" lintégand où D = 1 + sin! D - sin! sin" peut sécie : sin! - sin" D = -1 cos " d cos! D - sin" D +, Il vient alos :! + = R V " cos +, - cos D - sin - - d. / D O " cos! D = - cos et = D " - doù : D "! + = 4 R 1 V " cos - sin cos d D +, - De même, pou! ", il vient : 18

19 ! " = R V cos, -. cos D + - sin d / D 1 O " cos! D + = - cos et " + = D " - " + doù : D 3"! " = 4 R 1 V cos - sin cos d D, -. Le calcul de lintégale estante est classique. Il suffit de pose tg! = u, soit = du 1 + u et sin! = u 1 + u, doù : I = D = du 1 + sin " 4 sin" 1 + u - u 1 + sin " Soit I = du 1 + sin! " sin! u sin! 1 - sin! 1 + sin! On pose alos u - sin! 1 + sin! = 1 - sin! 1 + sin! w qui conduit à : I = 1 - sin! " dw = 1+ w cos! Actg w En evenant aux vaiables initiales, il vient : I = tg! - sin" 1 + sin D = " Actg cos " cos " soit, également : I = 1 - cos! D = Actg 1 + sin " cos " - sin" sin! cos " sin! Pou le calcul de! +, on a besoin de cette intégale, calculée ente les bones! et!, soit : " cos - 1 D = + Actg cos + cos, - cos sin - Actg 1 - sin. 1 + sin / 19

20 Ou, pa manipulation des Actangentes : D = - " 1 cos + "! Doù, avec R = 1 cos! :! + = tg V " cos 4 +, Pou le calcul de! ", les bones de lintégale sont 3! et! + ", soit : I = " + = D 3" cos Actg cos + cos, - cos sin + Actg 1 + sin 1 - sin. / Soit I = " + = - D 3" 1 cos - " De sote que :! " = tg V cos ,. / 5 La difféence! + -! " est égale à :! + -! - = 4 " sin V cos 5 6 Ce ésultat peut sexpime de diveses manièes, soit en fonction de R ou de c :! + -! - = - 4 " R 4 R - 1 V ou! + -! - = - 8 " c 4 c +1 V Dans le cas envisagé pou les applications numéiques, avec un ceux elatif de 5 qui a conduit à R! , il vient également! " Doù :! + " V et! " 4.76 V soit, pa difféence ou diectement pa la fomule pécédente :! + -! - " V À tite de véification, si R = 1, lac de cecle est dégénéé en une plaque plane infiniment mince de longueu l = 4. Placé à lincidence nulle, cet obstacle ne petube pas lécoulement qui este à sa valeu unifome, ni ne cée la moinde potance. Pou cette valeu de R, on touve également α = et lon véifie que lon obtient bien! + =! " 4 = temps mis pa les paticules à la vitesse V pou pacoui la code l = 4. V

21 À laide des temps! ±, et de la longueu de lac pacouu, on peut en déduie les vitesses moyennes V ± s = ± en utilisant 1, ou 13 et 4-5. Avec la valeu numéique! choisie, il vient pa exemple V +! V " et V! = V ". Ces valeus moyennes peuvent sevi à défini un coefficient de pession moyen, soit Cp +! ".3387 tandis que Cp! ".85 ce qui pemet, pa difféence, de etouve lode de gandeu du coefficient de potance. Conclusion : On aua noté que, su cet exemple pis dans le égime incompessible, loigine de la potance ne povient absolument pas dun tajet plus gand à faie pa les paticules passant pa lextados justifiant une vitesse supéieue. Au contaie, il a été monté, su un cas dincidence tès pécis, que lon pouvait avoi un tajet pafaitement identique intados extados, la vitesse supéieue à lextados appaaissant gâce à un temps de pacous plus faible quà lintados. Ce quil faut souligne est le ôle du bod de fuite pointu dans le mécanisme dappaition de la potance, lécoulement sajustant de façon à évite le contounement de cette pointe. III- Aute conte exemple mais en écoulement supesonique : Complètement à lopposé du cas pécédent, il est possible de donne plusieus exemples en écoulement supesonique où il y a potance, alos que les tajets extados - intados sont igoueusement identiques. Le cas le plus simple est une plaque plane infiniment mince, mise en incidence. Le fonctionnement de ce égime découlement est tel que, si les paticules fluide estent en supesonique 9, elles ignoent la pésence de lobstacle jusquau moment de limpact. La éaction est alos butale : côté intados, la diminution de section impose, dapès la elation de Hugoniot 1, une compession associée à un alentissement. Comme la diminution de section est butale, il sagit dune compession pa choc qui se calcule 11 gâce aux elations de Rankine 1 - Hugoniot. Invesement, côté extados, le divegent offet à lécoulement induit une accéléation, donc une détente. Lécoulement est unifome en haut et en bas, et dautes phénomènes nappaaissent quau bod de fuite losque les paticules intados - extados se etouvent au contact. La théoie linéaisée pédit qua laval, lécoulement infini amont est etouvé en valeu de Mach et en diection. En éalité, le calcul exact monte que ce nest pas tout à fait le cas, mais la pédiction linéaisée pemet dinitialise le pocessus qui pemet à convegence de détemine 9 Ceci nécessite que langle dincidence soit inféieu à une cetaine valeu maximale dépendant elle-même du Mach. 1 Fançais : Piee Heni Hugoniot Voi, pa exemple, Théoies de la Dynamique des Fluides - A. Bonnet J. Luneau - Éditions Cépaduès- p.65 1 Écossais ou Anglais selon la même souce! William John Macquon Rankine

22 la solution, au moins dans un voisinage du bod de fuite. Au bod de fuite, on etouve les mêmes types de phénomènes quau bod dattaque mais invesés. Les calculs ont été effectués pou un Mach infini amont M =, la plaque étant placée à 15 dincidence. La configuation finale est alos la suivante : M = Le passage ->1 seffectue à taves une onde de choc qui fait passe le Mach à la valeu p M 1 = avec un appot de compession 1 = p Côté extados, il sagit dun faisceau de détente conduisant à M = , avec pou p appot de détente = p Supposons que ce vol à Mach seffectue à 11 m daltitude. Dans le cade de latmosphèe standad des égions tempéées, la tempéatue est T = K à laquelle coespond une tempéatue généatice découlement T i = T 1 +! -1 M soit, avec! = 1.4, T i = K. Cette tempéatue se consevant, que ce soit à la tavesée du choc ou de la détente, les tempéatues intados et extados sont espectivement : T i = T 1 1 +! -1 M 1 soit T 1 = 75.1 K T i = T 1 +! -1 M soit T = K O, la vitesse du son est donnée pa a =! T où = m s! / K constante des gaz pafaits, de sote que les céléités du son des zones unifomes intados et extados sont :

23 a 1 = m/s. Ainsi à M 1 = coespond une vitesse de V 1 = 48.6 m/s a = 58. m/s de sote quà M = coespond une vitesse de V = m/s Pa compaaison, la céléité amont est a = 95.7 m/s de sote que M = coespond à une vitesse V = m/s. On note, de nouveau, que les distances pacouues à lintados, ou à lextados, sont identiques, égales à la longueu de la plaque et les vitesses difféentes montent claiement que le temps de pacous extados est plus faible quà lintados. p - 1 p Le coefficient de pession donné pa Cp = côté intados Cp 1 =.4666 côté extados Cp =!.1676! M founit : Cette difféence de pession donne naissance à un coefficient de potance égal à Cz = cos! Cp 1 - Cp soit Cz =.615 et à un coefficient de taînée dondes égal à Cx = sin! Cp 1 - Cp soit numéiquement Cx = En écoulement supesonique, le théoème de Joukowsi nest pas valable. Toutefois, il est etouvé en se limitant à la théoie linéaisée. Dans note cas, pou lequel la ciculation sécit 1 tès simplement! = V 1 - V l, si lon fait le appot ente la potance! V l L Cz et lexpession -! V L ", soit - V l Cz!, il vient V Cz, soit avec nos valeus V - V 1 numéiques.9634, qui nest pas si loin de lunité. Bien entendu, les conclusions pécédentes auaient été les mêmes pou d autes Mach supesoniques ou des incidences difféents, le calcul analytique nétant toutefois possible que si le choc du bod dattaque est attaché. De même, on auait pu pende comme aute exemple, un pofil losangique, et les conclusions auaient été identiques. En ce qui concene le bod de fuite, une ligne de glissement appaaît dont léquilibe pemet de calcule les zones 3 et 4 initialement unifomes. Cette ligne de glissement fait un angle! ldg = la théoie linéaisée qui pédit θ ldg = nest donc pas si mauvaise et les Mach M 3 et M 4 sont M 3 = et M 4 = Les faisceaux de détente inteagissent avec les chocs, de sote quà laval de ces inteactions lécoulement ped son unifomité, ce qui va avoi, comme conséquence, une modification de la diection de la ligne de glissement plus en aval. 3

24 IV Conclusions généales : Deux conte-exemples ont été choisis, lun en incompessible, et laute en supesonique, qui montent que lexplication de la potance pa lintemédiaie de distances extados intados difféentes est totalement eonée. Dans les cas choisis, la distance était igoueusement identique, mais cest le temps de pacous plus faible à lextados qui donnait une vitesse supéieue donc une pession plus faible quà lintados. En écoulement subsonique de fluide pafait, le fait majeu expliquant la potance et pemettant de la calcule, est la nécessité quun bod de fuite aigu ne soit pas contouné, ce qui impose à lécoulement une ciculation, donc une potance, bien pécise. Un bod de fuite tonqué, donc pésentant deux aêtes, pemet également de fixe une ciculation unique. En labsence daête, il ny a pas de citèe pou détemine de façon unique cette ciculation. Bien entendu, impose le dépat de la ligne de couant qui séchappe de lobstacle fixea cette ciculation, mais choisi un aute point de dépat donnea une aute valeu. On aua noté que, dans les hypothèses H, on a supposé tacitement quune seule ligne de couant séchappait de lobstacle, ce qui constitue lappoche fluide pafait "classique". Dès los, quand une pointe existe, la seule possibilité dévite une vitesse non bonée au bod de fuite est de faie pati la ligne de couant en ce point. Mais on peut également, à linsta de ce qui se poduit en fluide éel, donc visqueux, faie pati deux lignes de couant, une côté extados, laute côté intados. Les ésultats classiques, comme la démonstation de liotationnalité de lécoulement deviennent caducs dans ce quil est logique dappele "la zone décollée", coincée ente le pofil et les deux lignes de couant issues de celui-ci. En effet, la démonstation de liotationnalité utilise celle acquise à linfini amont et le fait que tout point de lécoulement soit effectivement atteint pa une ligne de couant issue de cet infini amont. En pésence dune zone décollée, cette iotationnalité este acquise pou lextéieu de cette zone, mais pas pou la zone elle-même. Plusieus possibilités existent à ce stade : - soit suppose que la zone décollée est encoe iotationnelle : dans ce cas, on y démonte que le fluide est à vitesse nulle et pession constante, ce qui constitue les "sillages domants de Helmoltz". Le jeu consiste alos à détemine la fome de la zone décollée de telle façon que les lignes de glissement soient en équilibe ente lécoulement extéieu et lintéieu de la zone décollée. - plus généalement, un théoème dit de Pandtl - Batchelo monte quune zone de fluide pafait, femée pa des lignes de couant est nécessaiement à otationnel constant on appelle quen D le vecteu otationnel na quune seule composante. Dès los, on peut imagine que la zone décollée soit constituée dune ou dune multiplicité de cellules femées possédant chacune un otationnel constant. Il faut alos détemine lensemble de ces cellules, la valeu du otationnel qui y ègne, chaque inteface ente deux cellules étant en équilibe...pas facile! Toutes ces altenatives, conduisant chaque fois à un écoulement difféent de celui touvé en fluide pafait "classique", donnent le tounis, mais ne sont le eflet que du fait que lexistence et lunicité des équations deule nest pas acquise! 4

25 En éalité, le poblème nest pas lexistence dune potance 13, mais la valeu exacte de cette potance, que ce soit en modélisation "fluide pafait" classique ou non ou en fluide éel. Dans des appoches de couplage faible, ente un calcul fluide pafait et un calcul fluide visqueux, la viscosité joue un ôle de défomation : le pofil muni de ses couches limites on suppose le Reynolds suffisamment gand pou quun égime de couche limite existe est tansfomé en un aute pofil, et, à chaque incidence, il sagit dun obstacle difféent puisque les épaisseus de couche limite sont difféentes. En tant que pofil même défomé plongé dans du fluide pafait, on peut considée quune fomule du type Cz = 8! R l sin " - " continue à ête valable, mais les deux paamètes k = 8! R et! l ne sont plus des constantes, mais subissent des changements à chaque incidence, de sote que lon a Cz = k! sin [! -!!]. Cetes intéessant, mais tout le poblème est ensuite celui de la modélisation des fonctions k! A. Bonnet, le 1 Janvie 15 et!!! Note : Les dates de naissance des scientifiques cités sont issues de louvage "Histoy and Philosophy of Fluid Mechanics" de G.A. Tokaty - Dove Publications, Inc. 13 Losque lon a un tuyau daosage qui fait un coude, pesonne ne sétonne de leffot que subit le tuyau au niveau de ce coude. La vaiation de quantité de mouvement du fluide est esponsable de cet effot. Pou un obstacle, il en va de même, et une potance positive est associée, au moins localement, à une déviation du fluide ves le bas. 5