AL1 Complexes FC - Corrigés des exercices -

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1 AL Complexes FC - Corrgés des exercces - CALCULS TRANSFORMATIONS D ÉCRITURES 5 TRIGONOMÉTRIE 7 POLYNÔMES 9 5 EXERCICES DE TESTS 6 GI FC 0 TEST COMPLEXE DE FONCTIONS 9 7 GI FC 05 - TEST CUBE 8 GI FA 0 TEST - LINÉARISATION 9 GI FA 0 TEST EULER ET ÉQUATION TRIGONOMÉTRIQUE 0 GI FA 05 TEST TRINÔME À COEFFICIENTS COMPLEXES GIN FA 0 TEST TRINÔME À COEFFICIENTS COMPLEXES GI FA 0 TEST POLYNÔME, FORMES, ROTATION GI FA 0 TEST POLYNÔME DE DEGRÉ 5 Page sur 6

2 Calculs. Addtons = = 6 +. Multplcatons + + = + + = = = = ( x + y)( y + x) = xy yx + ( xx + yy) = ( x + y ) a + b a b = a + b..5. Dvsons = = = = = = = = = = = = ( 0 + 0) = = = = Pussances entères.. = k.. = = k+.. = x + y = x y + xy = k+ 5 = = k+ = Page sur 6

3 .. =, (polares) En coordonnées polares le module est élevé à la pussance et l argument est multplé par ladte pussance : (, ) = ρ θ =, [ ] = 8, [ ]. Cec donne en représentaton cartésenne : = 8 cos + sn = e = = e = e = 7 e 8 = = = = 8 e e.5 Racnes On pose : = x + y = + 5. On développe : x y +. xy = + 5 On dentfe, ans on obtent un système d équatons à deux nconnues : 5 x x = 0 x y = d où l vent : xy = 5 5 y = x 5 On pose : X = x, forcément postf, d où : X X = 0qu a pour solutons : X = > 0et X = < 0 ; seule la premère convent. On a donc pour x deux racnes réelles : x = ± X, donc deux solutons à notre problème : x = ; y = ou x = ; y = x x deux solutons : x = + 0 y = ou x = + 0 y = x x deux solutons : x = y = ou x = y = x x Page sur 6

4 .5. deux solutons : x = y = x ou x = y = x deux solutons : x = y = x ou x = y = x deux solutons : x = y = ou x = y = 7x 7x.5.7 = (, ) ( polares ).5.8 En coordonnées polares, le module de la racne est égal à la racne du module et l argument de la racne est égal à l argument dvsé par le degré de la racne, ans : =,, [ ] =. On obtent donc deux nombres complexes dstncts : 0 =, [ ] et, [ ] =, sot en représentaton cartésenne : = 0 et = = e e =. On obtent donc tros racnes dstnctes : 0 = e =, = e = et = e = = e 5 e =, sot cnq racnes dstnctes : 0 e =, = =, e 9 0 = e, 0 = e et = e 7 0 Quel commentare pouve-vous fare à propos de ces racnes d ordre n? On remarque que tout complexe non nul possède exactement n racnes complexes d ordre n, dont les mages forment un polygone réguler à n sommets, de centre O. Page sur 6

5 Transformatons d écrtures On emploera «polare» pour désgner ndfféremment un couple ( ρ, θ ) ou une forme ρ e θ.. Représentaton cartésenne vers représentaton polare.. = = ( ρ, θ ) = (, 0[ ]) = = ( ρ, θ ) = (, 0[ ] ).... = = ( ρ, θ ) =, [ ].. = 6 = ( ρ, θ ) = 6, [ ]..5 = +..6 = +..7 = +..8 = + = ( ρ, θ ) =, [ ] = ( ρ, θ ) =, [ ] = ( ρ, θ ) = 5, [ ] = ( ρ, θ ) = 0, [ ]. Représentaton polare vers représentaton cartésenne.. = cos + sn = cos sn =.. = 0, 6 = a + b, , e = a + b = 6 6 = a + b = + 0, , 796. = = 5, = = e = a + b =..7 =, =..8 e = = Page 5 sur 6

6 . Effectuer les multplcatons en passant par la forme polare.. = + que multple = 5+ 5 Convertssons ces deux nombres en représentaton polare : =, [ ] et = 5, [ ].. =, = 5 5 Les modules se multplent et les arguments s addtonnent : [ ].. = + = e 6 que multple = = 0e. = 0e = 0.. = + que multple = = e e =. =. Rotaton Dans chaque cas, détermner les coordonnées cartésennes de B, mage de B par la rotaton de centre A et d angle θ... A(, -), B(5, ), θ = 60 B A = e ( B A ) = 0,5( + )(5 + + ) = 0,5( + )( + 5) =,5 + (,5 + ) B =,5 + (,5 + ) + - =,5 + (0,5 + ).. A = 7-, B(5, ), θ = 6 rad 6 B A = e ( B A ) = 0,5( + )( ) = 0,5( + )(- + 6) = - + (- + ) B = - + (- + ) = + (- + ).. A = e, B = +, θ = -5 e B A = ( B A ) = 0,5( - )(+ - ) = 0,5( - ) (- ) = ( + )( 0,5 ) B = ( + )( 0,5 ) + + = + 0,5 6 + ( + 0,5 6).. A(, -), B = - +, θ = 5 6 rad 5 6 e B A = ( B A ) = 0,5(- + )(- + ) = + (- - ) B = + (- - ) + - = + + (- - ) Page 6 sur 6

7 Trgonométre. Ecrre en foncton de snθ, cosθ, tanθ (grâce à la formule de Movre).. cos ( θ ) et sn ( θ ) (, θ ) = (, θ ), donc : ( cosθ + snθ ) = cos θ sn θ + snθ cosθ = cos( θ ) + sn ( θ ) Il sufft alors d dentfer parte réelle et parte magnare : cos θ = cos θ sn θ sn θ = snθ cosθ. ( ) et.. tan ( θ ) (, θ ) = (, θ ), donc : ( cosθ + snθ ) = cos( θ ) + sn ( θ ) cos θ +. cos θ snθ cosθ sn θ sn θ = cos( θ ) + sn ( θ ) Identfons : sn ( θ ) = cos θ snθ sn θ et ( ) = D où : ( θ ).. sn θ. cos θ cos θ cosθ sn θ sn cos sn sn tan tan tan tan θ θ θ θ θ θ tan θ. = = = = θ cos θ cos θ cosθ sn θ tan θ tan θ θ, =, ( θ ) θ, et notons le complexe ms au carré x + y, avec x = cos et sn y θ =, ce qu donne : ( x + y) = x y +. xy = cosθ + sn θ, d où par dentfcaton : sn θ cosθ cosθ + x x cosθ X X x y cosθ = 0 = ou = = xy = snθ x snθ x 0 0 snθ y = X = x y = x x Le cas x = 0 applqué au système de départ, mpose snθ = 0 (éq.) et cosθ négatf (éq.), donc cosθ = -. On est c dans la stuaton θ = [], d où θ/ = / [], sot x = 0 et y = ±, conforme au système. Dans les autres cas, revenons aux solutons envsagées sur X. Comme X = x², X est strctement postf, cosθ + ce qu mpose que seule la seconde soluton est valde : X =. cosθ + snθ θ Ans, x = ± et y = ± = ± sn cosθ +.. cos( θ ) et sn ( θ ) (, θ ) = (, θ ). d où cos θ = cos θ 6sn θ cos θ + sn θ sn θ = cos θ snθ cosθ sn θ Page 7 sur 6

8 . Lnéarser.. cos θ Utlsons la formule d Euler : θ θ + e e θ θ θ θ θ θ θ θ 6 cos θ = = ( e + e e + e ) = ( e + e ) + ( e + e ) e θ e + θ e θ + e θ cos( ) cos ( ) cos θ = = θ + θ sn θ sn θ θ e e θ θ θ θ θ θ θ θ ( e e e e ) ( e e ) ( e e ) θ = = + = θ θ θ θ e e e e sn θ =.. = snθ sn θ ( ). Calculs de lgnes trgonométrques.. sn, cos,sn, cos Retrouve ces valeurs à partr du calcul des racnes cubques de l unté. On reconnaît des arguments de racnes cubques de l unté : s on pose : ( x y) x + y =, 0 (écrture polare), sot tros possbltés : (, 0),,,,. (polare) On développe ( x y) + = : x + x y xy y =, d où par dentfcaton : x xy = et x y y = 0. Il y a une soluton évdente : y = 0, x =. Elle correspond à la premère racne ctée en polare : (, 0). Cette soluton mse de côté, le système se ramène à : x xy = et x y = 0. + =, alors on a D où : y = x donc x 9x = sot : x = x =, qu entraîne y y 8 = = ± Ans on retrouve ben en dentfant les deux autres racnes : cos = sn = cos = sn = Page 8 sur 6

9 Polynômes. Résoudre dans C les équatons suvantes.. ² = 0 = 6 80 = -, strctement négatf. Les deux solutons de cette équaton sont les deux complexes conjugués 6 = et +... ² = 0 = 6 - =, strctement postf. Les deux solutons de cette équaton sont les deux réels et = 6.. ² - + = 0 C est une équaton à coeffcents complexes. Dans le corps des complexes, la méthode générale est la même que b ± pour les réels : = b² - ac, pus, cette fos quel que sot, =, la dffculté résdant dans la recherche a de. = (-)²- = -- Recherche de : x = x + x = 0 x y = x ( x + y) = xy = y = y = x x On aboutt à une équaton bcarrée, que l on résout en notant X = x² : X² + X = 0 ; = 7 ; X = x = + 7 ± et y = + 7 (forcément postf) ( + 7 ) = = = = x Nous avons le chox entre deux complexes opposés pour cter, prenons par exemple : = Solutons de l équaton :.. ² = C est une équaton à coeffcents complexes. * Avec le dscrmnant : = - 0 = - et les deux solutons sont ± b ± = = a b ± ± = =, sot 0 et. a Page 9 sur 6

10 * On peut auss, dans des cas smples et s on s ennue un peu, tenter une dentfcaton, posant = x + y, l équaton devent : (x + y)² = (x + y) xy = x x y = y (séparaton des partes réelle et magnare) Cas n : x = 0 (qu vérfe la seconde équaton) La premère équaton devent alors y = y, dont les solutons sont 0 et. Les nombres complexes 0 et sont solutons de l équaton ntale. Cas n : x 0 La seconde équaton donne y = / et donc la premère équaton devent x =, qu n admet pas de soluton réelle. Ce second cas ne produt donc pas de soluton pour l équaton ntale. Concluson : les solutons de l équaton ² = sont 0 et...5 ² = 0 C est une équaton à coeffcents complexes. * Avec le dscrmnant : = - 80 = -8 et les deux solutons sont b ± ± 9 = =, sot 5 et -. a * Avec la méthode d dentfcaton, posant = x + y, l équaton devent : (x + y)² - (x + y) + 0 = 0 x y + y + = 0 0 (séparaton des partes réelle et magnare) xy x = 0 Cas n : x = 0 (qu vérfe la seconde équaton) La premère équaton devent alors y + y + 0 = 0, dont le dscrmnant vaut 8 et dont les deux solutons réelles sont 5 et -. Les nombres complexes 5 et - sont solutons de l équaton ntale. Cas n : x 0 8 La seconde équaton donne y = / et donc la premère équaton devent x + = 0, qu n admet pas de soluton réelle. Ce second cas ne produt donc pas de soluton pour l équaton ntale. Concluson : les solutons de l équaton ² = 0 sont 5 et -.. Calculs polynomaux.. GIN FC6 00 On donne les nombres complexes et Z suvants : = + et Z = ² ) = (9+9) = ) =.(/ + / ) =.(cos(/) +.sn(/)), donc arg() = / []. ) Z = ( ) (8 + 8) + 0 = ) Z = et arg(z) = 0 [] Page 0 sur 6

11 .. Factorsaton Sot le polynôme complexe P() = ² + ( ) + (- + ). ) Montrer que + est une racne de ce polynôme. P( + ) = ( + ) ( + )² + ( )( + ) + (- + ) = = 0 ) Factorser ce polynôme par ( ) P() est un polynôme du trosème degré et dont le premer coeffcent est. Il peut donc être écrt comme le produt d un polynôme de degré (par exemple, celu qu on nous propose c) et d un polynôme de degré (dont le premer coeffcent vaut par conséquent ). P() = ² + ( ) + (- + ) = (-- )(² + b + c) ² + ( ) + (- + ) = + b² + c - ² - b - c ²- b - c) b = b = b = c b b = c + = c = c c c c = + = + c c = + ok Fnalement : P() = ² + ( ) + (- + ) = (-- )(² + ) ) Détermner alors les deux autres racnes de ce polynôme Ce sont donc les racnes du polynôme ² +. = ² + 8 = Recherche de + 8 : 6 x = x + x 6 = 0 x y = x ( x + y) = + 8 xy = 8 y = y = x x On aboutt à une équaton bcarrée, que l on résout en notant X = x² : X² + X 6 = 0 ; = 65 ; X = D où : y = + 65 (forcément postf) et donc x = ( 65 ) ± = ± = ± = ± = ± x Nous avons le chox entre deux complexes opposés pour cter + 8, prenons par exemple : = + Les deux racnes supplémentares cherchées sont : ± ± b ± = = (sot deux sgnes +, sot deux sgnes -). a Page sur 6

12 5 Exercces de tests 5. QCM ) Le module du nombre complexe - est : 5 7 ) Le module du nombre complexe a + a (a postf) est : a a a a ) L argument du nombre complexe - + est : ) La dfférence entre les arguments des nombres complexes + et + vaut : 0 6 e 5) L écrture cartésenne de est : - - 6) Le nombre complexe peut s écrre : e.e e 7) Soent deux nombres complexes conjugués ; leur produt est :.e nul égal à un réel postf un magnare pur 8) La dvson d un nombre complexe d argument par son conjugué a pour résultat : - - 9) Sot le nombre complexe = a + b. Le module et l argument de e sont : a et b e a et b a et e b e a et e b 0) La dvson du nombre complexe + par le complexe a pour résultat : ) Soent deux nombres complexes conjugués ; leur produt est : nul de module un réel postf un magnare pur ) Les deux nombres complexes θ ρe et ρe θ : sont conjugués sont opposés ont une somme magnare pure ont le même carré 5. GI FA 0 Test calcul et rotaton On se place dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal ( O; u, v) Soent les ponts A et B d affxes respectves : A = et B =. On consdère la foncton f de C dans C défne par : f ( ) = + Pour alléger les écrtures, on notera = f ( ) On assoce au vecteur MM l'affxe., drect. Page sur 6

13 ) Placer A et B sur une fgure que l on complètera au fur et à mesure de l exercce. ) Dans cette queston, on consdère un pont M, dfférent de A, donc d affxe. a. Détermner le complexe Z =. ( ) Z = = = = b. Détermner le module Z et un argument arg(z) de Z. Z = = ; arg ( Z ) = arg = c. Exprmer l'affxe de AM en foncton de celle deam = = et = = AM A AM Donc =. = e d'où ( AM, AM AM AM AM ) = d. En dédure la nature de la foncton f. A. En dédure l angle ( AM, AM ) La foncton f est la rotaton de centre A et d angle (donc de sens drect).. ) a. Calculer f ( A ). Remarque? f ( ) A = + = =. On vot effectvement que le pont A est nvarant par cette rotaton, pusqu l en est le centre. A b. Calculer f ( B ) et placer sur la fgure le pont B' d'affxe ( B ) f ( ) = ( ) + = + B f. ) Sot C le pont dont l mage par la foncton f est le pont C d affxe C =. Détermner, par le calcul, l affxe C du pont C. Placer C et C' sur la fgure. Deux façons de fare : * avec les écrtures cartésennes et la défnton de f : C = f ( C ) = C +. En multplant les deux membres par : C = C + +, d où C = C + + = ( ) + + = + Page sur 6

14 * en utlsant la rotaton : C est l mage de C par la rotaton de centre A et d angle, d où C A ( C A ) C C = e = = + = + 5. GI FA 05 Test Complexes et rotaton On donne les nombres complexes = et = e. ) Donner l écrture exponentelle de et l écrture cartésenne de. = = cos + sn =.e = e = cos + sn = + ) Sot, dans un repère orthonormé d orgne O, le pont A d affxe. a. Détermner, à l ade des nombres complexes, les coordonnées exactes du pont B, mage de A par la rotaton de centre O et d angle. + + B = A.e = ( ) + B, = + b. Sot le pont C de coordonnées (x, y) = (, ). Détermner, à l ade des nombres complexes, les coordonnées exactes du pont D, mage de A par la rotaton de centre C et d angle. D C = A C = + = + D = + + C = e (, ) D 5. GI FC86 05 Test Complexes et cercle On consdère le plan complexe dans lequel tout pont M ( a, b ), de coordonnées réelles, est l mage du nombre complexe = a + b. On défnra le cercle C M, R comme le cercle de centre M et de rayon R. ) Sot le nombre complexe = +, dont l mage sera nommée M. a. Donner l écrture exponentelle de. = + = + = cos + sn = e b. Explquer pourquo tout pont du cercle C M, est l mage d un nombre complexe que l on peut écrre θ sous la forme e + e. Tout pont de ce cercle aurat un affxe égal à e θ s ce cercle état centré sur l orgne, mas l faut rajouter à cela les coordonnées du centre du cercle, tradutes par le nombre complexe e. Page sur 6

15 c. Montrer, en utlsant l écrture précédente sous forme trgonométrque, que le pont N(, 0) θ appartent à C M,. En d autres termes : exste-t-l θ tel que e + e = θ e + e = cos + cosθ + sn + snθ. Ce nombre complexe est égal à s et seulement s : cos + cosθ = cosθ = θ =. En effet, N C M,. sn + snθ = 0 snθ = ) a. On effectue une rotaton du pont M autour du pont N et d angle Calculer les coordonnées cartésennes de P. (, )?, aboutssant à un pont P. P N = ( M N ) e = ( + ) = = + = + = + P P b. Montrer que le pont P appartent au cercle C M,. P M et P ont même ordonnée ( ) ; M a pour abscsse et P a pour abscsse. La dstance MP vaut donc, ce qu justfe que P se trouve sur le cercle de centre M et de rayon. 5.5 GI FC8/6 0 Test - Complexes et géométre On consdère deux barres de même longueur L, attachées ensemble en un pont A. La barre [OA] est lée au pont O, fxe, orgne de notre repère, et peut tourner lbrement autour de ce pont (angle α ). La seconde barre, [AB], est lée à la premère au pont A et peut tourner lbrement autour de celu-c (angle β ). On consdérera, pour smplfer nos rasonnements à venr, que α est prs entre 0 et. ) Questons dverses a. Que remarque-t-on s β = α? b. Que remarque-t-on s β = α? c. S α est fxé, quelle est la one que peut parcourr B? ) Exemple numérque Prenons, unquement pour cette queston, L =, α = 6 et β =. O B β α A a. Donner les coordonnées cartésennes du pont A. b. O étant l mage de B par rotaton de centre A et d angle β, détermner une relaton entre les affxes A et B des ponts A et B. c. En dédure les coordonnées cartésennes exactes du pont B. Page 5 sur 6

16 ) Vérfcaton de la réponse b Reprenons c le cas général : longueur L, angles α et β. a. Donner l écrture exponentelle du complexe A affxe du pont A. b. O étant l mage de B par rotaton de centre A et d angle β, détermner une relaton entre les affxes A et B des ponts A et B et donc une expresson de B en foncton de A. c. Montrer alors que s β = α, alors B est magnare pur. ) a. S α = β, alors [AB] est parallèle à l axe des abscsses. b. S β = α, alors [AB] fat avec l axe (Ox) le même angle que [OA] et B se trouve sur l axe des ordonnées. Plus rgoureusement : le trangle OAB est socèle en A, avec un angle AOB égal à qu vaut donc α c. Ans, l angle xob vaut xoa + AOB = : B est sur la dem-drote [Oy). c. S α est fxé, le pont B parcourt le cercle de centre A et de rayon L (donc contenant O). β, ) L =, α = 6 et β =. a. x A = cos 6 = et ya = sn 6 =. β β β β b. = A = ( B A ) A = B A B = A ( ) AO AB e e e e B = A e B = + e = + = + + β c. B = + + B ; + ) Vérfcaton de la réponse b a. A Le α =. b. ( e β B A ) =. α α α α c. sn B = Le e = L e e = L α (formule d Euler). Effectvement, c est un magnare pur (le pont B est sur l axe des ordonnées). 5.6 GI FA 05 Test Complexes et géométre Le plan complexe est rapporté à un repère ( O ; u, v ). À tout pont M d'affxe, une foncton f assoce le pont mage M' d'affxe =. Les questons suvantes sont ndépendantes. ) Sot E le pont d'affxe. Montrer que le quadrlatère OMEM' est un parallélogramme s et seulement s : + = 0. En résolvant cette équaton, en dédure les coordonnées cartésennes et polares des ponts M vérfant cette proprété. ) Détermner l'ensemble des ponts M d'affxe pour lesquels ' est réel. ) Détermner l'ensemble des ponts M d'affxe tels que =.. Page 6 sur 6

17 ) OMEM' est un parallélogramme OM = ME = OM E M = = = + ME Donc OMEM parallélogramme Résolvons cette équaton : + = = OM M E + = 0 Dscrmnant : = d'où les solutons = = Et les ponts M ; ou M ; ρ = θ = 6 ) sot x y et = + et M ; ou M ; ρ = θ = 6 = +. ' réel ( ) y ( x ) = 0 = x + y x + y = x y x + y x réel donc sot y = 0, c'est-à-dre est réel (soluton trvale), sot drote d'équaton x = (parallèle à Oy) ) = = = = =, d'où = Les ponts M d'affxe décrvent le cercle de centre C(, 0) et de rayon 5.7 GI FA 0 Test nverson de cercle Les questons,, et sont largement ndépendantes. C des complexes non nuls, on défnt la foncton f par : = * Dans l ensemble f. On désgne par le conjugué de, par le module de, et enfn par le complexe de parte magnare postve tel que ² = -. On nomme P le plan complexe assocé à l ensemble des nombres complexes. ) a. Détermner tous les complexes vérfant f() =. Arg( ) = = e = = etarg( ) = k = ± b. Détermner tous les complexes vérfant f() =. e θ = = = = = c. Détermner le module et un argument de f() en foncton de ceux de. Sot = ρ e θ. e θ =. = et Arg Arg ( ) ρ =. d. Détermner les partes réelle et magnare de f() en foncton de celles de. Sot = a + b. a b. Re a = = = et Im ( ) = b a + b a + b a + b. En dédure que s =, alors f() = f(). = = ( ) f = = et s =, alors = = f ( ) ) a. Montrer que f() = ( ) Donc Page 7 sur 6

18 b. Dans le plan P (fgure page suvante), tracer l ensemble C des ponts représentant les complexes qu vérfent = (justfer brèvement). est la dstance entre le pont M d affxe et le pont d affxe, c est à dre le pont (,0). Dre que cette dstance vaut, c est dre que M est sur le cercle de centre (, 0) et de rayon. C est ce cercle. ) Sot A le pont d affxe α = + et B le pont d affxe β = + e. a. Placer les ponts A et B dans le plan P. b. Vérfer par le calcul que α et β sont éléments de l ensemble C défn en queston. α = =, donc A est élément de C. β = e =, donc B est élément de C. c. Détermner les écrtures cartésennes des complexes f(α) et f(β) pus placer leurs ponts mages A et B dans le plan P. f ( α ) = = = + f ( β ) ( ) = = = = = = cos sn 6 e ) Sot M un pont parcourant le cercle C de centre G(, 0) et de rayon, horms l orgne du repère. On admet que son affxe M peut s écrre + e θ, où θ parcourt l ntervalle ]-; [. snθ a. Montrer que f( M ) =. + cosθ + cosθ snθ + cosθ snθ snθ f ( M ) = = = = = θ + e + cosθ + snθ + cosθ + cosθ ( + cosθ ) + sn θ snθ b. Etuder la parté de et en dédure un domane d étude de cette foncton de θ. + cosθ sn ( θ ) snθ =. Cette forme est donc mpare et peut être étudée sur [0; [. + cos θ + cosθ snθ c. Etuder les varatons de pus en dresser un tableau de varaton sur ]-; [. + cosθ snθ On admettra, pour compléter ce tableau, que lm = ±. θ ± + cosθ snθ cosθ ( + cosθ ) snθ ( snθ ) + cosθ = 0 = = >. Cette forme est + cosθ + cosθ + cosθ + cosθ donc strctement crossante sur [0; [ (et on admet que sa lmte en est + ). Le fat que cette forme sot mpare nous autorse à dresser le tableau suvant : θ - 0 dérvée postve postve + forme 0 - Page 8 sur 6

19 d. Concluson : lorsque M parcourt le cercle C, détermner et tracer l ensemble décrt par les ponts M, mages des complexes f( M ). snθ Rappelons que f ( M ) = =. Ces nombres complexes ont une parte réelle θ + e + cosθ constante égale à 0,5 et une parte magnare qu parcourt R tout enter. Les ponts correspondants forment donc toute la drote d équaton x =. y 5.8 GI FC 0 Test complexe de fonctons Sot deux fonctons f et g d expressons f(x) = cos(x) et g(x) = sn(x + ), pour lesquelles la varable x parcourt l ntervalle [0; ]. ) Donner les valeurs exactes de f(x) et g(x) pour x = 0, pus x = et enfn x =. f (0) = cos(0) = ; f ( ) = cos( ) = 0 ; f () = cos() = - 5 g(0) = sn = ; g( ) = sn = ; g() = sn = - ) Justfer que f est maxmale pour x = 0 et que g est maxmale pour x =. (on utlsera les résultats connus sur le snus et le cosnus, ou alors on pourra dérver f et g et étuder leurs varatons sur [0 ; ]). Avec les proprétés du snus et du cosnus : Un cosnus est maxmal s l argument cté vaut 0. Pour la foncton f, l faut donc que x = 0. Un snus est maxmal s l argument vaut. Pour la foncton g, l faut que x + =, sot x =. En étudant les fonctons : f (x) = -sn(x), négatf sur [0 ; ]. Donc f est maxmale pour x = 0. g (x) = cos(x + ), postf sur [0 ; ] et négatf sur [ ; ]. Donc g est maxmale pour x =. Page 9 sur 6

20 ) On crée le nombre complexe = f (x) +.g(x). Lorsque x parcourt l ntervalle [0 ; ], les ponts mages de dans le plan complexe forment la courbe c-dessous. g max M M (x = /) f max M (x = 0) M 5 M (x = ) a. Sur cette fgure, repérer les résultats demandés ou annoncés aux questons et. b. Montrer que la dérvée par rapport à x de ² (carré du module de ) est : = 9cos ( x) + 6sn x +. d dx 9sn( x) + 6sn x +. = -8sn( x) cos ( x) + sn x + cos x + = -9sn( x) + 6sn x + c. Sachant que sn(a + ) = cos a, dre pour quelle(s) valeur(s) de x cette dérvée s annule. d 0 x = ss sn ( x) d 6 tan ( x) cos x = = 9 ss x =,058 rad [] ss x = 0,59 rad [ ]. Dans l ntervalle [0 ; ], seules deux solutons sont possbles : 0,59 rad et, rad. d. Repérer sur la fgure le(s) pont(s) correspondant(s), explquer. Le module de est la dstance OM. Postf, l vare dans le même sens que son carré. Les deux valeurs de x trouvées précédemment correspondent c à un maxmum ou un mnmum de OM. Pour x = 0,59 rad, on défnt le pont M (f(x), g(x)) = (,59,,87). Pour x =, rad, on défnt le pont M 5 (f(x), g(x)) = (-,5,,0). Page 0 sur 6

21 5.9 GI FC 05 - Test cube On souhate étuder les condtons sur un nombre complexe pour lesquelles est réel. ) Utlser exclusvement la forme cartésenne de pour cette étude. ( a + b) = a ab + ( a b b ) = a ab + b( a b ). La parte magnare dot être nulle, donc b = 0 ou a² = b², sot b = ±a. Ans, nous avons tros groupes de solutons : * peut être un nombre réel quelconque, * est de la forme a( + ) * est de la forme a( ), avec a réel quelconque,, avec a réel quelconque. ) Utlser exclusvement la forme exponentelle de pour cette étude. θ ( ρ ) θ e = ρ e, qu est réel s son argument est congru à 0 modulo. k θ = 0 + k θ = ( k Z ). En mesure prncpale, entre 0 et, sx valeurs de k sont à exploter (de 0 à 5) : 5 θ = 0, θ =, θ =, θ =, θ =, θ = Les solutons n et renvoent au premer pont de la réponse à la queston, les solutons et 5 au second pont et les solutons et 6 au trosème. 5.0 GI FA 0 Test - Lnéarsaton À l ade d une formule d Euler, lnéarser sn x. sn x x e e x = = e + e e e e e + 6e e 6 x x x x x x x x x x x x e + e e + e = + = cosx cosx GI FA 0 Test Euler et équaton trgonométrque ) Lnéarser, c'est-à-dre, à l'ade de la formule d'euler, exprmer en foncton de cosx et cosx, l'expresson : cos x + sn x A l'ade de la formule d'euler, on écrt : x x e + e x x x x x x ( e e ) ( e e 6 e e ) cos x = = + = x x x x x x x x 6 e + e e + e cos x = ( e + e ) + ( e + e ) + = cos x = cosx + cosx De la même façon : Page sur 6

22 x x e e x x x x x x ( e e ) ( e e 6 e e ) sn x = = = x x x x x x x x 6 e + e e + e sn x = ( e + e ) ( e + e ) + = sn x = cosx cosx Donc : cos x + sn x = cosx + cosx + + cosx cosx cos x + sn x = cosx + ) En dédure les solutons de l'équaton cos x + sn x =. 5 5 cos x + sn x = cosx + = cosx = 5 Deux famlles de solutons : x = + k. x = + k. 6 ( valeurs) ou x = + k. x = + k. 6 ( valeurs) ) Représenter sur un cercle trgonométrque les dfférentes famlles de solutons. 5. GI FA 05 Test trnôme à coeffcents complexes Résoudre dans C l'équaton : + ( + 5 ) 7 = 0 On donnera les solutons sous forme cartésenne. Calcul du dscrmnant : On exprme sous forme polare : = D'où = = e [ ] [ ] = e = ± = ± 5 ± L'équaton admet pour solutons : =, sot = et = Page sur 6

23 5. GIN FA 0 Test trnôme à coeffcents complexes. Résoudre, dans C, l équaton d nconnue : + (8 ) 8 = 0. On pourra vérfer que cette équaton admet une racne magnare pure. * Premère méthode : sans tenr compte de la remarque de l énoncé = (8 )² + = On peut remarquer que = (8 + )². S on ne le vot pas tout de sute, l faut chercher la racne carrée de par la méthode classque Les deux racnes de l équaton sont : = et = 8. * Deuxème méthode : l équaton admet une soluton magnare pure Notons a cette soluton, avec a R, pus reportons-la dans l équaton : a²²+ (8 )a 8 = 0 -a² + a + 8(a ) = 0 a² = a et a = a =. La soluton magnare pure est donc =. On peut ans factorser le polynôme + (8 ) 8 par ( ), ce qu condut faclement à + (8 ) 8 = ( )( + 8) où l on vot que sa seconde racne vaut -8.. Utlser le résultat précédent pour résoudre, dans C, l équaton d nconnue : 6 + (8 ) 8 = 0 Exprmer toutes les solutons sous forme algébrque et sous forme trgonométrque. En posant Z =, cette équaton revent à celle de la queston, avec pour nconnue Z. Ans, on sat que l on a deux cas à trater : = et = -8, sot sous forme exponentelle : re α = e et ( re α ) = 8e La premère égalté donne : r = r = 5 α = + k., k Z α = ou + = ou + = = e = + ; = e = + ; = e =, ce qu donne : La deuxème égalté donne : r = 8 r = 5 α = + k., k Z α = ou + = ou + = = e = + ; = e = ; = e =, ce qu donne : 5. GI FA 0 Test Polynôme, formes, rotaton Dans cet exercce, les tros questons sont ndépendantes ) Détermner, dans l'ensemble C, les racnes du polynôme : Calcul du dscrmnant : ( ) P ( ) = + + e = =, de forme exponentelle : =, Page sur 6

24 d où une racne carrée : = e = = Racnes du polynôme : ( ) + ( ) = = et = = = ) Écrre + et sous forme exponentelle, pus smplfer l'expresson : On donnera le résultat sous forme exponentelle et sous forme cartésenne = + où l'on reconnat faclement le module,, et l'argument, d'où l'écrture exponentelle de ce nombre : + = e =, qu nous donne le module,, et l'argument, d où :.e = En utlsant les écrtures exponentelles, on a : = = e e ( ) e = = + e e = e = e = e = e = 0 e On peut repasser en écrture cartésenne : 0 + = = = 0 e ) On se place dans le plan (x, y). En utlsant les nombres complexes, détermner les coordonnées cartésennes du pont C, mage du pont B( ; 5) par la rotaton de centre A( ; ) et d'angle. Notons = x + y l'affxe du pont C(x ; y). Les ponts A et B ont pour affxes respectves : A = + et B = + 5 La rotaton se tradut par la relaton : e = ( AC) ( AB), sot + ( + ) = e + 5 ( + ) = + ( + ) = + 7 D'où = + + = + 7 Donc le pont C a pour coordonnées : C ; Page sur 6

25 5.5 GI FA 0 Test polynôme de degré On consdère l'applcaton f défne dans l'ensemble des nombres complexes par : f = + + Dans ce problème, on aura avantage à utlser la formule de Movre. ) Montrer que, s l'équaton (): f ( ) =0 admet pour racne le nombre complexe α, alors elle admet auss pour racne le nombre α (complexe conjugué de α ). Sot α, soluton de l'équaton (): f ( ) =0. On peut écrre α sous forme trgonométrque : α = ρ ( cosθ + snθ ) L'équaton () s'écrt donc : ( cos sn ) ( cos sn ) ( cos sn ) ρ θ + θ ρ θ + θ + ρ θ + θ + = 0 En utlsant la formule de Movre, on obtent : ( cos sn ) ( cos sn ) ( cos sn ) ρ θ + θ ρ θ + θ + ρ θ + θ + = 0 En regroupant les termes réels et magnares, on a donc : ρ cosθ ρ cosθ + ρ cosθ + + ρ snθ ρ snθ + ρ snθ = 0 Par dentfcaton des termes réels et magnares à 0, on a donc les deux relatons : ρ cosθ ρ cosθ + ρ cosθ + = 0 et ρ snθ ρ snθ + ρ snθ = 0 Consdérons le même traval avec le conjugué de α, dont l argument vaut θ. Par rapport aux écrtures cdessus, les cosnus sont nchangés et les snus prennent des valeurs opposées, ce qu fat que les égaltés «= 0» sont encore respectées et donc α est soluton de l'équaton (). ) Montrer que les nombres + et + sont racnes de l'équaton (). Ecrvons les nombres donnés sous forme trgonométrque. 0 cos sn = + = + = +. Remplaçons 0 dans l'expresson de f ( ): f ( + ) = cos + sn cos + sn + cos + sn + = ( cos + sn ) cos + sn + cos + sn + = ( ) = = 0 Donc 0 = + est racne de l'équaton (). Sot cos sn f : = + = +. Remplaçons dans l'expresson de Page 5 sur 6

26 f ( ) = cos + sn cos + sn + cos + sn = cos + sn ( cos + sn ) + cos + sn + = + ( ) + + = 0 Donc = + est racne de l'équaton (). ) Donner l'ensemble des solutons de l'équaton (). En dédure une factorsaton de f ( ). On a vu (queston ) que, s α est racne de l'équaton (), alors α l'est également. Par conséquent, d'après la queston, l'équaton () admet comme racnes les nombres : = + ; 0 = ; = + ; = 0 f = On factorse donc f ( ) : ( )( ) ) Écrre f ( ) comme un produt de deux polynômes du second degré à coeffcents réels. Dans l'expresson de f ( ) c-dessus, on peut développer les facteurs par comme sut : + = = + + = = + Fnalement, f peut s'écrre : f ( ) = ( + )( + + ) = = + + Page 6 sur 6