Université Paris 7 Denis Diderot Année 2005/2006 Licence 2 MIAS. Fonctions de plusieurs variables

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1 Universié Paris 7 Denis Didero Année 2005/2006 Licence 2 MIAS MI4 1 Noions de dérivée 1.1 Prologue Foncions de plusieurs variables Avan d expliquer les noions de dérivées pour les foncions de plusieurs variables, il es uile de se rappeler commen on procède pour définir la dérivée d une foncion d une variable. Soi ]a,b[ un inervalle de R, f :]a,b[ R une foncion coninue e x 0 ]a,b[. Une première façon de dire que f es dérivable en x 0 consise à regarder le aux de variaion f(x 0 + ) f(x 0 ), pour 0 e x 0 + ]a,b[, e à demander que ce rappor admee une limie lorsque end vers 0. Nous ferons référence à ce poin de vue comme éan celui de Newon Leibniz, ces deux illusres savans en éan à l origine. Il exise un aure procédé, plus géomérique. Nous dessinons le graphe Γ f := {(x,f(x)) ]a,b[ R x ]a,b[} e pour ou x ]a,b[ différen de x 0, nous raçons la droie x passan par les deux poins (x 0,f(x 0 )) e (x,f(x)). Lorsque l on fai endre x vers x 0, on demande que f(x) a x 0 x b Fig. 1 La droie x passan par les deux poins (x 0,f(x 0 )) e (x,f(x)) e le graphe de f la droie x se posiionne asympoiquemen vers une limie x0, qui sera visualisée géomériquemen comme la droie angene à Γ f au poin (x 0,f(x 0 )). Nous ferons référence à ce poin f(x) a x 0 b Fig. 2 La droie limie x0 es la angene à Γ f au poin (x 0,f(x 0 )) de vue comme éan celui de Ferma. Noons que l on peu qualifier la droie angene en disan que c es la droie qui approche le mieux le graphe de f au voisinage du poin (x 0,f(x 0 )). La dérivabilié de f en x 0 se formulera en disan que : 1

2 le aux de variaion f(x 0+) f(x 0 ) adme une limie, que l on noera f (x 0 ) e que l on appellera la dérivée de f en x 0, si l on adope le poin de vue de Newon Leibniz, la droie x adme une limie x0 lorsque x end vers x 0, que l on appellera la droie angene au graphe de f au poin (x 0,f(x 0 )), si l on adope le poin de vue de Ferma. On fai le lien enre les deux poins de vue en remarquan que f(x 0+) f(x 0 ) es la pene de la droie x e sa limie f (x 0 ) es la pene de la droie angene x0. Nous allons voir qu esseniellemen, si on cherche à ransposer ces deux poins de vue à des foncion à valeurs réelles de plusieurs variables, on obien deux définiions différenes. 1.2 Dérivaion selon un veceur On se place dorénavan dans R n muni des normes 2,, ec. (noer que, grâce aux résulas obenus au chapire précéden, on sai que le choix de la norme es indifféren pour ou ce qui concerne les noions de limie). On noe (e 1,,e n ) la base canonique de R n. Soi U un ouver de R n, f : U R une foncion, a U e v R n un veceur. Comme U es ouver e a U, il exise r > 0 el que la boule ouvere B 2 (a,r) := {x R n x a 2 < r} soi incluse dans U. En pariculier, pour ou ] r r v 2, v 2 [, on a : v 2 < r a + v B 2 (a,r) = a + v U. Ainsi l applicaion ] r [ r, v 2 v 2 R f(a + v) es bien définie. v a U Fig. 3 Si ] r v 2, r v 2 [, alors a + v U Définiion 1 Soi U un ouver de R n, f : U R une foncion, a U e v R n un veceur. On di que «f es dérivable en a dans la direcion v» ssi la foncion f(a+v) es dérivable en 0. Alors on noe f(a + v) f(a) D v f(a) := lim (1) 0 e on appelle cee quanié la dérivée de f dans la direcion v en a. Remarque 1 Cee noion n a d inérê que si v 0. Par ailleurs si v e w son deux veceurs non nuls e colinéaires, c es à dire, s il exise λ R el que w = λv, alors f(a + w) f(a) = f(a + λv) f(a) f(a + λv) f(a) f(a + sv) f(a) = λ = λ, λ s 2

3 où s := λ. E donc on voi que f(a+w) f(a) adme une limie lorsque 0 ssi f(a+sv) f(a) s adme une limie lorsque s 0. Donc «f es dérivable en a dans la direcion v» ssi «f es dérivable en a dans la direcion w». Enfin en passan à la limie dans l idenié ci-dessus, on obien que : D λv f(a) = D w f(a) = λd v f(a). Remarque 2 En praique, nous n uiliserons que des dérivés dans les direcions e 1,,e n, où (e 1,,e n ) es la base canonique de R n. Nous uilisons alors une noaion spéciale pour désigner D ek f(a) : on noe f(a + e k ) f(a) (a) := D ek f(a) := lim. 0 On appellera la «dérivée parielle de f par rappor à la variable x k». Analysons le sens de cee limie. Soi (x 1,,x n ) les coordonnées de a dans la base (e 1,,e n ). Alors les coordonnées de a + e k son : (x 1,,x k 1,x k +,x k+1,,x n ). Ainsi, pour calculer (a), on calcule la limie lim 0 f(x 1,,x k +,,x n ) f(x 1,,x n ), c es à dire : on gèle oues les variables x j, pour j k, e on dérive par rappor à x k. Auremen di, on se ramène à la dérivaion d une foncion d une variable! Exemple Prenons la foncion f définie sur R 2 par : f(x,y) = x 2 cos y e cherchons sa dérivée parielle par rappor à x pour oue valeur de (x,y). Pour cela on gèle y (qui joue donc momenanémen le rôle d un paramère) e on dérive par rappor à x. Cela donne : (x,y) = 2xcos y. x De même, si on veu calculer la dérivée parielle de f par rappor à y, on gèle la variable y e on dérive par rappor à x : y (x,y) = x2 sin y. Remarque 3 Enfin nous pouvons observer que la définiion de la dérivée que nous venons de voir es une généralisaion aux foncions de plusieurs variables du concep de dérivée selon Newon Leibniz. Définiion 2 Soi U un ouver de R n e f : U R une foncion Si f adme une dérivée dans la direcion v en ou poin a de U, on di alors que : «f adme une dérivée dans la direcion v sur U» Si pour ou k [1,n], f adme une dérivée dans la direcion e k sur U e si oues les foncions : U R x (x) son coninues, on di que : «f es de classe C 1 sur U». 3

4 1.3 Différenielle d une foncion de plusieurs variables L idée es à présen de s inspirer du poin de vue de Ferma : la dérivée doi conenir l informaion qui perme de rouver la meilleure approximaion du graphe de f au voisinage d un poin (a, f(a)) qui soi un hyperplan. En effe, nous noons que, si f es une foncion d un ouver U de R n vers R, alors son graphe Γ f := {(x,f(x)) R n R x U} es une hypersurface de R n+1. Au voisinage d un poin (a,f(a)), il es donc normal d essayer d approcher Γ f par un hyperplan passan par (a,f(a)). Ce hyperplan peu êre lui-même consrui en prenan le graphe d une foncion affine F(x) = α + l(x), où l : R n R es linéaire. Le plus difficile dans l hisoire consise à rouver la meilleure forme linéaire l. Car, une fois que l on a fixé l, on en dédui facilemen α : pour cela on demande que Γ F passe le poin (a,f(a)) 1 e donc que f(a) = F(a), ce qui enraîne α = f(a) l(a) e donc F(x) = f(a) l(a) + l(x) = f(a) + l(x a). Supposons donc que α soi el que f(a) = F(a). On va choisir l de façon à ce que f(x) soi rès rès proche de F(x) lorsque x es rès proche de a. De façon plus précise, il es raisonable de demander que le rappor f(x) F(x) x a ende vers 0 lorsque x a. Puisque F(x) = f(a) + l(x a), cela signifie que : f(x) f(a) l(x a) x a ende vers 0 lorsque x a. Définiion 3 Soi U un ouver de R n, f : U R une foncion e a U. On di que «f es différeniable en a» ssi il exise une applicaion linéaire l : R n R elle que Ou encore : f(a + h) f(a) l(h) lim = 0. (2) h B(0,r);h 0 h a + h U, f(a + h) = f(a) + l(h) + h ε(h), où es une norme (quelconque) e ε(h) es une foncion qui s annule en 0 e qui es coninue en 0 (donc en pariculier lim h 0 ε(h) = 0). La forme linéaire l es alors unique, es appelée «la différenielle de f en a» e es noée df a := l. Remarque 1 Une des différence avec la définiion de la dérivabilié dans la direcion d un veceur es que la limie dans (1) éai la limie d une foncion définie sur R, andis que la limie dans (2) es la limie d une foncion définie sur un ouver de R n e donc nécessie les noions de opologies vues au chapire précéden pour êre définie correcemen. Remarque 2 Ainsi, si f adme une différenielle df a en a, alors on a : a + h U, f(a + h) = f(a) + df a (h) + h ε(h), où lim h 0 ε(h) = 0. Exemples de foncions différeniable 1 c es la moindre des choses si on demande que le graphe Γ F de F approche Γ f au voisinage du poin (a, f(a)) 4

5 a) Les foncions affines. Soi f : R n R une foncion affine, c es à dire de la forme Alors, pour ou a R n, f(x) = α + l(x), où α R e l (R n ). f(a + h) = α + l(a + h) = α + l(a) + l(h) = f(a) + l(h) e l es linéaire. Donc f adme une différenielle en a, qui es l ; i.e. df a = l. Ainsi l applicaion df : R n (R n ) es consane e es égale à l parou. b) La somme de deux foncions différeniables. Soi U R n un ouver e f e g deux applicaions différeniables de U vers R. Alors la somme es différeniable sur U e, a U, f + g : U R x f(x) + g(x) d(f + g) a = df a + dg a. La preuve es immédiae e es laissée au leceur à ire d exercice. c) Le produi de deux foncions différeniables. Soi U R n un ouver e f e g deux applicaions différeniables de U vers R. Alors le produi es différeniable sur U e, a U, En effe nous avons, a U, fg : U R x f(x)g(x) d(fg) a = f(a)dg a + g(a)df a. f(a + h) = f(a) + df a (h) + h ε 1 (h) e g(a + h) = g(a) + dg a (h) + h ε 2 (h). e en muliplian ces deux ideniés enre elles : f(a + h)g(a + h) = f(a)g(a) + f(a)dg a (h) + g(a)df a (h) + [df a (h)dg a (h) + h (ε 1 (h)(g(a) + dg a (h)) + ε 2 (h)(f(a) + df a (h)))], e on vérifie que le erme enre croches es de la forme h ε(h), où lim h 0 ε(h) = 0. d) La composiion d une foncion différeniable avec une foncion dérivable. Soi U R n un ouver, f : U R une foncion différeniable, ]α,β[ un inervalle de R e g :]α,β[ R une foncion dérivable. On suppose que l image f(u) de f es conenue dans ]α, β[. Alors es différeniable sur U e, a U, g f : U R x g (f(x)) f(g f) a = g (f(a)) df a. 5

6 En effe nous avons, a U, e, pour y R el que f(a) + y ]α,β[, f(a + h) = f(a) + df a (h) + h ε(h) g(f(a) + y) = g(f(a)) + g (f(a))y + y θ(y). Subsiuons y = df a (h) + h ε(h) dans cee dernière relaion : nous obenons g f(a + h) = g (f(a) + df a (h) + h ε(h)) = g(f(a)) + g (f(a))(df a (h) + h ε(h)) + df a (h) + h ε(h) θ(df a (h) + h ε(h)) = g(f(a)) + g (f(a))df a (h) + h ε (h), où l on peu vérifier que ε (h) = g (f(a))ε(h) + df a(h) + h ε(h) θ(df a (h) + h ε(h)) h end vers 0 lorsque h 0. Donc g f es bien différeniable en a e d(g f) a = g (f(a))df a. Exercice A parir des exemples e des résulas précédens, démonrer que : ou polynôme P(x) = (k 1,,k n) [[1,N]] n a k1 k n (x 1 ) k1...(x n ) kn de n variables réelles défini une foncion différeniable sur R n. Exprimer dp x dans le cas où P es un polynôme de degré N égal à 2 (auremen di, si P es une forme quadraique) oue fracion raionnelle f = P Q (où P e Q son des polynômes de n variables réelles) défini une foncion différeniable sur U := {x R n Q(x) 0}. la foncion f : R 2 R e x2 (x, y) 1 + x 2 + y 2 es différeniable sur R 2. Calculer sa différenielle en ou poin (x,y) R Lien enre les deux noions de dérivaion La chose la plus évidene es que la noion d applicaion différeniable es plus fore que celle de foncion dérivable selon un veceur. C es l obje du résula suivan. Proposiion 1 Soi U un ouver de R n, f : U R une foncion e a U. Si f es différeniable en a, alors pour ou veceur v R n, f es dérivable en a dans la direcion v e D v f(a) = df a (v). Démonsraion Supposons que f es différeniable en a. Cela nous donne en pariculier que, pour ou v R n, f(a + v) = f(a) + df a (v) + v ε(v), Nous uilisons cee relaion pour écrire le aux de variaions où lim h 0 ε(h) = 0. f(a + v) f(a) = df a(v) + v ε(v) 6 = df a (v) + signe()ε(v).

7 Il es alors immédia que f(a+v) f(a) adme une limie lorsque end vers 0, qui es égale à df a (v). Il es naurel de se demander si la réciproque es vraie. Là, les choses son un peu plus compliquées. Il s agi en effe de savoir si, éan donnée une foncion f : U R e a U, on peu déduire du fai que f es dérivable en a dans suffisamen de direcions le fai que es différeniable en a. D abord il semble raisonable de supposer que ce ype de résula n ai lieu que si on sai que f es dérivable par rappor à au moins n veceurs qui son linéairemen indépendans. Mais cela n es en fai pas suffisan, comme le monre l exemple qui sui. Exemple Nous considérons la foncion f : R 2 R (x,y) 3x2 y y 3 x 2, si (x,y) 0 + y2 e nous posons f(0,0) = 0, de sore que f es coninue sur R 2 (exercice : vérifier!). Nous laissons au leceur (encore à ire d exercice) le soin de monrer que f es différeniable en ou poin de R 2 \{(0,0)} e examinons ici ce qui se passe en 0 = (0,0). Pour ou θ R, soi v := (cos θ,sin θ). Alors pour ou R, on a f(0 + v) f(0) = f(v) = 33 cos 2 θ sin θ 3 sin 3 θ ( 2 cos 2 θ + 2 sin 2 θ) = 3cos2 θ sin θ sin 3 θ cos 2 θ + sin 2 θ = sin(3θ). Nous voyons que cee quanié es indépendane de, donc en pariculier adme une limie lorsque 0, égale à sin(3θ). Or cee limie n es pas une foncion linéaire de v, donc f ne peu pas êre différeniable en 0. En effe supposons que f soi différeniable en f(v) 0. Alors, d après la proposiion précédene, on devrai avoir lim = df 0 (v), c es à dire 3cos 2 θ sin θ sin 3 θ = df a (cos θ,sinθ), ce qui es bien sûr impossible (puisque df a es linéaire, on doi avoir df a (cos θ,sin θ) = αcos θ + β sin θ). Donc f n es pas différeniable en 0. Inerpréaion géomérique : le graphe de f es un cone de somme {(0,0,0)}, c es à dire une surface qui es la réunion d une famille à un paramère de demi-droies de R 2 R qui passen oues par l origine. En pariculier il n y a pas de plan angen au somme du cone. Nous allons voir mainenan, qu avec des hypohèses plus fores, nous avons une réciproque à la proposiion précédene. Théorème 1 Soi U un ouver de R n e f : U R une foncion de classe C 1, c es à dire qui adme une dérivée (a) dans la direcion e k en a, pour ou k [1,n] e pour ou a U, e elle que, k [1,n], x (x) es coninue sur U. Alors f es différeniable en chaque poin de U. De plus on a, en ou poin a U, x U, df a (x) = D ek f(a) x k = k=1 k=1 (a)x k. Démonsraion Pour simplifier la démonsraion, nous ne donnons la preuve que pour le cas m = 2. L idée es d écrire, pour x 1 e x 2 peis, [ f(a + (x 1,x 2 )) f(a) x 1 (a) x 2 (a) = f(a + (x 1,x 2 )) f(a + (x 1,0)) x 2 x 1 x 2 + [ f(a + (x 1,0)) f(a) x 1 x 1 (a) ] (a) x 2 ] 7

8 e d évaluer chacun des ermes séparémen. Par exemple pour le premier erme, nous observons que, puisque D e2 f exise parou, la foncion f(a + (x 1,x 2 )) es dérivable (e donc coninue) sur [ 1,1] e sa dérivée en vau x 2 x 2 (a+(x 1,x 2 )). Donc nous pouvons lui appliquer le héorème des accroissemens finis enre les valeurs 0 e 1 : θ ]0,1[ el que f(a + (x 1,x 2 )) f(a + (x 1,0)) = x 2 x 2 (a + (x 1,θx 2 )), En faisan de même avec f(a+(x 1,0)), nous obenons qu il exise un réel τ ]0,1[ el que Ainsi nous avons : f(a + (x 1,0)) f(a) = x 1 x 1 (a + (τx 1,0)). f(a + (x 1,x 2 )) f(a) x 1 x 1 (a) x 2 f x 2 (a) = x 2 ( x 2 (a + (x 1,θx 2 )) ) (a) x 2 ) + x 1 ( x 1 (a + (τx 1,0)) x 1 (a). (3) a + (0, x 2 ) a + (x 1,x 2 ) a + (x 1 θ, x 2 ) a a + ( τ x, 0) a + (x, 0) 1 1 Fig. 4 Uilisons à présen le fai que D e1 f e D e2 f son coninues : pour ou ε > 0, il exise η > 0 el que x < η = (a + x) (a) < ε. Nous choisissons alors x el que x < η e lui appliquons l idenié (3). Cela enraîne (en remarquan qu alors (τx 1,0) < η e (x 1,θx 2 ) < η) : f(a + (x 1,x 2 )) f(a) x 1 (a) x 2 (a) x 1 x 2 ( x 1 (a + (τx 1,0)) ) ( (a) + x 2 (a + (x 1,θx 2 )) (a)) x 1 x 1 x 2 x 2 ( x 1 + x 2 )ε. Donc f(a + (x 1,x 2 )) f(a) x 1 x lim 1 f(a) x 2 x 2 (a) = 0. x 0 x E cela prouve que f es différeniable en a. 8

9 1.5 Le héorème des accroissemens finis Pour éendre le héorème des accroissemens finis au cas de plusieurs variables, nous avons besoin en premier lieu de rouver par quoi nous devons remplacer un inervalle de R : par un sous-ensemble convexe de R n. D abord, si a e b son deux poins de R n, nous définissons les inervalles [a,b] := {a + (b a) [0,1]} R n e ]a,b[:= {a + (b a) ]0,1[} R n. Puis nous dirons qu un sous-ensemble U R n es convexe ssi a,b U, on a [a,b] U. Théorème 2 Soi U un ouver convexe de R n e f : U R une foncion de classe C 1. Alors, pour ou a,b U, c ]a,b[ el que f(b) f(a) = i=1 x i (c)(b i a i ). Démonsraion Soi ϕ() := f(a + (b a)) f(a) (f(b) f(a)). D après les hypohèses, ϕ es une foncion C 1 sur [0,1] e ϕ(0) = ϕ(1) = 0. Nous pouvons donc appliquer le héorème de Rolle à ϕ : θ ]0,1[ el que ϕ (θ) = 0, ce qui es équivalen à : i=1 x i (a + θ(b a)) = f(b) f(a) e cela nous donne le résula avec c = a + θ(b a). 1.6 Applicaions de classe C 2 Soi U R n un ouver e f : U R une foncion. Rappelons que f es C 1 ssi f adme des dérivées parielles (x) := D ek f(x) en chaque poin x de U e pour ou k [1,n] e si, k [1,n], la foncion : U R es coninue. Définiion 4 On di que la foncion f : U R es de classe C 2 ssi f es de classe C 1, k [1,n], la foncion : U R es différeniable e, pour ou j,k [1,n], la foncion dérivée seconde parielle ( ) : U R es coninue sur U. On a alors le résula suivan, appelé «lemme de Schwarz». Théorème 3 Soi f : U R une foncion de classe C 2. Alors on a, j,k [1,n], ( ) ( ) a U, (a) = (a). Démonsraion Fixons,s R els que a + e j e a + se k soien dans la boule B(a,r) U. Nous allons calculer de deux façons différenes la quanié Q := f(a + e j + se k ) f(a + e j ) f(a + se k ) + f(a). 9

10 a + se k a + e j + se k α β a a + e j Fig. 5 Q es la somme des valeurs de f prises aux quare sommes du recangle avec des coefficiens qui son alernaivemen +1 e 1 1. Une famille coninue e horizonale de saus vericaux (cf. figure 1.6). Soi ϕ(α) := f(a + αe j + se k ) f(a + αe j ), α [0,1]. Alors Q = ϕ(1) ϕ(0). Comme f es de classe C 1, on peu appliquer une première fois la formule des accroissemens finis : θ j ]0,1[ el que Q = ϕ(1) ϕ(0) = ϕ (θ j ) = (a + θ j e j + se k ) (a + θ j e j ). E comme f es de classe C 2 on peu appliquer une deuxième fois le héorème des accroissemens finis pour obenir : θ k ]0,1[ el que ( ) Q = (a + θ j e j + θ k se k )s. 2. Une famille coninue e vericale de saus horizonaux. Soi ψ(β) := f(a + e j + βse k ) f(a+βse k ), β [0,1]. Alors on a aussi Q = ψ(1) ψ(0). En appliquan un raisonnemen analogue, on obien : τ k ]0,1[ el que Q = ψ(1) ψ(0) = ψ (θ) = (a + e j + τ k se k )s (a + τ k se k )s. Puis τ j ]0,1[ el que Q = On en dédui (en simplifian par s) que ( ( ) ) (a + θ j e j + θ k se k ) = (a + τ j e j + τ k se k )s. ( ) On fai alors endre s e vers 0 e on uilise le fai que obien alors exacemen la conclusion du héorème au poin a. (a + τ j e j + τ k se k ). «e Noaion Pour une foncion f : U R de classe C 2, on noera désormais 2 f (x) := ( ) ( ) (x) = (x). son coninues. On 10

11 Définiion 5 Soi U un ouver de R n e f : U R une foncion de classe C 2. Pour ou poin x U, la marice hessienne de f es la marice symérique d élémens 2 f x i (x) : 1.7 Formules de Taylor Hess(f) x := 2 f ( x 1 ) 2 (x). 2 f x n x 1 (x) 2 f x 1 x n (x). 2 f ( x n) (x) 2 Commençons par un rappel. La formule de Taylor Lagrange pour une foncion d une variable réelle. Soi I R un inervalle e f : I R une foncion de classe C k+1 (c es à dire qui es dérivable k + 1 fois e don la dérivée (k + 1)-ième f (k+1) es coninue). Alors, si [a,b] I, θ ]0,1[ el que f(b) = f(a)+(b a)f (a)+ (b a)2 f (a)+ + 2 (b a)k f (k) (a)+ k!. Démonsraion On par de la formule de Taylor avec rese inégral : f(b) = k (b a) j f (j) (a) + j! j=0 (b a)k+1 k! 1 0 (b a)k+1 f (k+1) (a+θ(b a)). (k + 1)! (1 ) k f (k+1) (a + (b a))d, qui, rappelons-le, se démonre par récurrence sur k en faisan des inégraions par parie. Puis on cherche à exprimer le rese R k := (b a)k+1 k! 1 0 (1 ) k f (k+1) (a + (b a))d différemmen. Soi m := inf x [a,b] f (k+1) (x) e M := sup x [a,b] f (k+1) (x). Alors on a : [0,1], m f (k+1) (a + (b a)) M e donc, en muliplian par (1 ) k e en inégran sur [0,1], m k + 1 = 1 0 (1 ) k md 1 ce qui donne, en muliplian par k + 1 : 0 (1 ) k f (k+1) (a + (b a))d 1 0 (1 ) k Md = M k + 1, m (k + 1)! (b a) k+1r k M (k + 1)! (b a) k+1r k [m,m]. On uilise à présen le héorème des valeurs inermédiaires : puisque f (k+1) ([a,b]) = [m,m], θ ]0,1[ el que f (k+1) (k + 1)! (a + θ(b a)) = (b a) k+1r k. Cela nous donne la formule de Taylor Lagrange annoncée plus hau. Revenons à une foncion f : U R de classe C 2, où U es un ouver de R n. 11

12 Théorème 4 Soi U R n un ouver, f : U R une foncion de classe C 2 e a,b U deux poins els que [a,b] U (cela es vrai pour ous poins a,b de U si U es convexe). Alors θ ]0,1[ el que f(b) = f(a) + j=1 (a)(b j a j ) + Démonsraion Considérons la foncion i,j=1 ϕ : [0,1] R f(a + (b a)). 1 2 f (a + θ(b a))(b i a i )(b j a j ). 2 x i On écri la formule de Taylor Lagrange pour ϕ à l ordre 2 : θ ]0,1[ el que ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ (0) + ϕ (θ). 2 Puis, il ne rese plus qu à calculer chaque erme : e le résula es démonré. ϕ(0) = f(a), ϕ(1) = f(b) ϕ (0) = (a)(b j a j ), x j=1 j ϕ 2 f () = (a + (b a))(b i a i )(b j a j ), x i i,j=1 Remarque Nous pouvons encore écrire le développemen sous la forme où f(b) = f(a) + df a (b a) Q a+θ(b a)(b a), Q x (ξ) := i,j=1 2 f x i (x)ξ i ξ j es la forme quadraique sur R n don la marice dans la base canonique de R n es la marice hessienne de f en x. 1.8 Poins criique, poins exrémaux Définiion 6 Soi U un ouver de R n e f : U R une foncion de classe C 1. On appelle poin criique de f ou poin x U el que df x = 0. Si x es un poin criique de f, le réel f(x) es alors appelé valeur criique de f. On peu formuler les choses différemmen en disan qu un poin criique es un poin x U qui es soluion du sysème de n équaions (x) = = (x) = 0. x 1 x n La noion de poin criique es liée (mais non idenique) à la noion suivane. Définiion 7 Soi U un ouver de R n e f : U R une foncion coninue. 12

13 un poin a U es appelé un maximum local de f ssi il exise une boule B(a,r) U elle que x B(a,r), f(x) f(a). un poin a U es appelé un minimum local de f ssi il exise une boule B(a,r) U elle que x B(a,r), f(x) f(a). D une façon générale, un poin qui es soi un maximum local, soi un minimum local es appelé un exrémum local. Si les inégaliés précédenes on lieu sur ou U (au lien de B(a,r)) on parle alors de maximum global, minimum global ou d exrémum global. Un premier lien enre les deux noions (poins criiques e exrémum local d une foncion) es le suivan. Proposiion 2 Soi U un ouver de R n e f : U R une foncion différeniable parou. Soi a U un exrémum local. Alors a es un poin criique de f. Démonsraion Nous raisonnons par l absurde e supposons que a es un exrémum local (par exemple, sans pere de généralié, un maximum local), mais qu en même emps df a 0. Cela signifie qu il exise un veceur ξ R n el que df a (ξ) 0. Alors ξ es forcémen non nul e donc, en posan v := ±ξ/ ξ, on a encore df a (v) 0 e v = 1. De plus nous choisissons le signe ± devan ξ/ ξ de façon à ce que l on ai df a (v) > 0. A présen nous écrivons que f es différeniable en a : a + h U, f(a + h) = f(a) + df a (h) + h ε(h), où lim h 0 ε(h) = 0 e nous exploions cee idenié avec h = v, où R es suffisammen proche de 0 pour que a + v U. Cela donne f(a + v) = f(a) + df a (v) + ε(v). Comme lim h 0 ε(h) = 0, il es possible de choisir > 0 mais assez pei pour que ε(v) 1 2 df a(v). Alors f(a + v) f(a) + df a (v) 1 2 df a(v) = f(a) df a(v) > f(a). E cela conredi le fai que a es un maximum local. Remarque Une hypohèse fondamenale dans ce résula es que U soi un ouver. En effe le résula cesse d êre vrai en général sur un ensemble qui ne serai pas ouver. Par exemple la foncion f : [ 1,1] R définie par f(x) = x aein son maximum en 1 e bien évidemmen f (1) 0. La raison es que [ 1,1] es n es pas un ouver (c es en l occurence un fermé). En général, la réciproque au résula précéden n es pas vraie. Voici deux exemples qui illusren cela. la foncion f : R R définie par f(x) = x 3 a un poin d inflexion en 0. En pariculier 0 es un poin criique de f, mais ça n es ni un maximum, ni un minimum. la foncion f : R 2 R (x,y) x 2 y 2 adme 0 comme unique poin criique. Mais 0 n es ni un ni un maximum, ni un minimum, c es un poin selle : quand on «regarde» le graphe de f d une ceraine façon, c es à dire 13

14 si on éudie la resricion de f à la droie {(x,0) x R}, 0 es alors un minimum local de cee resricion; mais quand on «regarde» le graphe de f d une aure façon, c es à dire si on éudie la resricion de f à la droie {(0,y) x R}, 0 es alors un maximum local de cee resricion. Théorème 5 Soi U un ouver de R n e f : U R une foncion de classe C 2. Soi a U un poin el que df a = 0, i.e. a es un poin criique de f la marice hessienne de a défini une forme quadraique définie posiive, i.e. (ξ 1,,ξ n ) R n, 2 f ξ (a)ξ i ξ j = Hess(f) a (ξ) = Q a (ξ) x i i,j=1 es une forme définie posiive. Alors a es un minimum local. De même, si df a = 0, i.e. a es un poin criique de f la marice hessienne de a défini une forme quadraique définie négaive. Alors a es un maximum local. Démonsraion Nous ne monrerons que le premier cas (si Hess(f) a es définie posiive). Nous uiliserons la formule de Taylor donnée au héorème 4 : f(b) = f(a) + j=1 (a)(a j b j ) + i,j=1 Elle enraîne que, si l on suppose que a es poin criique, f(b) = f(a) + i,j=1 E donc, si on es capable d éablir que : ( 1 2 ) f (a + θ(b a)) (b i a i )(b j a j ). 2 x i ( 1 2 ) f (a + θ(b a)) (b i a i )(b j a j ) = f(a) x i 2 Q a+θ(b a)(b a). r > 0, el que b B(a,r), θ [0,1], Q a+θ(b a) > 0, (4) alors on aura monré que a es un minimum local. Nous allons consacrer le rese de la preuve à vérifier ce poin délica. Pour cela nous raisonnons par l absurde e supposons le conraire de (4) : r > 0, c B(a,r) el que : Q c 0. Nous choisissons r 0 > 0 el que B(a,r 0 ) U e nous appliquons l asserion précédene pour r = r 0 p+1, où p N : pour chaque valeur de p N, nous obenons ainsi une valeur c p B(a, elle que Q cp < 0. Cee dernière inégalié signifie qu il exise un veceur ξ p R n el que r 0 p+1 ) Q cp (ξ p ) 0. (5) Sans pere de généralié, nous pouvons supposer que ξ p = 1, p N. Nous avons ainsi une suie (c p,ξ p ) qui prend ses valeurs dans le compac B(a,r 0 ) B(0,1) e elle que (5) a lieu. Uilisons le héorème de Bolzano Weiersrass : nous pouvons exraire une sous-suie (c ϕ(p),ξ ϕ(p) ) qui converge vers une limie (c,ζ) B(a,r 0 ) B(0,1). Mais comme par ailleurs lim p c p = a, qui enraîne lim p c ϕ(p) = a, on en dédui que c = a. De plus la norme sur R n éan une 14

15 foncion coninue, nous avons ζ = lim p ξ ϕ(p) = lim p 1 = 1. A présen, nous uilisons simplemen le fai que (x,ξ) Hess(f) x (ξ) es une foncion coninue sur B(a,r 0 ) B(0,1) e passons à la limie dans l inégalié (5) (en y remplaçan p par ϕ(p)) : nous obenons : Q a (ζ) 0, (mais en même emps ζ = 1!), ce qui es es bien enendu en conradicion avec l hypohèse que Q a es définie posiive. 1.9 Eude en dimension 2 En guise d applicaions des résulas précédens, voyons commen nous pouvons analyser une foncion de deux variables. En préliminaire voyons quelques propriéés des formes quadraiques en dimension deux. Soi Q une forme quadraique sur R 2. Dans les coordonnées (x,y) relaives à la base canonique, elle s écri : Q(x,y) = px 2 + 2rxy + qy 2. E alors sa marice dans la base canonique es ( q r M = r q Nous savons que cee marice symérique es diagonalisable dans une base orhonormée, avec des valeurs propres réelles λ,µ. Il es inéressan de savoir rerouver les signes de λ e µ sans avoir à les calculer. Premièremen, du fai que ). pq r 2 = dem = λµ, on dédui que : la forme quadraique Q es non dégénérée ssi pq r 2 0; alors les valeurs propres λ e µ son non nulles e, en pariculier, on chacune un signe bien défini si pq r 2 > 0, alors λ e µ son de même signe au conraire, si pq r 2 < 0, alors λ e µ son de signe conraire. Par ailleurs, p + q = rm = λ + µ, donc, dans le cas où pq r 2 > 0, c es à dire si λ e µ son de même signe, si p + q > 0, alors λ e µ son oues les deux sricemen posiives si p + q < 0, alors λ e µ son oues les deux sricemen négaives. A présen, soi U un ouver de R 2 e f : U R une foncion de classe C 2 e posons-nous la quesion de savoir où son les exréma locaux de f (s ils exisen). D abord, nous savons que, s il y a un exrémum, il fai parie de l ensemble des poins criiques. La première âche consise donc à rechercher ous les poins criiques de f, c es à dire les soluions (x,y) de l équaion df (x,y) = 0 (x,y) = (x,y) = 0. x y Ensuie, pour chaque poin criique a, il fau se demander s il es un exrémum. Pour cela, on commence par calculer la marice hessienne de f en a (c es à dire la marice de la forme quadraique hessienne Q a ). Noons p = 2 f (a), q = 2 f (a) e r = 2 f ( x) 2 ( y) 2 x y (a). 15

16 Si pq r 2 0 la forme quadraique es non dégénérée. Si pq r 2 > 0 e p + q > 0, les valeurs propres de la marice hessienne son oues les deux sricemen posiives, donc Q a es définie posiive, donc, d après le héorème 5, a es un miminum local. Si pq r 2 > 0 e p + q < 0, les valeurs propres de la marice hessienne son oues les deux sricemen négaives, donc Q a es définie négaive, donc, d après le héorème 5, a es un maximum local. Si pq r 2 < 0 les deux valeurs propres de la forme quadraique son de signes conraire, le poin criique a es un poin selle (en pariculier, il n es pas un exrémum local). Si pq r 2 = 0, la forme quadraique Q a es dégénérée, on ne peu rien conclure en général. 16