CONVERSION DE PUISSANCE

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1 Spé y Devoi n 6 CONVERSION DE PUISSANCE Une alimentation de d odinateu de bueau est assez paticulièe, elle doit founi des tensions de +5, +12, 5 et 12 volts avec une puissance moyenne de quelques centaines de watts. Une alimentation basse tension odinaie abaisse la tension altenative de 220V à quelques volts pa un tansfomateu, edesse, filte et égule le secondaie du tansfomateu pou donne, pa exemple, du 12V continu. Une telle alimentation, si elle devait founi 00W, en consommeait envion 1000 (les 700 estants seaient dégagées sous fome de chaleu). De plus, elle pèseait plus de 15 kilogammes. Devant ce dégagement themique qui se taduit pa un endement tès faible, les fabicants utilisent une aute méthode, l'alimentation dite à découpage. Les figues sont assemblées à la fin de l énoncé. Patie I ALIMENTATION A DECOUPAGE On étudie ici une stuctue simplifiée possible pou ce type d alimentation (figue 1). La souce de tension constant E modélise la tension obtenue à pati du secteu pa une cellule de edessement et de filtage non étudiée ici. On ne s intéesse qu au fonctionnement péiodique (on nomme T la péiode). La séquence de commande des inteupteus est la suivante : 0 t < αt, K femé, K ouvet αt t T, K ouvet, K femé. On considèe connus : E = 50 V ; T = 50 µs. On suppose dans un pemie temps que la chage, constituée pa l association R//C entouée en pointillés, se compote comme une souce de tension U = E. On se place dans l hypothèse où le couant dans la bobine d inductance L ne s annule jamais. I-1) Détemine les expessions de i L (t), i K (t) et i K (t), intensités des couants dans la bobine L et les inteupteus K et K, su une péiode (on note I m et I M les valeus minimale et maximale de i L ). I-2) Repésente i L (t), i K (t) et i K (t). I-) Détemine, en fonction de E et α, la valeu de U = E. I-4) On ègle α à la valeu α = 0,6. La puissance moyenne founie pa la souce de tension E est alos P = 150W. On accepte une «ondulation» i L = I M I m maximale i Lmax = 0, A pou cette valeu de α = 0,6. a) Détemine la valeu minimale de l inductance L. b) Pou la valeu de L touvée à la question pécédente, détemine les valeus minimale I m et maximale I M de i L. I-5) Choix et caactéistiques des inteupteus a) Tace les potions de la caactéistique couant-tension décites pa chaque inteupteu su les intevalles [0, αt[ d une pat et [αt, T[ d aute pat. Spé y page 1/6 Devoi n 6 PDF céé avec la vesion d'essai FinePint pdffactoy

2 b) En déduie les fonctions de commutation, tansisto ou diode, utilisables pou K et K (les inteupteus sont supposés idéaux). c) Que vaut la valeu moyenne V 0 de la tension v K aux bones de K? I-6) On se place à nouveau dans les conditions du 4 : α = 0,6 et P = 150W. En éalité, la tension U aux bones de l association R//C n est pas constante : c est une fonction péiodique qui pésente une légèe ondulation. On suppose que cela ne modifie patiquement pas i L, i K et i K, qui consevent les mêmes fomes que pécédemment. a) Détemine, littéalement et numéiquement, les intensités moyennes I R et I C des couants dans la chage R et dans le condensateu C en fonction de α, P et E. b) Détemine numéiquement les valeus moyennes P R et P C des puissances dissipées dans R et dans C. Patie II TRANSFORMATEUR D IMPULSIONS En éalité, on assue une isolation galvanique ente la souce de puissance E et la sotie de l alimentation. Pou cela on utilise un tansfomateu à noyau de feite dont la coube d aimantation est modélisée su la figue 2. La peméabilité magnétique elative de la feite sea notée µ. Ce noyau de fome toique a une longueu moyenne l et une section doite S unifome. On suppose la valeu de S suffisamment petite pou pouvoi considée tous les champs unifomes su cette suface. Le bobinage du pimaie contient N 1 spies et le secondaie N 2. II-1) Relation généale On suppose le tansfomateu alimenté pa une tension u 1 (t) de dépendance tempoelle quelconque et dont le secondaie est femé su une chage ésistive. On note Φ(t) le flux magnétique tavesant chaque section du noyau, appelé flux commun. On utilise les oientations indiquées su la figue. a) Expime Φ(t) en fonction du module du champ magnétique B dans le noyau. En déduie la coube Φ = f(h). Qu appelle-t-on fonctionnement linéaie et fonctionnement satué du tansfomateu? b) On néglige la ésistance du pimaie et du secondaie. Expime u 1 (t) en fonction de Φ(t) dans le fonctionnement linéaie. En déduie que Φ(t) est une fonction continue pou tout t. Établi la elation ente u 1 (t), u 2 (t). On poua pose m N 2 =. N c) Établi la elation ente i 1 (t), i 2 (t) et Φ(t) dans le fonctionnement linéaie (avec des gandeus constantes caactéistiques du système). Que peut-on conclue concenant la continuité de la fonction i 1 (t)? d) On étudie le fonctionnement satué (B = B SAT ). Que peut-on die du flux commun dans ce fonctionnement? En déduie u 2 (t) et i 2 (t). Monte que pou étudie le pimaie, on ne peut plus néglige sa ésistance (qui est néanmoins faible). Que se passe-t-il pou i 1 (t)? II-2) Compotement du tansfomateu dans l alimentation à découpage Dans le schéma de la figue 1, on veut place le tansfomateu ente la souce E et la chage R//C. a) Pouquoi ne peut-on place le pimaie du tansfomateu diectement en sotie de la souce constante E? b) On insèe un inteupteu commandé K ente la souce et le pimaie du tansfomateu (figue 4). Pou t < 0, on suppose K ouvet et Φ = 0 (noyau initialement démagnétisé). On feme l inteupteu K à l instant t = 0. On néglige la ésistance du pimaie. Expime Φ(t) pou Spé y page 2/6 Devoi n 6 1 PDF céé avec la vesion d'essai FinePint pdffactoy

3 t > 0. On note τ l instant où la satuation est atteinte. Expime le poduit E.τ en fonction de N 1, S et Β SAT. c) Tace les chonogammes de u 1 (t), u 2 (t) et Φ(t) pou t [0, τ ] avec τ > τ. Justifie le nom de tansfomateu d impulsions donné à ce dispositif. Peut-on éellement faie fonctionne le dispositif su le domaine [0, τ ]? d) Apès l impulsion de tension délivée au secondaie pendant une duée τ 1 (τ 1 < τ), il faut eplace le noyau magnétique dans l état initial non magnétisé (Φ = 0). Apès la phase étudiée ci-dessus suit donc une phase de duée τ 2 au cous de laquelle le flux Φ est amené à la valeu nulle en ouvant l inteupteu K. Explique qualitativement ce qui se poduit si la démagnétisation n est pas totale [Φ(τ 1 + τ 2 ) 0] los d un fonctionnement péiodique de l inteupteu. Patie III ALIMENTATION FORWARD Pou évite les effets de la satuation du noyau, il est nécessaie d avoi un fonctionnement cyclique. Plusieus montages sont possibles. Une alimentation de type fowad à le schéma epésenté figue 5. On a placé un toisième enoulement de N spies su le noyau magnétique du tansfomateu. Les diodes D 1, D 2 et D sont supposées pafaites. La chage, constituée pa l association R//C entouée en pointillés, se compote comme une souce de tension constante U = E. On ne s intéesse qu au fonctionnement péiodique (on nomme T la péiode de commande de l inteupteu K). La séquence de commande de l inteupteus est la suivante : 0 t < αt, K femé ; αt t T, K ouvet. III-1) En tenant compte des oientations indiquées su la figue, établi la elation ente i 1 (t), i 2 (t), i (t) et Φ(t) dans le cas généal. III-2) Pemièe phase de fonctionnement a) À l instant t = 0, on feme l inteupteu K. Monte que la diode D est bloquée quel que soit l intensité i 2. b) On suppose i 2 = 0. L intensité ciculant dans le pimaie est alos le couant magnétisant i m (t). Expime i m (t) à l aide des constantes E et L 1 (inductance pope du pimaie). On posea i m (t = 0) = 0. c) On suppose maintenant i 2 0. D 2 est passante. Monte que D 1 est bloquée. Expime i 2 (t) à l aide des constantes E, U, L et m. On posea i 2 (t = 0) = I m. d) Déduie des expessions de i m (t) et i 2 (t) obtenues ci-dessus, l expession de i 1 (t) valable tant que l inteupteu K est femé. III-) Deuxième phase de fonctionnement a) À l instant t = αt, on commande l ouvetue de K. D 1 et D deviennent passante E alos que D 2 se bloque. Monte qu alos i t L t T Eα T ( ) = ( α ) + (L inductance pope de L1 l enoulement tetiaie). b) Pou obteni la démagnétisation du noyau, il faut obteni i = 0. À quel instant t 1 = (α + β)t cela se poduit-il? Sachant que (α + β) < 1, tace les chonogammes des intensités au pimaie i 1 (t), i (t) et i(t). c) Étudie la tension au secondaie v 2 (t) et tace son chonogamme. En déduie <v 2 >. Spé y page /6 Devoi n 6 PDF céé avec la vesion d'essai FinePint pdffactoy

4 Patie IV MOTEUR SYNCHRONE AUTOPILOTE Les moteus sevant à la otation des disques dus ou des lecteus CD et DVD sont des moteus synchones auto-pilotés. IV-1) Le stato du moteu pote tois bobinages identiques, alimentés en couant tiphasé. Chacun d eux est assimilé à une spie plate, pacouue pa le couant i k (t) avec k {1, 2, }, et d axe n k. Les angles sont ( u X, n 2 ) = 2 π et ( u X, n ) = 4 π. L alimentation tiphasée est caactéisée pa l ensemble des couants : F 2π F i1( t) = I cos( ωt), i2 ( t) = I cos ωt, i( t) I cos ωt I HG K J = HG a) On admet que la spie pacouue pa le couant i k cée en tout point de l entefe le champ magnétique B k (t) = G.i k (t) n k. Calcule la composante su u X du champ ésultant B S (t) = B 1 (t) + B 2 (t) + B (t). b) On admet que la composante su u Y de B S (t) peut s écie B ( t ) = SY GI sin( ωt 2 ) Que peut-on die de la diection du champ B S (t) et de son module? IV-2) Le oto pote des aimants pemanents. Pou simplifie, on considèe un seul de ces aimants, de moment dipolaie M (t) de module M constant et de vecteu unitaie n (t). La position du oto est epéé pa l angle θ(t) ente n (t) et n 1. a) Le oto toune à la vitesse angulaie ω R et l on a θ(t) = ω R t θ 0. Expime la valeu algébique instantanée Γ(t) du moment des foces de Laplace execées su le oto. Pou quelle valeu de ω R la moyenne tempoelle de Γ(t), notée Γ, est-elle non nulle? Expime alos Γ en fonction de G, I, M et θ 0 et indique à quelle plage de valeus de θ 0 coespond le fonctionnement moteu de la machine. b) Le moteu synchone entaîne une chage dont le couple ésistant est noté Γ R. Quelle est la valeu maximale Γ M que peut pende Γ R en égime pemanent? c) En supposant 0 <Γ R < Γ M et 0 θ 0 2π, monte qu il existe deux points de fonctionnement en égime pemanent. Étudie la stabilité de ces égimes pa appot à d éventuelles petubations de la vitesse de otation. IV-) On s intéesse au flux Φ 1 (t) du champ magnétique poduits pa le oto dans la spie 1 du stato. Ce flux, dépendant de la position du oto pa l intemédiaie de l angle θ(t) est décit pa le pemie hamonique de son développement en séie de Fouie : Φ 1 (t) = Φ 10 cos[θ(t) + ϕ 1 ]. On convienda que Φ 10 est positif. a) Que epésente le plan contenant l axe (O, z) et le vecteu n (cf. figue 7) pou le système constitué de la spie modélisant le moment dipolaie du oto et les pièces métalliques? déphasage ϕ 1 b) Détemine les valeus de θ(t) endant le flux Φ 1 (t) nul. En déduie la valeu du c) En déduie, pou ω = ω R, la foce électomotice ε 1 (t) induite dans la bobine 1 du stato en fonction de Φ 10, ω, t et θ 0. Quelle est sa valeu efficace E 1EFF? d) Expime i 1 (t) et ε 1 (t) en fonction, en paticulie, de θ(t) et θ 0. En notant ψ l avance de phase de i 1 (t) su ε 1 (t), expime ψ en fonction de θ 0. 4π I K J Spé y page 4/6 Devoi n 6 PDF céé avec la vesion d'essai FinePint pdffactoy

5 IV-4) On modélise la bobine 1 du stato pa le schéma électique de la figue 8. Écie l équation donnant u 1 (t) en fonction de i 1 (t) et e 1 (t) = ε 1 (t). La epésentation de Fesnel de cette équation est donnée figue 9. En déduie une elation simple ente les valeus efficaces E 1EFF, U 1EFF et les déphasages ϕ et ψ dans le cas où l on néglige la chute ohmique de potentiel devant les autes tensions. IV-5) Le moteu est alimenté pa un convetisseu continu-altenatif qui est elié à une souce de tension constante de valeu U C telle que UC = 6 U1EFF cos( ϕ) et qui absobe le couant π constant d intensité I 0 (voi figue 10) Afin d'assue en pemanence le synchonisme ente le oto et le champ glissant céé pa le stato, ce qui évite tout isque de décochage, les signaux de commande des inteupteus du convetisseu sont élaboés à pati d'impulsions issues d'un capteu qui détecte tès pécisément la position du oto. Ainsi, il est possible d assevi la féquence des couants statoiques à la vitesse angulaie du oto ; de fixe le déphasage ψ ente le fondamental du couant i k (t) et la f.é.m. e k (t) pou chaque enoulement du stato, confomément aux oientations choisies su le schéma ci-dessus. Le moteu ainsi alimenté et contôlé est dit autopiloté. a) Monte que la vitesse de otation de l abe du moteu est popotionnelle à U C. b) Le convetisseu ayant un endement unitaie et en négligeant les petes dans le moteu, monte que le couple execé pa le moteu est popotionnel à I 0. c) Le type de moteu étudié ici, avec son pilotage, est souvent appelé moteu à couant continu sans balai ou bushless. Justifie cette expession et indique ses avantages pa appot au moteu à couant continu à excitation sépaée. On appelle les elations : 1 cos( a) cos( b) = cos( a + b) + cos( a b) 2 1 sin( a) cos( b) = sin( a + b) + sin( a b) 2 F a + b F a b cos( a) + cos( b) = 2cos cos 2 2 I HG K J I HG K J F a + bi a b HG K J F I HG K J 2 2 sin( a) + sin( b) = 2 sin cos Annexe 1 sin( a) sin( b) = cos( a b) cos( a + b) 2 F I HG K J F I HG K J F a bi a + b HG K J F I HG K J 2 2 a + b a b cos( a) cos( b) = 2sin sin 2 2 sin( a) sin( b) = 2sin cos Spé y page 5/6 Devoi n 6 PDF céé avec la vesion d'essai FinePint pdffactoy

6 Figues i L L i K K i K i C i R B SAT i 1 (t) i 2 (t) E K U C R H SAT H SAT H u 1 (t) u 2 (t figue 1 B SAT figue 2 figue i 1 (t) i 2 (t) i i 1 i 2 D 2 L E u 1 (t) K figue 4 i 2 (t) n 2 n u 2 (t) u Y i 1 (t) figue 6 n 1 i (t) E u X v 1 v K D N v D i v 2 v D1 D 1 U C R n (t) figue 7 figue 5 n 1 M (t) θ(t) i 1 (t) ψ U 1 u 1 (t) R 1 L1 e1(t) figue 8 ϕ I 1 figue 9 U C I 0 = CONV ~ i 1 u 1 MOTEUR SYNCHRONE Capteu de position α N figue 10 PILOTAGE Spé y page 6/6 Devoi n 6 PDF céé avec la vesion d'essai FinePint pdffactoy

7 Spé y Devoi n 6 CONVERSION DE PUISSANCE Commentaies du D.S. Ce devoi popose des questions simples et d autes plus délicates autou du pincipe des alimentations à découpage (tès utilisées dans la vie couante) et des moteus bushless. Patie I Execice donné à CCP PSI en 2001 (deux pages d énoncé su neuf du poblème de physique) : il ne faut pas taîne. I-1) Il faut justifie la coissance de i L (t) dans la pemièe phase (pa le signe de E). Ne pas oublie le changement d oigine des temps dans la deuxième phase si l on veut égale la constante d intégation à I M. 2) Dessine plus qu une péiode pou bien monte l évolution des coubes. On peut dessine les segments veticaux aux discontinuités. Il sont visibles à l oscillo en T.P. ) Il suffit d applique la continuité de i L pou obteni le ésultat. 4-a) Pende l expession de l ondulation de couant utilisant E. b) La valeu moyenne d un poduit n est pas le poduit des valeus moyennes. Pa conte, on peut soti E de l intégale pace qu il est constant. Calcule <i L > pa la suface sous la coube, c est plus simple. Jusqu ici, les questions ont dans l ensemble été bien faites. 5-a) Il faut pécise l oientation tension-couant choisie pou les inteupteus. Le domaine de l intensité est boné et la valeu de la tension fixée losque l inteupteu est ouvet. b) Pou pécise comment sont place le tansisto et la diode, il faut edessine le cicuit complètement. c) Calcul tès simple mais cetain confonde les phase de fonctionnement. Le ésultat doit plutôt ête donné en fonction de la donnée E que E qui n est pas une donnée. 6-a) Tès peu d étudiants se endent compte que <i C > = 0. Le calcul de I R se fait là encoe en calculant la suface sous la coube. b) La puissance moyenne consommée dans le condensateu est nulle ca valeu moyenne d une déivée. Il n est donc pas nécessaie de connaîte la valeu de R pou calcule la puissance consommée pa la ésistance. Patie II Cette patie est voisine d un poblème donnée à CCP PC en 2001 et peut ête considéée comme un classique su le tansfomateu. 1-a) Dans le calcul du flux, c est la pojection de B su n Σ, c est-à-die la valeu algébique de B su la diection de n Σ, qui intevient et non le module de B. Ceux qui expime Φ(t) avec B n hésitent cependant pas à tace la coube Φ = f(h) avec des valeus négatives pou Φ! b) Tès peu elie l oientation de la f.e.m. d induction à la position de la bone homologue. Cela entaîne des eeus de signe. c) Le mot magique «Ampèe» ne suffit pas comme explication. Il faut une phase complète indiquant le contou utilisé et son oientation. L absence de ces deux mots fait pede des points. Un schéma du bobinage est bienvenu pou justifie le signe des couants. Φ appaaît comme une combinaison linéaie de i 1 et i 2. On ne peut conclue su leu continuité. d) Tès peu d étudiants se appellent que le pimaie est elié à la souce de tension et que donc u 1 est imposée pa cette souce et non pa l induction. Spé y page 1/2 Devoi n 6 PDF céé avec la vesion d'essai FinePint pdffactoy

8 2-a) Cetains imaginent le pimaie comme un généateu de tension. Ce n est pas le cas. Sans souce, il n y a pas de tension! b) L eeu de signe en 1-b conduit ici à une elation abeante ente gandeus positives avec un signe ente elles! Patie III 1) On applique le théoème d Ampèe avec les mêmes pécautions qu en II-1-c. Un schéma du bobinage est nécessaie, en tenant compte de manièe pécise de la position des bones homologues pou bien positionne la bobine 1 et la bobine. 2-a) Le blocage d une diode est la conséquence de la valeu de la tension à ses bones et non du couant. Il faut donc détemine la tension v D pou monte le blocage. b) Si l on admet le fonctionnement des diodes poposé, les calculs de i m, i 2 et i 1 sont tès simples. -a,b) Quate copies sont pavenues à peu pès au ésultat. Patie IV IV-1-a) Le calcul est bien fait dans une vingtaine de copies. Cetes les fomules tigo étaient données mais c est encouageant. b) Si l on évoque un champ tounant, il faut indique sa vitesse de otation. 2-a-b-c) Ces questions ne font que épéte le cous su la machine synchone. Mais il n est pas assez bien connu dans la plupat des copies. et 4) Questions un peu plus délicates (et tès peu abodées) mais abodant le pincipe de la machine synchone autopilotée. Conclusion Il y a eu moins d eeus gossièes dans ce devoi. Il est appau une cetaine familiaité avec le sujet. Cela se taduit pa une efficacité moyenne plus gande. Mais le tavail est top lent. Toutes les questions faciles ne sont pas abodées. Cetains ne espectent toujous pas les ègles de édaction. Ils sont pénalisés systématiquement. Spé y page 2/2 Devoi n 6 PDF céé avec la vesion d'essai FinePint pdffactoy