NOMBRES COMPLEXES * 4.1 Construction du corps des nombres complexes * Plan complexe (plan de Gauss) * 7

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1 NOMBRES COMPLEXES * ème année (nveau avancé). Constructon du corps des nombres complexes *. Opératons dans *. Plan complexe (plan de Gauss) * 7. Forme trgonométrque d un nombre complexe *.5 Forme exponentelle d un nombre complexe * 5. Pussances et racnes * 7.7 Théorème fondamental de l algèbre *.8 Ce qu l faut absolument savor *.9 Solutons des exercces * 7 Pcchone Serge 7-8

2 Pcchone Serge 7-8

3 . Constructon du corps des nombres complexes * Le mathématcen Léopold Kronecker (8-89) exprme l dée qu l est possble de construre, à partr des enters naturels, de nouveau nombres, par extensons successves de l ensemble. L équaton x 7 + n a pas de soluton dans, mas dans, S { } L équaton x n a pas de soluton dans, mas dans, L équaton L équaton x Défntons *. S. n a pas de soluton dans, mas dans, S { ; }. x n a pas de soluton dans, mas elle en a dans l ensemble que voc : On admet l exstence d un nombre «magnare», noté, vérfant. Un nombre complexe est un nombre de la forme a+ b, où a et b sont deux nombres réels. (forme algébrque) a+ b, a est la parte réelle de, notée Re() b est la parte magnare de, notée Im() L ensemble des nombres complexes est noté. Exemples * + avec Re( ) et Im( ) + avec Re( ) et Im( ) est appelé magnare pur quand Re( ) 7+ 7 est appelé réel quand Im( ) Remarques * a) On a les nclusons suvantes : L applcaton suvante explque l ncluson : a a+ b) Dans ce chaptre, un nombre réel dot être vu comme un nombre complexe avec une parte magnare nulle. c) Sot a+b et a+b alors a a et b b. Autrement dt, deux nombres complexes sont égaux s et seulement s leurs partes réelles et magnares sont égales. _ P.S. / 7-8 Nombres complexes / N-A

4 d) Dans ce nouvel ensemble, des nombres complexes, toute équaton polynomale du ème degré admet deux solutons. En effet, par exemple l équaton se résout de la manère suvante : ( ) ( )( ) ( ) + ± S { + ; ; } e) Proposton : Le nombre complexe. Démonstraton (par l absurde) : Par défnton Supposons que : ( ) Def de Proprété de la racne ( ) ( ) contradcton. Opératons dans * Sot a+b et a+b deux nombres complexes. On défnt deux opératons dans : la somme : + (a+ b) + (a + b) a+ b + a + b (a + a ) + (b+ b ) le produt : ( ) + ( + ) (a b)(a b ) a a a b a b bb a a bb a b a b Exemples * S et + alors + ( ) + (+ ) 5 ( ) ( + ) L opposé de a + b est le nombre complexe noté ' tel que + ' ' + (élément neutre pour l addton). Alors ' a b et on le note usuellement : '. Exemple : S alors + et ( ) ( ) Comme tout nombre possède un opposé, on défnt la soustracton + comme la somme : ( ) Exemple : S et Remarque * + alors ( ) + ( ) + ( ) En pratque, on effectue la somme et le produt de nombres complexes en applquant les proprétés de l addton et de la multplcaton dans et en remplaçant par. Pour tout nombre complexe a+ b (forme algébrque), le conjugué de est le nombre complexe a b, noté. Remarque : ( a + b)( a b) a + ab ab b a + b Exemple : S alors + et ( ) + _ P.S. / 7-8 Nombres complexes / N-A

5 L nverse de a + b est le nombre complexe ' tel que ' ' (élément neutre pour la multplcaton). a b Alors ' ( a b) a + b a + b a + b et on le note usuellement '. Exemple : S alors ( ) et ( ) + + Comme tout ' possède un nverse, on défnt la dvson comme le produt. Exemple : S et + alors ( ) ( ) ( ) Remarque * On ne peut pas comparer des nombres complexes : < ou > n a pas de sens! Proprétés des nombres complexes * Les nombres complexes joussent des proprétés c-dessous, c est-à-dre que quelles que soent les nombres complexes, v et w, les relatons suvantes sont toujours vraes : ) La somme de deux nombres complexes est un nombre complexe (lo de composton nterne). ) Le produt de deux nombres complexes est un nombre complexe (lo de composton nterne). ) + v v+ v v commutatvté. ) + (v+ w) (+ v) + w (v w) ( v) w assocatvté. 5) + + exstence d un élément neutre. ) ( ) ( ) + exstence d un élément symétrque. 7) (v + w) v + w dstrbutvté de la multplcaton par rapport à l addton. En mathématque, un ensemble mun de deux opératons qu satsfont toutes les proprétés énoncées c-dessus est appelé un corps commutatf. Remarques * a) + (élément neutre pour l addton) + (élément neutre pour la multplcaton) b) < ; + ; >, < ; + ; > et < ; + ; > sont des corps commutatfs mas pas < ; + ; > et < ; + ; >. _ P.S. / 7-8 Nombres complexes / N-A

6 Exercce * Effectuer chacune des opératons ndquées : a) (+ ) + ( 7 ) b) ( 7 ) + (+ ) c) (8 ) ( 7+ ) d) ( 7+ ) (8 ) e) (5+ ) + (( + ) + (7 5) ) f) ( ) (5+ ) + ( + ) + (7 5) g) (+ ) ( 7 ) h) ( 7 ) (+ ) ) (5+ ) ( ( + ) (7 5) ) j) ( ) (5+ ) ( + ) (7 5) k) (5+ ) ( ( + ) + (7 5) ) l) (( 5 ) ( )) (( 5 ) (7 5 )) Exercce * a) Détermner la parte réelle et la parte magnare de chacun des nombres complexes suvants : ) ) ) ( ) ) b) Mettre le nombre complexe sous la forme a+ b, pus vérfer que est une + soluton de l'équaton polynomale : Exercce * Calculer dans : a) b) ,,,,,,,,,...,,,,,...,, Exercce * a) Monter que s a + b alors son opposé est : a b. a b b) Monter que s a + b alors son nverse est : a + b a + b. Exercce 5 * Rappel : pour tout nombre complexe a+b, le conjugué de est a b. Sot a+b et w c+d deux nombres complexes. Démontrer les proprétés du conjugué suvantes : ) ) ) + Re() a + b 5) est réel 7) + w + w 8) w w 9) ) s w : w w ) Im() ) est magnare pur s : Exercce * _ P.S. / 7-8 Nombres complexes / N-A

7 Montrer que s le nombre complexe est soluton de l équaton alors est auss soluton de l équaton. Indcaton : utlser les proprétés du conjugué Exemples de résoluton d équatons dans Equaton polynomale de degré ( ) ( 5)( + ) ( )( ) 5 ( ) S Equatons polynomales de degré a) Avec la formule de Vète : a ;b ;c 5 et Δ b ac < b± Δ ± ± ± ±, ± a Vérfons que + est ben soluton de notre équaton : ( + ) + ( + ) Idem pour. S { + ; } b) a + b + c ( cas général ) b c b b c a + b + c a + + a + a a a a a b b ac Δ b ac b Δ b Δ a + a + + a a a a a a S Δ > alors l équaton admet deux solutons réelles dstnctes b Δ b Δ b Δ a a a a a a b+ Δ b Δ b+ Δ b ou a a a a Δ _ P.S. / Nombres complexes / N-A

8 S Δ alors l équaton admet une soluton réelle double b b b a a a a b a S Δ < alors l équaton admet deux solutons non réelles conjuguées b Δ Δ< b Δ b Δ a a a a a a b Δ b Δ b+ Δ b Δ a a a a a a b + Δ ou b Δ a a Equatons avec des conjugués a) ( ) ( ) + + S b) ( + ) + ( ) Posons a+ b : ( + )( a+ b) + ( )( a+ b) + ( + )( a+ b) + ( )( a b) + ( a b) + ( a + b) + Comparons les partes réelles et magnares : b a b ( b) b a+ b a b a Exercce 7 * donc S Résoudre les équatons et systèmes d équatons suvants dans : (Réponse en valeur exacte) + b) ( ) ( )( ) a) ( ) c) w w + d) e) + f) + + g) + w w + w h) w ) w 7 j) w k) + + l) + + _ P.S. / 7-8 Nombres complexes / N-A

9 . Plan complexe (plan de Gauss) * On peut représenter tout nombre complexe a+ b dans un plan complexe en lu fasant correspondre le pont P ( a;b ) ou un vecteur OP a;b, de la manère suvante : ( ) Axe magnare a+ b P( a;b) b P(a;b) a+ b -a a Axe réel a b P( a; b) -b P( a; b) a b Exemple * Plaçons dans le plan complexe c-dessous les nombres: + w + ( ) ( ) ( ) ( ) + w w + + Axe magnare ( ) ( ) w w w Axe réel -w -w Remarques * a) L addton entre deux nombres complexes et la multplcaton entre un scalare et un nombre complexe, correspond aux opératons entre vecteurs dans (règle du parallélogramme,etc.). b) Pour calculer et placer le produt w ou le quotent /w de deux nombres complexes, on utlsera plutôt la représentaton exponentelle des nombres complexes (vor chaptre suvant). _ P.S. / Nombres complexes / N-A

10 Exercce 8 * a) Dans le plan complexe (mun d un repère orthonormé), placer les ponts (vecteurs) correspondant à : ; ; ; ; 5 ; ; 7 + ; 8. b) Effectuer les opératons ndquées, à la fos analytquement et graphquement : + 8 ; ; + 7 ; 5 ; c) Les nombres réels sont-ls des nombres complexes? Comment se notent-ls? d) Sur quel axe de coordonnées du plan complexe se représentent-ls? e) Où se représentent les nombres complexes de la forme + b, ou encore b? f) Comment sont appelés les nombres complexes de la forme + b, ou encore b? _ P.S. / Nombres complexes / N-A

11 Rappel * Cercle trgonométrque et quelques valeurs exactes pour cos(α), sn(α) et tan(α) On appelle cercle trgonométrque un cercle de rayon centré à l'orgne d'un système d'axe orthonormé. Le cosnus de l'angle α (noté cos(α)) est la premère coordonnée du pont P. Le snus de l'angle α (noté sn(α)) est la deuxème coordonnée du pont P. Le tangente de l'angle α (noté tan(α)) est la deuxème coordonnée du pont T. Exemple : cos sn tan y T 5 / / 9 P / / 8 - x 7 / / Remarques : 5 5 / / ,7,87,7,58 _ P.S. / Nombres complexes / N-A

12 . Forme trgonométrque d un nombre complexe * Défntons * Sot a+b un nombre complexe quelconque (forme algébrque). a) On appelle norme ou module de, noté, la longueur r du segment [ OP ]. b) On appelle argument de, noté arg ( ), la mesure en radan de l angle orenté θ entre l axe horontal et le segment [ OP ] à un multple de près. Autrement dt : arg( ) θ + k k. Axe magnare Relatons : b O r θ a P a+ b Axe réel r a + b a cos( θ ) r b tan( θ ) a b sn( θ ) r Proposton * Tout nombre complexe a+ b (forme algébrque) peut s écrre sous la forme trgonométrque + avec r > et arg( ) θ suvante : r( cos( θ ) sn( θ )) Démonstraton * y Sot a+ b un nombre complexe quelconque (forme algébrque). On a a rcos( θ ) et b rsn( θ ) (trgo. dans le trangle rectangle) a + b r cos( θ ) + r sn( θ ) r cos( θ ) + sn( θ ) Et donc ( ) Exemples * a) + avec a et b (forme algébrque). b b tan ( θ) θ arctan et r a + b a a Donc cos + sn (forme trgonométrque). Z x b) w cos + sn avec r et θ (forme trgonométrque). a rcos( θ ) b rsn( θ ) Donc w (forme algébrque). W _ P.S. / 7-8 Nombres complexes / N-A

13 Théorème * Sot et w deux nombres complexes quelconques. a) arg ( w) arg ( ) + arg ( w) w w w w w b) arg arg ( ) arg ( w) Autrement dt : Axe magnare r α β s w Axe réel Multpler deux nombres complexes revent à multpler leurs modules et à addtonner leurs arguments. Dvser deux nombres complexes revent à dvser leurs modules et à soustrare leurs arguments. Exemples * cos sn arg ( ) + et w cos + sn arg ( w) w w cos + sn car arg ( w) arg ( ) + arg ( w) + w w y cos + sn w 9 w car arg arg ( ) arg ( w) w 5 / w w w 8 Remarques * - - Thm. /w arg arg ( ) arg ( ) arg ( ) - Thm. Thm. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) arg arg arg + arg arg Thm. - 7 x _ P.S. / 7-8 Nombres complexes / N-A

14 Démonstraton * Sot r ( cos( α ) + sn( α )) et w s( cos( β ) sn( β )) r arg( ) α ( ) Rappel : Pour α et β : + deux nombres complexes quelconques. w s arg w β ) sn( α+ β )sn( α) cos( β ) + cos( α) sn( β ) ) cos( α+ β )cos( α) cos( β ) sn( α) sn( β ) ) sn( α β ) sn( α) cos( β ) cos( α) sn( β ) v) cos( α β ) cos( α) cos( β ) + sn( α) sn( β ) v) cos ( α)+sn ( α ) a) Multplcaton : ) ) ( α α ) β β ( α β α β ) ( α β α β ) w r cos( ) + sn( ) s(cos( ) + sn( )) r s (cos( ) cos( ) sn( ) sn( ) + cos( ) sn( ) + sn( ) cos( ) b) Dvson : [ α β α β ] r s cos( + ) + sn( + ) ( α + α ) r cos( ) sn( ) w s(cos( β ) + sn( β )) ( ) r cos( α) + sn( α) cos( β ) sn( β ) s (cos( β ) + sn( β )) cos( β ) sn( β ) ( cos( α)cos( β ) + sn( α)sn( β )) + ( sn( α )cos( β ) cos( α)sn( β )) r s cos ( β ) + sn ( β ) ) r cos( α β ) + sn( α β ) v ) s cos ( β ) sn ( β ) + v) r [ cos( α β ) + sn( α β )] s Corollare * (Formule de Movre (7-75)) n ( ) ( ) cos( α) + sn( α) cos( n α) + sn( n α) α et n Démonstraton en exercce. _ P.S. / 7-8 Nombres complexes / N-A

15 Exercce 9 * a) Détermner le module et l'argument de chacun des nombres complexes suvant. (S possble, répondre en valeur exacte) b) Écrre chacun des nombres complexes sous la forme algébrque et trgonométrque. (S possble, répondre en valeur exacte) y x Exercce * a) Écrre les nombres complexes suvants sous la forme trgonométrque : (Réponse en valeur exacte) w + ; w + ; ; ; ; w ; ; ; ; b) Placer ces nombres dans le plan complexe c-dessous. y x _ P.S. / 7-8 Nombres complexes / N-A

16 Exercce * Démontrer la formule de Movre : n ( ) ( ) cos( α) + sn( α) cos( n α) + sn( n α) α et n Exercce * Consdérons la sute de nombres complexes : n *,,,,...,,... n Démontrer que : a) S alors b) S > alors c) S < alors n lm n lm n n + n lm n Exercce * cos( α) + sn( α) en utlsant : a) Développer ( ) ) la formule de Movre. ) la formule du bnôme de Newton (denttés remarquables). ) Comparer la parte réelle et magnare de ) et ). v) Exprmer cos( α ) en foncton de cos( α ) et, sn( α ) en foncton de sn( α ). cos( α) + sn( α) en utlsant : b) Développer ( ) ) la formule de Movre. ) la formule du bnôme de Newton (denttés remarquables). ) Comparer la parte réelle et magnare de ) et ). v) Exprmer cos( α ) en foncton de cos( α ) et, sn( α ) en foncton de sn( α ). _ P.S. / 7-8 Nombres complexes / N-A

17 .5 Forme exponentelle d un nombre complexe * Proposton * Tout nombre complexe a+ b(forme algébrque) peut s écrre sous la forme exponentelle suvante : r e θ avec r >, arg( ) θ et e le nombre d Euler Exemples * a) Forme : algébrque trgonométrque exponentelle + avec a et b b b tan ( θ) θ arctan et r a + b a a Donc cos sn e + + b) Forme : exponentelle trgonométrque algébrque e avec r et θ a rcos( θ ) b rsn( θ ) Donc e cos + sn y c) 5 7 e e e e e e e x - 7 _ P.S. / Nombres complexes / N-A

18 Démonstraton * Sot r( cos( θ ) sn( θ )) + un nombre complexe (forme trgonométrque) avec r et arg( ) θ. Montrons que : θ e cos( ) sn( ) θ + θ θ. (formule d Euler (77-78)) Nous allons utlser le calcul dfférentel : cos( θ ) + sn( θ ) Posons f ( θ ) ( est une constante) e θ ' θ θ ' cos( θ ) + sn( θ ) ( cos( θ ) + sn( θ )) e ( cos( θ ) + sn( θ )) ( e ) θ e θ ( e ) θ θ ( sn( θ ) + cos( θ )) e ( cos( θ ) + sn( θ )) ( e ) f'( θ ) ' θ e θ θ θ θ sn( θ ) e + cos( θ ) e cos( θ ) e sn( θ ) e θ θ e e donc f ( θ ) cte θ. cos( ) + sn( ) S θ alors f ( ) e Fnalement : cos( θ ) + sn( θ ) + e θ f( θ ) θ e cos( θ ) sn( θ ) θ Proposton * (Relatons d Euler (77-78)) θ θ θ θ e + e e e cos( θ ) sn( θ ) θ Démonstraton en exercce. Remarque Deux nombres complexes ) r s ) θ α + k k r e θ et w s e α sont égaux s : _ P.S. / 7-8 Nombres complexes / N-A

19 . Pussances et racnes * Pussance n ème d un nombre complexe * Exemples * a) On veut calculer : ( + ) ( + ) ( + )... ( + ) + avec a et b 8 8 et arg( ) fos Thm Thm 8 e 8 e 8 e 5 e 5 cos + sn 5 ( + ( ) ) 5 b) On veut calculer : ( ) ( + ) ( + ) ( + )... ( + ) 8 fos + avec a et b et arg( ) 8 8 Thm ( 8) 8 e e e ( cos( ) + sn( ) ) ( + ) + Remarques * a) Pour calculer effcacement la pussance n ème d un nombre complexe on utlse le prncpe suvant : sous forme algébrque. Transformaton sous forme exponentelle. Théorème sur les arguments et modules. n sous forme algébrque. Transformaton n sous forme exponentelle. La pussance n ème d un nombre complexe se calcule faclement sous forme exponentelle grâce au théorème sur le module et l argument d un produt de nombres complexes. b) Pour calculer effcacement la somme de nombres complexes on utlsera la forme algébrque. _ P.S. / Nombres complexes / N-A

20 Cas général * Sot r e θ un nombre complexe avec r >, arg( ) θ et e le nombre d Euler. θ ( ) n Thm. n n n θ Avec n : r e r e Thm. n n nθ Avec n : r e r e n n n nθ n nθ r e r e Autrement dt : θ ( re ) ( n) ( n) θ n n n θ r e n Calculer la n ème pussance d un nombre complexe revent à calculer la n ème pussance du module et à multpler par n l argument. n n et n arg( ) n arg( ) _ P.S. / Nombres complexes / N-A

21 Racne n ème d un nombre complexe * Exemple * On veut calculer : + Posons + et w la racne carrée de. D où w w (par défnton de la racne carrée). On cherche toutes les solutons w de l équaton en écrvant et w sous forme exponentelle : w β ( se ) e β se e + s et β + k k Donc s et β k k w - - y w x + S k w e e cos + sn S k w e e cos + sn S k w w S { + ; } Cas général * Sot r e α on cherche w s e β n n tel que w w. Autrement dt, on cherche toutes n les solutons (complexes) de l équaton polynomale de degré n : w ( ) n w s e r e s e r e n β α n nβ α α + k β α + β n n n Donc s r et n k k s r et k α+ k α α + k k β n n n n n n n n Fnalement: w s e r e r e r e e On obtent les n racnes n èmes de : arg( ) k n n n n { } w e e k,,,...,n et n _ P.S. / Nombres complexes / N-A

22 Remarques * a) Tout nombre complexe non nul admet dans n racnes n èmes. Elles sont «les sommets» d un polygone réguler à n côtés dont le centre est l orgne du repère. b) Les racnes n èmes d un nombre réel sont deux à deux conjuguées (c.-à-d. le polygone est symétrque par rapport à l axe réel) c) Les solutons de l équaton n w sont appelées racnes n èmes de l unté. Exercce * a) Écrre les nombres complexes suvants sous la forme exponentelle : (Réponse en valeur exacte) w w + ; w ; ; ; ; w ; ; w ; b) Placer ces nombres dans le plan complexe c-dessous : y x Exercce 5 * Sot r e θ un nombre complexe avec r > et arg( ) θ. Consdérons l applcaton f: f() e α Quelle est la transformaton du plan assocée à cette applcaton lnéare f? Justfer à l ade d un dessn et d un calcul. _ P.S. / 7-8 Nombres complexes / N-A

23 Exercce * a) Démontrer algébrquement les relatons suvantes. b) Démontrer géométrquement les relatons suvantes (fare un dessn dans le plan complexe). ) α α e + e cos( α) α ) α α e e sn( α) α Exercce 7 * Smplfer l écrture : (Réponse en valeur exacte) ) ) e e e ) e + e 5) e e ) e + e + e + e ) e + e + e + e 7) ) 9 e 8) e 9 9 e ) e e + e + e + e + e 9) 5e + e ) 9 9 5e + e + e ) r e α α + s e ) α+ α+ r e + r e 5) e ( α+ β+ γ ) γ e ( α β) + e Exercce 8 * a) Sot le nombre complexe v. Écrre sous forme algébrque les nombres : (Réponse en valeur exacte) v ;v ; v ; v ; v 5 b) Sot le nombre complexe. ) Détermner, la plus pette des pussances entères postves de, qu permet l obtenton d'un réel. ) Détermner, la plus pette des pussances entères postves de, de façon à ce que son module sot plus grand que. Exercce 9 * a) Calculer dans : ) ) ) + ) 5) 5 (Réponse en valeur exacte et sous forme exponentelle) b) Représenter dans le plan complexe les solutons de ces équatons. c) Démontrer que : Tout nombre complexe non nul admet dans n racnes n èmes. Elles sont «les sommets» d un polygone réguler à n côtés dont le centre est l orgne du plan complexe. _ P.S. / 7-8 Nombres complexes / N-A

24 .7 Théorème fondamental de l algèbre * Défnton * On appelle polynôme (à coeffcents complexes) de degré n une expresson de la forme : P( ) a + a a + a + a avec a, a,..., a n et a n. n n n- n n- est racne de P s P( ) Exemples * a) P( ) ( + ) + + deg( P ) b) P( ) deg( P ) c) P( ) deg( P ) d) ( ) P( ) deg( P ) 5 Théorème fondamental de l algèbre * Dans, tout polynôme de degré n peut être écrt comme un produt de polynômes du premer degré et de façon unque. La démonstraton de ce théorème, sort du cadre de ce cours et ne sera donc pas exposée c. Exemples * a) P() + deg(p) b) Q() ( )( ) + + deg(q) Δ< c) R() - +5 (-5)(-5) deg(r) d) S() + + (+ ) ( ) ( ) deg(s) d) T() ( )( ) deg(t) e) U() ( + )( + ) ( + )( )( + )( ) Δ< Δ< deg(u) Remarque * Dans, les seuls polynômes qu ne soent pas factorsables sont ceux de degré. Corollare * (conséquence du théorème fondamental de l algèbre) Dans, une équaton polynomale de degré n admet exactement n racnes complexes (en tenant compte de leur multplcté). _ P.S. / 7-8 Nombres complexes / N-A

25 Exemples * a) L équaton polynomale de degré : ( )( ) possède racnes complexes est de multplcté, - est de multplcté et - est de multplcté. b) L équaton polynomale de degré 7 : ( ) ( + ) ( + ) possède 7 racnes complexes. est de multplcté, c) L équaton polynomale de degré : Démonstraton * est de multplcté et est de multplcté. + possède racnes complexes. Chaque facteur du er degré donne une soluton et l y en a exactement n dans la décomposton d'un polynôme de degré n. Remarques * a) Remarquons que le théorème fondamental de l algèbre ne donne pas de méthode de calcul pour trouver les racnes d'une équaton polynomale de degré n ; c est un théorème d exstence! b) Dans, une équaton polynomale (à coeffcents réels) de degré n admet au plus n racnes réelles (en tenant compte de leur multplcté). Théorème * Dans, les racnes d un polynôme P à coeffcents réels apparassent par couples de racnes conjuguées. Autrement dt : s P() P( ) Démonstraton * Sot une racne de P. On a P( ) a + a + a a et a, a,..., a n et a n. n n n En prenant les conjugués : a + a + a a. n n Proprétés du conjugué : + w + w et w w. Ce qu nous permet d écrre : ( ) ( ) ( ) ( ) a + a + a a a + a + a a a a a n n n n n n n n a + a + a a a + a + a a P( ) Ce qu montre que est également racne de P. Remarque * La récproque du théorème est fausse. Contre-exemple : P( ) ( )( + ) +. _ P.S. / 7-8 Nombres complexes / N-A

26 Exemples * a) (Équaton polynomale de degré à coeffcents réels) Vète : a ; b ; c 5 Δ < b ac 5 b ± Δ ± ± ±, ± a S { ; + } ( solutons complexes,deux à deux conjuguées ) b) ++ (Équaton polynomale de degré à coeffcents complexes) Vète : a ; b ; c Δ <, b ac 5 b ± Δ ± ± ± ± ± a S + ; + solutons complexes qu ne sont pas conjuguées ( ) c) - +- (Équaton polynomale de degré à coeffcents réels) P() P() ( -) Q() Dvsons P() par ( - ) : + ( ) Q() + ( ) R() ( ) ( ) Donc : P( ) ± D'ou : ( ) ( ) { } ( ) S ± ; + ; solutons complexes,deux à deux conjuguées Corollare * S P est un polynôme à coeffcents réels de degré mpar, alors celu c possède au mons une racne réelle. Démonstraton en exercce. _ P.S. / 7-8 Nombres complexes / N-A

27 Exemple * P( ) + est un polynôme à coeffcents réels de degré mpar (degré ), et l possède une racne réelle qu est. Exercce * a) Résoudre dans les équatons polynomales suvantes : Répondre sous forme algébrque et en valeur exacte. ) ) ) w w (Indcaton : utlser la substtuton : y w ) ) w w + (Indcaton : utlser la substtuton : y w ) b) Que peut-on dre sur le nombre de racnes complexes d'un polynôme P de degré n? Exercce * a) Résoudre dans les équatons polynomales suvantes. Répondre sous forme exponentelle et en valeur exacte. ) ) 9 ) 8 b) Que peut-on dre sur le nombre de racnes complexes d'un polynôme P de degré n? Exercce * a) Résoudre dans les équatons polynomales suvantes : Répondre sous forme algébrque et en valeur exacte. ) ( 8 + ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) Exercce * Sachant que : Dans, une équaton polynomale de degré n admet exactement n racnes complexes (en tenant compte de leur multplcté). Dans, les racnes d un polynôme P à coeffcents réels apparassent par couples de racnes conjuguées. Démontrer que : «S P est un polynôme à coeffcents réels de degré mpar alors celu c possède au mons une racne réelle.» _ P.S. / Nombres complexes / N-A

28 .8 Ce qu l faut absolument savor * * Connaître la défnton d un nombre complexe * Calculer la somme, le produt, le conjugué et le quotent de deux nombres complexes * Comprendre que est un corps commutatf * Connaître les proprétés du conjugué 5 * Représenter un nombre complexe dans le «plan complexe» * Connaître la défnton du module et de l argument d un nombre complexe 7 * Détermner la forme trgonométrque d un nombre complexe 8 * Connaître et comprendre le théorème sur le produt et le quotent de deux nombres complexes 9 * Connaître la formule de Movre * Détermner la forme exponentelle d un nombre complexe * Connaître les relatons d Euler * Calculer la pussance n ème d un nombre complexe * Calculer la racne n ème d un nombre complexe * Connaître et comprendre le théorème fondamental de l algèbre ans que ses corollares ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok _ P.S. / 7-8 Nombres complexes / N-A

29 .9 Solutons des exercces * Ex * a) + b) + c) 5 8 d) e) + f) + g) 9 7 h) 9 7 ) + j) + k) 9 + l) 9 + Les résultats a) et b) llustrent la commutatvté de l'addton. Les résultats c) et d) llustrent la non commutatvté de la soustracton. Les résultats e) et f) llustrent l assocatvté de l'addton. Les résultats g) et h) llustrent la commutatvté de la multplcaton. Les résultats ) et j) llustrent l assocatvté de la multplcaton. Les résultats k) et l) llustrent la dstrbutvté de la multplcaton sur l'addton. Ex * a) ) Re() et Im() ) Re() et Im() ) Re() Im() ) Re() Im() b) Ex * et ( ) ( ) ( ) a) b) Ex * a b a+ b + a + b a + b a) + ( ) ( a+ b) + ( a b) + b) ( ) Ex 7 * a) S + ; d) S S ; { } b) S { + } c) g) ( + ) h) S ( ; ) j) S { ; } + + k) S { ; } S e) S { } f) S { + ; + } { + } ) S { 7 ;+ 7 } + l) S ; + _ P.S. / Nombres Complexes N-A

30 Ex 8 * a) ; ; ; ; 5 ; ; 7 + ; 8 y 5 Axe magnare x Axe réel b) + 8 ; ; 5 + ; c) Ou, ls se notent dans : a + a d) Sur l'axe horontal : Ox e) Sur l'axe vertcal : Oy f) nombres magnares purs. Ex 9 * a) et b) ( ) ) arg( ) et + cos( ) + sn( ) ) arg( ) et + cos + sn arg( ) et + cos + sn arg( ) et cos sn + arg( ) et ( ( ) ( )) 5 + cos + sn arg( ) et 8 8 cos sn + ) ) 5) 5 5 ) 7) arg( 7 ) et 7 7 cos + sn 8) arg( 8 ). et cos. + sn. ( ) ( ) ( ) 8 _ P.S. / Nombres Complexes N-A

31 Ex * cos + sn w cos + sn cos + sn 5 5 cos + sn cos sn w cos + sn w cos sn w - y w / 5 w/ x + cos sn cos + sn ( ( ) ( )) cos + sn - 7 Ex * a) )( cos ( α ) + sn ( α) ) cos ( α) + sn ( α) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ) cos α + sn α cos α sn α + cos α sn α ( ) ( α) ( α) ( α) ( α ) ( ( α) ( α) ) ) P artes Réelles : cos cos sn Partes Im agnares : sn cos sn ( α ) ( α) ( α) ( α) ( α) v ) cos cos et sn sn sn b) )( cos ( α ) + sn ( α) ) cos ( α) + sn ( α) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ) cos α + sn α cos α cos α sn α + cos α sn α sn α ( α) ( α) ( α) ( α) ( α ) ( α) ( α) ( α) ) P artes Réelles : cos cos cos sn Partes Im agnares : sn cos sn sn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( )) v ) cos α cos α cos α et sn α sn α sn α _ P.S. / Nombres Complexes N-A

32 Ex * e w e e ( ) 7 e e e w e 8 /w / y 9 5 x w e - w w e e w - w/ 7 w w Ex 7 * ) e e ) 7 e 8 ) ) 5) ) 7) 8) 9) cos 9 ( 5+ ) ( 5 ) ) sn 9 ) 8 ) + ( ) ) ( r+ s) cos( α ) + ( r s) sn( α ) ) r cos α + 5) e α + β Ex8 * a) v ; v ; v 8 8 ; v 8 8 ; v 5 5 b) ) n ) n Ex 9 * ème a.) S e ;e ;e ( racnes de l' unté) a.) 5 S e ;e ;e a.) S e ; e ; e ; e a.) 5 7 S e ;e ;e ;e ème a.5) S ; e ;e ;e ;e ( racnes 5 de l'unté) _ P.S. / 7-8 Nombres Complexes N-A

33 Ex * a) ) S { ± ;+ ; } ) S { ± ;+ ; } ) S { ± ; ± ; ; + } ) S ± ; ± ; ± ; ± b) Dans, une équaton polynomale de degré n admet exactement n racnes complexes (en tenant compte de leur multplcté). Ex * ) a) S e ;e ;e ) S 7e ;7e ) S e ;e ;e ;e b) Dans, une équaton polynomale de degré n admet exactement n racnes complexes (en tenant compte de leur multplcté). Ex * ) S { + ;+ } ) S { + ; + } _ P.S. / 7-8 Nombres Complexes N-A

34 _ P.S. / 7-8 Nombres Complexes N-A

35 Notes personnelles

36 Notes personnelles