Circuits linéaires en régime transitoire

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1 MPSI - Élecrocnée I - rcs lnéares en régme ransore page 1/8 rcs lnéares en régme ransore Table des maères 1 ondons nales e conné 1 2 égme lbre d crc Évolon de la enson ax bornes d condensaer Évolon de l nensé d coran Éde énergée égme lbre d crc Évolon de l nensé d coran Évolon de la enson ax bornes de la bobne Éde énergée égme lbre d crc sére Éaon dfférenelle Dfférens régmes Éde énergée éponse d n crc à n échelon de enson Évolon de la enson ax bornes d condensaer Évolon de l nensé d coran Blan énergée éponse d n crc à n échelon de enson Évolon de l nensé d coran Évolon de la enson ax bornes de la bobne Blan énergée éponse d n crc sére à n échelon de enson Tenson ax bornes d condensaer Blan énergée ondons nales e conné On va éder ce se passe enre enre dex régmes conns = régme ransore. es granders élecres ne son pls consanes. appelons les convenons e réslas por la bobne e le condensaer : ndcance en henry (H). capacé en farad (F). = d = = d = d es crcs éan lnéares, oe grander élecre x() es décre par ne éaon dfférenelle lnéare à coeffcen consan. On déermne les consanes d négraon grâce ax condons nales en lsan : la conné de la enson ax bornes d condensaer (snon = d endra vers l nfn ce es physemen mpossble); la connédel nensé dcoran dans la bobne(snon = d endra vers l nfn ce es physemen mpossble). Damen DOUT - Dernère modfcaon : janver 27

2 MPSI - Élecrocnée I - rcs lnéares en régme ransore page 2/8 2 égme lbre d crc 2.1 Évolon de la enson ax bornes d condensaer I U ( ) d = = a angene à l orgne d éaon + cope l axe des abscsses en =. D are par : por =, = exp( 1) =,37 por = 2, = exp( 1) =,14 por = 3, = exp( 1) =,5 e condensaer es nalemen chargé sos ne enson. n régme conn, le condensaer se compore comme n nerrper over U = e I = (/ dans la réssance). A =, on ovre l nerrper, le condensaer se décharge dans la réssance : = = d = d d + = avec = a solon es de la forme () = Aexp( /). () = A = par conné de la enson ax bornes d condensaer. Fnalemen : () = exp( /) () 2.2 Évolon de l nensé d coran = d = d, ce donne : () () = exp( /) e condensaer assre la conné de la enson à ses bornes mas pas celle de l nensé d coran. Damen DOUT - Dernère modfcaon : janver 27

3 MPSI - Élecrocnée I - rcs lnéares en régme ransore page 3/8 2.3 Éde énergée () alclons l énerge reçe (on es ben en convenon réceper por la réssance) e dsspée par effe Jole dans la réssance : W = P = = 2 exp( 2/) = 2 [ exp( 2/) 2/ ] W = énerge emmagasnée dans le condensaer. 3 égme lbre d crc 3.1 Évolon de l nensé d coran I U 3.2 Évolon de la enson ax bornes de la bobne = d, ce donne : () = exp( /) n régme conn, la bobne se compore comme n nerrper fermé U = e I = /. A =, on spprme : = d = () d + = avec = / a solon es de la forme () = Aexp( /). () = A = / par conné de l nensé d coran dans la bobne. Fnalemen : () = exp( /) Damen DOUT - Dernère modfcaon : janver 27

4 MPSI - Élecrocnée I - rcs lnéares en régme ransore page 4/8 3.3 Éde énergée alclons l énerge reçe (on es en convenon généraer por la réssance) e dsspée par effe Jole dans la réssance : [ ] W = P = = 2 exp( 2/) = 2 exp( 2/) 2/ W = = 1 2 I2 énerge emmagasnée dans la bobne. 4 égme lbre d crc sére 4.1 Éaon dfférenelle 4.2 Dfférens régmes d αd +ω2 = régme 2α =, ω2 = 1 e Q = ω 2α Q > 1 = e α (Acos(Ω)+Bsn(Ω)) 2 psedo-pérode Ω 2 = ω 2 α2 Q < 1 = e α (A e Ω +B e Ω ) 2 apérode Ω 2 = α 2 ω 2 Q = 1 2 cre Q s appelle le facer de alé. = e ω (A +B ) On déermne les consanes grâce ax condons nales en lsan la conné de la enson ax bornes d condensaer e la conné de l nensé d coran dans la bobne. (1) = + d avec = / e = d donne = d d2 2 so : Avec =, (2) donne : (2) d d + 1 = d d + 1 = n dérvan (1) e en lsan = / e = d, on oben : d d + 1 = () a psedo-pérode es égale à T = 2π ω = 2π ω 2 α 2 = 2π ω 1 1 4Q 2 Damen DOUT - Dernère modfcaon : janver 27

5 MPSI - Élecrocnée I - rcs lnéares en régme ransore page 5/8 4.3 Éde énergée n mlplan (1) par, on oben : comme = d e =, on a : = 2 + d d = 2 + d ( d ) 2 2 = 2 énerge emmagasnée dans le condensaer e la bobne à n nsan, W() = , dmne a cors d emps, elle es dsspée par effe Jole dans la réssance. a solon es de la forme () = (h) + (p) = Aexp( /)+. () = A+ = par conné de la enson ax bornes d condensaer. Fnalemen : () () = (1 exp( /)) 5 éponse d n crc à n échelon de enson 5.1 Évolon de la enson ax bornes d condensaer U I 5.2 Évolon de l nensé d coran e condensaer es nalemen déchargé (égme conn U = e I = ). A =, on ferme l nerrper e le condensaer se charge : = + = d + d + = avec = = + d = d ce donne : exp( /) Damen DOUT - Dernère modfcaon : janver 27

6 MPSI - Élecrocnée I - rcs lnéares en régme ransore page 6/8 () 6 éponse d n crc à n échelon de enson 6.1 Évolon de l nensé d coran I U 5.3 Blan énergée Mlpler = + par donne : = 2 + où es la pssance forne par le généraer ((-) pssance reçe); 2 es la pssance reçe e dsspée dans la réssance; es la pssance reçe e emmagasnée dans le condensaer. = 2 2 = 2 2 exp( /) = 2 = 2 exp( 2/) = = égme conn U = e I =. A =, on ferme l nerrper : = + d d + = avec = / a solon es de la forme () = (h) + (p) = Aexp( /)+. () = A+ = par conné de l nensé d coran dans la bobne. Fnalemen : () () = (1 exp( /)) = 2 (exp( /) exp( 2/)) = 2 ( 2 ) = énerge forne par le généraer se répar éablemen enre la réssance e le condensaer. Damen DOUT - Dernère modfcaon : janver 27

7 MPSI - Élecrocnée I - rcs lnéares en régme ransore page 7/8 6.2 Évolon de la enson ax bornes de la bobne = d ce donne : () = exp( /) () 7 éponse d n crc sére à n échelon de enson 7.1 Tenson ax bornes d condensaer 6.3 Blan énergée Mlpler = + par donne : = 2 + où es la pssance forne par le généraer ((-) pssance reçe); 2 es la pssance reçe e dsspée dans la réssance; es la pssance reçe e emmagasnée dans la bobne. Qand Un novea régme conn s éabl avec I = / donc : = 2 2 (exp( /) exp( 2/)) = 2 ( 2 ) = 1 2 I2 e condensaer es nalemen déchargé. A =, on ferme l nerrper : = d ++ so : d d + 1 = e vérfen la même éaon. a solon es de la forme () = (h) + (p). Por (h) vor régme lbre. (p) =. Par exemple en régme psedo-pérode : Damen DOUT - Dernère modfcaon : janver 27

8 MPSI - Élecrocnée I - rcs lnéares en régme ransore page 8/8 () () = A+ = A = () = ( αa+bω) = B = α Ω d où : ( ) α () = e α 2 sn(ω) Ω +Ω = 2 (vor calcl MAP) donc en lsan le blan, la dernère négrale va : 2 = Blan énergée Mlpler = d ++ par donne : = d +2 + d où es la pssance forne par le généraer ((-) pssance reçe); d es la pssance reçe e emmagasnée dans la bobne; 2 es la pssance reçe e dsspée dans la réssance; es la pssance reçe e emmagasnée dans le condensaer. Qand Un novea régme conn s éabl avec U = e I = donc : d [ ] 1 = 2 2 = d = [ ] = Por les dex ares négrales, l fa explcer () e () : comme () = d, on a : () = e α (Acos(Ω)+Bsn(Ω))+ () = ( αe α (Acos(Ω)+Bsn(Ω))+e α ( AΩsn(Ω)+BΩcos(Ω)) ) Damen DOUT - Dernère modfcaon : janver 27

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