Themodynamque - Chapte opétés themoélastques des gaz pafats opétés themoélastques des gaz pafats LES CONNAISSANCES - Gaz pafat à l échelle macoscopque Défnton : Le gaz pafat assocé à un gaz éel est le gaz dont l sotheme en coodonnées d Amagat ( = f( ) ) est hozontale et passe pa le pont d extapolaton à pesson nulle de l sotheme du gaz éel Remaques : Cette défnton est ndépendante du gaz éel consdéé En effet, ben qu ayant des sothemes dfféentes, de mêmes quanttés (nombes de moles) de gaz dfféents donnent un pont d extapolaton à pesson nulle unque Tout gaz se compote comme un gaz pafat losqu on fat tende sa pesson ves zéo L ntéêt du gaz pafat est donc de pouvo modélse smplement, en pemèe appoxmaton, le gaz éel losque la pesson est basse (domane où les sothemes peuvent êtes confondues) Equaton d état : Compte tenu de la défnton du gaz pafat et de celle de la tempéatue absolue : = lm ( ) = k T du gaz pafat 0 du gaz éel où : k est une constante est ntensf, est extensf et T est ntensf, donc k est extensf On peut donc note : k = nr où n est le nombe de moles du gaz et R une constante ntensve appelée constante molae des gaz pafats D où l équaton d état du gaz pafat : = nrt avec : R = 84, JK mol Remaque : La valeu de R est mposée pa la valeu de la constante k dans l équaton themométque, donc pa le chox de la tempéatue du pont tple de l eau (vo «Echelle absolue», page 0) mole de dhydogène mole de doxygène gaz pafat Isothemes de même tempéatue T
Themodynamque - Chapte opétés themoélastques des gaz pafats Coeffcents themoélastques : Coeffcent de dlataton sobae : = nrt donc : α = = T nrt T nrt = Coeffcent d accossement de pesson sochoe : = nrt donc : β = = T nrt T nrt = nr nrt nr nrt sot : α = T sot : β = T Coeffcent de compessblté sotheme : = nrt donc : χ T = T nrt = = nrt T nrt nrt sot : χ T = - Mélange de gaz pafats esson patelle : On appelle pesson patelle de l un des gaz dans un mélange, la pesson qu l execeat s l état seul, dans le même volume et à la même tempéatue On a donc, dans un mélange de gaz pafats de volume et de tempéatue T, la pesson patelle du gaz n (dont le nombe de moles est n ) : Lo des mélanges déaux : n RT = Un mélange de gaz est dt déal losque la pesson du mélange gazeux est la somme des pessons patelles de chacun des gaz le consttuant : = Lo de Dalton On constate expémentalement, que cette lo est d autant meux véfée que la pesson du mélange gazeux est fable On peut donc en dédue qu un mélange de gaz pafats est un mélange déal Calcul des pessons patelles : Le mélange de gaz pafats étant déal : = = nrt = Donc : RT = n Alos : n RT n = = n n RT On notea : = x où : x est la facton molae du gaz n
Themodynamque - Chapte opétés themoélastques des gaz pafats Masse molae moyenne : La elaton = n RT étable pécédemment, monte qu un mélange de gaz pafats se compote comme un gaz pafat On défnt alos sa masse molae moyenne pemettant d éce l équaton d état sous la fome : = m M RT (comme pou un gaz pafat unque) On a donc : m m = n M = M n ( n M ) Sot : M = = n Remaques : ( x M ) où : M est la masse molae du gaz n M est la moyenne des masses molaes, pondéée pa les nombes de moles, d où le nom de masse molae moyenne Cas de l a consttué pncpalement de 78% d azote, % d oxygène, % d agon : M = 0, 78 8 + 0, + 00, 40 9gmol Densté d un gaz pa appot à l a : C est le appot de la masse d un volume du gaz, pa la masse du même volume d a, dans les mêmes condtons de tempéatue et de pesson : m d = m = ρ ρ a a a d = ρ ρ a m M RT M Aute éctue (s on suppose les gaz pafats) : d = = d = m RT M a a a M a - Gaz pafat à l échelle mcoscopque Défnton : Compte tenu de sa défnton à l échelle macoscopque, le gaz pafat coespond à la stuaton lmte d un gaz losque sa pesson tend ves zéo, c'est-à-de que son volume tend ves l nfn Les molécules sont alos nfnment élognées les unes des autes et n nteagssent pas Le gaz étant supposé à l équlbe themodynamque, un cetan nombe de gandeus qu caactésent le compotement des molécules sont homogènes et constantes On peut donc donne la défnton suvante du gaz pafat : un gaz pafat est consttué de molécules dentques n nteagssant pas ; la densté moléculae (nombe de molécules pa unté de volume) est unfome ; 4
Themodynamque - Chapte opétés themoélastques des gaz pafats la épatton statstque des vecteus vtesses des molécules est unfome et ndépendante du temps ; toutes les dectons de l espace sont équpobables pou le vecteu vtesse des molécules (sotope de la dstbuton des vecteus vtesse) Remaque : Le fat que les molécules n nteagssent pas dans un gaz pafat pemet de compende pouquo un mélange de gaz pafats se compote lu-même comme un gaz pafat On confme ans le ésultat obtenu los de l étude à l échelle macoscopque Intepétaton cnétque de la pesson : La foce de pesson ésulte des chocs des molécules su une pao Los de ces chocs, la foce sube pa la pao est l opposée de la foce sube pa la molécule (pncpe de l acton et la éacton) La foce f sube pa la pao los d un choc avec la molécule n de vtesse v, est donc : f m dv = dt Ces foces sont de duées coutes, mas sont tès nombeuses su une suface S donnée, et se supeposent Il en ésulte donc une foce totale quasment constante execée su la suface S, dont la moyenne tempoelle su un ntevalle t est telle que : t t t F = fdt = fdt t 0 t 0 t t O : f dt m dv f = dt m v 0 = t (t et t f étant les nstants de début et fn du choc) dt Donc : F = t m v Un choc se décompose en fat en deux phases : hase d adsopton au cous de laquelle la molécule ncdente vent se fxe su la pao et passe de la vtesse v à la vtesse nulle Au cous de cette phase : v v = hase de désopton au cous de laquelle la molécule se lbèe de la pao et passe de la vtesse nulle à la vtesse v ' Au cous de cette phase : v v = ' Etude des phases d adsopton : Foce totale moyenne Evoluton desf On ne consdèe, dans un peme temps, que les molécules avant avec un vecteu vtesse v donné, venant fappe une suface S de la pao pendant t 5
Themodynamque - Chapte opétés themoélastques des gaz pafats Elles se stuent dans le volume : τ = S ' v t = S cos αv t = Sv t et sont donc au nombe de : n τ = n Sv t v v x où n v est la densté volumque des molécules ayant le vecteu vtesse v consdéé x y v v t α pao S Seule la moté de ces molécules podut des chocs su la pao (l aute moté s élogne de la pao) On a donc, pou ce vecteu vtesse patcule : v = nv τ v = nvsvx tv S' = Scos α x En fasant la somme pou tous les vecteus vtesse v possbles, on obtent la foce due aux adsoptons : F t m a = n Sv tv ms n v v v x = v x O, pa défnton de la moyenne : v n v v n v v v x = v x v Donc : F a = nms vxv Etude des phases de désopton : Avec le même asonnement, pou un vecteu vtesse v ' patcule : v = nv ' S cos α v ' t v = nv ' S ( v ' x ) tv ' (v ' x étant c négatf) En fasant la somme pou tous les vecteus vtesse v ' possbles, on obtent la foce due aux désoptons : Fd = m nv ' Sv ' x tv ' = ms nv v xv t ' ' ' v ' v ' Sot : F d = nmsv ' xv ' ' ' Fnalement, la foce moyenne est : F = nms [ vxv + v xv ] F = nms v + v ' x x x En pojecton dans la base catésenne : Fy = nms[ vxvy + v ' xv ' y ] Fz = nms [ vxvz + v ' xv ' z ] 6
Themodynamque - Chapte opétés themoélastques des gaz pafats L sotope de la dstbuton des vtesses mpose que v x, v y et v z soent ndépendantes et statstquement dentquement épates autou de la valeu nulle ; de même pou v ' x, v ' y et v ' z D où (pou j ) : v v 0 F = F = 0 j = y z La foce de pesson est donc nomale à la suface S consdéée Le gaz pafat appaaît donc comme un flude pafat (vo «Flude pafat - esson», page 5) L sotope de la dstbuton des vtesses mpose auss : x y z x y z v = v = v et : v ' = v ' = v ' O : v = vx + vy + vz v = vx + vy + vz donc : vx = v Et de même : v ' = v ' x On suppose que la pao et le gaz sont à l équlbe themque Le contact des molécules avec la pao ne s accompagne donc pas d un tansfet d énege cnétque (en moyenne) On a donc : v ' = v On obtent alos : v x v = ' x = v et : Fx = nms v Fnalement, compte tenu de la défnton de la pesson : = * nmv où : v * = v est la vtesse quadatque moyenne des molécules Intepétaton cnétque de la tempéatue : n L équaton d état des gaz pafats s éct : = N RT (N A est le nombe d Avogado et A M la masse molae des molécules) N Mv A Donc : T = T = nr R * La tempéatue appaaît donc comme une gandeu lée à la vtesse quadatque moyenne des molécules On pale d alleus d agtaton themque des molécules dans le gaz RT On notea : v * kt = = M m Boltzmann Exemple numéque : R où : k = = 8, 0 JK est la constante de N A Dans l a, les molécules de doxygène n ont pas la même vtesse quadatque moyenne que les molécules de dazote pusqu elles ont des masses dfféentes : v * RT ( N) = = 55 MN ( ) ms ; v * RT ( O) = = 48 MO ( ) ms (évaluées à 5 C) 7
Themodynamque - Chapte opétés themoélastques des gaz pafats Remaque : Ces vtesses sont tès nféeues à la vtesse de lbéaton su Tee (, kms ) Même s cetanes molécules du gaz ont une vtesse supéeue à la vtesse quadatque moyenne (et que d autes ont une vtesse nféeue), on peut pévo que les molécules ont statstquement peu de chances d avo une vtesse dépassant la vtesse de lbéaton et ne peuvent donc pas s aache de l attacton teeste Cec explque la pésence de note atmosphèe «pégée» pa la gavtaton Su la Lune, la vtesse de lbéaton n est que de, kms Dans les mêmes condtons de tempéatue, les molécules auaent statstquement beaucoup plus de chance d avo une vtesse supéeue à cette vtesse de lbéaton Une atmosphèe n est donc pas envsageable su la Lune Même s l y en a eu une un jou, elle a fn pa dspaaîte 8
Themodynamque - Chapte opétés themoélastques des gaz pafats LES SAOIR-FAIRE - Calcule des coeffcents themoélastques S l équaton d état fat appaaîte des fonctons explctes, le calcul peut se fae dectement pa smple dévaton a Exemple : Calcul de β pou le gaz d équaton d état + b = nrt ( ) La foncton T (, ) est explcte : nrt a = b ( b) nrt a D où : β = = T nrt a ( b) T b ( b) nr Cad : β = nrt a ( b) b Apès smplfcaton : β = a T nr b ( ) (en foncton de T et ) nr Ou encoe : β = a a + b b Sot : nr β = b ( ) ( ) ( ) (en foncton de et ) S l équaton d état fat appaaîte des fonctons mplctes, l faut fae appel au calcul dfféentel (vo «Calcule des dévées patelles», page 6) a Exemple : Calcul de α et χ T pou le gaz d équaton d état + b = nrt ( ) La foncton T (, ) est mplcte a En fxant la pesson : + + = d b a ( ) d nrdt Alos : d dt nr = = T a a + ( b ) nr Et : α = = T a a + ( b ) 9
Themodynamque - Chapte opétés themoélastques des gaz pafats a En fxant la tempéatue : d d b a d + + ( ) = 0 Alos : d d = T b = a a + ( b ) Et : χ T b = a a + ( b) - Détemne l équaton d état à pat des coeffcents themoélastques Utlse les expessons des coeffcents themoélastques afn d obten un système d équatons aux dévées patelles Intége ce système d équatons pou obten la elaton lant les vaables d état R Exemple : Equaton d état du gaz de coeffcents α = RT + b et χ RT T = RT ( + b) R = () T RT b On peut éce le système : + RT = () T ( RT + b) a ntégaton de () : ln( ) = ln( RT + b) + f( ) Alos : b = + RT + b f '( ) T b En epotant dans () : = = RT + b f RT '( ) f '( ) ( RT + b) RT + b Sot : f( ) = ln( ) + cte et : ln( ) = ln( RT + b) ln( ) + cte = K On notea : = KRT ( + b) Ce gaz dot se compote comme un gaz pafat losque 0 O : lm( ) = KRT 0 donc : K = n Fnalement : = n( RT + b) - Calcule des pessons patelles S la pesson totale est connue (ou peut ête calculée), ans que les nombes de moles ou les factons molaes, l sufft d utlse la elaton : = x 40
Themodynamque - Chapte opétés themoélastques des gaz pafats Exemple 4 : Calcul des pessons patelles de l azote et de l oxygène de l a dans les condtons nomales de tempéatue et de pesson (CNT défnes pa les conventons : 0 = atm ; T0 = 75, K ) En consdéant que l a est consttué d un mélange d azote ( x( N) = 78% ), d oxygène (xo ( ) = % ) et l agon (xa ( ) = % ) : ( N ) = xn ( ) = 0, 780atm = 0, 790ba = 7904a 0 O ( ) = xo ( ) = 0, 0atm = 0, ba = 7a 0 On emaquea que ces pessons patelles sont ndépendantes de la tempéatue pusque la pesson totale l est S le volume, la tempéatue et les nombes de moles sont connus, on poua utlse la défnton de la pesson patelle : n RT = Exemple 5 : On pélève un volume = 00cm d oxygène à la tempéatue T = 98K sous la pesson atmosphéque 0, pus un volume = 50cm d hydogène à la tempéatue T = 7K sous la pesson atmosphéque Ces deux échantllons sont mélangés dans un écpent de volume = 00cm et mantenu à la tempéatue T = 50 K Calcule les pessons patelles et la pesson totale Le nombe de moles d oxygène est : n 0 = RT Sa pesson patelle dans le mélange est donc : AN : = 0587, atm = 0595, ba Le nombe de moles d hydogène est : n 0 = RT Sa pesson patelle dans le mélange est donc : AN : = 096, atm = 0974, ba 0 RT = RT 0 RT = RT T 0 = T T 0 = T La pesson totale est alos : = + = 55, atm = 57, ba 4