E X E R C I C E S C H A P I T R E 8 Exercice 8.5 ) D = D x D y = R* e ) = + & # x $! = + % " = ) e On passe de M() à M(/) par la symérie axiale d'axe Δ d'équaion y = x. 0 / - + y & # $! = % " + = ) Quand décri les deux inervalles ], 0[ e ]0, [ (/) décri ], [ e ], + [ On fai donc une éude sur ], [ {0} suivie d'une symérie par rappor à Δ pour avoir la oalié de la courbe.! (! )( + + ) ) Variaions : x'() =! + = = du signe de ( )! (! )( + + ) y'() =! = = du signe de ( ) 0 x'() 0 / + ) / y'() + 0 + + ) / / ) Eude locale en (poin singulier car x'() = y '() y'( ) y'( ) m() = = donc lim = donc la angene en M() a pour pene. x'( ) x'( )!" Eude locale en 0 (éude de branche infinie car lim ) = ±! e lim ) ) + =. ). = + ( "# O "# O + ) ) donc lim = +" e lim =!" + ) #$ 0+ ) #$ 0! ) On obien donc deux branches paraboliques de direcion (Oy) 4)
Exercice 8.7 a) ) D = D x D y = R { /}. ( + )!.. ( + ) ) Variaions : x'() = = = du signe de ( + ) ( + ) ( + ) 6( + )! 9 ( + ) y'() = = du signe de ( + ) ( + ) ( + ) - / / / 0 + x'() 0 + + 0 + + + + ) 8/7 0 /4 y'() + 0 0 + 4/ ) / + + - 0 ) Eude locale en 0 (poin singulier car x'(0) = y'(0) y)( )! 0 m() = = donc limm ( ) = ±# donc la angene en M(0) es vericale. )! 0)!" 0 Eude locale en ± (éude de branche infinie car lim ) = +! e lim ) ) ) = donc lim ) "# ±! ) "#±! "#±! On obien donc deux branches paraboliques de direcion (Ox) Eude locale en -/ ) ). + 9.. ( + ) = donc lim =! 9 puis ) + 9.) = = =. ) "#! / ) + + Donc lim ) + 9 ) = donc la courbe adme donc une asympoe d'équaion : y = - 9.x + "#! / ) + 9.) =. & # & # # =! $ & $ '! = $ + '! > 0 ssi < ou > % 9 " % "% "
Exercice 8.7 b) ) D = D x D y = R {π +.k.π} + π) = ) e + π) = ) : on peu donc faire une éude sur ] π, π[ ) = ) e ) = ) : on passe de M() à M( ) par la symérie axiale d'axe (Ox). 0 π - 0 -π Quand décri l'inervalle [0,π[, décri ] π, 0] On fai donc une éude sur [0,π[ suivie d'une symérie par rappor à (Ox). ) Variaions : x'() = sin() 0 pour [0,π[ y'() = cos() + donc y'() = cos() + cos ( / ) cos( ) + cos( a) + cos(a) =.cos (a) donc cos (a) = cos ( ) + cos( ) + donc y'() = cos() + = du signe de u + u + avec u = cos() cos( ) + cos( ) + Δ' = 4 = < 0 donc u R, u + u + > 0 0 π x'() 0 + ) y'() / + () 0 + ) Pas d'éude locale 4)
Exercice 8.7 c) ) D = D x D y = R* (! ) (! )( + + ) ) Variaions : x'() =! = = du signe de ( )! y '() =! = du signe de ( ) - 0 + x'() 0 + + + + ) y'() + 0 0 + + + ) - ) Eude locale en (poin singulier car x '() = y '() ) ψ() = y'() (!)( +) =. x'() (!)( + +) = + ( + +) y'( ) donc lim = x'( )!" donc la angene en M() a pour pene /. Eude locale en ± (éude de branche infinie car lim ) = +! e lim ) "#±! ) ) = +. + = + + = + ) + donc lim "# ±! ) "#±! On obien donc deux branches paraboliques de direcion (Ox) Eude locale en 0 (éude de branche infinie car lim ) = ±! e lim ) ) = ) + pour 0 donc + ) lim =!" 0 ) "# 0 "# 0 + +.! y ( )! ) =!. = =! donc lim [ )! )] "# 0 La courbe adme donc une asympoe Δ d'équaion : y = (½).x! k() = )! ) =! = > 0 pour 0 < < (signe du rinôme du second degré) La courbe es au dessus de Δ pour 0 < < 4) Tracé
Exercice 8.8 ) D = D x D y = R* ) Variaions : x'() = + = ( + ) du signe de ( +) y '() = +. - = + = ( +)(! +) car (a + b ) = (a + b)(a a.b + b ) Pour le polynôme +, Δ = 4 = < 0 donc: R, + > 0 De plus, es du signe de donc y '() es du signe de + ou encore du signe de ( + ) pour 0. - 0 + x'() 0 + + + + ) 0 y'() + 0 + + ) - ) Eude locale en (poin singulier car x ' ( ) = y ' ( ) ) ψ() = y'() x'() = ( +)(! +). ( +) =! + donc lim y'() x'() = (en simplifian par +, on lève l'indéerminaion " 0 0 "!" donc la angene en M( ) a pour pene. Eude locale en ± (éude de branche infinie car lim ) = +! e lim ) "#±! "#±!! ) ) = + ~ ±" ~ car ±" négligeable devan en ± e négligeable devan en ± ) donc lim e on obien donc deux branches paraboliques de direcion (Ox) "# ±! ) Recherche d'une parabole asympoe Comme l'arc présene une branche parabolique d'axe (Ox), on peu essayer de rechercher une parabole asympoe (P) d'équaion: x = a.y + b.y + c (parabole "couchée" i.e. d'axe parallèle à l'axe (Ox)) On évalue la différence des abscisses d'un poin de la courbe M() e du poin N DE (P) de même ordonnée que M(): " k() = x M x N = ) (a.y () + b.) + c) = +! a 4! 4 + % # $ &' b "! % # $ &' c On ordonne suivan les puissances de : k() = (! 4a) + (! b) c + 4a + b! a 4 Pour avoir une limie nulle pour k () en ±, il suffi de choisir: 4a e b e c. i.e. a = 4, b = e c 4 Conclusion: La parabole (P) d'équaion x = 4.y + y es asympoe à la courbe.
Déerminaion du poin double Un poin double vérifie: M( ) = M( ) avec i.e. [ ) = ) e ) = ) e ] (*) # + = + # + (*) % $! =! +! i.e. +! $ % &% " &% " ( ( )( + + ) ( + +! i.e. (en facorisan ( )): ( ) + + $ ) * "# %&! i.e.(en simplifian par ( ): + + $ ) * "# %& + * ' + * ' On résou le sysème en S = + e P =. e on obien S = e P = i.e. P = ou. Donc (*) [ e son racines de T + T + ou racines de T + T (E)] La première équaion ne convien pas car elle donnerai comme soluions = = (or ) Les racines de la deuxième son = + e = Comme es racine de (E), on peu donc écrire: + (**) ) = +. = (en uilisan (**)) ) =! =! =! 4! =! 4(! )! (en uilisan deux fois (**) )!!! Donc ) = 5 (en facorisan au numéraeur e en simplifian) Conclusion: Le poin double es le poin de coordonnées (, 5) 4) Tracé