Eo7 Clcls de primitives et d intégrles Eercices de Jen-Lois Roget. Retrover ssi cette fiche sr www.mths-frnce.fr * très fcile ** fcile *** difficlté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontornle T : por trviller et mémoriser le cors Eercice Clcler les primitives des fonctions sivntes en précisnt le o les intervlles considérés : ) ) ) 5 4) 5) + + + ( ++) 5 ( +) 6) + 7) 8) 9) ) 6 + 4 + ( 4 +) 8 + 4 + ( 4 +) ) (+) 7 7 Correction [5466] Eercice Clcler les primitives des fonctions sivntes en précisnt le o les intervlles considérés : ) cos et ch ) sin et sh ) tn et th cos 6) cos+sin 7) cos() sin+sin() 8) cos 4 +sin 4 ) cos+sin sin cos ) sin cos() ) α cos +β sin 6) th +ch 7) sh 5 8) ch 4) sin (/) sin 5) +sin sinsin() tn 9) ) sin 4 +cos 4 + +sin() 4) ch +sh 5) ch Correction [5467] Eercice Clcler les primitives des fonctions sivntes en précisnt le o les intervlles considérés : ) et + + 5 ) ++5 6) + 4 + ) ++ + 7) ) + 6 4) + ++ 5) 8) + + 9) + et + Correction [5468] Eercice 4 Clcler les primitives des fonctions sivntes en précisnt le o les intervlles considérés : ) ln ) rcsin ) rctn 4) rccos 5) rgsh 6) rgch 7) rgth 8) ln( + ) 9) e rccos ) cosln( + cos) e ) ) rctn ) ( (+) e ) ln 4) n ln (n N) 5) e cos(α) ((,α) (R ) ) 6) sin(ln) et cos(ln) 7) 8) e sin n +
Correction [5469] Eercice 5 Clcler les intégrles sivntes (, réels donnés, p et q entiers ntrels donnés) ) / ln ( < ) + ) ) π cos(p)cos(q) d et π cos(p)sin(q) d et π ( + + + + + ) d ( )( ) d 4) ( ) + rctn d 6) + ( ) d 8) (lnt)n dt (n N ) 5) / 7) π sin +cos sin(p)sin(q) d Correction [547] Eercice 6 Condition nécessire et sffisnte sr,, c et d por qe les primitives de ( )( ) c) ( d) soient rtionnelles (,, c et d réels donnés). Correction [547] Eercice 7 Etde de f () Correction sin t cos+t dt. [547] Eercice 8 Etde de f () M(,t) dt. Correction [547] Eercice 9 Intégrles de WALLIS Por n entier ntrel, on pose W n π/ sin n d.. Clcler W et W. Déterminer ne reltion entre W n et W n+ et en dédire W n et W n+ en fonction de n.. Etdier les vritions de l site (W n ) et en dédire lim n + W n+ W n.. Montrer qe l site (nw n W n ) n N est constnte. En dédire lim n + W n, pis n éqivlent simple de W n. En écrivnt π/ α 4. Montrer qe lim n + n + π (...(n ).4...(n) α, retrover directement lim n + W n. ) π. (Formle de WALLIS) [5474] Eercice Por n entier ntrel, on pose In π/4 tn n d.. Clcler I et I. Trover ne reltion entre I n et I n+. En dédire I n en fonction de n.. Montrer qe I n tend vers qnd n tend vers +, et en dédire les limites des sites ( n ) et (v n ) définies pr : n n ( ) k k k (n N ) et v n n ( ) k k k. Correction [5475] Retrover cette fiche et d tres eercices de mths sr eo7.emth.fr
Correction de l eercice. I est l n des de intervlles ], [ o ],+ [. f est contine sr I et dmet donc des primitives sr I. X + (X + )(X + j)(x + j ) X + + où ( ) et j ( j). Pr site, X + j + X + j, X + ( X + + j X + j + Mis lors, j X + j ) ( X + + X + X X + ) ( X + X X X + + X X + ) ( X + X X X + + (X ) + ( ). ) + d (ln + ln( + ) + rctn ) ( ) ln 6 + + rctn +C.. I est l n des de intervlles ], [ o ],+ [. Sr I, + d ln( + ) +C.. X X X + X (X ) (X ) (X )(X ) (X ) (X + ). Donc, l décomposition en éléments simples de f X 5 X X X+ est de l forme X + X + c + d X + d (X ) + e X+. Détermintion de, et c. L division eclidienne de X 5 pr X X X + s écrit X 5 (X + X + )(X X X + ) + X + X. On donc, et c. e lim ( + ) f () ( )5 ( ) 4. Pis, d lim ( ) f () 5 +. Enfin, fornit c d + d + e et donc, d + 4 9 4. Finlement, X X X + X + X + 9 4 X + (X ) 4 X +, X 5 et donc, I désignnt l n des trois intervlles ], [, ],[ o ],+ [, on sr I 4. Sr R, 5 d + + + ( ) ln + +C. 4 ( + + ) 5 d + ( + + ) 5 d + ( + + ) 5 d 8( + + ) 4 + 8( + + ) 4 + (( ) + 4 )5 d (en posnt + ) 8( + + ) 4 + 8 4 ( + ) 5 d. Por n N, posons lors I n d ( +) n. Une intégrtion pr prties fornit (( + ) + 4 )5 d I n ( + ) n + n + ( + ) n+ d ( + ) n + n(i n I n+ ), et donc, I n+ n ( ( +) n + (n )I n ). Mis lors,
I 5 8 ( + ) 4 + 7 8 I 4 8 ( + ) 4 + 7 8.6 ( + ) + 7.5 8.6 I 8 ( + ) 4 + 7 8.6 ( + ) + 7.5 8.6.4 ( + ) + 7.5. 8.6.4 I 8 ( + ) 4 + 7 8.6 ( + ) + 7.5 8.6.4 ( + ) + 7.5. 8.6.4. + + 7.5.. 8.6.4. I 8 ( + ) 4 + 7 8.6 ( + ) + 7.5 8.6.4 ( + ) + 7.5. 8.6.4. + + 7.5.. rctn +C. 8.6.4. Mintennt, Pr site, 8 4 + ( ( + )) + 4 + 4 + + 4 ( + + ). 8 ( d + ) 5 ( 8 4 + 7.5. 8.6.4. 4 4 4 4 ( + ) ( + + ) 4 + 7 8.6 ( + ) + + + 7.5.. 8.6.4. 4 ( + ) ( + + ) + 7.5 8.6.4 ) rctn + +C. 4 ( + ) ( + + ) + 8 ( + + ) 4 + 7 + 6 ( + + ) + 5 + 8 ( + + ) + 5 + 54 + + + 7 + rctn +C, 8 (il reste encore à rédire même dénominter). 5. On pose et donc d d 6. ( + ) d ( + ) d d ( + ) (ln ln + + + ) +C (ln + + + ) +C. + 6 + d 6 + d + 6 + d. Ensite, en posnt et donc d d, 6 + d et en posnt et donc d d, ( + ( + ) ) d + d rctn +C rctn( ) +C, Finlement, 6 + d + d ( ) ln 6 + + rctn +C (voir )) 6 ln ( ) 4 + + rctn +C + 6 + d rctn( ) + 6 ln ( ) 4 + + rctn +C. 4
7. X 4 + λ k k X z k où z k e i( π 4 +k π ). De pls, λ k z 4z k z k 4z 4 k k 4. Ainsi, Mis, et donc, ( X 4 + e iπ/4 4 X e iπ/4 + e iπ/4 eiπ/4 + X e iπ/4 X + e ( ) X X + 4 X X + X +. X + X + e iπ/4 iπ/4 + e iπ/4 X X X + X X X + (X ) + ( ), ) et de même, Finlement, + d ln( + ) rctn( ) +C, + + + d ln( + + ) + rctn( + ) +C. 4 + d ln + + + (rctn( ) + rctn( + )) +C. 8. Une intégrtion pr prties fornit 4 + d 4 + + 4 + + 4 4 4 ( 4 + ) d 4 + d 4 4 4 + + 4 + ( 4 + ) d ( 4 + ) d Et donc, 9. Posons R X 8 +X 4 +. ( 4 + ) d 4 ( 4 + + 4 d)... + X 8 + X 4 + X X 4 k (X eikπ/ ) (X )(X + )(X i)(x + i) R est réelle et pire. Donc, R X j + (X e iπ/6 )(X e iπ/6 )(X + e iπ/6 )(X + e iπ/6 )(X j)(x j )(X + j)(x + j ). X j X + j X + j + X e iπ/6 + 8 j 7 +4 j 4( j+) j + 4( j+)( j +) j et donc, X e iπ/6 X + e iπ/6 X + e iπ/6. 5
et pr prité, X j + X j ( j j + X j X j ) 4 X j + X j X + j X + X + 4 (X + ) + ( X + j 4 ( (X + ) + ( + ) (X ) + ( ), ). ) Ensite, 8e 7iπ/6 +4e iπ/6 4e iπ/6 ( j ) e iπ/6 4( + j) e iπ/6 ( + j ) e iπ/6 ( j) e iπ/6 i, et donc, X e iπ/6 + X e iπ/6 ( e iπ/6 i X e iπ/6 + eiπ/6 + i X e iπ/6 ) Pr prité, X + X X + 4 X X X +. X e iπ/6 + Finlement, X e iπ/6 X + e iπ/6 X + e iπ/6 8 + 4 + (rctn + rctn + ) +. En posnt et donc d d, on otient ( 4 +) d Por n, posons I n ( +) n d. Une intégrtion pr prties fornit : 4 X X X + + 4 X + X + X +. 4 ln + + + +C.. ( +) I n.( n)() ( + ) n + ( + ) n+ d ( + ) n + n + ( + ) n+ d ( + ) n + n(i n I n+ ), et donc, n, I n+ n ( + (n )I ( +) n n ). On en dédit qe. et finlement qe I 4 ( ( + ) + I ) 4( + ) + 8( + ) + rctn +C, 8 ( 4 + ) d 6 ( ( 4 + ) + 4 + + rctn( )) +C. (X + ) 7 X 7 7X 6 + X 5 + 5X 4 + 5X + X + 7X 7X(X 5 + X 4 + 5X + 5X + X + ) Pr site, 7X(X + )(X 4 + X + X + X + ) 7X(X + )(X + X + ). 7 (X + ) 7 X 7 X(X + )(X j) (X j ) X + lim R(), lim ( + )R(), et X + + c X j + c (X j) + c X j + c (X j ). 6
c lim j ( j) R() j( j+)( j j ) j ( j+ j ). Pis, et c (X j) + c (X j ) ((X j ) + (X j) (X + X + ) X + X (X + X + ), c R ( (X j) + c (X j ) ) X(X + )(X + X + ) X + X (X + X + ) X(X + )(X + X ) X(X + )(X + X + ) X(X + )(X + X + ) + + X(X + ) X X + X(X + )(X + X + ) X(X + )(X + X + ). Pis, c j j+ j( j+)( j j ) 5 j j 5( j j ) ( j j )( j j) 5( j j ). Ainsi, Finlement, (X + ) 7 X 7 7 ( X X + + (5( j j ) + 5( j j) X j X j + (X j) + (X j ) )) 7 ( X X + 5 X + X + + ( (X j) + (X j ) )) 7 ( X X + 5 (X + ) + ( + ) ( (X j) + (X j ) )). ( + ) 7 7 d ( ln 7 + rctn + ( j + ( ln 7 + rctn + + ( + + ) ) j ) ) +C. +C Correction de l eercice. On pose t tn et donc d dt +t. +t cos d dt t +t ln tn( + π ) +C. 4 dt ln +t t t +C ln tn π 4 + tn tn π 4 tn +C o ien cos d o ien, en posnt + π, (voir )) cos d cos( π ) d cos sin d ln + sin sin +C... sin d ln tn +C ln tn( + π ) +C. 4 Ensite, en posnt t e et donc d dt t, ch d t + t dt t 7 +t dt rctn(e ) +C,
o ien. En posnt t tn,. 4. d tn cos sin (/) sin d 5. d +sin ch d ch sh d rctn(sh) +C. + +t sin d dt t +t t dt ln t +C ln tn +C. sin d ln sin +C et cos th ln sh +C. sin d ln sin +C. d d(tn), et en posnt tn, cos +tn cos +tn + sin d + d rctn( ) +C rctn( tn) +C. 6 6. Posons I cos sin cos+sin d et J cos+sin d. Alors, I + J d +C et I J sin+cos cos+sin d ln cos + sin +C. En dditionnnt ces de églités, on otient : 7. I o ien, en posnt π 4, I cos cos + sin d cos cos + sin d ( + ln cos + sin ) +C. cos cos( π 4 ) d cos( + π 4 ) d cos ( π 4 + ln (cos + sin) ) +C ( + ln cos + sin ) +C. ( sin cos ) d ( + ln cos ) +C cos() sin + sin() d 4cos cos 4sin 4sin 4cos cos 4 sin( sin ) 4 (4cos sin sincos ) cos sin sin(). Pr site, cos() sin + sin() d ln sin ln tn +C. 4 8. cos 4 + sin 4 (cos + sin ) sin cos sin (), et donc cos 4 + sin 4 d sin () d + cos d sin d (en posnt ) dv + (en posnt v tn) + v +v dv v + rctn v +C rctn tn() +C. 9. sin sin() sin 4 + cos 4 + d sin sin cos + cos d sin sin ( sin cos d ) 4 d (en posnt sin). + 8
Mintennt, 4 + 6 + + ( eiπ/6 )( e iπ/6 )( + e iπ/6 )( + e iπ/6 ), et donc, o 4 + e iπ/6 + e iπ/6 (e iπ/6 ) (e iπ/6 e iπ/6 )(e iπ/6 +e iπ/6 )(e iπ/6 +e iπ/6 ) (eiπ/6 ) i.e iπ/6. ieiπ/6 4 + ( ieiπ/6 e iπ/6 + et donc, ( + + e iπ/6, et donc + e iπ/6, ie iπ/6 e iπ/6 + ieiπ/6 + e iπ/6 ie iπ/6 + e iπ/6 ) + + ) ( + + + + + + + + + ) 4 ( + + + + ) + 4 ( ( + ) + ( + ) ( ) + ( ) ) sin sin() sin 4 + cos 4 + d 4 ln sin sin + sin + sin + + (rctn(sin )+rctn(sin+ )+C.. En posnt sin, on otient tn + sin() d sin + sin 4sin cos cos d ( + 4 )( ) d Or, + 4 ( + )( 4 4 ) ( )( + ) et donc, ( + 4 )( ) ( + )( ) ( + ) et donc, ( + 4 )( ) + + + ( ) + c + + c ( + ). lim ( + ) f () ( ) ( +) 4, (+)(+) 8 / et c 4 ( +)( ) 9. Ensite, fornit + + c + c o encore c 4 8 + 4 9 6. D tre prt, en mltiplint pr, pis en fisnt tendre vers +, on otient + +c et donc +c 4 et donc, c 4 9 et 7 6. Finlement, ( + )( ) ( + ) 4( + ) 7 6( ) + 8( ) + 4 9( + ) 4 9( + ). Finlement,. (voir 6)) tn + sin() d 4 ln(sin+) 7 6 ln( sin) 8(sin ) + 9 ln sin+ + 9 sin + +C cos + sin sin cos d ((sin + cos) (sin cos)) + ((sin + cos) + (sin cos) d sin cos sin + cos sin cos + d ln sin cos + +C. 9
. sin cos() d sin 4cos cos d ( ( ) ( + ) ) d d (en posnt cos) 4 (ln cos ln cos ln cos + ) +C.. Dns tos les cs, on pose t tn et donc d dt +t. α cos + β sin d Si β et α, d α cos +β sin α tn +C. Si β et αβ >, d α + β tn cos dt α + βt. α cos + β sin d β t + ( α β β dt rctn( tn) +C. ) αβ α Si β et αβ <, α cos + β sin d β t ( α β tn sgn(β) dt ) αβ ln tn + α β α β +C. 4. 5. On pet poser e mis il y mie. ch + sh + sh d ch d + sh + d (en posnt sh) + ( + + ) d sh sh + ln + sh +C. ch d (ch )(ch + ) ch + sgn() ch + +C. d sgn() sh ch + d 6. 7. 8. th ch + d sh 5 d sh sh 6 d sh sh 6 d sh d ch(ch + ) d (en posnt ch) ( + ) ( ) d ln ch + ch + +C. sh d d (en posnt ch). (ch ) ( ) + ch ch d ch d coth + sh +C. sh d ch sh d
Correction de l eercice. Pis, + + 5 d + d rgsh ( + ) + +C ln( + + ( + ) + ) +C ln( + + + + 5) +C. + + 5 d ( + ) + + 5 ( + ) + + 5 + ( + ) + + 5 d + + 5 4 + + 5 d ( + ) + + 5 + + 5 d + 4 + + 5 d, et donc, + + 5 d ( + ) + + 5 + ln( + + + + 5) +C.. (On pet ssi poser + sh). d d rcsin( ) +C. ( ). On pose 6 pis v + (o directement + 6 ) et on otient : + 6 + d 6 6 5 d + d 6 v 6 v v dv v v dv (v + ( + 6 + + ln 6 + 6 + ) +C v dv) (v + ln v v + ) +C 4. + d + + ( + ) ( ) d + ( ( d d) d + v v v dv) (en posnt + et v ) ( + ) d + ( + v dv v + (ln + + ln + v v ) +C + + (ln + + + + ln + ) +C.
+ 5. On pose et donc +, pis d ( ) ( ) d. Sr ],+ [, on otient + d ( ) d d + ln + +C + ln + + +C + 6. On note ε le signe de. 4 + ε + ε ( ) + pis, +. + ( ). On pose donc et on otient + 4 + d ε. + ( ) + d ε ε ln( + ε 4 + ) +C. + d ε rgsh( ) +C 7. Sr ],], on pose déjà et donc,, d d. d d ( ) d ( ) ( ) d. Pis, on pose sinv et donc d cosv dv. On note qe ],] ],] v rcsin( ) ] π, π ] cosv. d 4 ( sin v) cosv dv cos v dv 4 ( + cos(v)) dv 8. On pose sht pis e t. 4 (v + sin(v)) +C (v + sinvcosv) +C 4 4 (rcsin( ) + ( ) ( ) ) +C 4 (rcsin( ) + ( ) ) +C + + d + cht cht dt ( + ) d + ( + ) ln + + +C. + ( + + ) d ( ( + ) ) d Mintennt, t rgsh ln( + + ) et donc, + +. Finlement, + + d ln( + + ) + + +C.
9. On pose pis v + + et donc v + pis v dv d. + ( d ) + d + d + d v v v dv ( (v )(v + v + ) ) dv ( v + v + v + v + ) dv v ln v + v + 6 v + v + dv + (v + ) + ( v ln v + 6 ln(v + v + ) + rctn( v + ) +C... dv ) Correction de l eercice 4... 4. 5. 6. 7. 8. 9. ln d ln ln +C. rcsin d rcsin d rcsin + +C. rctn d rctn d rctn + ln( + ) +C. rccos d rccos + d rccos +C. rgsh d rgsh d rgsh + + +C. rgch d rgch d rgch +C. rgth d rgth d rgth + ln( ) +C (on est sr ],[). ln( + ) d ln( + ) + d ln( + ) + rctn +C. + e Arccos d e Arccos + earccos d e Arccos e Arccos + earccos d.. et donc, e Arccos d (earccos e Arccos ) +C. cosln( + cos) d sinln( + cos) sinln( + cos) rctn d rctn + d. sin sin + cos d sinln( + cos) cos cos + d (cos ) d sinln( + cos) sin + +C. Dns l dernière intégrle, on pose et donc pis, d d. On otient 4 + d. Mis, + d 4 + ( + + + ) ( + + + + ) + ( ( ) + ( ) + ( + ) + ( ) ).
Pr site, et donc, 4 + d + ln( + + ) + (rctn( ) + rctn( + )) +C, rctn d rctn ln( + + + ) (rctn( ) + rctn( + )) +C.. e (+) + e e ( (+) + e) et donc e d e (+) + +C. (. e) ln d e ln d(ln ) e ln +C ( e) d. 4. n ln d n+ n+ ln n+ n d n+ n+ n+ ln +C. (n+) 5. ) ( ) e cos(α) d Re( e (+iα) e (+iα) d Re +C e + iα Re(( iα)(cos(α) + isin(α)) +C + α e (cos(α) + α sin(α)) + α +C 6. sin(ln) d sin(ln) cos(ln) d sin(ln) cos(ln) sin(ln) d et donc sin(ln) d (sin(ln) cos(ln)) +C. 7. En posnt n et donc d n n d, on otient 8. n + d n + n n d + d, n pis en posnt v + et donc v et d vdv, on otient Finlement, + d e sin d Im( e (+i) d). Or, v v v vdv + v dv v + ln v + v +C. n + d n ( n + + ln n + + n + ) +C. e (+i) d e(+i) + i + i e (+i) d e(+i) + i ( i)e(+i) + ie (+i) i e(+i) +C + i (e(+i) + i + i e (+i) d) e ( ( i)(cos + isin) + i(cos + isin) ( + i)(cos + isin) +C. Pr site, e sin d e ( (cos + sin) sin (cos sin)) +C. Correction de l eercice 5 4
. On pose t et donc t et d t dt. On otient et donc, I. I / ln + d / ln(/t) t +. (p et q sont des entiers ntrels) cos(p)cos(q) (cos(p + q) + cos(p q)) et donc, Premier cs. Si p q, π Deième cs. Si p q, π t dt cos(p)cos(q) d [ sin(p + q) + p + q cos(p)cos(q) d π / ( + cos(p)) d lnt t dt I, + ] sin(p q) π. p q π d π. Troisième cs. Si p q. π cos(p)cos(q) d π d π. L démrche est identiqe por les de tres et on trove π sin(p)sin(q) d si p q et π si p q pis π sin(p)cos(q) d por tot choi de p et q. { + y ( + ) +. L core d éqtion y ( )( ) o encore ( ) ( de dimètre [, y ) ]. Pr site, si, I πr π( ) 8 et si >, I π( ) 8. est le demi-cercle 4. L intégrle proposée est somme de qtre intégrles. Chcne d elles est l somme des ires de de tringles. Ainsi, I (( + ) + ( + ) + ( + ) + 4 ). 5. On pose. On otient I ( + ) / / rctn d ( + )rctn d ( + / )(π rctn) d π (( ) ( )) I). Pr site, I π I et donc I π 4. 6. I + ( ) d + ( ) d + + ( ) d I + I. Por I, + ( ) + ( ) + ( ) et on pose sht et donc d cht dt. ln( ) I ln( ) sh t + cht dt ln( ) 4 ln( ch t dt ln( ) ) 6 ln( (e t + e t + ) dt ) 6 ( (e ln( ) e ln( ) ) (eln( ) e ln( ) ) + ( ln( ) ln( ))) 6 ( ( ( ) ) ( ( ) ) ln( )) 6 ( 4 + ( ( ) + ( + ) )) ln( )) 4 + 4 8 ln( ). Por I, + ( ) + + ( ) + ( 5 ) et on pose sint et donc d cost dt. 5
rcsin 5 I rcsin 5 sin t cost dt rcsin 5 cos t dt rcsin 5 ( + cos(t)) dt 4 rcsin 5 8 rcsin 5 5 8 (rcsin 5 + [sint cost] rcsin 5 4 rcsin 5 +... 4 rcsin 5 + 4 5 7. π I sin + cos d π (π )sin(π ) + cos (π ) π [rctn(cos)] π I π I, π d π sin + cos d π sin + cos d et donc, I π 4. 8. Por n N, posons I n lnn t dt. Donc, n N, Soit n. I n+ [ t ln n+ t ] (n + ) t ln n t t dt lnn+ (n + )I n. I n+ (n+)! + I n n! (ln)n+ (n+)!, et de pls, I ln +. Pr site, n k ( ) k ( I k k! + I n k+ (k + )! ) ( ) k I n k k k! + ( ) k I k k k! I ( ) n I n n!, I n ( ) n n n!( ( ) k (ln)k+ (k + )! ln + ) ( )n n!( k n k ( ) k (ln)k ). k! Correction de l eercice 6 Si c d, les primitives considérées sont rtionnelles si et selement si il eiste A et B tels qe ( ) (A,B) R / (A,B) R / ( )( ) ( c) ( d) A ( c) + B ( d) ( ) A + B (Ad + Bc) ( + ) Ad + Bc A + c (d c) B d (d c) Ad + Bc B A (A,B) R / A(d c) + c ( + ) Ad + Bc + c (d c) d + d (d c) c d ( + c) + c (d ) (d c) ( + )(d c ) cd(d c) (d c) cd + ( + )(c + d) ( + )(c + d) ( cd). Si c d, il eiste trois nomres A, B et C tels qe ( )( ) A( c) + B( c) +C et donc tels qe ( )( ) A ( c) 4 ( c) + B ( c) + C ( c) 4. 6
Dns ce cs, les primitives sont rtionnelles. Finlement, les primitives considérées sont rtionnelles si et selement si c d o (c d et ( + )(c + d) ( cd)). Correction de l eercice 7 Notons D le domine de définition de f. Si D, D et f ( ) f (). f est donc impire. Si D, + π D et f ( + π) f (). f est donc π-périodiqe. On étdier donc f sr [,π]. Soient [,π] et t [,]. t t cos + (t cos) + sin vec églité si et selement si sin et t cos. sint t cos+t est Ainsi, si ],π[, t ],[, t t cos+. On en dédit qe l frction rtionnelle t contine sr [,], et donc qe f () eiste. sin Si, t [,[, t t cos+. On prt prolonger cette fonction pr continité en et consisérer (t ) qe f () dt. De même, on pet considérer qe f (π). Ainsi, f est définie sr [,π] et donc, pr prité et π-périodicité, sr R. Soit ], π[.clclons f (). [ sin f () (t cos) + sin dt rctn t cos ] rctn cos + rctn + cos sin sin sin sin (/) rctn sin(/)cos(/) + rctn cos (/) sin(/)cos(/) rctn(tn(/)) + rctn( tn(/) ) π (cr tn(/) > por ],π[). Ce clcl chève l étde de f. En voici le grphe : 4 Correction de l eercice 8 Soit R. L fonction t M(,t) (+t + t ) est contine sr [,] en vert de théorèmes génér. Pr site, M(,t) dt eiste. Si, lors t [,], t et donc M(,t) t. Pr site, f () t dt. Si, lors t [,], t et donc M(,t). Pr site, f () dt. Si < <, f () dt + t dt + ( ) ( + ). 7
En résmé, R, f () si ( + ) si < < si. f est déjà contine sr ],], [,+ [ et ],[. De pls, f ( + ) f () et f ( ) f (). f est insi contine à droite en et contine à gche en et donc sr R. f est de clsse C sr ],], [,+ [ et ],[. De pls, lim, > f () lim, >. f est donc contine sr [,[ de clsse C sr ],[ et f ne limite réelle qnd tend vers. D près n théorème clssiqe d nlyse, f est de clsse C sr [,[ et en prticlier, f est dérivle à droite en et f d(). Comme d tre prt, f est dérivle à gche en et qe f g() f d(), f est dérivle en et f (). L étde en montre qe f est dérivle en et qe f (). Le grphe de f est le sivnt : y f() Correction de l eercice. I π/4 d π 4 et I π/4 sin cos d [ ln cos ]π/4 ln. Soit n N. π/4 π/4 I n + I n+ (tn n + tn n+ ) d tn n ( + tn ) d Soit n N. [ tn n+ ] π/4 n + n +. n ( ) k n k k ( ) k (I k + I k ) k n k ( ) k I k Ainsi, n N, I n ( ) n ( π 4 n k De même, n k ( ) k k. Soient ε ], π [ et n N. n k ) ( ) k k. n k ( ) k I k + ( ) k I k I ( ) n I n. I ( ) n I n+ et donc, n N, I n+ ( )n n k ( ) k I k ( ln n k π/4 ε/ π/4 I n tn n d + tn n d π π/4 ε/ 4 tnn ( π 4 ε ) + ε. ) ( ) k k. Mintennt, < tn( π 4 ε ) < et donc lim n + tn n ( π 4 ε ). Pr site, il eiste n N tel qe, por n n, tn n ( π 4 ε ) < ε. Por n n, on lors I n < ε. Ainsi, I n tend vers qnd n tend vers +. On en dédit imméditement qe n tend vers ln et v n tend vers π 4. 8