1 IV.3 Proprétés de l Hamltonen et ntégrale premère Consdérons donc un système de 2n équatons canonques dont le Hamltonen ne dépende pas explctement du temps : dq = H(q, p (IV.16 dp = H(q, p q, = 1, 2,..., n; = 1,..., n (IV.17 Ans, la dérvé du Hamltonen s écrra : dh n = ( H dq =1 q + H dp (IV.18 Mas les q et les p satsfasant aux équatons (IV.16 et (IV.17, on peut leur substtuer leurs valeurs dans ces équatons : Sot : dh n = ( H H H H = 0 (IV.19 =1 q q H(q, p = Cte. = C (IV.20 Le Hamltonen du système est constant. L équaton H(q, p = C est donc une ntégrale premère du système d équatons (IV.16 17. Il est donc possble de rédure d un degré l ordre du système d équatons. IV.4 Changements de varables canonques, transformaton de contact Les changements de varables canonques, qu ne consttuent qu une des branches des changements de varables en général, consttuent l un des thèmes les plus mportants de la mécanque céleste, car ls permettent de résoudre, ou tout du mons de
2 smplfer, certanes équatons. Il s agt en fat de remplacer 2n varables canonques ntales p et q (1 n par 2n nouvelles varables elles-même canonques P et Q (1 n permettant de rendre les équatons du système ntal plus smples, ou plus approprées à la résoluton. Les deux eux de varables (p, q et (P, Q étant canonques, on parle alors de changement de varables canonques. Changements de varables canonques à l ade d une dfférentelle totale Avant tout l est utle de rappeler la proprété suvante, sous forme de théorème : Théorème Pour qu une expresson de la forme suvante : X dx 1 n (IV.21 sot une dfférentelle totale, l faut et l sufft que quels que soent et k tels que 1 n et 1 k n, on vérfe : X x k X k = 0 (IV.22 Alors, consdérons le système d équatons canonques suvant : dq = H(q, p (IV.23 dp = H(q, p q, ; = 1,..., n; = 1, 2,..., n (IV.24 le Hamltonen H dépendant ou non explctement du temps. Consdérons la quantté : n dθ = p dq H (IV.25 =1
3 p est une varable ndépendante des autres p et des q, elle ne peut dépendre que du temps t, et par conséquent : t = dp Et l assocaton de (IV.24 et de (IV.26 donne donc : t = H q (IV.26 (IV.27 Il est alors mmédat de montrer que dθ donnée par (IV.25 est une dfférentelle totale. En effet pour tout et k tels que 1 n et 1 k n avec : k on a ben : p p k = 0 (IV.28 q k q (les p ne dépendant pas des q k. La dernère conon (IV.22 à respecter s écrt alors : t + H = 0 (IV.29 q qu n est ren d autre que l équaton (IV.27. Ans on vent donc de démontrer que s p et q sont les 2n varables d un système canonque dont le Hamltonen est H l expresson : dθ = p dq H (IV.30 est une dfférentelle totale. Proprété Fort de ce résultat, on peut le répercuter sur les 2n varables canonques P et Q, assocées à un Hamltonen H (pas nécessarement dentque à H. On pourra ans appeler dθ la dfférentelle totale suvante : dθ = P dq H (IV.31
4 Soustrayons mantenant membre à membre (IV.30 de (IV.31. On obtent alors une conon nécessare pour que le changement de varables (p, q (P, Q sot canonque :. Ans en posant : P dq p dq = d(θ Θ + (H H H = H + K Θ Θ = W (IV.32 (IV.33 (IV.34 On en conclut que s le changement de varable (p, q (P, Q est canonque, alors l exste une dfférentelle totale dw telle que P dq p dq = dw + K où K représente la dfférence des deux Hamltonens : K = H H. (IV.35 Récproque Montrons que la conon (IV.35 n est pas seulement nécessare, mas qu elle est auss suffsante. On suppose donc cette fos-c d emblée qu l exste une dfférentelle totale dw telle que (IV.35 sot vérfée, et on cherche alors à prouver que le changement de varables (p, q (P, Q est canonque. On dspose ben sûr comme hypothèse de départ que (p, q avec 1 n, consttue un système canonque, ce qu entraîne, d après (IV.30, que : est une dfférentelle totale. p dq = dθ + H (IV.36 Substtuons cette expresson dans le membre de gauche de (IV.35. On obtent alors : P dq (H + K = d(w + Θ (IV.37
5 où, par défnton, d(w + Θ, en tant que somme de deux dfférentelles totales dw et dθ, est elle-même une dfférentelle totale. Reprenons la conon nécessare et suffsante donnée par (IV.22 pour qu une dfférentelle sot totale et applquons là au membre de gauche de (IV.37. On trouve ans, pour tout P : P t (H + K = Q (IV.38 Là encore, on notera que les P sont des varables ndépendantes, qu ne peuvent donc dépendre que du temps. Ans, on peut écrre de manère équvalente : dp = (H + K Q (IV.39 On obtent déà un premer eu d équatons canonques, celu assocé aux P. Pour trouver le second eu d équatons, on a recours à la dfférentelle totale de P Q : ( d P Q = P dq + Q dp (IV.40 Sot encore : ( P dq = d P Q Q dp (IV.41 Expresson que l on substtue dans (IV.37 pour donner : ( d P Q Q dp (H + K = d(w + Θ (IV.42 Et : ( Q dp + (H + K = d P Q W Θ (IV.43 On remarque que le second membre est écrt sous forme de dfférentelle totale. Le premer membre est donc lu-même une dfférentelle totale, et cette fos-c encore,
6 les conons (IV.22 sont utlsées, qu s écrvent : Q t = dq = (H + K P (IV.44 ce qu consttue ben le second eu d équatons canonques recherché, complémentare des relatons (IV.39. On a donc obtenu le résultat suvant : Théorème Soent (p, q un eu de 2n varables canonques, le Hamltonen correspondant étant H. Une conon nécessare et suffsante pour qu un eu de 2n nouvelles varables (P, Q sot canonque, avec pour Hamltonen H + K est que l on vérfe : P dq p dq K = dw (IV.45 où dw est une dfférentelle totale. La transformaton (p, q (P, Q est appelée transformaton de contact.
7 IV.5 Changements de varables canonques à l ade d une foncton génératrce. Théorème Consdérons un système d équatons canonques sous sa forme la plus classque : dq = H(q, p (IV.46 dp = H(q, p q, ; = 1,..., n; = 1, 2,..., n (IV.47 Envsageons alors un changement de varables a pror quelconque (p, q (P, Q. Fasons ensute ntervenr une foncton S, et supposons qu elle pusse s exprmer unquement en foncton des varables d orgne p et des nouvelles varables Q : S = S(Q, p, = 1,..., n. Admettons alors que S(Q, p vérfe les équatons suvantes : q = S, = 1,..., n P = S Q, = 1,..., n (IV.48 (IV.49 On peut alors montrer que quelle que sot S, le changement de varables (p, q (P, Q est canonque, et le Hamltonen reste nchangé. Démonstraton Calculons la quantté : D = (P dq p dq (IV.50 En vertu du théorème vu en (IV.3, s on arrve à montrer que D est une dfférentelle totale, alors le changement de varables c-dessus est canonque, et le Hamltonen
8 reste nchangé (K = 0. Or, dfférencons S : ds = S Q dq + S dp (IV.51 Et, en utlsant les proprétés de (IV.46 et (IV.47 : ds = P dq + q dp (IV.52 D où : D = ds q dp [ p dq = d S p q ] (IV.53 (C.Q.F.D IV.8 Changements de varables canonques partculers. On consdère c un système de varables canonques (x,y,avec : 1 n, et on suppose que l on veulle effectuer un changement de varables canonques tel que les n nouvelles varables q s exprment en foncton des n varables x. Déà, on sat que l on dot nécessarement vérfer une relaton du type (IV.35, autrement qu l dot exster K et W tels que : y dx p dq K = dw (IV.71 On peut mposer dw = 0 et : K = 0, cette dernère conon entraînant que le Hamltonen reste nchangé. Alors : y dx p dq = 0 (IV.72 Essayons de détermner les n nouvelles varables p. Comme on a mposé que les q s écrvent en foncton des seules varables x (et récproquement, on peut écrre : dx = q dq (IV.73
9 Ce qu, substtué dans (IV.71, donne : y q dq p dq = 0 (IV.74 Ou encore, les ndces et étant ndfférencés : y q dq = p dq (IV.75 Par dentfcaton de chaque terme en dq, on trouve alors que : p = y q (IV.76 Avec : 1, n. Reprenons alors la termnologe de l énerge cnétque T déà donnée à la fn du chaptre (III.5 : T = 1 ( dx 2 m (IV.77 2 En foncton des nouvelles varables : T = 1 ( m 2 dq 2 (IV.78 q Posons alors q = dq 1 n (IV.79 Alors d après l équaton c-dessus, on se rend compte que T s exprme exclusvement en foncton des q et des q : Appelons B la quantté : ( B = x 2 q (IV.80 q
10 Alors : B q ( ( = 2 q x q q D où : T q = 2 dx = 1 2 q [ ] m B q (IV.81 = m dx q (IV.82 Dans le cas où les varables y sont les varables canonques conuguées des x, données par les équatons (IV.2, c est-à-dre telles que : y = m dx (IV.83 Alors (IV.81 peut se transformer en : T q = y q (IV.84 En rapprochant les équatons (IV.75 et (IV.83 on trouve ans que : p = T q (IV.85 Dans le cas présent, où les n nouvelles varables q s exprment en foncton des n varables d orgne x, on peut donc faclement détermner les n nouvelles varables conuguées p des q par le bas des équatons (IV.85.