De la mécanique des systèmes à celle des solides.

Chaptre B-III De la mécanque des systèmes à celle des soldes. Joël SORNETTE met ce cours à votre dsposton selon les termes de la lcence Creatve Commons : Pas d utlsaton commercale. Pas de modfcaton, pas de coupure, pas d ntégraton à un autre traval. Pas de communcaton à autru sans cter son nom, n en suggérant son autorsaton. Retrouvez l ntégralté du cours sur le ste joelsornette.fr 1

RÉSUMÉ : Il s agt dans ce chaptre d établr les los de la mécanque du solde à partr de celles de la mécanque du pont. On commence par démontrer les théorèmes du centre de gravté, du moment cnétque et de l énerge cnétque pour un système de ponts matérels et l on ntrodut ensute le référentel barycentrque. On établt les proprétés du champ des vtesses d un solde et l on ntrodut successvement le vecteur rotaton et la matrce d nerte, ce qu permet l adaptaton au solde des théorèmes relatfs aux systèmes. On montre l ntérêt de la noton de torseur pour modélser les nteractons. On termne en montrant, pour un solde réel, le découplage entre mécanque et thermodynamque, ce qu justfe le modèle du solde parfat. 2

Table des matères B-III De la mécanque des systèmes à celle des soldes. 1 1 Rappels de mécanque du pont....................... 5 2 Systèmes matérels.............................. 7 3 Postulat d addtvté des forces....................... 7 4 Forces ntéreures et extéreures à un système............... 8 5 Théorème du centre de gravté....................... 9 5.a Centre de gravté............................ 9 5.b Quantté de mouvement d un système matérel........... 9 5.c Le théorème............................... 10 5.d Forces de pesanteur........................... 10 6 Théorème du moment cnétque....................... 11 6.a Théorème du moment cnétque en un pont fxe........... 11 6.b Théorème du moment cnétque par rapport à un axe........ 12 6.c Moment des forces de pesanteur.................... 12 7 Théorème de l énerge cnétque...................... 13 7.a Enoncé du théorème pour un système................ 13 7.b Energe potentelle de pesanteur.................... 13 8 Référentel barycentrque et théorèmes de Kőng.............. 14 8.a Référentel barycentrque........................ 14 8.b Théorème de Kőng pour le moment cnétque............ 15 8.c Théorème du moment cnétque au centre de gravté........ 16 8.d Théorème de Kőng pour l énerge cnétque............. 17 3

9 Champ des vtesses d un solde....................... 17 9.a Défnton d un solde parfat..................... 17 9.b ecteur rotaton............................ 18 9.c Champ des vtesses........................... 20 9.d Composton des vecteurs rotaton.................. 21 10 Moment cnétque d un solde. Matrce d nerte.............. 23 10.a Matrce d nerte en G, centre de gravté............... 23 10.b Matrce d nerte en O, pont fxe. Formule de Huyghens...... 24 10.c Calcul des matrces d nerte...................... 26 10.d Moment cnétque en mécanque du pont et en mécanque du solde. 27 11 Energe cnétque d un solde........................ 27 11.a Cas général............................... 27 11.b Cas partculer où l exste un pont fxe............... 27 12 Adaptaton des théorèmes de la mécanque des systèmes à celle des soldes........................................ 28 12.a Remarque ntale............................ 28 12.b Théorème du centre de gravté.................... 28 12.c Théorème du moment cnétque.................... 28 12.d Théorème de l énerge cnétque.................... 29 13 Noton de torseur............................... 30 13.a Défntons................................ 30 13.b Formulaton torsorelle des théorèmes de la mécanque des systèmes. 32 13.c Force localsée.............................. 32 13.d Formulaton torsorelle du théorème de l énerge pour un solde.. 33 13.e Noton de couple. Réducton d un torseur.............. 33 14 Mécanque du solde et thermodynamque................. 34 15 En guse de concluson............................ 35 4

1 Rappels de mécanque du pont. Il ne s agt c que d un résumé du chaptre B-II consacré à la dynamque du pont matérel, sans aucun commentare n aucune démonstraton. On postule l exstence de partcules de talle nfnment pette, appelées ponts matérels. La matère, dans ce modèle, est un assemblage de ponts matérels. A chaque pont matérel est affecté un coeffcent scalare appelé masse nertelle noté m On postule l exstence de référentels prvlégés appelée référentels nertels ou référentels galléens dans lequel un pont matérel solé, c est-à-dre sans nteracton avec tout autre pont, a un mouvement rectlgne unforme, donc a une vtesse constante. On appelle quantté de mouvement du pont A de masse m A et de vtesse v A la grandeur vectorelle : p A = m A v A (t) Dans le cas d un système solé 1 de deux ponts en nteracton notés A et B, on appelle force exercée par B sur A la grandeur vectorelle : F B A = d p A = d (m A v A ) = m A d v A et ben sûr la force exercée par A sur B la grandeur vectorelle : F A B = d p B = d (m B v B ) = m B d v B On postule que pour un système solé de deux partcules, la somme de leurs deux quanttés de mouvement se conserve et l on en dédut mmédatement que : F B A = F A B Il s agt du théorème d acton et réacton. Sot un pont matérel A (solé ou en nteracton avec un pont B, vore d autres) de masse m A, de vtesse v A et donc de quantté de mouvement p A = m A v A. On défnt le moment cnétque de A comme un champ vectorel dont la valeur en tout pont M du référentel est : σ A (M) = MA p A De cette formule résulte une «formule de changement de pont», qu peut être utle, permettant de ler les valeurs du champ de moment cnétque en deux ponts dfférents, dsons M et M. La voc : σ A (M ) = σ A (M) + M M p A 1. c est-à-dre qu l n y a pas d autre ponts matérels que A et B 5

Par analoge avec le moment cnétque, on appelle moment dynamque exercé sur le pont A subssant une force F A le champ vectorel dont la valeur en un pont M est : M A (M) = MA F A De la même façon que pour le moment cnétque, la formule de changement de pont : M A (M ) = M A (M) + M M F A Pour le champ σ A qu a tout pont M assoce, à l nstant t, σ A (M, t), on défnt sa dérvée temporelle, notée d σ A comme un champ qu à M assoce, à l nstant t, σ A t (M, t), dérvée partelle par rapport au temps de σ A (M, t), défnton exprmée tout naturellement en terme de dérvée partelle, mplquant donc par essence le fat que M est fxe. On démontre le théorème du moment cnétque dont l expresson est : d σ A = M A autrement dt, qu en tout pont M fxe et en sous-entendant qu l s agt auss de fonctons du temps : d σ A (M) = M A (M) On postule que la somme des moments cnétques d un système solé de deux ponts en nteracton se conserve. On en dédut que F A B est parallèle à AB ; dans cette axomatque, la force d nteracton entre deux ponts est toujours parallèle à la drote qu les jont. Sot un pont matérel A (solé ou en nteracton avec un pont B, vore d autres) de masse m A, de vtesse v A, on défnt l énerge cnétque de A par : E cn A = 1 2 m A v 2 A et l on appelle pussance exercée par F A sur A la quantté : P A = F A. v A On démontre le théorème de l énerge cnétque : de cn A = P A 6

On montre qu a pror pour un système solé de deux ponts matérels A et B en nteracton, la somme de leurs énerges cnétques ne se conserve pas. En notant c-après cette somme E cn, on a en effet, en notant AB = r u où r = AB et F A B = F u : d E cn = F A B. d AB = F B A. d BA = F dr L énerge cnétque ne se conserve donc que s la dstance r entre les ponts est constante (ce sera mportant pour la mécanque du solde). S la lo d nteracton est sotrope c est-à-dre s F ne dépend que de r et donc pas de la drecton de u et s l on note U AB (r) l opposé de la prmtve de F (r), qu on appelera énerge potentelle, notée U AB, on aura : d [E cn(t) + U AB (r(t))] = 0 La quantté E = E cn + U AB se conserve donc dans ces condtons, on l appelle énerge mécanque. La lo de gravtaton unverselle affrme que deux ponts matérels A et B s attrent selon la lo : AB F A B = G M A M B AB 3 où G est une constante unverselle dont la valeur dépend du chox des untés et M A et M B des coeffcents scalares appelé masses gravtatonnelles de ponts A et B. L expérence oblge à postuler qu l y a dentté entre la masse nertelle et la masse gravtatonnelle ; seule la théore de la relatvté générale (vor chaptre B-XXII) propose une explcaton. 2 Systèmes matérels. On étude c un système matérel comme un ensemble fn de ponts matérels. Un tel ensemble pourra toutefos être décrt par une dstrbuton contnue de masse où chaque élément de volume d centré sur un pont M a une masse dm, somme des masses ponctuelles contenues dans d, et que l on note dm = µ(m) d où µ(m) s appelle masse volumque en M. Les masses ponctuelles contenues dans d ont toutes la même vtesse v (M), à des nfnment petts près d ordre égal à celu de la talle de d, qu sera consdérée comme la vtesse de dm. 3 Postulat d addtvté des forces. Sot un pont matérel A soums à l nteracton de ponts B 1, B 2, B n ; on postule que la force qu l subt est la somme vectorelle des forces qu l subrat de la part de chacun 7

des ponts B s celu-c état seul, sot : =n F A = =1 F B A Remarque : Un pont matérel A soums l attracton unverselle de ponts B subt donc une force totale de gravtaton : ) AB F A = M A ( G M B AB 3 que l on notera F A = M A g. Pour la dfférence subtle entre gravtaton et pesanteur, vor le chaptre B-III relatf au chox d un référentel (Copernc, Foucault ou terrestre) ; on ne détalle pas c. 4 Forces ntéreures et extéreures à un système. Sot un système consttué des ponts A 1, A 2, A n, soums à l nteracton de ponts B 1, B 2, B p extéreurs au système. Le pont A 1 (par exemple) est soums à l acton d autres ponts du système, comme A 2, et de ponts extéreurs au système, comme B 1. Une force comme F A2 A 1 est dte force ntéreure et une force comme F B1 A 1 est dte force extéreure. La somme sur un système des forces ntéreures est nulle par sommaton du théorème d acton et réacton sur les couples de ponts ntéreurs, sot : F nt = 1 <j n ( F A A j + F Aj A ) = 1 <j n 0 = 0 Il en est de même pour la somme en un pont M des moments dynamques, sot en tenant compte du théorème d acton et réacton pour les moments : Mnt (M) = 1 <j n ( M A A j (M) + M Aj A (M)) = 1 <j n 0 = 0 Par contre, on ne peut ren dre a pror de la somme des pussances ntéreures ; même s les forces dérvent d un potentel ; on a, en utlsant un résultat du chaptre B-II (dynamque du pont) évoqué dans le paragraphe 1 débutant p. 5 : Pnt = 1 <j n (P A A j + P Aj A ) = 1 <j n d U( A A j ) = d 1 <j n U(r j ) 8

Le seul cas où l on pusse affrmer quelque chose est celu où tous les r j = A A j sont constants (on dt qu on a affare à un système ndéformable, c est à dre un solde au sens théorque du terme que l on défnra au paragraphe 9.a p. 17), alors et alors seulement : Pnt = (P A A j + P Aj A ) = 0 = 0 1 <j n 1 <j n 5 Théorème du centre de gravté. 5.a Centre de gravté. Sot un système de ponts matérels A, de masses m. Par défnton, le centre de gravté, ou barycentre, est le pont G qu vérfe les deux formules équvalentes : m GA = 0 m OA = ( ) m où M tot = ( m ) est la masse totale du système. OG = M tot OG On rappelle que cette défnton (seconde formulaton) est ndépendante du chox du pont O. Dans le cas d une descrpton contnue par une masse volumque µ(m), on défnt G ans : µ(m) ( ) OM d = µ(m) d OG = Mtot OG 5.b Quantté de mouvement d un système matérel. Par défnton, la quantté de mouvement du système est la somme des quanttés de mouvement de ses ponts, sot : p tot = p = m v sot p tot = ( ) d m OA = d m OA = d ( ) M tot OG = M tot vg Retenons donc l mportante relaton : p tot = M tot v G 9

5.c Le théorème. Sot un système de ponts matérels A, de masses m, soums à l nteracton de ponts B 1, B 2, B p extéreurs au système. Dérvons par rapport au temps la quantté de mouvement : p tot = M tot vg = p on tre : d p tot = M tot d v G = d p = F Détallons M tot d v G = ( j F Aj A + k F Bk A ) = F Bk A ) 1 <j n ( F Aj A + F A A j ) + k Le premer terme de l expresson fnale est la somme des forces ntéreures, l est donc nul (vor paragraphe 4 p. 8) ; abrégeons la notaton du second : M tot d v G = F ext connu sous le nom de théorème du centre de gravté ou encore théorème de la résultante dynamque. 5.d Forces de pesanteur. Sot un système de ponts matérels A, soums à un champ de pesanteur g unforme (approxmaton légtme s la talle du système est néglgeable devant le rayon de la terre), la somme des forces de pesanteur est ben évdemment : ( ) (m g ) = m g = Mtot g Pour un système matérel qu ne serat soums qu aux forces de gravtaton dans un champ unforme, on en dédut que d v G = g et ce, quelque complqué que sot le système et quelles que soent les condtons ntales. Le théorème du centre de gravté s avère très effcace même s ses conclusons ne suffsent pas à tout prédre de l évoluton du système. 10

6 Théorème du moment cnétque. 6.a Théorème du moment cnétque en un pont fxe. Sot un système de ponts matérels A, de masses m, soums à l nteracton de ponts B 1, B 2, B p extéreurs au système. Dérvons par rapport au temps le moment cnétque total, calculé en un pont fxe O et défn par : σ tot (O) = σ (O) on tre : d σ tot (O) = d σ (O) = M (O) détallons = d σ tot (O) = 1 <j n ( M Aj A (O) + k j ( MAj A (O) + M A A j (O)) + ) M Bk A (O) ) M Bk A (O) Le premer terme du second membre représente la somme des moments ntéreurs qu est nulle (vor paragraphe 4 p. 8) ; abrégeons la notaton du second : k s O est fxe, d σ tot (O) = Mext (O) connu sous le nom de théorème du moment cnétque. Remarque 1 : par sommaton les formules de changement de pont pour les moments cnétque et dynamque restent : σ (M ) = σ (M) + M M p M(M ) = M(M) + M M F Remarque 2 : à la dfférence de la quantté de mouvement, l n y a aucune formule donnant une expresson du moment cnétque autre que celle qu le défnt. Autrement dt, dans le cas général, ce théorème ne sert à RIEN. Par contre, on verra plus lon que, dans le cas du solde, on trouvera une expresson utlsable qu permettra de fare de ce théorème un outl pussant. En mécanque des fludes, par contre, on sera oblgé de revenr à la mécanque du pont (chaptres B-XIII et B-XI) par le bas de la «quas-partcule». 11

6.b Théorème du moment cnétque par rapport à un axe. Le théorème du moment cnétque en O s écrt : d σ (O) = Mext (O) Projetons sur un axe fxe noté Oz en multplant scalarement par le vecteur untare constant e z de cet axe, on tre : ( ) d σ (O). e z = d ( σ (O). e z ) = M ext (O). e z On appellera moment cnétque et moment dynamque par rapport à l axe Oz respectvement les expressons : σ Oz = σ (O). e z M ext,oz = M ext (O). e z d où le théorème du moment cnétque par rapport à un axe : d σ Oz = M ext,oz Termnons par la remarque suvante : le chox du pont O sur l axe mporte peu, en effet s O est un autre pont de l axe, on a : σ (O ) = σ (O) + O O p Multplons scalarement par e z : σ (O ). e z = σ (O). e z + ( O O p ). e z = σ (O). e z le derner terme étant nul car O O est parallèle à e z ce qu prouve l asserton précédente (et pour le moment dynamque, la démonstraton est dentque). A vra dre, ce théorème est réducteur car l n est qu une seule des tros projectons d un théorème plus général. Je ne le cte unquement pour qu on ne m accuse pas de ne pas l avor fat. 6.c Moment des forces de pesanteur. Le blan des moments des forces de pesanteur, que le système sot solde ou non est : M tot (O) = ( OM m g ) = (m OM g ) = = ( m OM ) g = M tot OG g = OG Mtot g 12

Ce qu sgnfe que plutôt que fare ce même calcul à chaque fos, l sufft de consdérer le pods total comme une force unque M tot g applquée au centre de gravté G ; c est certes ce qu on a tendance à fare spontanément, mas en volà la démonstraton rgoureuse, l fallat ben qu elle fût fate un jour. 7 Théorème de l énerge cnétque 7.a Enoncé du théorème pour un système. Sot un système de ponts matérels A, de masses m, soums à l nteracton de ponts B 1, B 2, B p extéreurs au système. Dérvons par rapport au temps l énerge cnétque totale défne par : E cn,tot = E cn, on tre : de cn,tot = de cn, = P détallons de cn,tot = ( j P Aj A (O) + k ) P Bk A (O) Abrégeons la notaton (on se souvent que la pussance ntéreure totale n est pas forcément nulle, vor paragraphe 4 p. 8) : de cn,tot = P nt + P ext connu sous le nom de théorème de l energe cnétque. 7.b Energe potentelle de pesanteur. Sot un système, solde ou non, soums au champ de pesanteur unforme g = g e z. La pussance totale des forces de pesanteur est : P pes. = m g v = g m v = g p tot = g M tot v G = M tot g v G Là encore, on retrouve le formalsme équvalent d une force unque M tot g applquée au pont G. 13

Poursuvons : P pes. = M tot g e z v G = M tot g dz G = d (M tot g z G ) = de pes. où l on appelle énerge potentelle de pesanteur la quantté E pes. = M tot g z G. S l on reporte le résultat précédent dans le théorème de l énerge cnétque en lu fasant changer de membre, on arrve à : d (E cn,tot + E pes. ) = P nt + P ext où P ext désgne la pussance des forces extéreures, horms celle de pesanteur. Généralsons : chaque fos que l on peut mettre une pussance sous forme de la dérvée temporelle, changée de sgne, d une énerge potentelle, on ajoute celle-c à l énerge cnétque pour obtenr l énerge mécanque et l on supprme ben sûr du second membre la pussance ans transformée. 8 Référentel barycentrque et théorèmes de Kőng. 8.a Référentel barycentrque. Sot un système matérel, répéré dans un référentel galléen Oxyz et de centre de gravté G. On appelle référentel barycentrque de ce système le référentel (a pror non galléen) Gxyz, centré en G et dont les axes sont parallèles à ceux de Oxyz. Ce second référentel est en translaton (a pror non unforme) par rapport au premer ; la vtesse d entraînement est donc la même en tout pont, c est la vtesse v G du pont G dans le référentel «du laboratore» et son vecteur rotaton par rapport à Oxyz est nul. Pour tout pont A du système, on note v sa vtesse absolue (par rapport à Oxyz) et v sa vtesse relatve (par rapport à Gxyz) ; la lo de composton des vtesses (vor chaptre B-I) nous apprend que : v = v + v G que nous allons reporter dans la défnton du moment cnétque et de l énerge cnétque. Par contre le théorème de la résultante dynamque (théorème du centre de gravté) est s smple tel qu on le connaît (vor paragraphe 5.c p. 10) qu on contnuera toujours à l utlser sous cette forme smple. Remarquons toutefos que le calcul qu a condut dans le référentel du laboratore à p = M v G condut à une quantté de mouvement dans le référentel barycentrque p = M v G, or v G est ben sûr nulle, d où p = 0 14

Attenton, dans ce qu sut, à ne pas crore qu on cherche à exprmer les théorèmes de la mécanque dans le référentel non galléen barycentrque ; la sute montre qu l ne sert que d auxlare de calcul pour calculer le moment cnétque et l énerge cnétque dans le référentel du laboratore. 8.b Théorème de Kőng pour le moment cnétque. Reportons la lo de composton des vtesses dans le moment cnétque calculé en un pont fxe O du référentel absolu, réputé galléen : σ (O) = OA m v = OA m v + OA m v G On reconnaît dans le premer terme le moment cnétque calculé avec les vtesses dans le référentel barycentrque, qu on note provsorement σ (O) ; pour le second, on a : OA m v G = m OA v G = ( ) m OA v G = M OG v G = OG M v G Formellement c est le moment cnétque qu aurat un pont matérel concentrant toute la masse (on la note désormas M sans ndce) du système en G. Par alleurs, la formule de changement de pont pour le moment cnétque, applquée dans le référentel barycentque donne : σ (O) = σ (M) + OM p = σ (M) car p est nul (cf supra au paragraphe 8.a p. 14) ; on en dédut que σ ne dépend pas du pont de calcul que l on ne mentonne donc plus. Retenons donc ce premer théorème (ou formule) de KŐNIG 2 : σ (O) = OG M v G + σ Remarque : cette formule est censée ader au calcul du moment cnétque et le terme OG M v G va dans ce sens, mas c est un leurre ; en effet, s l on ne sat pas calculer σ (O) = OA m v, on ne saura pas plus calculer σ (O) = OA m v. Dans le cas général, cette formule ne sert elle non plus à RIEN. Par contre dans le cas d un solde, on pourra s appuyer sur le fat que G est fxe dans le référentel barycentrque pour alléger les calculs (vor c-dessous la parte 10 p. 23). 2. physcen allemand, donc on trouve sur la lette O non pas un tréma mas un «umlaut». 15

8.c Théorème du moment cnétque au centre de gravté. Le théorème du centre de gravté est valable en un pont fxe (dsons O) et l on y a : d σ (O) = Mtot,ext (O) Reportons-y les formules de changement de ponts entre O et G : σ (O) = σ (G) + OG p M(O) = M(G) + OG F on en dédut : d σ (G) + d OG p + OG d p = M(G) + OG F d σ (G) + v G p + OG F = M(G) + OG F où les termes OG F des deux membres se smplfent et vg p est nul car ces vecteurs sont parallèles ( p = M v G ) donc, en réntrodusant l ndce «extéreur» oms pour alléger l exposé : d σ (G) = M ext. (G) Ce qu prouve que le théorème du moment cnétque est valable en G, ben que ce pont ne sot pas fxe. Remarquons de plus que s l on prend O = G dans la formule de Kőng (avec GG = 0 ), on a : σ (G) = σ (les moments cnétques calculés avec les vtesses absolues et relatves ont même valeur en G et l on rappelle que le second ne dépend pas du pont de calcul). Retenons donc : d d σ (G) = σ = M ext (G) même s le centre de gravté G n est pas fxe. Remarque : par projecton sur un axe fxe, on retrouve le théorème du moment cnétque par rapport à un axe exactement comme plus haut (paragraphe 6.b p. 12). 16

8.d Théorème de Kőng pour l énerge cnétque. Reportons la lo de composton des vtesses dans l expresson de l énerge cnétque : E cn = 1 2 m v 2 = 1 2 m ( v + v G ) 2 = = 1 2 m v 2 + m v. v G + 1 2 m v 2 = = ( ) ( ) 1 2 m v 2 + m v. v G + 1 m v 2 2 = = E cn + p. v G + 1 2 M v 2 G = E cn + 1 2 M v 2 G où p est nul (cf supra au paragraphe 8.a p. 14) et Ecn est l énerge cnétque calculée avec les vtesses dans le référentel barycentrque. 1 2 M v 2 G est formellement l énerge cnétque qu aurat un pont matérel concentrant toute la masse du système en G. Retenons donc ce second théorème (ou formule) de KŐNIG : E cn = 1 2 M v 2 G + E cn Remarque 1 : Comme pour l autre formule de Kőng et pour les mêmes rasons, ce théorème ne sert à RIEN dans le cas général ; l n est ntéressant que dans le cas d un solde (vor c-dessous la parte 11 p. 27). Remarque 2 : Compte tenu que p = 0, on note l analoge entre les tros formules suvantes où le second membre comporte un terme relatf à toute la masse concentrée en G et un second qu correspond à la grandeur du premer membre mas calculée avec les vtesses barycentrques : p = Mtot v G + p σ (O) = OG M v G + σ E cn = 1 2 M v 2 G + E cn 9 Champ des vtesses d un solde. 9.a Défnton d un solde parfat. Un système matérel est un solde parfat s, quelque sot son mouvement et quels que soent deux ponts A et B du système, leur dstance est constante. 17

Ce modèle est ben sur en défaut lorsqu on étude les déformatons sous l effet de forces (théore de l élastcté au chaptre B-X et propagaton d ondes au chaptre D-II) ou l agtaton thermque autour d une poston moyenne fxe (thermodynamque au chaptre E-III tratant du premer prncpe) ; néanmons les écarts au modèle restent fables, ce qu lu conserve une grande effcence. On verra un peu plus lon (paragraphe 14 p. 34) une remarque thermodynamque qu valdera le modèle en présence d agtaton thermque. 9.b ecteur rotaton. Sot un référentel lé au solde représenté par un repère R = O x y z, que l on appellera par la sute référentel du solde ou référentel relatf, en mouvement par rapport au référentel absolu représenté par un repère R = Oxyz. Pour deux ponts quelconques A et B du solde, s l on projette le vecteur AB sur le repère lé au solde, ses composantes sont ben évdemment constantes ; on notera : AB = X 0 ex + Y 0 ex + Z 0 ex avec un ndce zéro pour suggérer la valeur constante. On dot avor AB = Cte sot AB 2 = AB 2 = Cte, d où en dérvant et smplfant par le facteur 2 qu apparaît : 0 = d ( AB AB = (X 0 ex + Y 0 ex + Z d e x d e x d ) e x 0 ex ) X 0 + Y 0 + Z 0 0 = X0 2 d e x e x +X 0 Y 0 ( ex + Y0 2 d e y e y d e y + e y d e x d e z + Z0 2 e z ) ( +Y 0 Z ey 0 + d e z + e z d ) ( e y +Z 0 X ez d e x 0 + e x d ) e z et cec quels que soent X 0, Y 0 et Z 0. Pour cela l faut et l sufft que les sx coeffcents de X 2 0, Y 2 0, Z2 0, X 0 Y 0, Y 0 Z 0 et Z 0 X 0 soent tous nuls. Nous avons donc beson pour la sute de la dérvée temporelle des vecteurs untares de R consdérés dans leur mouvement par rapport à R (par rapport à R, ce serat stupde car ls y sont fxes! Inutle donc de noter R en ndce.) ; ces dérvées seront données par leurs composantes dans la base vectorelle de R, car c est ce qu permettra de dre des choses ntéressantes, notons donc : d e x d e y = ω xx ex + ω yx ey + ω zx ez = ω xy ex + ω yy ey + ω zy ey 18

d e z Le coeffcent de X0 2 est nul sot e x d e x ω zz = 0. Le coeffcent de X 0 Y 0 est nul sot e x même ω zx + ω xz = 0 et ω yz + ω zy = 0. = ω xz ex + ω yz ey + ω zz ez d e y = 0 ; d où ω xx = 0 et de même ω yy = 0 et + e d e y x = 0, d où ω yx + ω xy = 0 et de On peut donc noter Ω 1 = ω zy = ω yz, Ω 2 = ω xz = ω zx et Ω 3 = ω yx = ω xy. En reportant dans les expressons des dérvées des vecteurs de la base du référentel du solde pus celles-c dans d AB d = X e x d 0 + Y e x d 0 + Z e x 0, on en dédut, en termnant le calcul sous forme matrcelle : d AB = X 0 (Ω 3 ey Ω 2 ez ) + Y 0 (Ω 1 ez Ω 3 ex ) + Z 0 (Ω 2 ex Ω 1 ey ) d AB Ω 2 Z 0 Ω 3 Y 0 = Ω 3 X 0 Ω 1 Z 0 R Ω 1 Y 0 Ω 2 X 0 d AB 0 Ω 3 Ω 2 X 0 0 Ω 3 Ω 2 = Ω 3 0 Ω 1 Y 0 = Ω 3 0 Ω 1 ( ) AB R Ω 2 Ω 1 0 Z 0 Ω 2 Ω 1 0 Nous avons donc fat apparaître une matrce antsymétrque qu le un vecteur fxe dans le référentel relatf et sa dérvée dans le référentel absolu. Ce n est pas très dffcle mas lourd à manpuler et encombrant à l écrture. Or sur R, on défnt le produt vectorel 3 de deux vecteurs a et b par : a x b x a y b z a z b y a b = a y def = a z b y b z a z b x a x b z a x b y a y b x défnton qu est ndépendante 4 du chox de la base orthonormée drecte ; la relaton qu sut, démontrée dans la base lée au solde sera donc valable dans la base du laboratore. 3. Les prncpales proprétés du produt vectorel sont les suvantes : l est blnéare : d une part (λ 1 a1 + λ 2 a2) b = λ 1 ( a 1 b ) + λ 2 ( a 2 b ) et d autre part a (λ1 b1 + λ 2 b2) = λ 1 ( a b 1) + λ 2 ( a b 2) l est antsymétrque b a = a b a b est nul s et seulement s a et b sont parallèles a b est orthogonal à a et à b a b = a b sn( a, b ), sot auss l are du parallélogramme construt sur les vecteurs a et b 4. On admettra ; ce n est pas dffcle mas ennuyeux. 19

On peut donc défnr le vecteur rotaton du solde par Ω = Ω 1 ex + Ω 2 ey + Ω 3 ez et écrre formellement, ce qu remplace avantageusement la notaton matrcelle : d AB = Ω AB Remarque 1 : notons que le vecteur Ω dépend a pror du temps. Remarque 2 : ce calcul a auss été mené dans l étude des changements de référentel (vor chaptre C-I sur la cnématque du pont) ; on généralse asément (vor au même endrot) que, pour un vecteur varable dans les deux référentels, sa dérvée dans le référentel du laboratore noté R et celle dans celu du solde R sont lées par : d = d R R + Ω Remarque 3 : sot un solde tournant autour d un axe que l on chost comme axe Oz. Le référentel du laboratore sera nommé Oxyz et l on consdère un référentel tournant OXY z lé au solde. On note ϕ(t) l angle entre Ox et OX. Un pont M du solde se projette en H sur Oz. On note r le module (la norme) de HM et l on note OH = z e z. Le pont M décrt manfestement un cercle de centre H de rayon r ; sa vtesse est classquement : v (M) = r θ e θ = r θ e z e r = ( θ e z ) (r e r ) = = ( θ e z ) (r e r + z e z ) = ( θ e z ) OM en utlsant le fat que e z e z = 0. On en dédut pour deux ponts A et B du solde, on a : d AB = v B v A = ( θ e z ) OB ( θ e z ) OA = ( θ e z ) AB ce qu permet d dentfer Ω à θ e z. 9.c Champ des vtesses. La relaton d AB = Ω AB peut être ans reformulée : B A v B = v A + Ω AB La conséquence la plus mportante est que, pour connaître, à un nstant donné, la vtesse de tous les ponts d un solde, l sufft de connaître, à ce même nstant, la vtesse d un pont partculer ayant s possble une vtesse connue ou asée à paramétrer, dsons le pont M, et le vecteur rotaton. On lt donc la relaton plutôt sous la forme : M v (M ) = v (M) + Ω MM 20

Pour une melleure mémorsaton, on peut s appuyer sur la ressemblance avec les formules de changement de pont pour les moments cnétque et dynamque, c est -à-dre : σ(m ) = σ (M) + M M p M(M ) = M(M) + M M F en écrvant plutôt, après un double changement de sgne : v (M ) = v (M) + M M Ω On appelle parfos cette formule, formule de argnon ; en fat la vértable formule de argnon n est pas exactement celle-là. Remarque 1 : A un nstant t donné, Ω MM est nul s et seulement s MM est parallèle à Ω. On en dédut asément que l ensemble des ponts de vtesse nulle, s l exste, est une drote parallèle à Ω. On en dédut en outre qu l sufft qu un pont at une vtesse nulle pour que cette drote exste ; on l appelle alors axe nstantané de rotaton. Il ne faut pas crore que cet axe ans défn exste forcément ; un contre exemple smple est celu d une vs qu progresse parallèlement à son axe en tournant autour de celu-c. De plus s l exste, cet axe n est pas forcément fxe n par rapport au laboratore, n par rapport au référentel barycentrque, n par rapport au solde. Remarque 2 : En ntrodusant le référentel barycentrque, la formule fondamentale du champ de vtesse se transforme ans : B A v B = v A + Ω AB B A v G + v B = v G + v A + Ω AB B A v B = v A + Ω AB ce qu prouve que le vecteur rotaton est le même dans le référentel du laboratore et le référentel barycentrque ; cela tent au fat que le second est en translaton par rapport au premer. 9.d Composton des vecteurs rotaton Imagnons un changement de référentel passant dans du référentel 1, «absolu», au référentel 2, «relatf» et étudons-y le mouvement d un solde affecté de l ndce 3 S l on consdère le mouvement du solde par rapport au référentel 1, la formule de argnon s écrt, en adaptant les notatons : v 3/1 (M ) = v 3/1 (M) + M M Ω 3/1 21

De même, dans le mouvement du solde par rapport au référentel 2, la formule de argnon s écrt, en adaptant les notatons : v 3/2 (M ) = v 3/2 (M) + M M Ω 3/2 Consdérons mantenant les vtesses de M et M du solde 3, leurs vtesses absolues ont été notées v 3/1 (M ) et v 3/1 (M), leurs vtesses relatves v 3/2 (M ) et v 3/2 (M) et leurs vtesses d entraînement qu seront notées v 2/1 (M ) et v 2/1 (M), sont celles des ponts coïncdents du référentel 2 par rapport au référentel 1 ; or un référentel, formé de ponts fxes les uns par rapport aux autres, est formellement un solde et l on a donc : v 2/1 (M ) = v 2/1 (M) + M M Ω 2/1 La los de composton des vtesses permet de transformer ans la premère des tros dernères formules : v 3/1 (M ) = v 3/1 (M) + M M Ω 3/1 v 3/2 (M ) + v 2/1 (M ) = v 3/2 (M) + v 2/1 (M) + M M Ω 3/1 et la somme des deux dernères donne : v 3/2 (M ) + v 2/1 (M ) = v 3/2 (M) + v 2/1 (M) + M M Ω 3/2 + M M Ω 2/1 Enfn la dfférence membre à membre de ces deux nouveaux résultats condut à : M M Ω 3/1 = M M Ω 3/2 + M M Ω 2/1 qu dot être vra quel que sot M M ; on peut donc affrmer : Ω3/1 = Ω 3/2 + Ω 2/1 que l on peut auss énoncer ans pour la ressemblance avec les formules de composton des vtesses et aux accélératons : Ωabs. = Ω rel. + Ω entr. Ce résultat a déjà été montré dans un contexte dfférent au chaptre B-I (cnématque du pont) ; un fos que l on a comprs qu un référentel se comporte comme un solde, cette convergence dans les résultats s explque asément. 22

10 Moment cnétque d un solde. Matrce d nerte. 10.a Matrce d nerte en G, centre de gravté. Sot un solde en mouvement. Dans le référentel barycentrque, par défnton de celuc, le pont G est fxe, donc v G = 0 ; on dédut alors de la formule du champ des vtesses que pour tout pont M du solde v M = Ω GM. Calculons, dans le référentel barycentrque, le moment cnétque du solde. Découponsle pour cela en volumes élémentares de masse dm = µ(m) d, autour du pont courant M où la masse volumque, pas forcément homogène, est µ(m), assmlés à des ponts matérels. Pour un volume élémentare, la quantté de mouvement élémentare est : d p = dm v (M) = µ(m) d Ω GM Dans le référentel barycentrque, le moment cnétque est un champ unforme mas pour en calculer la valeur constante, l est judceux de ce placer en G, centre de gravté. Le moment cnétque élémentare, calculé en G est : d σ = d σ (G) = GM d p = µ(m) d GM ( Ω GM) On va procéder ensute par ntégraton après projecton sur une base orthonormée drecte ; la logque du référentel barycentrque voudrat que ce sot sur sa base, dentque à celle du laboratore. Mas la logque de l ntégraton exge que le domane d ntégraton sot ndépendant du temps s l on veut que le résultat sot explotable. On va donc projeter sur une base lée au solde. Il est toujours déroutant de projeter une grandeur vectorelle défne dans un repère sur les vecteurs de base d un autre repère, mas c est tout à fat lcte à condton, ben sûr, de ne pas perdre de vue que les vecteurs de la base de projecton dépendent du temps dans le référentel d étude. Notons donc c e X, e Y et e Z une base orthonormée lée au solde ; pour un pont M du solde, notons GM = X e X + Y e Y + Z e Z avec X, Y et Z ndépendant du temps et notons Ω (t) = ΩX ex + Ω Y Y e Y + Ω Z Z e Z avec Ω X, Ω Y et Ω Z dépendant, eux, du temps. Un calcul de routne condut alors, en notant le domane d ntégraton décrvant la forme du solde et en écrvant sous forme de vecteurs-colonnes, à : σ = d σ = µ(m) d GM ( Ω GM) σ = σ = X Ω X X µ(x, Y, Z) dx dy dz Y Ω Y Y Z Ω Z Z X Z Ω Y Y Ω Z µ(x, Y, Z) dx dy dz Y X Ω Z Z Ω X Z Y Ω X X Ω Y 23

(Y 2 + Z 2 ) Ω X X Y Ω Y X Z Ω Z σ = µ(x, Y, Z) dx dy dz X Y Ω X + (X 2 + Z 2 ) Ω Y Y Z Ω Z X Z Ω X Y Z Ω Y + (X 2 + Y 2 ) Ω Z On peut présenter ce résultat de façon matrcelle : σ X J XX J XY J XZ Ω X σ Y = J Y X J Y Y J Y Z Ω Y σz J ZX J ZY J ZZ Ω Z ou de façon condensée ( σ ) = (J) ( Ω ) avec : J XX = (Y 2 + Z 2 ) dm = (Y 2 + Z 2 ) µ(x, Y, Z) dx dy dz et analogues J XY = X Y dm = X Y µ(x, Y, Z) dx dy dz et analogues La matrce ans défne est la matrce d nerte en G. Ses coeffcents dagonaux sont tradtonnellement et ben maladrotement 5 appelés moments d nerte, J XX, par exemple, est le moment d nerte par rapport à l axe GX et l on remarquera que Y 2 +Z 2 qu apparaît dans sa défnton est la dstance du pont à l axe GX. Ses termes non dagonaux sont appelés produts d nerte. La matrce d nerte est manfestement symétrque et l on sat qu une matrce symétrque est dagonalsable dans une base orthonormée. Chaque fos qu on le pourra c està-dre s l n y a pas une rason supéreure d en chosr une autre (par exemple l exstence d un axe fxe autour duquel le solde tournerat), on chosra donc la base orthonormée lée au solde dans laquelle la matrce est dagonale et les tros axes de cette base sont les axes prncpaux d nerte. Le fat que la matrce sot calculée dans une base lée au solde, donc a pror moble par rapport au laboratore pose évdemment problème, nous y revendrons un peu plus lon, au paragraphe 12.c p. 28. 10.b Matrce d nerte en O, pont fxe. Formule de Huyghens. Le calcul qu précède s est appuyé sur le fat que dans le référentel barycentrque, le centre de gravté G a, par constructon, une vtesse nulle. S, dans le référentel du laboratore, exste (ce n est pas toujours le cas, vor la remarque 1 du paragraphe 9.c p. 20 pour le contre-exemple du mouvement de vssage) un pont O de vtesse nulle, on peut reprendre la même étude avec les mêmes conclusons en lant au solde un référentel OXY Z et défnr une matrce d nerte en ce pont lant le moment cnétque calculé en ce 5. car l n y a aucun rapport avec les moments cnétques et dynamques qu eux procèdent d une même logque. 24

pont au vecteur rotaton. Rgoureusement, on peut procéder ans s, à un nstant donné, O a une vtesse nulle, mas alors le résultat n est valable qu à cet nstant ; or le moment cnétque a vocaton à être dérvé et ce résultat serat donc sans ntérêt. On se place donc c dans le cas où O est un pont fxe de vtesse constamment nulle. Dans le cas où un solde possède un pont fxe O, on peut calculer le moment cnétque en ce pont sot drectement avec la matrce d nerte en ce pont (ndce O) sot ndrectement avec le théorème de Kőng et la matrce d nerte au centre de gravté (ndce G). Développons en utlsant le champ des vtesses par v (G) = v (O)+ Ω OG où v (O) = 0 et en appelant M la masse du solde : σ (O) = σ + OG M v G (J O ) ( Ω ) = (J G ) ( Ω ) + M ( Ω ) OG OG En notant X G, Y G et Z G les composantes de OG dans une base OXY Z lée au solde, on retrouve un calcul déjà effectué plus haut, ce qu permet de ne pas le refare. On a donc : J OXX J OXY J OXZ Ω X J OY X J OY Y J OY Z Ω Y = J OZX J OZY J OZZ Ω Z J GXX J GXY J GXZ Ω X X G Ω X X G = J GY X J GY Y J GY Z Ω Y + M Y G Ω Y Y G J GZX J GZY J GZZ Ω Z Z G Ω Z Z G J OXX J OXY J OXZ Ω X J OY X J OY Y J OY Z Ω Y = J OZX J OZY J OZZ Ω Z J GXX J GXY J GXZ Ω X = J GY X J GY Y J GY Z Ω Y +M J GZX J GZY J GZZ Ω Z (YG 2 + Z2 G ) X G Y G X G Z G Ω X X g Y G (XG 2 + Z2 G ) Y G Z G Ω Y X G Z G Y G Z G (XG 2 + Y G 2) Ω Z On en dédut deux types de formules : d une part des formules comme J OXX = J GXX + M (YG 2 + Z2 G ) où le derner terme fat apparaître la dstance de G à l axe OX ou la dstance de O à l axe GX. On remarque au passage que, quelque sot la poston du pont O, on a J GXX < J OXX mas c est assez anecdotque. On note plus volonters J OX et J GX au leu de J OXX et J GXX. d autre part des formules comme J OXY = J GXY M X G Y G Ces formules sont connues sous le nom de formules de HUYGENS et montrent que la donnée de la matrce d nerte en G permet le calcul de la matrce d nerte en tout autre pont. 25

10.c Calcul des matrces d nerte. Ms à part quelques rares soldes homogènes de forme géométrque smple, le calcul par ntégraton de la matrce d nerte est mpossble, pas plus du reste que le calcul de la masse ou de la poston du centre de gravté. De même que la masse d un solde est une donnée expérmentale que l on trouve, non par ntégraton mas par pesage, la matrce d nerte dot être consdérée comme une donnée expérmentale même s la mesure de ses coeffcents est ben plus délcate qu une smple pesée. Les exemples de calcul qu suvent ne sont donnés qu à ttre anecdotque. Premer exemple : sot une sphère homogène de centre géométrque O confondu avec son centre de gravté G, de masse M et de rayon R donc de volume = 4 3 π R3 et de masse volumque µ = M. Par symétre, tous les termes non dagonaux de la matrce d nerte sont nuls et les termes dagonaux sont égaux. On se convanc asément par symétre que : J = J OX = J OY = J OZ = (Y 2 +Z 2 ) dm = (Z 2 +X 2 ) dm = (X 2 +Y 2 ) dm = = 2 X 2 dm = 2 Y 2 dm = 2 Z 2 dm = 2 (X 2 + Y 2 + Z 2 ) dm 3 En passant en cordonnées sphérques J = 2 r 2 dm = 2 R r 2 µ 4 π r 2 dr = 8 π µ R5 3 3 15 0 = 2 5 M R2 Second exemple : sot un cylndre homogène de centre O confondu avec son centre de gravté G, d axe OZ, de rayon R, de hauteur H, de masse M et donc de volume = π R 2 H de masse volumque µ = M. Par symétre, tous les termes non dagonaux de la matrce d nerte sont nuls. En passant en coordonnées cylndrques, on a : R J OZ = (X 2 + Y 2 ) dm = r 2 µ 2 π r dr H = 2 π µ R4 H = 1 4 2 M R2 On a donc par symétre : X 2 dm = 0 Y 2 dm = 1 2 J OZ = 1 4 M R2 Par alleurs : Z 2 dm = H 2 H 2 Z 2 µ π R 2 dz = π µ R2 H 3 12 = 1 12 M H2 et donc J OX = J OY = (Y 2 + Z 2 ) dm = (Z 2 + X 2 ) dm = 1 4 M R2 + 1 12 M H2 Dans le cas du cylndre avec R H (on parle alors de tge mnce), on a J OZ = 0 et J OX = J OY = 1 12 M H2. 26

10.d Moment cnétque en mécanque du pont et en mécanque du solde. On nsste lourdement sur le fat que pour un pont matérel, σ (O) se calcule par OM (m v ) et pour un solde, par le produt matrcel de la matrce d nerte et du vecteur rotaton ; ces deux démarches sont fondamentalement dfférentes. La mécanque du pont et celle du solde demandent des automatsmes de pensée dctncts qu l convent de ne pas confondre. 11 Energe cnétque d un solde. 11.a Cas général. Sauf cas partculer, on passe par la seconde formule de Kőng, E cn = 1 2 M v 2 G + E cn où Ecn = 1 dm v (M) 2 et v (M) = v (G) + Ω GM (avec v (G) = 0 ) que l on 2 utlse, suprême astuce, qu une seule fos ; d où, en utlsant les proprétes du produt mxte et en reconnassant l expresson du moment cnétque barycentrque : Ecn = 1 dm v (M) 2 = 1 dm v (M) v (M) = 2 2 = 1 ( Ω ) dm GM v (M) = 1 2 2 = 1 2 Ω ( ) GM dm v (M) = ( ) Ω GM dm v (M) = 1 Ω σ 2 En repassant en notaton matrcelle, on fat apparaître une forme quadratque : Ecn = 1 ( ) J XX J XY J XZ Ω X ΩX Ω Y Ω Z J Y X J Y Y J Y Z Ω Y 2 J ZX J ZY J ZZ Ω Z ou de façon condensée E cn = 1 2 t ( Ω )(J G ) ( Ω ). Fnalement : E cn = 1 2 M v 2 G + 1 t ( Ω )(J G ) ( Ω ) 2 11.b Cas partculer où l exste un pont fxe. En partant cette fos de v (M) = v (O) + Ω OM avec v (O) = 0, la même démonstraton condut à : E cn = 1 t ( Ω )(J O ) ( Ω ) 2 27

Mas attenton à ben utlser la matrce d nerte calculée en O et à ne surtout pas ajouter 1 2 M v 2 G car on n est pas passé par la formule de Kőng. On rencontre trop souvent une confuson entre les deux approches qu sont du reste toutes les deux possbles dans le cas où exste un pont fxe. 12 Adaptaton des théorèmes de la mécanque des systèmes à celle des soldes. 12.a Remarque ntale. En mécanque du pont, on n a qu une nconnue vectorelle, la vtesse du pont et l sufft d une équaton vectorelle pour résoudre un problème, le théorème du centre de gravté OU celu du moment cnétque. En mécanque des fludes, on a une nfnté d nconnues (vor les chaptres B-XIII et B-XI), les vtesses de toutes les quas-partcules et l faut une nfnté d équatons, la formule d Euler applquée à chacune des quas-partcules. De facto, on se ramène donc à la mécanque du pont. En mécanque des soldes, le champ des vtesses est tel qu l sufft de connaître la vtesse d un pont et le vecteur rotaton pour connaître la vtesse de tous les ponts ; l n y a donc que deux nconnues vectorelles et l faut deux équatons vectorelles pour résoudre un problème, le théorème du centre de gravté ET celu du moment cnétque. 12.b Théorème du centre de gravté. d v G Le théorème du centre de gravté M tot = F ext est tellement concs qu on ne peut espérer une forme encore plus smple et c est donc sous cette forme qu on l utlse en mécanque du solde. 12.c Théorème du moment cnétque. Le théorème du moment cnétque est valable au centre de gravté dans tous les cas ; l affrme (vor paragraphe 8.c p. 16) que : d σ = M(G) bar. et par alleurs dans un référentel lé au solde on a ( σ ) = (J G ) ( Ω ) où la matrce est une donnée expérmentale du problème (vor paragraphe 10.c p. 26). Le problème résde dans la dérvaton du moment cnétque. Dans la base vectorelle lée au solde et où la 28

matrce est fxe, on a d σ = (J G ) sol. ( d ) Ω et en utlsant la remarque 2 du paragraphe 9.b p. 18 sur le vecteur rotaton on a auss : d σ = d σ bar. + Ω σ sol. En effectuant la synthèse de tout cela, le théorème s écrt donc : ( d ) Ω (J G ) + [ Ω (J G ) ( ] Ω ) = M ext. (G) où l ne faudra pas perdre de vue que le premer membre sera calculé dans une base vectorelle moble lée au solde. L utlsaton de ce théorème sera étudée dans le chaptre B-IX consacré à la mécanque du solde. Dans le cas partculer où le solde possède un pont fxe noté O, on peut utlser le théorème en O dans le référentel du laboratore et la matrce d nerte en O, on arrve alors de la même façon à : ( d ) Ω (J O ) + [ Ω (J O ) ( ] Ω ) = M ext. (O) où, là non plus, l ne faudra pas perdre de vue que le premer terme sera calculé dans une base vectorelle moble lée au solde. Remarque : l adaptaton de théorème du moment cnétque par rapport à un axe n est pertnente que dans certans cas partculers, nous les aborderons dans le chaptre B-IX. 12.d Théorème de l énerge cnétque. Le pont mportant et smplfcateur est que le solde est un système ndéformable par défnton et donc que la pussance des forces ntéreures est nulle. Le théorème de l énerge cnétque s écrt donc : de cn = P ext. où l sufft de reporter l expresson de l énerge cnétque d un solde. On peut remarquer dès à présent que c est une équaton scalare et qu elle ne peut pas n seule n avec l un des deux théorèmes précédents résoudre un problème où l y a 29

a pror deux nconnues vectorelles. Toutefos, dans un grand nombre de cas partculers, son utlsaton dans un premer temps abrège la résoluton du problème. L utlsaton de ce théorème sera détallée dans le chaptre B-IX consacré à la mécanque du solde. 13 Noton de torseur. 13.a Défntons. Torseur, relaton fondamentale. Le moment cnétque, le moment dynamque et le champ des vtesses d un solde sont des champs qu vérfent respectvement : σ (M ) = σ (M) + M M p M(M ) = M(M) + M M F v (M ) = v (M) + M M Ω On appellera plus généralement torseur la donnée conjonte d un vecteur appelé résultante du torseur et d un champ vectorel M appelé moment du torseur vérfant : M M M(M ) = M(M) + M M [ ] On note dans ce cours un tel torseur, M et, en mécanque des soldes, [ p, σ ], [ F ] [ Ω ], M et, v sont des torseurs, respectvement le torseur cnétque, le torseur dynamque et le torseur des vtesses. Addtons de torseurs. [ Sot des torseurs, ] M, par addton des formules fondamentales, on a : M M M (M ) = M (M) + M M ce qu prouve que [, ] M est un torseur appelé somme des torseurs. 30

Dérvée temporelle d un torseur. Un torseur dépendant du temps est la donnée conjonte d un vecteur (t) et d un champ vectorel M(t) vérfant : t M M M(M, t) = M(M, t) + M M (t) On note dans ce cours un tel torseur [ (t), M(t) ]. S l on dérve par rapport au temps la relaton fondamentale, on tre : t M M M = M + M M d t t (M,t) (M,t) Par défnton la dérvée temporelle d M d un champ M est défne par : d M M (M, t) = t (M,t) et l on a donc : t M M d M (M, t) = d M (M, t) + M M d [ d ce qu prouve que, d ] M est un torseur qu on appelle dérvée temporelle du [ ] [ torseur (t), M(t) et que l on note d ], M. Produt scalare de torseurs [ Soent deux torseurs 1, ] [ M 1 et 2, ] M 2 et consdérons le champ scalare P qu à tout M assoce 1 M 2 (M) + 2 M 1 (M) ; la formule de changement de pont permet d affrmer que : 1 M 2 (M ) + 2 M 1 (M ) = = ( M2 1 (M) + M M ) 2 + ( M1 2 (M) + M M ) 1 = = 1 M 2 (M) + 2 M 1 (M) + ( 1 M M ) 2 + ( 2 M M ) 1 = = 1 M 2 (M) + 2 M 1 (M) 31

où l antsymétre du produt mxte permet la smplfcaton fnale ; le champ ans construt est donc un champ scalare constant que [ l on peut dentfer à sa valeur scalare appelée produt scalare des deux torseurs, noté 1, ] [ M 1 2, ] M 2. L ntérêt de cette noton apparaîtra un peu plus lon, au paragraphe 13.c p. 32. 13.b Formulaton torsorelle des théorèmes de la mécanque des systèmes. On peut donc regrouper le théorème du centre de gravté et celu du moment en un théorème torsorel 6 : d [ p, [ F σ ] = ext., ] M ext. C est concs et élégant, mas ne change pas fondamentalement l utlsaton des théorèmes mécanques. L ntérêt essentel de la noton de torseur résde dans la modélsaton des nteractons, on y vent sous peu. Le théorème est valable pour les systèmes, mas en pratque, on ne l utlse que pour des soldes. 13.c Force localsée. La mécanque des systèmes et des soldes a été construte à partr de la mécanque du pont. Sot un pont A d un système ou d un solde et F A la somme des forces qu exerce l extéreur du système sur le pont A ; la mécanque du pont défnt le moment calculé en M de la force F A applquée à A par : M A (M) = MA F A [ F qu vérfe par constructon la formule de changement de pont, ce qu donne à A, ] M A une structure de torseur. Ce type de torseur est appelée force localsée en A. Remarquons qu en partculer M A (A) = 0. S le pont A fat parte d un solde, on peut en profter pour formuler comme sut la pussance exercée sur le pont A : P A = F A v (A) = F A v (A) + 0 = F A v (A) + Ω 0 = F A v (A) + Ω M A (A) qu est le produt scalare du torseur [ Ω ], v. [ F A, M A ] et du torseur des vtesses du solde 6. Torsorel est l adjectf correspondant à torseur, comme vectorel correspond à vecteur. 32

13.d Formulaton torsorelle du théorème de l énerge pour un solde. Par addtvté des pussances sur les dfférents ponts d ndce d un même solde, la pussance des forces extéreures sur un solde est donc : de cn = P ext. = [ F, ] [ Ω ] M, v = [ F, [ Ω ] [ M ], F v = ext., ] [ Ω ] M ext., v ce qu prouve que pour les tros théorèmes de la mécanque la seule donnée du torseur des nteractons extéreures sufft. Pour décrre l nteracton d un solde avec son extéreur ou une parte de son extéreur, même s elle résulte d nnombrables nteracton entre ponts, on peut toujours se ramener à un torseur qu en rende compte de façon globale. 13.e Noton de couple. Réducton d un torseur. Noton de couple. Sot un torseur obtenu par sommaton de forces localsées élémentares. On dt qu on a affare à un couple s cet ensemble de forces a une résultante nulle, c est-à-dre s l on a F = F = 0. La formule de changement de pont des moments dynamque donne alors : M(M ) = M(M) + M M F = M(M) + M M 0 = M(M) ce qu sgnfe que le moment dynamque ne dépend pas du pont de calcul, on ne précse donc plus celu-c ; l usage est de noter plutôt Γ un moment dynamque ndépendant du pont de calcul et l on parle du couple [ 0 ] Γ qu sous-entend le torseur, Γ. Pussance d un couple applqué à un solde. La pussance de cet ensemble de forces est (cf supra) : P = [ 0 ] [ Ω ], M, v Chosssons un pont O arbtrare pour effectuer ce produt salare : P = 0 v (O) + Ω M(O) = Ω Γ car M est un champ unforme de valeur Γ. 33

Blan pratque. Retenons que pour un couple Γ applqué à un solde de vecteur rotaton Ω la résultante du torseur dynamque (ou résultante dynamque) est nulle, le moment du torseur dynamque (ou moment dynamque) est Γ, quel que sot le pont de calcul, la pussance est Γ Ω. Réducton d un torseur. [ F ] Sot un torseur, M représentant une nteracton quelconque exercée sur un solde par l extéreur ou une parte de l extéreur. Sot un pont O arbtrare mas, en pratque, chos de façon pertnente compte tenu des partculartés du problème étudé. Le champ de moment a, en ce pont, une valeur M(O) que nous rebaptserons Γ. Consdérons les deux torseurs suvants une force [ F ] F localsée au pont O, sot le torseur, MO dont le champ de moment a, en O, une valeur nulle M O (O) = 0 un couple de valeur [ 0 ] Γ, sot le torseur, Γ dont le champ de moment a, en tout pont, en partculer en O, la valeur Γ = M(O) La somme de ces deux torseurs a une résultante F + 0 = F et un moment M O + Γ dont la valeur en O est M O (O) + Γ = 0 + M(O) = M(O) ce qu sufft à prouver que l on retrouve le torseur de départ ; en effet la formule de changement de pont montre que deux torseurs sont égaux s ls ont la même résultante et s, en un pont, leurs moments sont égaux. La concluson est que toute nteracton peut être décrte comme somme d une force localsée et d un couple et c est là le prncpal ntérêt de la théore des torseurs. On s en servra dans le prochan chaptre (B-IX) pour modélser les nteractons de lason entre deux soldes. 14 Mécanque du solde et thermodynamque. Nous suggérons à notre fdèle lecteur de se replonger dans le chaptre E-III tratant du premer prncpe de la thermodynamque avant d aborder ce paragraphe. Pour lu évter des jongleres entre deux chaptres après cette relecture, nous en résumons l esprt. Sot un solde réel dont les atomes vbrent par agtaton thermque autour de leurs postons d équlbre, lesquelles consttuent un solde parfat qu sert de squelette au solde réel. La thermodynamque découpe tactement la matère en volumes petts à notre échelle et grands à l échelle atomque et y défnt des valeurs moyennes dtes macroscopques de 34