Annexe A: érivées e inégrales : un bref survol Bien que vous ayez éjà vu une parie e ces sujes au niveau collégial e qu'en MAT-5 ils seron revus en éails, on peu néanmoins examiner rapiemen ce que représene une érivée ou une inégrale pour comprenre l'imporance e ces sujes en sciences e en génie. LA DÉRIVÉE Consiérons le problème physique suivan: on veu éuier le mouvemen 'une paricule (ou 'un obje) ans une irecion onnée; il s'agi 'un mouvemen reciligne. Posons x(): la posiion e l'obje au emps. (La posiion e l'obje es en mères (m) e le emps es en secones (s) ). Pour éuier ce mouvemen, on oi éablir un référeniel, c'es-à-ire une origine e une irecion posiive. On a ici un graphique qui représene un obje qui se - 2 3 x siue un mère à gauche e l'origine. Soi,pour une expérience onnée, le graphique suivan qui représene la foncion x(): 3 x x() -3 2 4 6 8, où varie enre e 8 secones. La quanié x(2) x() = 3 ( ) = 4 m. représene la variaion e la posiion penan les 2 premières secones. Si on ivise ce résula par le emps écoulé, c'es-à-ire 2 secones, on obien la viesse moyenne = 2 m/s.
page A.2 Annexe A: érivées e inégrales E si on voulai la viesse à l'insan = 2s.? En regaran le graphique, on voi que la viesse e l'obje a varié penan l'expérience. En effe, si la viesse avai éé consane à 2 m/s, on aurai eu le mouvemen suivan: 2 3 La viesse es alors égale à la pene e la roie précéene. Si on veu connaîre la viesse à un insan précis, on pourrai mesurer celle-ci en emanan que la viesse arrêe e varier à ce insan. 3-3 x x() 2 4 6 8 Sur le graphique précéen, la courbe pleine représene la posiion e l'obje en foncion u emps. À parir e = 2s, la roie poinillée représene la posiion si la viesse emeurai consane e égale à sa valeur à ce insan. Donc, pour connaîre la valeur e la viesse à = 2s., il suffi 'évaluer la pene e la roie poinillée. E on remarque que cee roie es angene à la courbe en = 2. Finalemen, pour avoir la viesse e l'obje à un insan onné, on n'a qu'à racer la angene à la courbe posiion à ce insan e calculer la pene e cee roie. Malheureusemen, si on veu connaîre la viesse à plusieurs momens ifférens, ce ravail peu evenir fasiieux. De plus, racer une angene peu s'avérer ifficile à appliquer en praique. On peu cepenan approximer la viesse en e la façon suivane: choisir > e elle façon que soi rès pei. alors v( ) = ~ x( ) x( ) En effe, si es proche e, alors la viesse moyenne e à sera proche e la viesse réelle à.
Annexe A: érivées e inégrales page A.3 On voi graphiquemen qu'approximer la pene e la roie x x() angene peu se faire à l'aie e la pene 'une roie sécane. On peu voir que si en vers, alors à la limie les eux quaniés [x( ) e x( )] von coïncier. Pensons au foncionnemen 'un raar poiné sur une auo. C'es cee procéure qui es uilisée pour afficher la viesse e l'auomobile. L'appareil esime, pour e peis inervalles e emps, la isance parcourue e en éui la viesse. La procéure que nous venons e écrire correspon à la éfiniion e la érivée 'une foncion en un poin onné. E c'es pour cee raison qu'on i que la érivée e la foncion posiion onne la foncion viesse. Aenion: La procéure écrie plus hau perme 'esimer la viesse en un poin; c'es un nombre. Comme, en général, la posiion varie selon le emps, cela implique que la viesse varie aussi ans le emps. On pourra onc exprimer la viesse comme une foncion u emps. La force u calcul ifféreniel résie ans le fai suivan: si on possèe une expression mahémaique pour la foncion posiion 'un obje, alors en uilisan la noion e érivée, on peu éerminer une expression mahémaique pour la foncion viesse. Exemple A. si x() = 2 mères, alors v() = 2 m/s (On verra ça plus loin) À = 2 s., l'obje en mouvemen es onc siué 2 2 = 3 m. à roie e l'origine e sa viesse à ce insan précis es e 2 2 = 4 m/s. Remarque: ce n'es que lorsqu'on onne une valeur à ans v() qu'on obien la pene 'une roie angene à la courbe x(). La iscussion que nous venons 'avoir peu se généraliser à n'impore quelle quanié physique que l'on ésire éuier. Si on a une quanié q() variable ans le emps e qu'on ésire connaîre le aux e variaion moyen e cee foncion enre = e =, on n'a qu'à calculer q( ) q( ). Par conre, si on veu connaîre le aux e variaion insanané e cee foncion q() à un insan onné, on pourra uiliser la même méhoe que celle écrie ans nore exemple e uiliser la noion e érivée pour calculer la valeur cherchée.
page A.4 Annexe A: érivées e inégrales Dans le cas où q() = v() la viesse 'un obje au emps, alors la érivée e v() onne le aux e variaion insanané e v(), ce qui représene l'accéléraion a(). Si q() = T() représene la empéraure 'un liquie, alors la érivée e T() représene la "viesse" à laquelle la empéraure varie. (Si T() es en C, la érivée sera en C/s). RÈGLES DE DÉRIVATION ET NOTATIONS Soi q() une foncion e la variable. Lorsqu'il n'y a pas 'ambiguïé, on peu uiliser seulemen la lere q pour ésigner cee foncion. On s'inéresse au aux e variaion insanané e q (la variable épenane) en foncion u emps (la variable inépenane). Il s'agi 'une opéraion qu'on veu effecuer sur la foncion q. L'opéraion "calculer le aux e variaion insanané e q" se noe (q). Le résula e l'opéraion se noe q. On i que l'opéraeur "érivée". es l'opéraeur "prenre la érivée e ce qui sui"; on l'appelle Rappelons-nous la iscussion qu'on a eue plus ô sur le suje. Les eux résulas suivans son riviaux: - si q() = C une consane, alors q() ne varie pas e q =. 2- si q() = a + b une roie, où a e b son eux consanes quelconques, alors q = a, la pene e la roie. On peu égalemen noer l'opéraion "prenre la érivée" par la noaion aposrophe. On uilise cee noaion courammen, s'il n'y a pas 'ambiguïé quan à la variable inépenane. On aurai, par exemple, (4 5) = (4 5) = 4. Consiérons la foncion viesse 'un obje. Nous avons vu que l'accéléraion s'obien en prenan la érivée e cee foncion: a() = v v() =. Mais v() = x x() =. Donc a() = x = 2 x 2. La foncion accéléraion es la érivée euxième e la foncion posiion. C'es ire que si nous avons une foncion qui nous onne la posiion 'un obje en mouvemen, on obienra l'accéléraion e ce obje en érivan la foncion posiion eux fois.
Annexe A: érivées e inégrales page A.5 On peu égalemen s'inéresser à la érivée e la foncion v (viesse), cee fois par rappor à la posiion x, pluô que par rappor au emps : on cherche v x. Si on veu appliquer les règles e érivaion pour calculer v, il fau exprimer v comme foncion e x. x On uilisera le résula suivan: v x = v x = v x / = v v Exemple A.2 soi x() = 2 mères, avec. Trouvons la viesse quan x = 8m. On a x = v() = 2 (nous verrons cee règle une peu plus loin) Mais si x = 2, alors x + = 2 e = x + (car ) Donc, puisque v = 2, on obien v = 2 x + m/s Si l'obje es à la posiion x = 8 m., alors la viesse es e v(8) = 2 8 + = 6 m/s. Le aux e variaion e la viesse par rappor à la posiion es onc v x = v v = 2 2 = = x + L'opéraeur érivée es un opéraeur linéaire, c'es-à-ire que 2 r (r + s) = + s où r e s son 2 foncions érivables (pour lesquelles la érivée exise) r (c r) = c si c es une consane. Par conre, la érivée 'un proui e 2 foncions n'égale pas le proui es érivées: r (r s) s On a pluô les 2 propriéés suivanes, pour les prouis e les quoiens: (r s) = r s + r s ( ) r s = r s r s s 2
page A.6 Annexe A: érivées e inégrales Le ableau suivan onne les principales règles e érivaion e résume les principales propriéés e la érivée. a, b, c e n son es consanes; e es la consane qui vau 2,7828-2- 3-4- 5-6- 7- (c) = (a + b) = a (n ) = n n (ea ) = a e a [sin(a)] = a cos(a) [cos(a)] = a sin(a) (a + b)n = a n (a + b) n c a, b n a a a a, n Exemples A.3 a) x() = 2 x = v() = 2 b) x() = e 3 x = v() = 3 e 3 c) x() = (2+) 4 x = v() = 2 4 (2+)3 ) x() = 3+5 = (3+5) /2 x = v() = 3 2 ( 3 + 5) 2 = 3 2 (3+5) /2 3 = 2 3+5 e) q() = e + 4 cos(5) q = e 4 5 sin(5) = e 2 sin(5) f) x() = ( 2 +) e 3 x = v() = (2 +) e 3 + ( 2 +)( e 3 ) = 2 e 3 + ( 2 +) ( 3e 3 ) = 2 e 3 3 ( 2 +) e 3 g) q() = sin() q [sin()] sin() [] = 2 = = cos() sin() 2 cos() sin() 2
Annexe A: érivées e inégrales page A.7 h) Si x() = 2 + 4e ésigne la posiion 'un obje au emps, quelle sera sa viesse après 4 secones? x = v() = 2 4e e v(4) = 2 4 4e 4 = 7,9267 m/s. Remarque sur les foncions composées: On i qu'on a une foncion composée r() si on peu rouver au moins 2 foncions, isons f e g, elles que r() = f [ g()]. Prenons par exemple r() = sin ( 2 + 4 ) ; on a 'abor g() = 2 + 4, puis f(x) = sin(x) onc f [g()] = sin( 2 + 4 ). Même une foncion plus simple comme sin(4) peu êre vue comme une foncion composée: on pren 'abor 4 ( = g()), puis on pren le sinus u résula ( = f [ g()] ). On remarque u ableau sur les érivées que sin(a) = a cos(a). On peu se souvenir e ce résula e la façon suivane: la érivée e la foncion sinus es la foncion cosinus, mulipliée par la érivée e l'inérieur e la parenhèse (ans ce cas-ci, on muliplie par la érivée e a, qui es a). On peu généraliser ce principe pour évaluer es foncions plus complexes: si r() = f [ g()], alors r = f [ g()] g (). Exemple A.4 a) Soi r() = sin( 2 + 4) Alors r = cos ( 2 + 4 ) ( 2 + 4 ) = 2 cos( 2 + 4) b) Soi x() = e 2 Alors x = e 2 ( 2 ) = 2 e 2 On consae finalemen que la érivée nous perme 'examiner localemen commen une foncion se compore (ou varie). En effe, reprenons l'éue u mouvemen reciligne où x() = la posiion 'un obje en foncion u emps:
page A.8 Annexe A: érivées e inégrales x x() 2 Pour une valeur e onnée, x évaluée à cee valeur e onne la pene e la roie angene à la courbe x(). On voi sur le graphique 3 exemples: x ( ) = v( ), x ( ) = v( ) e x ( 2 ) = v( 2 ) On remarque que v( ) es posiif, ce qui signifie que l'obje se éplace ans la irecion posiive u référeniel. Par conre, v( 2 ) es négaif e onc le mouvemen se fai ans la irecion opposée à celle e la irecion posiive e nore référeniel. Finalemen, on consae qu'en =, la viesse es nulle e cela représene ici le momen où il y a changemen e irecion. L'INTÉGRALE INDÉFINIE Nous venons e voir qu'à parir 'une foncion posiion x(), on peu en éuire la foncion viesse en se servan e la érivée. Prenons le problème inverse: Si je vous onne la foncion viesse, pouvez-vous me fournir la foncion posiion? En 'aures mos, pouvons-nous faire l'opéraion inverse e celle e la érivée? La réponse es OUI mais il y a un problème! Même si je connais pour la viesse à ou insan, cela ne me perme pas e connaîre le poin e épar u mouvemen. En effe, si par exemple v() = 2, alors les foncions suivanes son valables pour x(): x() = 2 x() = 2 + 4 x() = 2. Ces 3 foncions on comme paricularié 'avoir la même érivée, à savoir 2. On n'a pas assez e renseignemens pour écier laquelle il fau choisir. Cepenan, si on sai que la posiion iniiale es x() = 3, alors la seule bonne réponse es x() = 2 + 3. La noaion uilisée pour ésigner l'opéraion inverse e celle e la érivée e v() es v() où signifie faire l'inégrale e la foncion comprise enre le symbole " " e, par rappor à la variable (c'es le sens qu'on peu onner à ).
Annexe A: érivées e inégrales page A.9 Exemple A.5 a) x() = 2 = 2 + C, où C b) x() = 3 2 = 3 + C car (3 + C) = 3 2, e on rerouve la foncion à inégrer. c) x() = 2e 2 = e 2 + C L'imporance e la consane 'inégraion es reliée à un problème e coniions iniiales. En effe, la érivée perme e connaîre le comporemen local 'une foncion. On ne peu cepenan pas, à parir u comporemen local 'une foncion, rerouver cee foncion à moins e posséer l'informaion sur une valeur locale e la foncion. (par exemple x()). Exemple A.6 Décrire le mouvemen 'une paricule qui, au emps =, es 2m. à roie e l'origine. De plus, sa viesse es onnée par v() = 2 + 5. On a: v() = 2 + 5, avec x() = 2. Alors x() = (2 + 5) = 2 + 5 + C Comme x() = C = 2, on obien x() = 2 + 5 + 2. On uilise aussi les principes suivans au niveau e la noaion: - x = v() x = v() x = v() x = v() 2- v = a() v = a() v = a() c'es-à-ire que la viesse s'obien en inégran l'accéléraion. Comme l'inégrale peu se éfinir comme l'opéraion inverse e la érivée, le ableau es règles e propriéés 'inégraion suivan peu se éuire facilemen u ableau équivalen pour les érivées. a, b, C e n son es consanes. - [r() + s()] = r() + s() 2- b r() = b r(), où b Donc es un opéraeur linéaire.
page A. Annexe A: érivées e inégrales 3- b = b + C, où b, C 4- = 2 2 + C, où b, C 5- n = n+ n + + C, où n, C, avec n 6- = = ln + C, où C 7- e a = a ea + C où a, C 8- sin(a) = a cos(a) + C, où a, C 9- cos(a) = a sin(a) + C, où a, C - (a + b) n = a (a + b) n+ + C, où a, b, n, C e si n. Si n=, voir la formule. n + - ( a + b) = ln a + b + C, où C. a Exemples A.7 a) [e 4 + 3 5] = 4 e 4 + 4 4 5 + C b) 3 + 5 = (3 + 5) /2 = 3 (3 + 5) /2 + + C = 2 + 3 (3 + 5)3/2 2 3 + C = 4 9 (3 + 5)3/2 + C c) [sin(3) + 2 2 ] = 2+ cos(3) + 2 3 2 + + C = 3 cos(3) + 2 3 3 + C
Annexe A: érivées e inégrales page A. L'INTÉGRALE DÉFINIE Consiérons la foncion viesse v() 'un obje en mouvemen. Une noion inéressane à éuier es celle e l'aire comprise enre la courbe e v() e l'axe u emps, sur un inervalle isons [a ; b]. Cee aire nous onne le éplacemen effecué par le corps en mouvemen enre le emps =a e le emps =b. On noe cee aire b v(). C'es l'inégrale éfinie e v(), e =a à =b. a b En général, f(x) x représene l'aire "signée" enre la courbe f(x) e l'axe es x. Cee aire es posiive a pour la parie qui es au-essus e l'axe es x e négaive pour la parie au-essous e l'axe es x. Ainsi, il pourrai arriver que l'aire ainsi calculée soi égale à même si on voi une aire: il suffi que la parie auessus e l'axe es x soi égale à la parie sous l'axe es x pour que leur somme s'annule. b Le résula suivan es rès uile pour calculer f() si f() es coninue sur [a ; b]: a b Si F es une inégrale inéfinie e f, c'es-à-ire si F () = f(), alors f() = F(b) F(a). a b On noe F() a pour iniquer qu'on veu évaluer F(b) F(a). 2 Exemples A.8 a) 2 = 2 2 = 2 2 2 = 4 = 4 b) 2 = 2 = 2 ( ) 2 = = c) 3e 2 = 3 2 e 2 = 3 2 e 2 3 2 e 2 = 3 2 e 2 3 2 9,584 π 4 ) sin(3) = π π 6 3 cos(3) 4 = π 6 3 cos 3 π 4 + 3 cos 3 π 6 = 2 3 2 = 2 6,236
page A.2 Annexe A: érivées e inégrales Si v() représene la viesse 'un obje en mouvemen, alors v() = s() + C nous onne la posiion e l'obje (à une consane près). 2 v() = s() 2 = s( 2 ) s( ) nous onne le éplacemen e l'obje enre le emps = e le emps = 2. C'es la variaion e la posiion. Ce éplacemen es posiif si la posiion finale [s( 2 )] es plus loin sur l'axe que la posiion iniiale [s( )]. Exemple A.9 Consiérons un obje qui se éplace sur un axe horizonal, avec comme viesse v() = 5π cos(π) m/s e avec posiion iniiale s() =. Le éplacemen oal e = à = 2 es 2 5π cos(π) = 5 sin(π) 2 = 5sin π 5sin() = 5 = 5 2 Le éplacemen oal e = à = 3 2 es 3 2 3 5π cos(π) = 5sin(π) 2 = 5sin 3π 2 5 sin(π) = 5( ) 5 = 5 C'es ire qu'il a reculé e 5 mères penan l'inervalle e = à =,5. EXERCICES - Dérivez les foncions suivanes: *a) x() = 3 b) x() = 2 c) x() = + *) x() = 3 e) x() = 2 + 4 f) x() = 2 + 2 3 *g) x() = 2 2 + 3 6 h) x() = 3 9 i) x() = 3 2 + 4 j) x() = 2 3 2 + 3 k) x() = 2 cos() l) x() = 5 + sin() 2
Annexe A: érivées e inégrales page A.3 m) x() = 3sin() *n) x() = π cos(3) o) x() = 5e3 *p) x() = (4 3) 2 q) x() = 6 sin(2π) r) x() = 3e 2 (2 + 5) 7 *s) x() = (2 + 3)2 (3 ) 3 ) x() = (3 + 5)sin(2) u) x() = e cos(5) 5 5 7 + sin() v) x() = (4 + 3) 2 *w) x() = (4 + 3) 2 x) x() = 5 6 2- Donnez la valeur e la érivée es foncions suivanes au poin onné: a) x() = 3 (23 4), à = 2 b) x() = 2 2 +, à = c) x() = 4sin(), à = π 2 ) x() = 5e, à = 3- Évaluez les inégrales suivanes: *a) 2 *b) 2 2+3 c) 3/2 +2+ ) + 3 3 e) 2 f) (4 3) 2 *g) 6 sin(2π) *h) 3e 2 (2+5) 7 i) 4e 2 j) 3cos() k) 3 +2 l) 5 sin(3) 4- Évaluez les inégrales suivanes : a) ( 3 2e 4 ) b) 2 3 + ( ) 2
page A.4 Annexe A: érivées e inégrales c) 5cos(2) + 3 7 4 ( ) ) π cos(3) e) ( ) sin f) 4sin 5e 3 g) ( 2 3 2 + 3 ) ( ) h) 4e 3 + 3cos(4) 2 i) + *j) 5 2 + 3 = 5 + 3 + 25 2 2 *k) ( 3 2e 4 ) l) 2 3 + 2 ( ) 2 3 ( ) *m) 5cos(2) + 3 7 4 n) π cos(3) π 2 o) π 4 3 sin p) 4sin 5e ( ) 3 ( ) q) 2 3 2 + 3 r) 4e 3 + 3cos(4) 2 ( ) s) + ) 2 4 3 5 2 + 3 2 RÉPONSES : - a) b) c) ) 3 e) 2 f) 2 + 2 g) 4 + 3 h) 3 2 i) 3 2 2 j) 6 2 2 + 3 k) 2 + sin() 2 l) cos() m) 2 3cos() n) 3 π sin(3) o) 5 e3 p) 32 24 q) 6 2π cos(2π) r) 6e 2 4 (2 + 5) 6 s) 4(2 + 3)(3 ) 3 +9(2+ 3) 2 (3 ) 2 = (2 + 3)(3 ) 2 (3 + 23)
Annexe A: érivées e inégrales page A.5 ) 3sin(2) + 2(3 +5)cos(2) u) 5e [2cos(5)+ sin(5)] v) 4 (4 + 3) 3 w) 5(4+ 3)2 8(5 7)(4+ 3) (4 + 3) 4 = 7 2 (4 + 3) 3 x) (5 6)cos 5(+ sin) (5 6) 2 2- a) 8 b) c) ) 5 3- a) 2 + C b) 3 3 2 + 3 + C c) 2 5 5/2 + 2 + + C ) 2 3 3/2 + 6 + C e) 3 5 5/3 + C f) 2 (4 3)3 + C g) 3 cos(2π) + C h) 2π 2 e 2 + (2+5) 6 2 + C i) 2e 2 + C j) 3 sin() + C k) 4 4 + 2 + C l) 5 + 3 cos(3) + C 4- a) 3 + 2 e 4 + C b) 4 7 7 + 4 + + C c) 5 2 sin(2) + 2 4 + C ) π 3 sin(3) + C e) 3 ln + cos + C f) 4cos + 5e + C g) 2 4 3 3 + 3 2 2 + C h) 4 3 e 3 + 3 4 sin(4) 3 3 + C i) + ln + C j) 5 2 2 + 3 + 25ln( 2) + C k) 2,592 l) 9,42857 m) 8,379 n),7448 o),8628 p),328 q) 42 r),366 s),3685 ) 47,82868
page A.6 Annexe A: érivées e inégrales