Ondes dans les plasmas (MP)

Ondes dans les plasmas (MP)

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Chapite Ondes dans les plasmas I Popagation d une onde électomagnétique dans un plasma : 1 Définition d un plasma : La matièe telle qu on la connaît su Tee peut existe essentiellement sous tois fomes bien familièes : l état solide, l état liquide et l état gazeux. Il existe cependant un quatième état de la matièe, appelé plasma, obtenu losque la matièe est potée pa exemple à tès haute tempéatue. Un plasma est un milieu composé d atomes ou de molécules patiellement ou complètement ionisés mais qui este globalement électiquement neute ; ainsi, un plasma d hydogène est composé d atomes d hydogène, de potons (les noyaux d hydogène) et d électons libes, en popotions difféentes selon la natue du plasma (plasma peu ou au contaie complètement ionisé).

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Les exemples de plasmas dans la natue sont nombeux ; on peut cite : La magnétosphèe et l ionosphèe teestes. Le cœu des étoiles, exemple de plasma chaud et tès dense. Les tubes à néon et le phénomène de la foude (déchages électiques). Les applications de la physique des plasmas sont tès diveses et en plein développement, dans des domaines aussi vaiés que : La fusion themonucléaie : en éalisant un plasma de tès fote densité et à tès haute tempéatue, les physiciens espèent amoce des éactions de fusion nucléaie et cée ainsi un généateu d énegie considéable. L électonique : l utilisation de plasmas foids pemet de éalise des cicuits électoniques intégés. La télévision de l aveni possédea cetainement un écan à plasma. Taitement des matéiaux : les plasmas pemettent de détuie, tansfome, analyse, soude, cée la matièe. Pa exemple, des fibes plastiques peuvent ête taitées pa plasma pou deveni impeméables. 3

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Dans la suite, on choisit un modèle de plasma constitué de n ions (de masse M et chage + e) et de n électons (de masse m et de chage e) pa unité de volume. On néglige toutes inteactions ente les ions : ni attaction ou épulsion électostatique, ni chocs. Cette hypothèse est satisfaisante pou un plasma peu dense. On note V et v les vitesses mésoscopiques d un ion et d un électon. Si un champ électique extéieu est appliqué au plasma : Pa conséquent : M dv dt Soit, à une constante pès : e dv dt et m M dv dt dv m dt e 4

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie m V v M Pa conséquent, comme m / M << 1, la vitesse des ions positifs est tès faible vis-àvis de celle des électons. On ne penda en compte que le mouvement des électons. La densité volumique du plasma est : j nev + nev ne 1+ lle est patiquement égale à celle des électons. m M v nev 5

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie quations de Maxwell dans le plasma : L ionosphèe est la patie de la haute atmosphèe (75 à 5 m d altitude en plusieus couches) où les gaz sont ionisés pa le ayonnement cosmique et pa le vent solaie : c est un exemple de plasma. Dans un plasma, beaucoup d'ondes de natue difféentes peuvent se popage. Du fait qu'un plasma combine les effets électomagnétiques aux mouvement des paticules (effets fluides ou cinétiques), en généal, tout inteagit, et la natue des ondes est en généal plus compliquée que dans le vide ou dans les gaz neutes. Les ondes du lumièe existent dans les plasmas, mais pou ne pas inteagi avec celuici, leu féquence doit ête supéieue à l'invese du temps que mettent les électons à éagi sous l'influence d'un champ électique. Cette féquence coespond pécisément à la féquence de plasma mentionnée ci-dessus. Pou des ondes de féquence plus basse, des ondes électomagnétiques se popagent su des modes difféents et vaiés. 6

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie On s intéesse à la popagation d une onde M plane pogessive monochomatique dans un plasma. On note onde. et B les champs électique et magnétique associés à cette Ces champs agissent su les électons du plasma et les mettent en mouvement. L équation du mouvement d un électon est : dv m e dt e v n admettant que (comme pou une onde dans le vide) les ions ne sont pas elativistes : e v B << e B B 1 c, on voit que, tant que On poua ainsi néglige la foce magnétique vis-à-vis de la foce électique pou étudie le mouvement des électons : 7

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie dv m dt e Les équations de Maxwell s écivent, en notant que la densité volumique de chages est nulle : div div B B ot t ot B µ j + ε µ t avec j t v ne t ne m 8

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 9 3 Relation de dispesion des ondes électomagnétiques planes pogessives monochomatiques : On cheche une solution complexe des équations de Maxwell sous la fome : ). ( ). ( t i t i e B B et e On en déduit alos : i j B i B i i B i i ; ;.. µ ε µ + Avec : m ne i j soit m ne j i t : m ne B B ; µ ε µ +

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Il vient : On en déduit la elation de dispesion : 1 1 ne ( ) µ + ε µ m ne µ + ε µ m Soit, avec c 1 ε µ et µ p c m ne (pulsation plasma) : c p (quation de Klein-Godon) est éel si > p : il y a alos popagation : le plasma agit vis-à-vis des ondes M comme un filte passe-haut de pulsation de coupue p. 1

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie A haute féquence, c et vϕ c : le compotement du plasma est poche de celui du vide (à cause de l inetie des électons). 11

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Si < p, alos est imaginaie pu : ± i p c ± i" Le champ électique de l onde s écit alos sous la fome : i( t) m" x m" x e e soit e cos( t + ) ϕ Seules les ondes planes monochomatiques de pulsations un plasma. > p se popagent dans Dans le cas contaie, les ondes sont stationnaies et dites évanescentes (évolution exponentielle de l amplitude selon la diection de l onde). 1

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 4 Stuctue de l onde plane pogessive hamonique : * Vitesse de phase et indice de éfaction du plasma : On se place dans le cas où > p (il y a popagation) : La elation ente et est non linéaie : le milieu est dispesif. c p La vitesse de phase est : v ϕ ( ) 1 p 1 c 13

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie L indice de éfaction du plasma est défini pa : c n v ϕ c soit n 1 p < 1 On emaque que : v ϕ () > c et n < 1 ceci n est pas paadoxal ca cette vitesse ne coespond pas à la vitesse de l infomation ou de l énegie (c est le cas de la vitesse de goupe). 14

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie * Stuctue de l onde M : Les équations de Maxwell :.. B donnent en notation éelle ( est éel) :. Le tiède (, B, ). B est diect et et 15 et B v ϕ B B : la stuctue de l onde plane pogessive monochomatique est semblable à celle du vide (seule la vitesse de phase est difféente et dépend de la pulsation de l onde). nfin, on justifie a posteioi l appoximation e v B << e puisque : e v B ev << e puisque vϕ > c v ϕ

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie II Popagation d un goupe d ondes (paquets d ondes), vitesse de goupe : 1 Popagation de deux ondes planes pogessives hamoniques de féquences voisines : On suppose que le vecteu d onde est éel (on ne pend pas en compte l absoption). Soient 1 ( 1 ) et ( ) les vecteus d onde éels des deux ondes. On suppose que 1 et sont poches et l on pose : 1 + 1 + ; ; δ 1 ; δ 1 Avec δ << et δ <<. On suppose de plus que les deux ondes ont même amplitude. 16

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie L onde ésultante, supeposition de deux ondes, a pou amplitude : δ δ θ ( x, t) A cos( t 1x) + A cos( t x) A cos t x cos( t 1 x ) 17

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie On obseve des battements : Une onde moyenne de vecteu d onde est enveloppée pa une onde enveloppe de vecteu d onde δ. Au cous du temps, l onde moyenne constitue une onde plane pogessive de vitesse δ alos que l onde enveloppe constitue une onde plane pogessive de vitesse δ. Ces vitesses n étant en généal pas identiques, les cêtes de l onde moyenne avance à une vitesse difféente de celle des cêtes de l onde enveloppe. 18

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Animation Regessi 19

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Généalisation au cas d un paquet d ondes : On appelle paquet d ondes un ensemble d ondes planes pogessives hamoniques de pulsations voisines. Plus pécisément, leus pulsations sont compises dans l intevalle :, + avec << Une illustation de la vitesse de phase et de la vitesse de goupe.

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie On voit appaaîte une onde moyenne de pulsation se popageant à la vitesse de phase : v ϕ et une onde enveloppe qui se popage à la vitesse de goupe : v g d d Les vitesses de phase et de goupe sont a pioi difféentes et le paquet d ondes se popage en se défomant. n effet, chacune des composantes monochomatiques du goupe «chemine» avec sa pope vitesse, de telle sote qu on obseve une défomation du paquet d ondes tout au long de sa popagation. On conçoit aussi que cette défomation est accompagnée d un étalement du paquet d ondes dû à l avance coissante pise pa les composantes de fote vitesse. 1

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie d vϕ ; vg d Animation JJ.Rousseau

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Conclusions : Pou une onde éelle, qui est la supeposition d ondes planes pogessives monochomatiques se popageant dans un milieu quelconque, il est possible de défini deux vitesses : La vitesse de phase : v ϕ lle coespond à la vitesse de popagation de la phase d une composante monochomatique. lle n a aucune éalité physique, c est-à-die ne coespond pas à un tanspot d énegie. La vitesse de goupe : v g d d C est la vitesse de popagation de l enveloppe de l onde. On monte qu elle s identifie généalement à la vitesse de popagation de l énegie (ou de l infomation). Le pincipe de elativité impose que la vitesse de goupe est inféieue à la vitesse de la lumièe dans le vide. 3

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Si v ϕ dépend effectivement de, alos la phase de chaque onde plane pogessive sinusoïdale se popage à sa pope vitesse. Une onde physique éelle, composée d ondes planes pogessives sinusoïdales, va se défome au cous de sa popagation : c est ce qu on appelle la dispesion. Paquet d'ondes avec défomation 4

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 3 Retou à la stuctue de l onde plane pogessive hamonique : * Vitesse de goupe : La vitesse de goupe vaut : On difféencie la elation de dispesion : v g d d c p Soit : d d c d où c v g v ϕ 5

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie D où : v p g 1 c On constate que : v g < c et que v v g ϕ c 6

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Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Quelques odes de gandeus : L ionosphèe est la patie de la haute atmosphèe (75 à 5 m d altitude en plusieus couches) où les gaz sont ionisés pa le ayonnement cosmique et pa le vent solaie. La 1 3 1 3 densité paticulaie des électons dans l ionosphèe est de l ode de 1 m à 1 m 7 et la féquence plasma de l ode de ν p 1 Hz. 5 Pou ν 1 Hz < ν p, l ionosphèe joue le ôle de éflecteu : ceci explique la 1 èe liaison adio tansatlantique éalisée pa Maconi en 191. Ainsi des ondes adio en modulation d amplitude peuvent atteinde des points tès éloignés su le globe. 8 Pou ν 1 Hz > ν p, l ionosphèe est «tanspaente». Ces féquences sont utilisées pou communique avec les satellites. 8

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Aute exemple : Fance inte GO et Fance Info FM Fance Inte GO a pou féquence f GO 164 Hz et Fance info FM f FM 15,5 MHz. On voit que : f <ν < GO p f FM Ainsi, les GO se éfléchissent su l ionosphèe et pouont ête captées à des distances nettement plus impotantes du lieu d émission que Fance Info dont les ondes se popagent dans l ionosphèe. 9

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie III Compléments : aspect énegétique et cas d un milieu isolant dilué : 1 - Coefficients de éflexion et de tansmission : Voi execice n 13. 3

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Popagation d une onde M dans un milieu isolant dilué : On se popose d étudie le modèle simplifié suivant de la popagation d une onde dans un milieu neute dilué (du vee, pa exemple) et de démonte l expession de la loi de Cauchy donnée en 1 èe année ( n ( λ) A + B / λ ). On appelle n le nombe d électons pa unité de volume et on suppose que seul le mouvement des électons est à pende en compte. Sous l action du champ électique u x, les électons ont un mouvement qui lui est colinéaie et que l on peut caactéise pa l équation difféentielle : m& x x fx& e où x est le déplacement de l électon, et f des constantes du modèle. On posea : m m f ; τ ; p n e mε 31

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie Une onde plane M de pulsation, de polaisation ectiligne selon (Ox), se popage dans la diection (Oz) dans ce milieu et son champ électique s écit : exp( i( z 1) Compae l équation difféentielle à celle du modèle de plasma vu dans le cous. Quels sont les temes supplémentaies? A quelles popiétés physiques coespondent-ils? ) Cheche la solution coespondant au égime focé : x z, t) x exp( i( z )) t)) u x ( 3) n déduie, en notation complexe, la densité volumique de couant due au mouvement des électons. 4) A pati des équations de Maxwell, établi une équation aux déivées patielles liant et j. 5) n déduie la elation de dispesion du milieu. Quel phénomène taduit le fait que soit complexe? 3

Ondes M dans les plasmas, tanspaents de cous, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivie Ganie 6) Dans cette question, on suppose que f et que >>. L indice du milieu pou la pulsation est défini pa la elation : v ϕ c / n, où v ϕ est la vitesse de phase. B Monte que l on peut écie une fomule appochée : n A + λ, où λ est la longueu d onde dans le vide d une onde de pulsation et où A et B sont des constantes caactéistiques du milieu que l on expimea en fonction de, p et c. Comment en déduie ensuite la loi de Cauchy? 33