Execices pou le chapite 9 : Révisions 1 Execices de niveau II Vesion 26 mai 213 NIVEAU IIa Vases communicants On considèe deux ésevois R 1 et R 2 dont les niveaux d eau espectifs sont notés h 1 et h 2 voi figue 9.1. Ils sont eliés pa un petit tube de section ciculaie empli d eau allant de A 1 à A 2 espectivement situés à l intéieu de R 1 et R 2. Dans un epèe Oxyz où z est la coodonnée veticale et z = est la cote du fond des ésevois, on suppose OA 1 OA 2 = L+d 2 e x + h e z. = L+d 2 e x + h e z et On note d le diamète du tube constitué de deux cylindes veticaux de longueu l et d axes espectifs A 1 B 1 et A 2 B 2, eliés pa un tube hoizontal de longueu L d axe C 1 C 2. On suppose que d est suffisamment petit pou que l écoulement dans le tube puisse ête considéé comme laminaie. On néglige alos l effet des deux coudes eliant les cylindes veticaux au cylinde hoizontal. On suppose que la capacité des ésevois est suffisamment gande pou considée que h 1 et h 2 ne vaient pas avec le temps tandis qu un champ de vitesse stationnaie Ux existe dans le tube. La pession atmosphéique, considéée comme constante, vaut p a = 1 5 Pa. La masse volumique de l eau, considéée ici comme un fluide incompessible, vaut ρ = 1 3 kg.m 3. Sa viscosité cinématique vaut ν = 1 6 m 2.s 1. On penda g = 9.81 m.s 2. Écoulement stationnaie dans un tube vetical 1 Dans un pemie temps, on suppose que h 1 = h 2 = h e et que le fluide est au epos. En utilisant les équations de Navie-Stokes, donne l expession de la pession px en un point quelconque x = x e x +y e y +z e z en fonction de h e et des autes paamètes du poblème. 1
2 Execices pou le chapite 9 h 1 C 1 d z C 2 B 1 B 2 U l L l h 2 d d R 1 A 1 O A R 2 2 h x Figue 9.1 Résevois eliés pa un tube de section ciculaie de diamète d. 2 On suppose maintenant que h 1 > h 2, ce qui induit une ciculation d eau du ésevoi R 1 ves le ésevoi R 2. On néglige le champ de vitesse dans les ésevois et on suppose alos que la pession aux points A 1 et A 2 est la pession hydostatique des ésevois espectifs auxquels ils appatiennent. Expime leus pessions espectives p A1 et p A2 ainsi que p A1 p A2. 3 En supposant connue la pession p B1 au point B 1, on cheche une solution de la fome Ux = w e z dans le tube vetical où est la distance de x à l axe A 1 B 1. Monte que U véifie l équation de consevation de la masse. On poua aisonne en coodonnées catésiennes ou bien utilise la fomule div V = V + 1 V θ θ + Vz de la divegence d un champ de vecteu en coodonnées cylindiques. 4 Explicite toutes les composantes de du en coodonnées catésiennes. En déduie que l accéléation est nulle pou le champ U = w e z echeché. 5 Écie les équations de Navie-Stokes pou le cas du champ de vitesse stationnaie U = w e z echeché. On poua aisonne en coodonnées catésiennes ou bien utilise les fomules V = et B = 2 B 2 V 2 V θ 2 θ V 2 + 1 B + 1 2 2 B θ 2 e + V θ + 2 V 2 θ V θ 2 + 2 B 2 e θ + V z e z en coodonnées cylindiques. 6 En déduie que p = p A1 ρ g + G 1 z h dans le tube A 1 B 1 où G 1 est une constante que l on expimea en fonction de p B1 et des autes paamètes. 7 On suppose que w est déivable en =. Écie les conditions aux limites su les paois du tube igide. Expime alos w et tace cette fonction. 8 Expime le débit volumique Q de l eau dans le tube en fonction de G 1.
Execices de niveau II 3 Écoulement stationnaie dans l ensemble du tube On suppose l égalité des pessions p B1 = p C1 et p B2 = p C2 en négligeant les coudes. 9 On cheche le champ de vitesse stationnaie dans le tube hoizontal sous la fome Ux = u e x où est maintenant la distance de x à l axe C 1 C 2 avec OC 1 = L 2 e x + h + l + d 2 e z et OC 2 = L 2 e x + h + l + d 2 e z. Véifie que div U = et monte que p = p C1 G x + L 2 ρ g z z où z est une constante que l on expimea et G = p C1 p C2 /L. 1 En supposant connu G 2 = p B2 p A2 /l+ρ g, expime le champ de vitesse dans le tube vetical d axe A 2 B 2. 11 Monte que G 1, G et G 2 sont égaux à une valeu commune G que l on expimea en fonction de p A1 p A2 et de la longueu L tot = 2 l + L du tube. 12 En déduie que Q = π d4 g h 1 h 2 128 ν L tot et donne sa valeu pou l = 1 m, L = 2 m, d = 4 mm et h 1 h 2 = 5 cm? Bilans intégaux de foces 13 Expime la ésultante IF A1 B 1 des foces de contact execées pa l extéieu du cylinde d axe A 1 B 1 su ses sections ciculaies de centes A 1 et B 1. 14 Expime la ésultante IF Σ des foces de contacts execées su le fluide pa la paoi latéale du cylinde d axe A 1 B 1 de nomales hoizontales. 15 Expime IF A1 B 1 + IF Σ et commente le ésultat. 16 Expime la ésultante IF C1 C 2 des foces de contact execées pa l extéieu du cylinde C 1 C 2 su ses sections ciculaies de centes C 1 et C 2 en fonction de G. Compae cette foce aux foces de fottement execées pa la paoi su le fluide. 17 Calcule la ésultante des foces de contact execée su toute la fontièe du cylinde C 1 C 2. Coigé Vases communicants Écoulement stationnaie dans un tube vetical 1Les équations de Navie-Stokes incompessibles pou un fluide au epos U = s écivent = gad p ρ g e z. En utilisant les conditions aux limites p = p a en z = h e, on obtient la pession hydostatique px = p a ρ g z h e. 2On a p A1 = p a + ρ g h 1 h et p A2 = p a + ρ g h 2 h, d où p A1 p A2 = ρ g h 1 h 2. 3La loi de consevation de la masse pou un fluide incompessible et homogène s écit div U = =. Comme w ne dépend pas de z, cette elation est tivialement satisfaite. 4On a du =
4 Execices pou le chapite 9 u u x + v u y + w w e x + u v x + v v y + w v e y + u w x + v w y + w w e z. Comme u = v = et w du =, on a bien =. 5La consevation de la quantité de mouvement en coodonnées catésiennes s écit = p x, = p y et = p ρ g + ρ ν w avec w = w + 1 w = 1 équations = p p x et = y fonctions p d d dw d. 6Les montent que p ne dépend que de z. Les ρ g et ρ ν w sont égales mais dépendent espectivement de z et de. Elles sont donc égales à une constante, notée G 1, ce qui entaine que p = p A1 ρ g + G 1 z h avec G 1 = p A1 p B1 /l ρ g. 7Les conditions aux limites s écivent wd/2 =. Comme = G 1 + ρ ν w, on a ρ ν 1 d d dw d = G 1 et donc ρ ν w = 1 2 G 1 2 + Cste. Comme w est boné, la constante Cste est nulle. En utilisant la condition aux limites wd/2 =, on a w = G 1 1 4 ρ ν 4 d2 2. Le tacé de cette fonction est celui d une paabole. 8Le débit volumique est Q = 2 π w d = G 1 π d 4 128 ρ ν. Écoulement stationnaie dans l ensemble du tube 9On a bien div U = ca u ne dépend pas de x. Les équations de consevation de la quantité de mouvement s écivent = p p x + ρ ν u, = y et = p ρ g. On en déduit que p = ρ g z + F x où F x est une fonction qui ne dépend que de x. Comme F x et ρ ν u sont égales et dépendent espectivement de x et, elles sont égales à une constante notée G. On a donc p = p C1 G x + L 2 ρ g z z avec z = h + l + d 2, la constante d intégation étant obtenue en utilisant l infomation p = p C1 au point C 1. Comme p = p C2 au point C 2, on en déduit que G = p C1 p C2 /L. 1En suivant une démache similaie à ésolution effectuées le tube A 1 B 1, on obtient U = G 2 1 4 ρ ν 4 d2 2 e z avec G 2 = p B2 p A2 /l + ρ g. 11Comme le débit Q est constant le long du tube, on a G 1 = G = G 2 et on note G leu valeu commune. Comme on a supposé p B1 = p C1 et p C2 = p B2, on peut écie p A1 p A2 = p A1 p B2 ρ g l + p C1 p C2 + p B2 p A2 + ρ g l = G 1 l + G L + G 2 l = G L tot. On a donc G = p A 1 p A2 2 l+l. 12Comme calculé pécédemment, le débit est Q = G π d4 128 ρ ν. Comme G = p A 1 p A2 L tot = ρ g h 2 h 1 2 l+l, le débit vaut Q = g h 2 h 1 π d 4 1282 l+l ν = 7.7 cm 3.s 1. Bilans intégaux de foces 13On a K = gad U = w e e z et donc D = 1 2 w e e z + e z e et σ = p I + 2 ρ ν D. Su la section de cente A 1 et de nomale e z, les foces de contact sont T = σ e z = p A1 e z ρ ν w e. Comme 2π e θ dθ = la ésultante vaut IF A1 = p A1 S e z où S = π d 2 /4 est la section du cylinde. On a de même IF B1 = p B1 S e z si bien que IF A1 B 1 = IF A1 + IF B1 = p A1 p B1 π d2 4 e z avec p A1 p B1 = ρ g l+g 1 l et G 1 = G = p A1 p A2 /2 l+l. On a
Execices de niveau II 5 donc IF A1 B 1 = ρ g V 1 e z +G V 1 e z où V 1 = π d2 l 4 est le volume du cylinde A 1 B 1. 14La nomale en un point de la fontièe latéale Σ étant n = e, les foces de contact s écivent T = σ e = p e +ρ ν w d/2 e z avec w d/2 = G 1 d 4 ρ ν. On a donc T = p e G 1 d/4 e z. Comme 2π e θ dθ =, la ésultante de ces foces est IF Σ = l 2π l π d G 1 d/4 e z dθ = G 4 1 4 e z = G V 1 e z. 15La foce IF A1 B 1 + IF Σ = ρ g V 1 e z est l opposée du poids du fluide compis dans le cylinde A 1 B 1. 16En suivant la même démache, on a IF C1 C 2 = G V 1 e x. Cette foce compense les foces de fottement execées pa la paoi su le fluide, c està-die la composante en e x des foces de contact. 17Comme l écoulement est stationnaie, la ésultante des foces de contact execées su toute la fontièe du cylinde C 1 C 2 est l opposée du poids du fluide et vaut donc ρ g V e z avec V = π d2 L 4. NIVEAU IIb Écoulement de Couette cylindique On apelle tout d abod quelques ésultats de calcul difféentiel en coodonnées cylindiques. Étant donné un champ scalaie b, θ, z, les composantes de son gadient en coodonnées cylindiques sont gad b = b e + 1 b θ e θ + db e z. Étant donné un champ de vecteus U, θ, z = U e + U θ e θ + U z e z, les composantes en coodonnées cylindiques de son gadient sont gad U = U U θ 1 U θ 1 Uθ θ 1 U θ + U θ du du θ du z. 9.1 La divegence de U est obtenue en penant la tace du tenseu gadient. On appelle que le laplacien d un champ b s expime sous la fome b = div gad b. Étant donné un champ de tenseus symétiques d ode deux Ax, les composantes en coodonnées cylindiques de sa divegence B = div A s écivent B = A B θ = A θ B z = A z + 1 A θ θ A θθ + 1 θ + 1 A zθ θ + da z + da θz + da zz + A A θθ + 2 A θ + A z. 9.2 Étude de l écoulement On considèe deux cylindes ciculaies infiniment longs, coaxiaux, de ayons espectifs R 1 et R 2 > R 1. L espace annulaie est empli d un fluide pesant et newtonien incompessible de masse volumique ρ. La constante de gavité est notée g. L axe Oz des cylindes est vetical. Le mouvement du fluide ne ésulte que de la otation unifome de chacun des cylindes : ω 1 pou le cylinde
6 Execices pou le chapite 9 intéieu et ω 2 pou le cylinde extéieu. Le mouvement est supposé pemanent t = et de évolution θ =. De plus, on suppose que U z, z =. On veut monte l écoulement a pou solution U = U z =, U θ = A 2 + B, A = 2 p, z = p ρ g z + ρ R2 2 R1 2 ω 2 R2 2 ω 1 R2 1 R2 2 R2 1 A 2 2 8 + AB ln B2 2 2 et B = ω 1 ω 2 R2 1 R2 2 R 2 2 R2 1,. 9.3 1 Explicite les équations du mouvement en coodonnées cylindiques ainsi que les conditions aux limites coespondant à cet écoulement. 2 Véifie que la solution coespond bien au poblème posé en détaillant les calculs. 3 Décie l ensemble des tajectoies xt = Xa, t et calcule l accéléation Γa, t en coodonnées cylindiques. 4 Calcule les tenseus des taux de défomation et de otation D et Ω en tout point, θ, z. Que se passe-t-il si ω 1 = ω 2? Explique. 5 Intepéte les composantes de D pou ω 1 ω 2. Faie un dessin explicatif. Étude des containtes On considèe le sous-domaine D constitué d une potion de fluide compise ente deux plans hoizontaux distants d une longueu veticale L. 6 Monte que la pession p, z est une fonction coissante de pou z fixé. 7 Calcule le tenseu des containtes visqueuses τ défini pa σ = p I + τ. 8 Calcule la ésultante et le moment M 1 D en des foces extéieues execées su le domaine fluide D pa le cylinde intéieu. Même question pou le cylinde extéieu. Que se passe-t-il si ω 1 = ω 2? 9 Calcule la puissance P 1 D des effots extéieus execés su D pa le cylinde intéieu. Même question pou le cylinde extéieu. 1 Calcule les foces de contact T x, n execées su une section z = constante oientée ves le haut puis ves le bas. En déduie que la puissance des foces extéieues execées su D est P ext D = P 1 D + P 2 D. Commente le signe de cette puissance. Que se passe-t-il si ω 1 = ω 2? Étude themodynamique On suppose que les paois des cylindes sont adiabatiques pas de flux de chaleu et que la tempéatue est indépendante de z. À pati des ésultats des questions pécédentes, indique le signe de de int où E int est l énegie intene du cylinde pa unité de longueu. 11 On suppose que e = C p T. Que peut-on die de l évolution de la tempéatue moyenne du cylinde au cous du temps? Que se passe-t-il si ω 1 = ω 2?
Execices de niveau II 7 On suppose que l on utilise ce système commme coupleu hydaulique su un teuil à moteu themique. L axe intéieu, de ayon R 1 = 2 cm toune est entaîné pa le moteu à la vitesse ω 1 = 3 tous/mn. Le tube cylindique de longueu L = 1 m est empli d une huile de viscosité µ =.5 Pa. Cette huile entaîne le cylinde extéieu de ayon R 2 = 3 cm à la vitesse angulaie ω 2. Pou un égime donnée, on constate que le moteu exece un couple M = 15 Nm. 12 Calcule ω 2. 13 Calcule P 1 D et P 2 D. En déduie la valeu P ext D. 14 Défini un endement caactéistique du système que l on calculea. Commente l utilisation de ce pincipe dans les coupleus hydauliques existants. Coigé Écoulement de Couette cylindique Étude de l écoulement 1Il faut écie les équations de Navie Stokes incompessibles en coodonnées cylindiques à pati des infomations founies dans l énoncé. L équation de consevation de la masse div U = s écit en utilisant la elation div U = t gad U. Le teme d accéléation de l équation de consevation de la quantité de mouvement s expime en utilisant l expession du = U t + gad U U. Le teme le plus difficile à expime en coodonnées cylindiques est le teme de dissipation µ n U. Une pemièe méthode consiste à eveni à l expession du tenseu des containtes visqueuses τd = λ n t D I + 2µ n D où D est la patie symétique de gad U. Comme div U =, cette expession se éduit à τd = 2µ n D. Le teme de dissipation étant égal à div τ, on voit donc que U = 2div D dans le cas où div U =. L expansion de cette expession se simplifie alos en utilisant l expansion des elations div U =, θ div U = div U =. Les équations du mouvement sont donc et U t + U U + U θ U θ t + U U θ + U θ t + U U + 1 U θ U 2 θ U θ θ U U θ + U θ U θ θ + + U + U z θ + U z avec U = e + θ e θ + z e z tel que U U θ + U z = = 1 ρ p + ν n = 1 ρ p θ + ν n θ = 1 ρ p g + ν n z, = U 2 U θ 2 θ U 2, Le Laplacien scalaie s écit θ = U θ + 2 2 U θ U θ 2, z = U z. 9.4 b = div gad b = 2 b 2 + 1 2 b 2 θ 2 + 1 b + 2 b 2. 9.5
8 Execices pou le chapite 9 Une aute manièe d expime U est de emaque que U = ot ot U dans le cas paticulie div U =. L expession en coodonnées cylindiques du otationnel s obtient en calculant la patie antisymétique de la matice gadient d un champ de vecteu. Cette méthode est encoe plus fastidieuse que la pemièe. Les conditions aux limites de l écoulement sont U = U z =, U θ = ω 1 R 1 pou = R 1 et U = U z =, U θ = ω 2 R 2 pou = R 2. 2Les seuls temes des équations qui ne sont pas nuls véifient U θ 2 = 1 p ρ = ν 2 U θ n + 1 U θ 2 et = 1 p ρ g. On véifie alos facilement que ces équations ainsi que les conditions aux limites sont satisfaites pa les solutions analytiques de l énoncé. 3Les tajectoies sont des cecles d équations t =, θt = θ + U θ t et z = z. L accéleation est donnée pa Γ = U 2 θ /, Γ θ = Γ z =. U θ 2 4Les seuls composantes non nulles sont D = D θθ = B/ 2 = ω 2 ω 1 R 2 2 1 R2 2 R2 2 R2 1 et Ω θ = Ω θ = A/2 = ω 1R1 2 ω 2R2 2. Dans le cas ω R2 2 1 = ω 2 = ω on a D = et R2 1 Ω θ = Ω θ = ω : c est un mouvement de otation solide. 5Si ω 2 > ω 1 alos B est positif, U θ coît avec et D θ = B/ 2 <. L angle de glissement γt ente e et e θ décoît comme γt D θ t/ 2 au voisinage de t =. Un schéma pemet de elie ce compotement avec le fait que U θ coît avec., Étude des containtes 6Comme = ρ U 2 θ / > la fonction p est coissante. 7Les seules composantes non nulles sont τ θ = τ θ = 2µ n B/ 2. 8Les foces extéieues pa unité de suface execéees pa les cylindes su le fluide sont la somme des foces de pession pr 1, ze et des foces visqueuses τr 1 e = 2µ n B/R 2 1 e θ = 2µ n ω 2 ω 1 R 2 2 R2 1 pr 2, ze et τr 2 e = 2µ n B/R 2 2 e θ = 2µ n ω 2 ω 1 R 2 2 R2 1 R 2 2 e θ pou le cylinde intéieu et R 2 1 e θ pou le cylinde extéieu. Si ω 2 > ω 1 le cylinde intéieu feine le fluide tandis que le cylinde extéieu l accélèe. Pa symètie, on voit que la ésultante des ces foces pa unité de suface est nulle losque l on intège su une unité de longeu veticale. En ce qui concene le moment en un point situé su l axe, seules les foces visqueuses ont une contibution. Le moment execé su le sous-domaine D pa le cylinde intéieu est alos M 1 D = L 2π R 1 e τr 1 e R 1 dθ = 4πµ n Be 3. Il est égal à M 2 D = L 2π R 2 e τr 2 e R 2 dθ = 4πµ n Be 3 pou le cylinde extéieu. On véifie que la consevation du moment cinétique M 1 D + M 2 D = est véifiée. Dans le cas de la otation solide ω 2 = ω 1 on a la elation M 1 D = M 2 D =. 9Les puissances sont P 1 D = L 2π τr 1 ω 1 e R 1 e θ R 1 dθ = 4πLµ n Bω 1 pou le cylinde intéieu et P 2 D = L 2π τr 2 ω 2 e R 2 e θ R 2 dθ = 4πLµ n Bω 2 pou le cylinde extéieu. On véifie que P 1 D = M 1 D ω 1 e z et P 2 D = M 2 D ω 2 e z. 1Dans les cas n = e 3 haut et n = e 3 bas on a T x, n = pn. Comme
Execices de niveau III 9 U e 3 = la puissance L R 1 R 2 T x, n U ds est nulle. Comme la puissance des foces de gavité est elle aussi nulle, on a P ext D = P 1 D + P 2 D = ω 4πLµ 2 ω 1 2 n R R2 2 R2 1 2R2 2 >. On a P extd = dans le cas ω 2 = ω 1. 1 Étude themodynamique 11Le pemie pincipe d E intd + d KD = P extd + P int D s écit ici d E intd = P ext D. On a donc d E int >. La tempéatue moyenne T m, définie pa ρ C p T m = E int D/[2πLR2 2 R2 1 est donc coissante. Cet échauffement est dû à la dissipation visqueuse qui tansfome l énegie mécanique en chaleu. Dans le cas de la otation solide il n y a pas d échauffement. 12Ici ω 1 > ω 2. En notant M 1 D = M 2 D = Me 3 on a M = 4lπµ n ω 1 ω 2 R1 2R2 2 /R2 2 R2 1 = 15 Nm. Donc ω 2 = ω 1 M R2 2 R2 1 4lπµ n = 16.82 s 1 ce R1 2R2 2 qui donne w 2 = 11 tous/mn. 13Les puissances sont P 1 D = Mω 1 = 7.5 kw et P 2 D = Mω 2 = 2.5 kw. On a donc P ext D = P 1 D + P 2 D = 5 kw 14Le endement est égale à la puissance P 2 D founie pa le fluide au cylinde extéieu divisée pa la puissance P 1 D founie pa cylinde intéieu au fluide, c est-à-die pa le moteu. On obtient donc un endement de un ties. Les deux ties de l énegie mécanique founie pa le moteu sont dissipés sous fome de chaleu. Le endement de ce coupleu mécanique est faible. 2 Execices de niveau III NIVEAU IIIa Mouvement plan de fluide On considèe un fluide en mouvement de masse volumique ρ et de vitesse Ux, t définie pa U 1 = α x 1, U 2 = α x 2 et U 3 = où α est une constante. On suppose les foces extéieues s écivent fx, t = ρ g e 3 où g est la gavité. On note µ la viscosité dynamique du fluide. 1 Expime le vecteu otation ωx, t et le tenseu des défomations Dx, t. 2 On considèe le domaine D = {a IR 3 : a 2 1 + a2 2 l2 et a 3 h} et on note Dt son évolution au cous du temps sous l action du mouvement Ux, t. Quelle est la fome de D? Dessine cette fome. 3 Monte que le volume du domaine Dt est une constant V que l on calculea. 4 Donne l expession de la défomation Xa, t en supposant que Xa, = a. 5 Monte que x 1 t x 2 t = a 1 a 2. En déduie le tacé des tajectoies dans un plan x 3 = a 3. 6 Tace les lignes de champs de la vitesse au temps t =. 7 On considèe un champ Bx, t = γ 2 x 2 1 e 2α t + x 2 2 e2α t. Calcule l expession lagangienne B L a, t de ce champ. 8 Que vaut db x, t?
1 Execices pou le chapite 9 9 Calcule B t et U gad B et compae avec la question pécédente. 1 Remplace l expession du champ de vitesse dans les équations de Navie- Stokes. 11 En supposant la pession p, t = p constante en x = et pou tout temps t, calcule le champ de pession px, t. 12 Donne l expession de densité sufacique de foces de contact T x, n pou x = 1 2 h e 3 et n = 1 2 e 1 + e 2. NIVEAU IIIb Rotations d axe vetical NB : bien qu elles ne soient pas indispensables pou la ésolution du poblème, les fomules suivantes elatives aux coodonnées cylindiques sont appellées ici : gad Bx = B, e + 1 B,θ e θ + B,z e z, gad V = V, e e + 1 V,θ V θ e e θ + V,z e e z + V θ, e θ e + 1 V θ,θ + V e θ e θ + V θ,z e θ e z + V z, e z e + 1 V z,θ e z e θ + V z,z e z e z, div V = V, + 1 V θ,θ+ 1 V + V z,z et B = B, + 1 B, + 1 2 B,θθ + B,zz. Rotation dans un solide On considèe un solide élastique homogène et isotope dont la configuation de éféence est exempte de containtes et occupe le volume : Ω = {a IR : < R 1 a 2 1 + a2 2 R 2 et a 3 l}. On définit les coodonées polaies R, Θ dans la configuation de éféence pa le changement de vaiables a 1, a 2 = R cos Θ, R sin Θ. On définit ensuite les vecteus de base pa e R Θ = cos Θ e 1 + sin Θ e 2 et e Θ Θ = sin Θ e 1 + cos Θ e 2. On examine la défomation dont le champ de déplacement est ξa = α R e Θ Θ en coodonnées polaies. On suppose que α 1. 1 Décie et dessine le volume Ω occupé pa la configuation défomée. 2 Expime les composantes de ξ en coodonnées catésiennes. 3 Calcule le tenseu des petites défomations associé à cette défomation. 4 Calcule les tenseus des containtes σa pou tout point de Ω. Fluide incompessible avec suface libe On considèe un écoulement à suface libe occupant le volume Ω = { } x tels que R m et z h avec = x 2 + y 2 où R m est le ayon de la cuve et h le pofil de la suface libe que l on cheche à détemine. Le champ de gavité g e z est paallèle à l axe de la cuve. On suppose que la cuve est emplie d un fluide incompessible de masse volumique homogène ρ, et animé du mouvement U, θ, z = V e θ θ où, θ, z sont
Execices de niveau III 11 les coodonnées cylindiques et V un pofil de vitesse. On suppose que le fluide est visqueux et que le mouvement véifie V = ω. 5 Écie les équations de Navie-Stokes incompessibles en coodonnées catésiennes en emplaçant le champ de vitesse pa son expession. 6 Indique l expession du tenseu des containtes σx, t en fonction du champ de pession p pou l instant indéteminé. 7 On suppose que la pession atmosphéique p a est constante. Indique la condition aux limites que l on doit impose su la suface libe d équation z = h en supposant la continuité des foces de contact. 8 Monte que le champ de pession s écit sous la fome p = p c z, t + β x 2 + y 2 où β est un constante que l on explicitea. 9 Pécise le pofil de pession p c z, t en appliquant la condition aux limites en x = h e z en supposant que h = h est connu. 1 En déduie la fome de cette suface libe. En faie un tacé schématique. 11 On suppose ω =.5 Hz, R m = 1 m. Calcule la difféence de hauteu maximale ente les points de la suface libe pou g = 9.81 m/s 2. Fluide compessible à toit igide On considèe un écoulement occupant le volume { } Ω = x tels que R m et z h m avec = x 2 + y 2 où R m et h m sont espectivement le ayon et la hauteu de la cuve à toit igide. Le champ de gavité est g e z. On suppose que la cuve femée est entièement emplie d un fluide pafait compessible et que l ensemble est animé du mouvement de otation solide U, θ, z = ω e θ θ où, θ, z sont les coodonnées cylindiques. On suppose que le fluide est un gaz pafait de masse molaie M. On suppose que la tempéatue T = T est homogène et on cheche le champ de masse volumique solution sous une fome ρ = ρ e, z qui ne dépend que de et de z. 12 Écie les équations d Eule compessibles en emplaçant U pa sa valeu. 13 Monte que l hypothèse ρ = ρ e, z et le champ de vitesse poposé sont compatibles avec l équation de consevation de la masse. 14 Ecie les équations de consevation de la quantité de mouvement en coodonnées cylindiques en emplaçant le champ de vitesse pa sa valeu. 15 En éliminant p, déduie des équations d état et des équations d Eule compessibles que la masse volumique est de la fome ρ e, z = ρ c z e ω2 2 2 α où α est une constante que l on pécisea. 16 On suppose que ρ, t = ρ e, = ρ est connu. Donne l expession du pofil de masse volumique ρ c z au cente de la cuve. 17 En déduie l expession du champ de pession px, t. 18 Faie un tacé schématique des isobaes dans un plan hoizontal.