Universié Claude Bernard Lyon- Licence «Sciences e echnologie» Unié d enseignemen Mah. I Algèbre CONTROLE FINAL 8 Janvier 0-durée h L énoncé compore cinq exercices sur deux pages. Documens, calcularices e éléphones porables son inerdis. Quesion. Monrer que pour ou enier non nuls n, on a : Alle à : Correcion quesion n k = (k + )! (n + )! Quesion. Déerminer les soluions complexes de l équaion : ( + 4i) 3 + 3i = 0 En déduire les soluions complexes de l équaion 6 ( + 4i) 3 3 + 3i = 0 Alle à : Correcion quesion k= Quesion 3. On considère l applicaion f: C C,.. Monrer que f es une bijecion.. Soi D la droie formée des complexes don la parie réelle vau /. a) Pour complexe de parie réelle égale à, calculer f(). b) Que peu-on dire sur l image de D par f. 3. Soi S le cercle de cenre e de rayon, privé de l origine 0 (c es-à-dire l ensemble des complexes non nuls els que : =. a) Démonrer que pour ou réel, on a : cos() = cos ( ) e sin() = sin ( ) cos ( ) b) Soi réel, non muliple de π. Calculer la parie réelle de f( e i ), c) Monrer que l image de S par f es incluse dans D. 4. Déerminer f f. En déduire que l on a : f(d) = S e f(s) = D. Alle à : Correcion quesion3 Quesion 4. On rappore le plan à un repère orhonormé. Soi j le nombre complexe de module e d argumen π. Soi r la 3 ransformaion du plan, qui, à un poin M d affixe associe le poin M, d affixe = j + 3. Déerminer les poins invarians (fixes) de r, e la naure de la ransformaion r.. Soi M un poin d affixe. Calculer l affixe du poin r (M), où on noe r = r r, e déerminer la naure de la ransformaion r. 3. Soi M un poin d affixe. Calculer l affixe du poin r 3 (M), où l on noe r 3 = r r r. Que peu-on dire de la ransformaion r du plan? Alle à : Correcion quesion4
Quesion 5. On se place dans l espace muni d un repère orhonormé direc. Soi S la sphère d équaion x + y + 4x y + = 0, e soien D e D les droies définies par : x = y + D: { = y + 4 e D x y + + = 0 : { x y + 9 = 0. Déerminer le cenre Ω e le rayon de S.. Déerminer des veceurs direceurs de D e de D. 3. Déerminer un veceur orhogonal à ces deux veceurs direceurs. En déduire les coordonnées d un veceur n orhogonal à D e D, de norme. 4. Calculer les coordonnées des poins A e B els que ΩA = n e ΩB = n. 5. On appelle plan angen à S un plan qui passe par un poin C de S e orhogonal à la droie (ΩC). Déerminer les plans angens à S parallèles à D e D. Alle à : Correcion quesion5 CORRECTION Correcion quesion. Nous allons faire un raisonnemen par récurrence, pour n = k = (k + )! ( + )! = E ( + )! = = L égalié es vraie au rang. Monrons que l égalié au rang n enraine celle au rang n +. n+ k = k (k + )! (k + )! k= pour ou n Alle à : Quesion n k= = + k= + n + (n + )! = (n + )! + n + (n + )! = n + (n + )! + n + (n + )! n + n + (n + )! n k= = (n + )! k = (k + )! (n + )! Correcion quesion. Δ = ( + 4i) 4( 3 + 3i) = + 8i 6 + i = 3 4i = 4i 4 = ( i) les soluions de ( + 4i) 3 + 3i = 0 Son + 4i ( i) = = 3i e = Les soluions de 6 ( + 4i) 3 3 + 3i = 0 vérifien 3 = 3i ou 3 = + i + 4i + i = + i = e iπ 4
3 = 3 3 3 = 3i { arg( 3 ) = π = 3 + kπ, k Z { 3 arg() = π + kπ, k Z Cela donne rois soluions = 3 3 { arg() = π 6 + kπ, k {0,,} 3 3 3e iπ 6; 3 3e i5π 6 e 3 3e i9π 6 = 3 3i 3 = e iπ 3 = 4 { arg( 3 ) = π 4 + kπ, k Z { 3 = 3 arg() = π + kπ, k Z 4 Cela donne rois soluions Alle à : Quesion = 6 { arg() = π + kπ, k {0,,} 3 6e i ; π 6e i9π = 6e i3π 4 e 6e i7π Correcion quesion3.. Pour ou C il exise un unique = C el que. f() = = a) Si la parie réelle de vau, il exise y R el que = + iy, donc pour ou y R : = f() = = ( = + iy) = iy = + iy + iy + iy 4 + y 4 + y = b) L image de D par f es incluse dans le cercle de cenre le complexe e de rayon. 3. a) Première méhode : cos ( ) = + e i (ei ) = ei + + e i 4 cos() = cos ( ) = cos() + 4 sin ( ) cos ( ) = e i (ei ) ( ei + e i ) = i 4i ((ei ) = cos() + (e i ) ) Deuxième méhode : = i (ei e i ) = sin() cos(a + b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b) Pour a = b =
Pour a = b = cos() = cos ( ) sin ( ) = cos ( ) ( cos ( )) = cos ( ) sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) sin() = sin ( ) cos ( ) b) Un poin du cercle S vérifie = donc il exise R {(k + )π, k Z}, el que = e i, ce qui équivau à = + e i, car pour = (k + )π on a e i = e donc = 0 qui n es pas dans S. f( e i ) = e i = e i ( e i )( e i ) = cos() cos() + i sin() cos() = + i sin() cos() cos() + i sin() cos() + i sin() = e i e i + e i = e i cos() 4. l image de S es incluse dans la droie D. Re (f( e i )) = On a Cela enraine que C, f f() = f(f()) = f ( ) = f f = Id C f(d) S f(f(d)) f(s) Or f(f(d)) = D e f(s) D, cela donne D f(s) D Ce qui enraine que f(s) = D, on compose cela par f f(f(s)) = f(d) Comme f(f(s)) = S, par conséquen Alle à : Quesion 3 Correcion quesion4.. S = f(d) r(m) = M j + 3 = ( j) = 3 = 3 j = 3 j ( j)( j ) = 3 j j j + j 3 = 3 j + + = j = 3 3 + i. L affixe de M = r (M) es : = j + 3 Où = j + 3 = j(j + 3) + 3 = j + 3(j + ) = j 3j L affixe de r (M) es de la forme a + b avec a = j =, il s agi d une roaion. =
3. L affixe de M = r 3 (M) es avec = j + 3 = j(j 3j ) + 3 = j 3 3j 3 + 3 = Ce qui monre que r 3 = id par conséquen r = r es une roaion. Alle à : Quesion 4 Correcion quesion5.. x + y + 4x y + = 0 (x ) 4 + (y ) + + = 0 (x ) + (y ) + = 4 S es la sphère de cenre Ω (,,0) e de rayon.. x = y + x = y + { = y + 4 { y = y = y + 4 D es la droie passan par (,0,4) de veceur direceur u = (,,). x y + + = 0 y + + = 0 x x 9 + + = 0 = x + 8 { {x { { x y + 9 = 0 y = x + 9 y = x + 9 y = x + 9 x = x { y = x + 9 = x + 8 D es la droie passan par (0,9,8) de veceur direceur v = (,,) 3. Un veceur orhogonal à u e à v es u v ( ) ( ) = ( ) 3 (,,3) = ( ) + ( ) + 3 = n = (,,3) Remarque : n = (,,3) Es aussi une bonne réponse. 4. x A = ΩA = n y A = { A = 6 { A = 6 A (,, 6 ) ΩB = n B ( +, +, 6 ) x A = y A = { A = 6 { x A = y A = x A = + y A = + A = 6
5. Première soluion On cherche les poins N (x, y, ) els que ΩA e AN soien orhogonaux e les poins N (x, y, ) els que ΩB e BN soien orhogonaux. ΩA. AN = 0 ΩB. BN = 0 ( ) (x ( )) + ( ) (y ( )) + ( 6 6 0) ( ) = 0 (x + ) (y + ) + 6 ( 6 ) = 0 x y + 6 + 4 4 + 4 36 = 0 x y + 6 + 6 4 = 0 x y + 6 + 6 4 = 0 x y + 3 + 3 = 0 ( + ) (x ( + )) + ( + 6 6 ) (y ( + )) + ( 0) ( + ) = 0 (x ) + (y ) 6 ( + 6 ) = 0 x + y 6 4 4 4 36 = 0 x + y 6 6 4 = 0 x + y 6 6 4 = 0 x + y 3 3 = 0 Deuxième soluion Les plans parallèles à P son de la forme x y + 3 + d = 0, on cherche les poins N (x, y, ) qui son dans P e dans la sphère e els que ΩN soi orhogonal à u e v, ou ce qui revien au même que ΩN soi proporionnel à u v. Il exise λ R el que ΩN = λ(,,3) x = λ { y = λ = 3λ On remplace ces rois équaions dans celle de S (x ) + (y ) + = 4 λ + λ + 9λ = 4 λ = 4 λ = ± Il y a deux poins N qui vérifien ces condiions N (,, 6 ) e N ( +, +, 6 ) Pour rouver les plans, il suffi de remplacer les coordonnées de N (puis de N ) dans
Avec N Avec N Alle à : Quesion 5 x y + 3 + d = 0 ( ) ( ) + 3 3 + d = 0 3 + d = 0 d = + 3 x y + 3 + 3 = 0 ( + ) ( + ) 3 3 + d = 0 + 3 + d = 0 d = 4 3 x y + 3 + 3 = 0