TD ELECTRO/MAGNETO-STATIQUE RAPPELS MATHEMATIQUES Execice 1: On considèe les vecteus suivants expimés dans un epèe othonomé : i + 3 j k = 3i j + k = 4i 3 j 1 = 3 + - Calcule leu module. - Calcule les composantes et les modules des vecteus A = 1 + + 3 et B = 1 + 3 - Détemine un vecteu unitaie poté pa le vecteu C 1 + - Calcule les poduits 1 et 1 3k =. Execice : Calcule le gadient du champ scalaie suivant : U + 3 ( x, y, z) = 3x yz 4y zx Execice 3: Calcule la divegence du vecteu V = ln x i + ln y j + ln z k Execice 4: Calcule le otationnel du vecteu 3 A = 3 x y i yz j + x yk CHARGE ET MATIERE Execice 5: Le nombe de potons du ayonnement cosmique qui pénète la haute atmosphèe teeste est, en moyenne, envion 0,15 potons cm - s -1. Quelle est l intensité du couant total que eçoit la Tee sous fome de potons cosmiques? AN : R t = 6.4 10 6 m. Execice 6: Quelle est la foce de épulsion coulombienne ente deux potons? AN : q = 1,609 10-19 C, d = 4 10-15 m. Execice 7: Compae l intensité de la foce électostatique epoussant deux potons à l intensité de la foce d attaction gavitationnelle ente ces deux potons. On appelle que : m m' F g = G AN : G = 6,67 10-11 N m - kg -, m p = 1,67 10-7 kg.
FORCE ELECTROSTATIQUE Execice 8: On considèe deux chages positives Q placées su un axe Ox en points A et B d abscisses espectives +a et -a. Une chage positive q est placée en un point M d odonnée y su l axe Oy. Détemine la chage Q 0 qui placée en O execeait la même foce su q que le couple placé en A et B. Monte que si y >> a, Q 0 Q. A pati de quelle distance Y 0 peut-on considée que cette chage est égale à Q à 5% pès? AN : a = 10 - m. Execice 9: Deux billes A et B de masses égales m sont suspendues chacune à un fil sans masse de longueu l, les deux fils étant fixés su un suppot en un même point O. Les deux billes chagées avec la même chage q s écatent l une de l aute et le dispositif s immobilise dans une position d équilibe où chaque fil fait un angle α avec la veticale. Détemine α en supposant qu il est petit. AN : q =10-7 C, m = 0 g, l = 30 cm. Execice 10: On considèe chages égales Q positives placées su l axe Ox en deux points A et B d abscisses espectives +a et -a. Détemine la foce qui s exece su une chage q placée en un point M d odonnée y. AN : Q = 3 10-6 C, q = 10-6 C, a = 10 - m, y = 10-1 m. CHAMP ELECTROSTATIQUE Execice 11: Dipôle électique. On considèe deux chages Q de même valeu mais de signes opposés placées à une distance a l une de l aute. Quel est le champ électique poduit pa ces chages en un point M situé à une distance y su la doite bissectice nomale à la doite qui elie les deux chages? Execice 1: Dans un plan muni d un epèe, on place 4 chages en 4 points A, B, C, et D : A(-a,a) : chage +q B(-a,-a) : chage -q C(a,-a) : chage +q D(a,a) : chage + q Quelle chage faut-il place au point M(a,a) pou que le champ électostatique soit nul en O(0,0)? AN : q = 10-7 C
Execice 13: Deux chages q et Q de même signe sont placées à une distance l l une de l aute. Su quel point de la doite joignant les deux chages le champ électique est-il nul? AN : q = 10-6 C, Q = 10-6 C, l = 10 cm. Execice 14: Calcule le champ électique à une distance y d un fil ectiligne unifomément chagé. Execice 15: En utilisant le théoème de Gauss, calcule le champ électique à une distance y d un fil ectiligne unifomément chagé. CHAMP ET POTENTIEL ELECTROSTATIQUE Execice 16: On considèe une sphèe de ayon R 0 possédant une chage Q unifomément épatie en volume. Soit ρ la densité volumique de chage. Soit O le cente de la sphèe et Ox un axe quelconque. Calcule la valeu du champ électique E(x) en un point M de l axe Ox. En déduie l expession du potentiel V(x). Execice 17: On considèe deux plaques chagées avec une densité sufacique +σ et -σ située à une distance h l une de l aute. En supposant ces plaques infinies, calcule le champ électique en tout point M situé su un axe othogonal aux plaques. Calcule le potentiel en M en paticulie aux points d intesection avec les plaques. Calcule la difféence de potentiel ente les plaques. En déduie la capacité du condensateu ainsi fomé. FORCE MAGNETIQUE Execice 18: On considèe un epèe othonomé et une chage q placée en O animée d une vitesse v. Au point O ègne un champ magnétique B. Calcule la foce de Laplace qui s exece su q. v0 v = 0 0 Bx B = By 0 AN : v 0 = 10 - m s -1, B x = 10-3 T, B y = 10-3 T, q = 10-7 C.
Execice 19: On considèe un epèe othonomé et une chage Q placée en O animée d une vitesse v. On place une seconde chage q, fixe et positive en M. Détemine E et B en M ainsi que la foce de Loentz que subit q. 0 v = 0 v0 x M = 0 0 AN : v 0 = 10-3 m s -1, Q = 10-6 C, q = 10-6 T, x = 10-4 m. CHAMP MAGNETIQUE Execice 0: Etabli l expession du champ d induction magnétique au cente d une spie ciculaie de ayon R pacouue pa un couant I. Execice 1: Etabli l expession du champ magnétique en un point M situé su un axe pependiculaie passant pa le cente d une spie ciculaie de ayon R pacouue pa un couant I. Execice : Etabli l expession du champ d induction magnétique à une distance du cente d un fil cylindique de ayon R. Le fil est pacouu pa un couant d intensité I 0 épati unifomément su la section du fil : pa Biot-Savat. en utilisant le théoème d Ampèe. Execice 3: Utilise le théoème d Ampèe pou calcule le champ magnétique dans un solénoïde. Execice 4: Soient deux fils conducteus paallèles de longueu l écatés d une distance a et pacouus pa des couants I 1 et I. Calcule la foce magnétique execée su les fils si les couants ciculent dans le même sens puis losqu ils sont en sens opposés. Execice 5: Une spie ectangulaie ABCD placée dans le plan Oyz de hauteu b et de longueu a est placée dans un champ d induction magnétique B situé dans le plan Oxy qui fait un angle α avec Ox. La spie est pacouue pa un couant I. Calcule les foces qui s execent su les 4 cotés. Véifie que le cade est soumis à l action d un couple de foces. Détemine le moment magnétique M de la spie et en déduie le moment du couple Γ. Execice 6: Un conducteu filifome AB epose su deux ails conducteus paallèles sépaés d une distance a et alimentés de sote qu un couant I tavese
l ensemble du cicuit. Le cicuit est placé dans un champ magnétique pependiculaie aux au plan des ails. Monte à l aide de l expession de la foce de Laplace que la foce magnétique F agissant su AB tend à déplace cette tige su les ails. En appliquant le théoème de Maxwell, détemine le tavail de la foce magnétique au cous d un déplacement y de AB. Retouve F à pati de cette expession. Execice 7: Calcule l inductance pope d une spie ciculaie de ayon R pacouue pa un couant I sachant que le champ d induction céé au cente de la spie a pou expession : B = µ 0 I R En déduie l inductance pope d un cicuit composé de N spies. PHENOMENES D INDUCTION Execice 8: Une cate électonique (suface 10x10 cm²) est fixée su un capot métallique elié à la masse. Ils foment ainsi un condensateu. Calcule la capacité de ce condensateu. Une pesonne, chagée électostatiquement, touche le capot et se déchage dessus avec kv en 100 ns. Quelle est l intensité induite dans la cate? En déduie la f.e.m induite dans le câble qui va ves une aute cate si la longueu du câble est 5cm, ou 1 m. Cate Capot Ves une aute cate Masse Execice 9 : On suppose qu on a placé un câble de tansmission à haut débit (100 MHz) à côté (~1cm) d un câble d alimentation d une lampe halogène de 500 W. Le câble de tansmission a fait une boucle de ayon ~1cm. 1. Si l on considèe que dans le câble d alimentation cicule un couant I, quel est Alimentation halogène =cm d=1cm
le champ magnétique céé pa ce câble au cente de la boucle?. En considéant ce champ constant et pependiculaie à la suface de la boucle, quel est le flux dans cette boucle? 3. Si on allume la lampe, quelle est l intensité qui tavese le câble d alimentation? (alimentation secteu) 4. On considèe que ce couant se met en place en 100 ns. Calcule la f.e.m induite dans la boucle. 5. Si la tansmission se fait en 0-1 V, que pouvez-vous die su la éception du signal au moment de l allumage de la lampe? Et si la boucle avait un ayon dix fois plus gand? Execice 30 : On considèe deux câbles de tansmission à haut débit (100 MHz) placés côte à côte (d~1cm). L un des deux a fait une boucle de 1 cm de ayon. Les câbles tansmettent en 0-1 V dans des cates à impédance 50 Ω. 1. Quelle est l intensité du couant dans un des câbles?. Donne le champ magnétique induit dans la spie, et son flux magnétique à taves elle. 3. Donne la f.e.m induite si les temps de montée et descente sont de 1 ns.