Chapire III DÉRIVÉE DUNE FONCTION COMPOSÉE. RÈGLES DE DÉRIVATION DUNE FONCTION COMPOSÉE..... DÉFINITION DUNE FONCTION COMPOSÉE..... LOI DE DÉRIVATION DUNE FONCTION COMPOSÉE....3. DÉRIVATION DES FONCTIONS IMPLICITES... 3. EXTREMUMS DES FONCTIONS NUMÉRIQUES DE DEUX VARIABLES... 4.. EXTREMUM LOCAL... 4.. POINTS CRITIQUES... 5 3. PLAN TANGENT... 6 3.. DÉFINITION DUNE SURFACE... 6 3.. PROPRIÉTÉ... 7 3.3. DÉFINITION DUN PLAN TANGENT... 9 4. DÉRIVÉE DIRECTIONNELLE... 4.. DÉFINITION... 4... Inerpréaion géomérique... 4.. MAXIMUM DE LA DÉRIVÉE DIRECTIONNELLE... 4 5. SUPPLÉMENT DE TECHNIQUE DE DÉRIVATION...
Par. Règles de dérivaion dune foncion composée.. Définiion dune foncion composée On di que f es une foncion composée des n variables,,..., n, par l inermédiaire des p foncions composanes u (,,..., ),..., u (,,..., ) n p n si elle es définie par une relaion de la forme générale f (,,..., ) = F[ u (,,..., ),..., u (,,..., )] n n p n Lorsque, n=p=, nous uiliserons les noaions f (, y) = F[ u(, y), v(, y)] Rappel Lorsque y = f() es une foncion à une seule variable, e lorsque =(), nous savons que: f ( ( )) = f ( ( )) ( ). Nous voulons généraliser lorsque f es une foncion de plusieurs variables... Loi de dérivaion dune foncion composée Soi f une foncion de plusieurs variables, différeniable sur un ouver U de R n. Nous supposons que X es une foncion de. c es à dire: X ( ) = ( ( ), ( ),..., n ( )) Alors: f ( X( )) = f ( X( )) ( ) + f ( X( )) ( ) +... + f ( X( )) ( ) n n Quon écri plus simplemen: f = f + f +... + f Auremen di: n n f = ( f, f,..., f ).(,,..., ) f = grad f( X( )). X ( ) n n EXEMPLE : ( ) f y, = siny Posons : = rcosθ, y = rsinθ ( ) ( ) f y, = ycos y; f y, = cosy y
( cos θ, sin θ) = (, ) (, ) f r r gradf y y r r r ( cos θ, sinθ) ( cos θ, sinθ) = f r r + f r r y r y r ( ) ( ) ( r ) = rsinθ cos r sinθcosθ cosθ + rcosθcos r sinθcosθ sinθ = rsinθcosθcos sinθcosθ.3. Dérivaion des foncions implicies DÉFINITION Si plusieurs variables, rois par eemple, son liées par une relaion F(, y, )=, l une d enre elles, par eemple, es une foncion implicie des aures. EXEMPLE y ( + ) y = défini = ϕ (, y) = sur le domaine R. + Par eension, on parle encore de foncion implicie lorsque vérifian F(, y, )= n es pas unique, la foncion implicie possède alors plusieurs déerminaions. Si F adme des dérivées parielles par rappor à, y e, on peu démonrer que, sauf en des poins ecepionnels, =ϕ(, y) adme des dérivées parielles. Envisageons deu cas: Cas : =ϕ() définie par F(, )=. d où F F df = = d + d F d F =, si. d F Cas : =ϕ(, y) définie par F(, y, )= F F F df = = d + dy + d y d F = d F F F y F d = d dy, si F F, si F.
F F y d = d dy, si F F F Comme d d dy si F = + y y = F = F F F y. Eremums des foncions numériques de deu variables.. Eremum local Soi f une foncion définie dans un ensemble ouver U de R. f : U. On di que f adme un maimum local en P si e seulemen si : r >, X U I B( P, r) f ( X) f ( P) Auremen di qu il eise un voisinage de P el que f ( ) voisinage. R P es un maimum dans ce. -. - -. On di que f adme un minimum local en P si e seulemen si : r >, X U I B( P, r) f ( P) f ( X) Auremen di qu il eise un voisinage de P el que f ( ) voisinage. P es un minimum dans ce 3. On di que f adme un eremum local en P si e seulemen si f adme un maimum local ou un minimum local en ce poin.
Similiude avec une foncion à une variable : M.5-4 6 8 -.5 P - Figure.. Poins criiques Soi f une foncion différeniable définie dans un ensemble ouver U. Soi P un poin de U. Si oues les dérivées parielles de f son nulles au poin P, nous disons que P es un poin criique de f. Pour une foncion de deu variables le poin (, ) si e seulemen si : Théorème f ( y ) = e ( ), o f, y y o = P y es un poin criique de f Soi f une différeniable définie dans un ensemble ouver U de R. Soi P un poin où f aein un maimum local (respecivemen un minimum local). Alors P es un poin criique de f. EN EFFET La démonsraion es idenique à celle d une foncion d une variable. Considérons un veceur non nul H e une valeur de, choisi de façon que P+ H soi oujours dans U. Comme f ( P ) es un maimum on a : f ( P+ H) f ( P) La foncion d une variable g( ) = f ( P+ H) adme un maimum local au poin =, ces-à-dire g ( ) = Or : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Pour = : g ( ) = gradf ( P). H = g = f P + H = gradf P + H P + H = gradf P + H H Cee égalié es vraie pour ou H donc : ( f P, fy P ) = (,) gradf ( P ) = ( ) ( ) P es un poin criique de la foncion f.
- - - - - - Figure Comme pour une foncion à une variable un poin criique peu êre un maimum local, un minimum local ou bien un poin d infleion. Voici une schémaisaion de ces rois cas. Figure 3 Voici pour une foncion de deu variables rois cas de poins criiques :.5 -.5 - -.5 5.5 Figure 4 Par 3. Plan angen 3.. Définiion dune surface Soi f une foncion différeniable définie dans un ensemble ouver U de R 3. Soi k un nombre. Lensemble des poins X el que : F ( X ) = k avec gradf ( X ) es appelé surface.
EXEMPLE (,, ) = + + F y y F(, y, ) =, es une surface une sphère cenrée à l origine de rayon. 3.. Propriéé Soi S une surface définie sur U par: F ( X ) = k avec gradf ( X ) Le veceur gradf ( X ) es perpendiculaire à oues les courbes de la surface passan par le poin F(X). Il es di veceur normal à la surface S. En effe: Soi C() une courbe apparenan à la surface S, ces-à-dire ( ()) F C = k e soi un poin P=C( ) de cee courbe. Dérivons par rappor à : ( ()) () ( ) ( ) ( ) ( ) F C = gradf C. C = k gradf P. C = Comme C( ) es la direcion du veceur angen à la courbe C() au poin P nous déduisons quen ce poin le veceur gradf(p) es normal à la courbe C(). Il en es ainsi de oues les courbes passan par P e apparenan à la surface S. GradF(P) es donc normal à la surface en ce poin.
EXEMPLE Soi S la surface définie par : F y y e soi P,, (,, ) = + + = un poin de la surface. Considérons les deu courbes C() es l inersecion de la surface S avec le plan y =. o Ecrire l équaion de cee courbe o Vérifier que P es un poin de C. o Trouver la direcion de la angene à cee courbe au poin P Mêmes quesions pour γ ( ) inersecion de la surface S avec le plan y =-. SOLUTION C( ) = (,, ) e γ ( ) = (,, + ) -.5 -.5 P.5 - -.5.5 y Figure 5 C ( ) représene la direcion à angene à la courbe C e par conséquence à la surface S au poin P,, Or : C( ) =,, C = (,, ) De même γ ( ) représene la angene à la courbe γ e par conséquence à la surface S au poin P. + γ ( ) =,, γ (,,) = +
La normale à ces deu angenes es donnée par : N ( ) = C( ) γ ( ) = (,,) Or gradf ( X ) = (, y, ) gradf( ) = (,, ) gradf( ) = N( ) Ceci prouve que le veceur gradf ( ) e le veceur N ( ) son colinéaires. On voi bien que le veceur gradf( ) es le veceur normal à la surface au poin P. EXEMPLE 3 Ecrire l équaion de la angene à la courbe y+ y = au poin P=(, ) e définir un veceur normal à cee courbe en ce poin. Posons ( ) 3.5.5.5-6 -4-4 6 Figure 6 3 f, y = y+ y. Une normale à cee courbe es définie par : (, ) = (, + 3 ) gradf y y y Au poin P : gradf ( P ) = ( 4,3) Soi X le poin couran de la angene. Comme P es aussi un poin de la angene, le veceur poré par la angene es donné par X-P. Ainsi le produi scalaire de la normale à la courbe avec ce veceur es nulle. L équaion carésienne de la angene à la courbe au poin P es alors par : = (, ).( 4,3) ( 4,3 ).(, ) XN. NP. y = 4 + 3y = 3 3.3. Définiion dun plan angen 3 Soi S une surface définie sur U R par : F (X) = k avec gradf(x). Le plan P, y, es par définiion le plan angen à la surface S en un poin ( ) P P P passan par P e admean gradf (P) comme veceur normal.
Figure 7 EXEMPLE 3 Ecrire l équaion du plan angen à la surface P= (,, 5) SOLUTION Posons ( ) par : = + y au poin f y,, = + y. La normale à cee surface es donnée (,, ) = (,, ) gradf ( P ) = (,4, ) gradf y y L équaion du plan angen à la surface au poin P es donné par : XN. NP. = ( y,, ).(,4, ) = (,4, ).(,,5) + 4y = 5 6 4 - - Figure 8
EXEMPLE 4 Trouver l équaion paramérique de la angene à la courbe d inersecion des deu surfaces suivanes : S : + y + = 6 e S : 3 y + = au poin P=(,,) - - Figure 9 y - SOLUTION 3 Posons f (, y, ) = + y + 6 e ( ) MÉTHODE g, y, = y + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n = gradf, y, =, y, gradf P =,,4 =,, ( ) ( ) ( ) ( ) n = gradg, y, = 3, y, gradf P = 3,, Le veceur poré par la angene au deu courbes es donné par : i j k ( ) u = n n = =,, 3 L équaion de la angene es alors : () = + () = (,, ) + (,, ) = ( +, +, ) M P u M MÉTHODE Equaion du plan angen à la surface S au poin P : (,, ).(,, ) (,, ).(,, ) y = + y+ = 6 Equaion du plan angen à la surface S au poin P : (,, ).( 3,,) ( 3,, ).(,, ) y = 3 y+ = 3 L inersecion des deu plans es la angene au deu surfaces e passan par P. S I S + y+ = 6 4y+ y = y = + = 3 dansle plan = y
Remarque () ( ) S I S X =,,3 ( ) (,,3) ( ) (,,3) (,, ) (,,3 ) () = X () M = M = + = M 4. Dérivée direcionnelle 4.. Définiion Soi f une foncion différeniable de A R dans R e u un veceur uniaire de U. On appelle dérivée de f au poin P dans la direcion du veceur u, la limie au poin =, si elle eise du rappor suivan: D f ( P) u f(p + u) f(p) lim = La noaion f ( ) u P es aussi adopée. F éan différeniable au poin P, on a : f ( P+ u) f ( P) = gradf ( P) u+ u g( u) ( ) ( ) ( ) f P + u f P gradf P. u + u g( u) lim = lim = gradf ( P). u D f P = gradf P u Donc ( ) ( ) u 4... Inerpréaion géomérique Soi f une foncion numérique différeniable définie dans un ensemble ouver A R définissan une surface S. Soi P (u, v) un poin e u(a, b) un veceur uniaire du même ouver A. La droie passan par P e parallèle au veceur u, a pour équaion: X ()=P+ u.. f P+ u es la courbe inersecion de la surface avec le plan P+u. La pene de ( ) la angene à cee courbe au poin f(p) es donné par ( ) Or n f P. ( ) ( ) ( ) ( ) f P + u = gradf P + u P + u = gradf P + u u Pour = : ( ) ( ) f P = gradf P u La pene de cee angene es donc confondue avec la dérivée direcionnelle de f au poin P dans la direcion de u. La direcion de cee angene es donc donnée par :, y, D f ( P ) ( u u u )
- - y Courbe fhp+ - - P+A Figure 8 u, y u,d u fhpl< y D u fhpl u
. EXEMPLE 3 Soi = f (, y) = + y e soi (, ) v = Calculer la dérivée de f dans la direcion de v au poin P(-,3) SOLUTION f y, = + y Posons ( ) 3 v n éan pas un veceur uniaire considérons le veceur v u = = (, ) v 5 (, ) = (,3 ) ( ) = (,7) gradf y y gradf P 5 = = = 5 5 D f ( P) gradf ( P. u) (,7 ). (,) u la direcion de la angene au poin (,, ) (,3,8) y = à la surface P P P 3 = + y dans la direcion de u es donnée par : 5,, =,, 5 5 5 ( u yu Du f ( P) ) 4.. Maimum de la dérivée direcionnelle Nous savons que pour un veceur uniaire u : u ( ) = ( ). D f P gradf P u = ces-à- Noons θ l angle que fai le veceur gradf ( P ) avec le veceur u. Alors : Du f ( P) = gradf ( P). u cos( θ ) = gradf ( P) cos( θ ) Puisque le maimum de cos( θ ) es aein lorsque cos( θ ) = e puisque gradf ( P ) es une consane posiive, le maimum de Du f ( P ) es aein lorsque cos( θ ) dire lorsque le veceur uniaire u es dans la direcion du gradf ( P ). EXEMPLE Dans l eemple précéden u doi êre : ( P) ( P) gradf u = = gradf 733 (,7) Le maimum de Du f ( P ) es alors gradf ( P ) = 733
3. EXEMPLE 3 Ecrire l équaion de la angene à la surface de =, 5 5 ( P P ) A au poin,, ( ) SOLUTION ( P, yp, f ( P )) = (,4,) La pene de la angene es : MÉTHODE P + A = +,4 + 5 5 f ( P + A) = + 5 = + y dans la direcion y f P avec P = (,4) + 4 + 5 8 f ( P + A) = + + 5 5 8 f ( P) = 5 MÉTHODE gradf ( X ) = (,) gradf ( P) = ( 4,) 4 4 8 D A f ( P) = gradf ( P). A = + = 5 5 5 DIRECTION DE LA TANGENTE 8 f ( P + A) = + 5 5 8 u = ( A, ya, DAf ( P) ) =,, 5 5 5 EQUATION DE LA TANGENTE Léquaion de la angene à la surface au poin ( P, yp, P) dans la direcion A, es léquaion de la droie passan par le poin (,, ) parallèle au veceur u : X () () (,, ) X = y + u P P P 8 X () = (,4,) +,, 5 5 5 8 = +,4 +,+ 5 5 5 y e P P P
4. EXEMPLE 4 Ecrire l équaion de la angene à la surface f ( y, ) = = + ydans la direcion de =, ( P P ) A au poin,, ( ) PENTE DE LA TANGENTE y f P avec P = (, ) gradf ( X ) = (,y) gradf ( P) = (,) gradf ( P). A = DIRECTION DE LA TANGENTE u = ( A, ya, DAf ( P) ) =,, EQUATION DE LA TANGENTE La angene es la droie passan par le poin (,, ) y e parallèle au P P P veceur : X () = ( P, yp, P) + u X () = (,, ) +,, X () =,, HP,yP,fHPLL P Figure
5. EXEMPLE 5 Soi i = e = (, ) e j = e = (,). Soi P=(a,b) Calculer D f ( P ) e D f ( P ) SOLUTION Or De même : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D f P = gradf P., = f P, f P., = f P i y ( + ) ( ) ( +, ) (, ) f P i f P f a b f a b f ( P) = lim = lim = Di f P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D f P = gradf P., = f P, f P.,= f P j y y ( + ) ( ) (, + ) (, ) f P j f P f a b f a b f y ( P) = lim = lim = Dj f P i j ( ) ( )
6. EXEMPLE 6 Soi la foncion f : veceur u = (, ) Calculer D u f (P) SOLUTION PREMIÈRE MÉTHODE P + u = (,) + (,) = ( +, + = f (, y) = 4 y e soi le poin P (,) e le ) y gradf ((, y) = (, ) gradf ( P) = (, ) 4 y 4 y Du f ( P) = gradf ( P) u = (,) (,) = (+ ) = DEUXIÈME MÉTHODE Le plan passan par la droie P + u e parallèle à l ae des a pour équaion y=. La courbe d inersecion de ce plan avec l hémisphère es donnée par: TANGENTE C ( ) = f ( P + u) = 4 ( + ) ( + ) C( ) = C () = Du f ( P) = = 4 ( + ) Léquaion de la angene à la surface au poin ( P, P, P) es léquaion de la droie passan par le poin (,, ) veceur : u =,, = (,, ) + () X y u P P P () y dans la direcion u, y e parallèle au P P P X = (,, ) +,, X = (,, ) +,, X = + + (),,
7. EXEMPLE 7 Soi la foncion définie par f (, y) = + y C es une surface de révoluion auour de l ae car = f (r) Soi le poin P (,) e le veceur u = (,) Calculer D u f (P) 5 SOLUTION PREMIÈRE MÉTHODE P + u = (,) + (,) = ( +, + ) ; 5 5 5 gradf ((, y) = (,y) gradf ( P) = (,) D u f ( P) = gradf ( P) u = (,) (,) = (4 + ) = 5 5 6 5 DEUXIÈME MÉTHODE Le plan passan par la droie P + u e l ae des a donc pour équaion y=. Ce plan coupe l hémisphère en : TANGENTE C ( ) = f ( P + u) = + + + 5 5 6 C ( ) = + 5 C () Du = f ( P) = Posons P = f (P) 6 u =,, 5 5 5 () 6 5 c.à d. ( ) (,, ) 6 X = (,, ) +,, 5 5 5 X () 6 = +, +,+ 5 5 5 X = y + u P P P
5. Supplémen de echnique de dérivaion Considérons le cas d une foncion à deu variables u e v où u e v dépend chacune de deu variables e y. u= u(, y) e v= v(, y) f (, y) = F[ u(, y), v(, y)] En appliquan successivemen la règle de dérivaion en fian puis en fian y on obien: f F u F v = + u v f F u F v = + y u y v y Voici l écriure maricielle de ce résula: f u v F u = f u v F y y y v où la marice u v u v = u v uy v y y y es die marice jacobienne de u e v par rappor à e y.