Fonctions derdnsrde PCSI I- Limites et reltion d ordre Théorème : toute onction dmettnt une limite strictement positive en un point (inie ou non) est minorée, u voisinge de ce point, pr un réel strictement positi. Théorème :soit et g deux onctions ynt le même ensemle de déinition D, de limites respectives l et l en (l,l,) R 3. Si g sur D\{}, lors l l. Attention! Les inéglités strictes ne pssent ps à l limite. Théorème :soit,g,h trois onctions déinies sur un même ensemle de déinition D telles que : g h sur D, un élément derdhérent à D et l un réel. )Si lim = lim h =l, lors g dmet l limite l en (théorème d encdrement). )Si lim = +, lors lim g = +. c)si lim h =, lors lim g =. Théorème : limite d une onction monotone. Soit et deux éléments der, < et I = ],[. )Si est croissnte sur I, lors dmet une limite dnsren et en. (i)si est mjorée, lors lim = sup ( R), sinon lim = +. I (ii)si est minorée, lors lim = in I ( R), sinon lim =. )Si est décroissnte sur I, lors dmet une limite dnsren et en. (i)si est mjorée, lors lim = sup ( R), sinon lim = +. I (ii)si est minorée, lors lim = in I ( R), sinon lim =. II- Opértions lgériques sur les limites Dns le tleu suivnt, et g sont deux onctions à vleurs dnsr, déinies sur l même prtie D de R, est un point derdhérent à D. Si lim (resp. lim g) existe, on l noter l (resp. l ). Fonction Hypothèses sur et g Conclusion +g l et l existent et sont réelles lim( +g) =l +l +g minorée u voisinge de, l existe et vut + lim ( +g) = + +g mjorée u voisinge de, l existe et vut lim ( +g) = λ λ R une limite inie l lim (λ) =λl g l et l existent et sont réelles lim (g) =ll g minorée pr α>0 u voisinge de, l existe et vut + lim (g) = + g 1 1 mjorée pr β < 0 u voisinge de, l existe et vut + lim(g) = à vleurs dnsr 1 l existe, l= 0 lim = 1 (1) l à vleurs dnsr + (resp;r 1 ) l existe, l = 0 lim = + (resp; ) (1) vec l convention 1 + = 1 = 0.
Fonctions derdnsrde PCSI Pge 2 III- Continuité 1) Déinitions désigne une onction derdnsrdéinie sur une prtie D der. Déinition :soit D. On dit que est continue en si et seulement si dmet une limite en. Dns ce cs, lim =() et ε>0 η> 0 x D x η (x) () ε. Déinition :on dit que est continue à droite (resp. à guche) en si et seulement si l restriction de à D [,+ [ (resp. à D ],]) est continue en. ε> 0 η > 0 x D 0 x η (x) () ε resp. ε> 0 η > 0 x D η x 0 (x) () ε Théorème : est continue en est continue à droite et à guche en. Déinition : continuité sur un ensemle Soit E une prtie de D. On dit que est continue sur E si et seulement si l restriction de à E est continue en chque point de E. Déinition : continuité uniorme (hors progrmme) On dit que est uniormément continue sur D si et seulement si ε>0 η > 0 (x,y) D 2 y x η (x) (y) ε (l continuité uniorme implique l continuité en toutdedvecη indépendnt de ). 2) Opértions sur les onctions continues Théorème :1) Si et g sont deux onctions continues sur un intervlle I, lors +g, λ (λ R) et g sont continues sur I. L ensemlec 0 (I,R) des onctions continues de I dnsrest uner-lgère. Si, de plus, g ne s nnule ps sur I, lors 1 g et sont continues sur I. g 2) Si est continue sur I, à vleurs dns un intervlle J et g continue sur J, lors g est continue sur I. Théorème :1) Si est continue sur l intervlle I, lors l restriction de à tout intervlle J inclus dns I est continue sur J. 2) Si est continue sur [,] et sur [,c], lors l est ussi sur [,c]. Soient :I R, + :x mx 0, (x) et :x mx 0, (x). On : = + et = + +. Théorème :si est continue sur l intervlle I, lors +, et sont continues sur I. 3) Théorème des vleurs intermédiires Théorème : l imge d un intervlle I pr une onction continue sur I est un intervlle. Attention! En générl,(i) n est ps de même nture topologique quei (c. sin(]0,+ [) = [ 1,1]). Conséquences : 1) Si est continue sur [,], lors prend toute vleur comprise entre () et (). 2) Si est continue sur [,] et() ()<0, lors l éqution (x) = 0 dmet u moins une solution dns [,].
Fonctions derdnsrde PCSI Pge 3 4) Continuité sur un segment Théorème : l imge d un segment pr une onction continue est un segment. Une onction réelle continue sur un segment est ornée et tteint ses ornes. 5) Fonctions continues strictement monotones sur un intervlle Théorème :soit I un intervlle de R d extrémités et, (,) R 2 et une onction continue strictement monotone sur I. ) dmet, dnsr, une limite en et une limite en. ) (I) est un intervlle de même nture topologique (ouvert, ermé, semi-ouvert) que I d extrémités lim et lim. c) est ijective de I sur (I). d) 1 est continue strictement monotone de même sens que sur (I). Attention! I peut être orné et (I) non orné (c. tn(] π/2,π/2[) =R). IV- Dérivilité Les onctions étudiées dns ce prgrphe sont déinies sur un intervlle I (non réduit à un point) de R et à vleurs dnsr. 1) Déinitions Déinition :soit un point de I, on dit que est dérivle en si et seulement si l onction ( +h) () h, h déinie sur I\{}, dmet une limite inie en 0. Cette limite est lors ppelée nomre dérivé de en et est notée (). Nottions: () est ussi noté D () ou d dx (). Déinition :soit un point de I tel que I = I [,+ [ (resp. I =I ],]) ne soit ps réduit u point. On dit que est dérivle à droite (resp. à guche) en si et seulement si l restriction de à I (resp. à I ) est dérivle en. Si elle existe, une telle dérivée s ppelledérivée à droite (resp. à guche) de en et est notée d () (resp. g ()). Déinition :soit J un intervlle inclus dns I. On dit que est dérivle sur J si, et seulement si, l restriction de à J est dérivle en tout point de J. Dns ce cs, :J R,x (x) est ppelée ppliction dérivée de sur J. L ppliction est ussi notée D ou d dx. Théorème : est dérivle en si et seulement si dmet le développement limité à l ordre 1 : ( +h) = h 0 () +h. () +o(h) Corollire: toute onction dérivle en (resp. sur J) est continue en (resp. sur J). Attention! L réciproque est usse (c. x x ). Déinition :on dit que est de clsse C 1 sur I si et seulement si est dérivle sur I et l onction dérivée est continue sur I. Attention! On peut voir dérivle et non continue (c. x x 2 sin 1 x ).
Fonctions derdnsrde PCSI Pge 4 2) Opértions sur les onctions dérivles ) Linérité de l dérivtion Soit (,g) (D(I,R)) 2 et λ R. Les onctions +g et λ. sont dérivles sur I et : ( +g) = +g, (λ.) =λ.. L ensemle D(I,R) des onctions dérivles sur I à vleurs dns R est un R-espce vectoriel et l dérivtion est linéire ded(i,r) dnsf (R,R). C 1 (I,R) est unr-espce vectoriel. ) Dérivtion d une onction composée Soit J un intervlle der. Si ϕ D(J,R), D(I,R) et si ϕ(j) I, lors ϕ est dérivle sur J et ( ϕ) =ϕ. ϕ. Si ϕ C 1 (J,R), C 1 (I,R) et si ϕ(j) I, lors ϕ C 1 (J,R). c) Dérivtion d un produit, d un quotient Soit (,g) (D(I,R)) 2 : ( g) = g + g et, si g ne s nnule ps, = 1 g g + = g g g g 2 d) Dérivtion d une ijection réciproque Si est une ijection continue et strictement monotone de I sur J =(I), dérivle en I tel que ()= 0, lors s ijection réciproque 1 est dérivle en =(), vec 1 1 () = () = 1 1 (). Si () = 0, le grphe de 1 dmet en une (demi-)tngente prllèle à Oy. Si est dérivle sur I et si ne s nnule ps sur I, lors 1 est dérivle sur J vec 1 = 1 1. 3) Accroissements inis Applictions ) Extremums locux d une onction dérivle Théorème :si dérivle sur I dmet en intérieur à I un extremum locl, lors () = 0. Attention! Peut être ux en une extrémité de I!! ) Théorème de Rolle Si est continue de [,] dnsr, dérivle sur ],[ et si () =(), lors c) Théorème des ccroissements inis c ],[ (c) = 0. Si est continue de [,] dnsr, dérivle sur ],[, lors c ],[ () () = ( ) (c). Autrement dit, l tngente u grphe de u point d scisse c est prllèle à l corde joignnt les points d scisses et. d) Inéglités des ccroissements inis 1) Si <, continue de [,] dns R, dérivle sur ],[ et si m,m sont deux réels tels que m M, lors m ( ) () () M ( ) 2) Si,g sont continues de [,] dnsr, dérivles sur ],[ et si g, lors () () g () g()
Fonctions derdnsrde PCSI Pge 5 Corollire: soit une ppliction continue de I dnsr, dérivle en tout point intérieur à I. 1) est k-lipschitzienne sur I si et seulement si k. 2) est constnte sur I si et seulement si est nulle en tout point intérieur à I. 3) est croissnte sur I si et seulement si 0 en tout point intérieur à I. 4) est décroissnte sur I si et seulement si 0 en tout point intérieur à I. 5) est strictement monotone sur I si et seulement si ne chnge ps de signe et n est identiquement nulle sur ucun intervlle non trivil. e) Théorème de l limite de l dérivée Si estcontinuesuri, dérivle suri\{}, et si (x)tend versl(réelou inini) lorsquextend vers, (x) () lors tendversllorsquextend vers. Silestréel, lors estdérivle enet () =l. x 4) Fonctions de clsse C k ) Dérivées successives Déinition :on déinit pr récurrence les dérivées successives de : (0) = et, pour k N, on dit que est k ois dérivle si (k 1) est dérivle sur I et on note (k) = (k 1). On désigne prd k (I,R) l ensemle des onctions k ois dérivles sur I. Nottions: (k) =D k () = dk dx k. Déinition :)Soit k N ; on dit que est de clsse C k sur I si et seulement si est k ois dérivle sur I et (k) continue sur I. ) estditedeclssec sietseulementsielleestindéinimentdérivlesuri (utrement dit k ois dérivle pour tout k dnsn). Nottions: C 0 (I,R) : ensemle des onctions continues sur I à vleurs dnsr. C k (I,R) : ensemle des onctions de clssec k sur I à vleurs dnsr. C (I,R) : ensemle des onctions de clssec sur I à vleurs dnsr. ) Formule de Leiniz Opértions sur les onctions de clsse C k Théorème :soit k N, et g deux onctions de I dnsret λ R. si et g sont k ois dérivles sur I, lors λ. +g est k ois dérivle sur I et : (λ. +g) (k) =λ. (k) +g (k). C k (I,R) etc (I,R) sont des sous-espces vectoriels dec 0 (I,R). Théorème : ormule de Leiniz Soit k N, :I R et g :I R. Si et g sont k ois dérivles sur I, lors g est k ois dérivle sur I et k ( g) (k) k = (k j).g (j). j Théorème :composée de onctions de clsse C k Soit k N {+ } et J un intervlle der. Si ϕ C k (J,R), C k (I,R) et ϕ(j) I, lors ϕ C k (J,R). j=0 Théorème :ijection réciproque d une ijection de clsse C k Soit I un intervlle der,k N, C k (I,R), strictement monotone sur I. 1 est de clssec k sur (I) si et seulement si ne s nnule ps sur I (on prle lors dec k -diéomorphisme).
Fonctions derdnsrde PCSI Pge 6 V- Anlyse symptotique 1) Reltions de comprison Soient et g deux onctions, déinies u voisinge de (réel ou inini). On suppose que g ne s nnule ps sur un voisinge de (éventuellement privé de!), de sorte que le quotient /g est déini u voisinge de. 1) On dit que est dominée pr g u voisinge de et l on écrit = O(g) ou(x) = x O g (x) (lire grnd O ) si et seulement si /g est orné u voisinge de. 2) On dit que est négligele devnt g u voisinge de et l on écrit = o(g) ou (x) = x o g (x) (lire petit O ) si et seulement si /g pour limite 0 en. 3) On dit que est équivlente à g u voisinge de et l on écrit g ou (x) x g (x) si et seulement si/g pour limite 1 en(l reltion est équivlente à est une reltion d équivlence). Exemple : si (x) = 7x 3 + 2x 2 + 1, on (x) = O x 3 ; (x) = o x 4 ; (x) x ± x ± x ± 7x3 L usge est d employer dns les O et les o des onctions de réérence les plus simples possiles et de n écrire comme équivlent que l prtie principle : tout terme supplémentire, négligele devnt l prtie principle, est inutile et risque de prêter à conusion. Avec l exemple ci-dessus, on n écrit ps (x) x ± 7x3 +x lors que c est vri... Si l on veut préciser l écrt entre deux onctions équivlentes, on essie de trouver un équivlent de l diérence : (x) 7x 3 x ± 2x2 et l on peut itérer... NB : g équivut à g = o(g) mis ps à lim( g) = 0! 2) Propriétés des équivlents 1) Si 1 g 1 et 2 g 2, lors 1 2 g 1 g 2 2) Si g et n N, lors n g n (n exposnt constnt) 3) Si g, vec,g à vleurs dnsr + et α R, lors α g α (α exposnt constnt) 4) Si g et,g à vleurs s dnsr +, dmettnt en une limite diérente de 1, lors ln lgn. 5) e e g si et seulement si lim ( g) = 0. Attention! lim( g) = 0 n est ps équivlent à g (les deux implictions sont usses)! Sustitution : si (x) g(x) et limϕ(t) =, lors ϕ(t) g ϕ(t) x t t Exemple : lnx x 1, donc, si limϕ(t) = 1, lors lnϕ(t) ϕ(t) 1 (c. prop. 4 ci-dessus). x 1 t t Attention ux cominisons linéires d équivlents! Si les coeicients de l cominison ont que les prties principles s nnulent, on esoin de développements limités plus précis pour otenir un équivlent de ldite cominison. Exemple : trouver l prtie principle de xcosx sinx u voisinge de 0. 3) Propriétés conservées pr équivlence Lorsque g : si g est de signe constnt u voisinge de, lors est du même signe que g u voisinge de si g dmet une limite en, lors dmet l même limite en. Mis le sens de vrition n est ps conservé! Pr exemple x + 2sinx x...
Fonctions derdnsrde PCSI Pge 7 VI- Intégrle d une onction continue sur un segment Dns toute cette section, et sont deux réels et I un intervlle der. 1) Déinition et premières propriétés Lorsque <, pour C 0 ([,],R), on déinit, pr exemple grâce à l pproximtion à ε près pr des onctions en esclier, l intégrle de sur [, ], notée, ou encore (t)dt, qui vériie les propriétés suivntes. ) Intégrle d une constnte Si C est une constnte réelle, ) Reltion de Chsles C = ( )C. Déinition :si est continue sur un intervlle I et si c et d sont deux éléments de I tels que c d, on d c c pose = = (cr [c,d] = [d,c]...) ; en prticulier = 0. c d [c,d] Propriété : reltion de Chsles Si,,c sont trois points d un intervlle I der, et C 0 (I,F), lors c = c) Linérité pr rpport à l onction L ppliction : C 0 ([,],R) R, + [,] est linéire : (,g) C 0 ([,],R) 2, λ R, d) Positivité, croissnce Soit (,g) C 0 ([,],R) 2. 1) Positivité : si 0 sur [,] et, lors 0. 2) Croissnce de l intégrle : si g sur [,] et, lors 3) Inéglité de l moyenne : Attention! Si >, [,] = [,]. c. (λ. +g) =λ sup. [,] 4) Si est de signe constnt, continue et d intégrle nulle sur [,], lors est nulle sur [,]. Déinition :si = et C 0 1 ([,],R), est l vleur moyenne de sur [,] (c est l vleur de l ppliction constnte ynt même intégrle que sur [, ]). Propriété : extension de l inéglité de l moyenne Si (,g) C 0 ([,],R) 2, lors :.g [,] sup g. [,] [,] g. + c g.
Fonctions derdnsrde PCSI Pge 8 2) Sommes de Riemnn Déinition :soitσ n = ( i ) 0 i n unesudivisionde [,]àpsconstnt: k [0,n] k =+k n ; pour : [,] R, on ppelle somme de Riemnn ssociée à et σ n toute somme de l orme : n R(,σ n ) = ( k k 1 ). (c k ) = n n (c k ) où k N n c k [ k 1, k ]. k=1 k=1 Théorème :si est continue sur [,], lors lim n R(,σ n) = Cs prticuliers : vec k N n c k = k 1, on otient n 1 n vec k N n c k = k, on otient n 3) Dérivtion et intégrtion k=0. +k n n +k n k=1 ) Primitives d une onction continue n n Déinition :soient C 0 (I,F)etg :I R;gestuneprimitivede sietseulementsig estdérivle sur I, vec g = (donc g estc 1 sur I). Propriété : si dmet une primitive g 0 sur I, lors : Théorème ondmentl l ensemle des primitives de sur I est{g 0 +C, C R} ; pour tout (,) I R, il existe une unique primitive g de sur I telle que g() =. Soient C 0 (I,R) et I ; dmet des primitives sur I et l unique primitive de sur I qui s nnule en est l ppliction Pour toute primitive h de sur I, on : g :x x (t)dt. (,) I 2 (t)dt =h() h() encore noté h(t). Corollire: si est de clssec 1 sur I, lors I x I (x) =() + (t)dt. d x NB : pour continue sur I, on en prticulier, pour ixé dns I, (t)dt = (x) et, dx si u et v sont deux onctions dérivles à vleurs dns I, d v(x) (t)dt =v (x). [v (x)] u (x). [u(x)]. dx u(x) ) Intégrtion pr prties Soient u :I R, v :I R, de clssec 1 sur I. Alors x (,) I 2 u (t).v(t)dt = [u(t).v(t)] u(t).v (t)dt Exercice : on en déduit pr récurrence l ormule d intégrtion pr prties itérée ; si u et v sont de clssec k+1, lors k (n) (,) I 2 u (k+1).v = n=0( 1) n u (k n).v + ( 1) k+1. u.v (k+1)..
Fonctions derdnsrde PCSI Pge 9 c) Chngement de vrile Théorème :soient C 0 (I,R) et ϕ C 1 ([α,β],r) telle que ϕ([α,β]) I. Alors ϕ(β) ϕ(α) (x)dx = β α ϕ (t). [ϕ(t)]dt NB : ce résultt est souvent utilisé vec ϕ ijective (strictement monotone) pour trnsormer Applictions (x)dx (en posnt x =ϕ(t), α =ϕ 1 () et β =ϕ 1 ()). Soit continue pr morceux sur [,] : si est pire, = 2. Soit continue pr morceux surr, T-périodique : (,) R 2 = 0 +T ; si est impire, +T et +T = +T = 0. Chngements de vriles usuels pour les clculs de primitives (c. poly spéciique). d) Formules de Tylor Formule de Tylor vec reste intégrl : soient de clssec k+1 sur I et I. On et, en posnt t = +u.(x ) R k (x) = x I (x) =T k (x) +R k (x) où T k (x) = x (x t) k k! (k+1) (t)dt = (x )k+1 k! Dém. Récurrence sur k + intégrtion pr prties... 1 0 k (x ) n (n) () n! n=0 (1 u) k (k+1) +u.(x ) du Inéglité de Tylor-Lgrnge : si est de clssec k+1 sur I, lors (,x) I 2 (x) T k (x) = R k (x) x k+1 (k + 1)! sup (k+1). [,x] NB : les deux résultts précédents ont un crctère glol, tndis que les deux suivnts donnent un renseignement locl. Primitivtion d un développement limité : soient ϕ continue sur I, I ; si ϕ dmet un DL k en, ϕ(x) =C 0 + (x ).C 1 + + (x ) k.c k +o (x ) k lors Φ :x x ϕ(t)dt dmet le DL k+1 en suivnt : Φ(x) = (x ).C 0 + (x )2 2 C 1 + + (x )k+1 k + 1 C k +o (x ) k+1 Corollire: si est de clssec 1 sur I, I et dmet un DL k en, (x) =C 0 + (x ).C 1 + + (x ) k.c k +o (x ) k lors dmet le DL k+1 en suivnt : (x) =() + (x ).C 0 + (x )2 2 C 1 + + (x )k+1 k + 1 C k +o (x ) k+1
Fonctions derdnsrde PCSI Pge 10 Attention! Si l on connît le DL k+1 de et si l on sit que dmet un DL k lors ce dernier s otient pr dérivtion terme à terme de celui de, mis pr exemple :x x 3 sin 1 x 2 (prolongée pr(0) = 0) dmetle DL 2 en 0 : (x) =o x 2 tndis que n dmet ps de DL 1 en 0 (elle n est même ps continue!). Formule de Tylor-Young : si est de clssec k sur I et I, lors dmet le DL k en suivnt : (x) =T k (x)+o (x ) k =()+(x ). ()+ (x )2 ()+ + (x )k (k) ()+o (x ) k. 2! k! Exemples: les développements limités usuels, y compris ceux qui s otiennent pr intégrtion(ln(1 + x), rctn x, rcsin x, etc.)