S Fonctions polynômes et secon egré I Fonctions polynômes Définition Une fonction f est une fonction polynôme (ou plus simplement un polynôme) si : () Elle est éfinie sur R () Elle met une écriture e l forme : f () n n + n n + + + où n est un entier nturel et,,, n sont es réel ppelés coefficients u polynôme Eemples Les fonctions constntes k sont les fonctions polynômes e egré Les fonctions ffines (non constntes) + vec sont es fonctions polynômes Prce que on peut les écrire vec coefficient irecteur et oronnée à l origine Les fonctions puissnces p (vec p entier nturel) sont es fonctions polynômes Les fonctions + ou + sont es fonctions polynômes En effet, l première s écrit vec L secone s écrit vec : Eercice Montrer que l fonction f éfinie pr f () est une fonction polynôme Théorème (mis) Si l fonction polynôme n n + n n + + + est l fonction nulle (c est-à-ire égle à pour tout réel), lors tous les coefficients sont nuls : n n Toute fonction polynôme non nulle f met une écriture unique e l forme f () n n + n n + + + vec n Eercice Si pour tout, + + + c +, que vlent,, c et? Définitions Soit f une fonction polynôme non nulle, ont l écriture (unique) est : f () n n + n n + + +, vec n L entier n est ppelé egré e f et on écrit n eg f n n est le terme e plus hut egré, est le terme e egré, est le terme e egré ou terme constnt Nous convienrons que le polynôme nul (ont tous les coefficients sont nuls) n ps e egré Eemple Les fonctions ffines (non nulles) sont les fonctions polynômes e egré ou (fonctions constntes) Conséquences Deu fonctions polynômes sont égles si et seulement si ils ont même egré et si tous les coefficients e même egré sont égu Définition Soit f une fonction polynôme non nulle Le réel α est une rcine (ou un zéro) e f si et seulement si f ( α ) Eemples L fonction polynôme eu rcines et cr et L fonction polynôme n ps e rcine cr pour tout Théorème (mis) L somme, l ifférence, le prouit e eu fonctions polynômes sont encore es polynômes L composée e eu polynômes est encore un polynôme Le prouit e eu polynômes non nuls est un polynôme ont le egré est l somme es egrés e ces polynômes
Eercice Soit P () + et Q () + Donner l écriture polynomile e f () P () Q () et g () Q ( + ) Q () Eercice Développer, réuire et oronner et II Polynômes u secon egré ) Forme éveloppée, forme cnonique Définition On ppelle polynôme u secon egré (ou trinôme u secon egré), une fonction P éfinie sur R e l forme P () + + c où,, c sont es nomres ( ) Cette epression est l forme éveloppée (ou réuite) u polynôme Eemple L fonction f () + est un polynôme u secon egré (vec,, c ) Propriété Toute fonction polynôme u secon egré peut s écrire sous l forme cnonique suivnte : P () ( ) + vec et P ( ) Motivtion Nous svons évelopper une epression (u secon egré) comme pr eemple, P () ( + ) ( + ) + + + + Mis le prolème est e svoir fctoriser L forme cnonique permettr e fctoriser Démonstrtion P () + + c c c c Autrement it, ns l propriété, et c Eercice Donner l forme cnonique e : P () + + et Q () + + et R () + ) Représenttion grphique et sens e vrition L coure une fonction polynôme u secon egré P () ( ) + est une prole e sommet S ( ; ) Si >, l prole est irigée vers le hut, si <, elle est irigée vers le s Si > Si < + + + P () + P () Eercice Trouver le sommet e l prole éfinie pr P () Fire le tleu e vrition e P, puis trcer l prole
III Équtions u secon egré Définition C est une éqution e l forme + + c où, et c es nomres Eercice On sit résoure certines équtions u secon egré : ) Résoure l éqution ) Résoure l éqution + c) Donner l forme cnonique e +, puis résoure + Étue u cs générl Il fut résoure l éqution + + c, soit ( ) +, soit c c, soit, soit en notnt c Il nous fut onc résoure l éqution Si >, lors eiste et l epression se fctorise vec l ientité A B (A + B) (A B) Comme un prouit est nul lorsque l un es fcteurs est nul, l éqution met eu solutions et Si, lors l éqution s écrit Ce crré est nul lorsque, c est-à-ire On une unique solution Si <, lors on oit résoure, soit, ucune solution cr un crré est toujours positif Théorème Pour résoure l éqution + + c ( ), on clcule son iscriminnt c Si >, lors l éqution met eu solutions et et sont ppelés les rcines u polynôme P () + + c Si, l éqution met une unique solution (ite rcine oule u polynôme P) Si <, l éqution n met ucune solution
Eercice ) Résoure les équtions + +, + + et + + ) Résoure les équtions et + Est-il nécessire utiliser le théorème?! Interpréttion grphique Les éventuelles rcines un polynôme P corresponent u scisses es points intersection e l coure C P vec l e es scisses Fire les trois figures en fonction u signe u iscriminnt Fire un tleu vec les si grphiques possiles en fonction u signe e et u signe e Théorème (somme et prouit es rcines) Lorsque le trinôme + + c met eu rcines istinctes ou confonues, leur somme S et leur prouit P sont onnées pr les reltions S et P c Démonstrtion Si les eu rcines sont confonues, lors S P et comme c lors c onc P c c Si les eu rcines sont istinctes et Alors S + Et P c c Eercice 9 On consière l éqution + Trouver une solution éviente Comien vut l somme et le prouit es solutions? En éuire l utre solution Théorème Deu réels ont pour somme S et pour prouit P si et seulement si ils sont solutions e l éqution S + P Démonstrtion En effet, si et vérifient + S et P, lors P (S ) + S Donc S + P Cel montre que est solution e S + P De même pour Réciproquement, si et sont solutions e S + P, lors près le théorème précéent, + S S et P P Eercice Trouver, s ils eistent, eu nomres ont l somme est et le prouit IV Fctoristion epressions u secon egré L fctoristion éventuelle épen u signe u iscriminnt Si >, lors P () ( ) ( ) où et sont les eu solutions e l éqution P () Si, lors P () ( ) où est l solution e l éqution P () Remrque P () est une ientité remrqule à un fcteur près Si <, lors P ne peut ps se fctoriser comme prouit e eu fcteurs u premier egré
Eercice Fctoriser les polynômes P () + +, Q () + + et R () + + V Inéqutions u secon egré Eercice ) Fctoriser + + ) A l ie un tleu e signe et e l forme fctorisée, résoure + + Remrque On peut procéer plus rpiement, l coure e P () + + est une prole irigée vers le hut et elle coupe eu fois l e es scisses (en et ), fire une figure Mettre en évience le signe e P () suivnt les vleurs e et l position e l prole pr rpport à l e es scisses Théorème (signe e + + c) Si >, lors + + c est u signe e à l etérieur es rcines et Si, lors + + c est u signe e (suf en l rcine où cel vut ) Si <, lors + + c est u signe e (pour tout R) Précisément, lorsque >, on le tleu : + f () signe e signe e signe e Eercice Résoure l inéqution + + en utilisnt le théorème
Nous pouvons résumer les résultts importnts e ce chpitre ns un tleu Discriminnt c < > Solution(s) e l éqution + + c Fctoristion e P () + + c > Position e l prole pr rpport à l e es scisses Signe e P () < Position e l prole pr rpport à l e es scisses Signe e P ()
S Fonctions polynômes et secon egré Correction es eercices Eercice Montrons que l fonction f éfinie pr f () est une fonction polynôme D or, comme + > pour tout R, lors f est éfinie sur R Puis f (), ce qui prouve que f est ien un polynôme Eercice Si pour tout, + + + c +, que vlent,, c et? Puisqu une fonction polynôme une écriture unique, lors,, c et Eercice Soit P () + et Q () + Donnons l écriture polynomile e f () P () Q () et g () Q ( + ) Q () f () P () Q () ( + ) ( + ) + + + + + + Q ( + ) Q () ( + ) + ( + ) + + + + + + Eercice Développons, réuisons et oronnons : Eercice P () ( + + ) ( + ) Q () ( ) + ( ) + + ( ) + Pour R (), R () +, R α R, y Donc R () α β Eercice P () On et P () Donc le sommet est S ( ; ) + + + P () o -
Eercice On sit résoure certines équtions u secon egré : ) Résolvons l éqution onc Donc, onc ou Donc ou S ; ) Résolvons l éqution + onc ( + ) onc ou + onc ou S ; c) + ( + ) On utilise ensuite l ientité remrqule A B pour fctoriser ( + ) équivut à ( + + ) ( + ) Un prouit est nul lorsque l un es fcteurs est nul : + + ou + Donc, il y eu solutions, + Cette méthoe peut se générliser Eercice ) Pour + + c L éqution met onc une unique solution (ou le polynôme une seule rcine) : Remrquons que les équtions + + et + + ont les mêmes solutions Pour + + c ( ) + > Deu solutions : S ; S {} et Remrque Il urit été plus juicieu e résoure l éqution qui les mêmes rcines Pour + + c 9 < Donc cette éqution n ps e solution S ) Pour l éqution Il n est ps nécessire utiliser le théorème ou Pour l éqution + Il n est ps nécessire utiliser le théorème + ( + ) ou + ou S ; S ; Eercice 9 On consière l éqution + est une solution éviente cr + + D près le théorème u cours, l somme es solutions est S Puisque et P, lors et le prouit P c Eercice Trouvons, s ils eistent, eu nomres ont l somme est et le prouit D près le théorème u cours, e tels nomres serient solutions e l éqution + On clcule son iscriminnt c ( ) > Il y onc eu solutions et Les nomres cherchés sont et
Eercice P () + + ( ) En effet, c Et l éqution + + met une unique solution Q () + + En effet, c ( ) + > et l éqution + + met eu solutions qui sont et R () + + ne se fctorise ps En effet, c 9 < et l éqution + + n ps e solution Eercice On veut résoure l inéqution u secon egré + + On clcule or le iscriminnt On clcule ensuite et et on fctorise + + ( + ) ( + ) On oit onc résoure l inéqution ( + ) ( + ) On fit un tleu e signe : + + + + + + + + + + + Donc S ] ; ] [ ; + [ Eercice On résout or l éqution + + c ( ) + > L éqution + + met eu solutions qui sont et + + + + Donc S ;
S Fonctions polynômes et secon egré Eercices Fonctions polynômes Eercice Prmi les fonctions suivntes, iniquer lesquelles sont es polynômes f () ( + ) ( ) g () h () i () sin sin + j () 9 k () Eercice Dns chcun es cs, iniquer si le nomre α est une rcine u polynôme P P () + et α P () + + + et α P () + et α P () ( ) ( + ) et α Eercice On consière le polynôme P éfini pr P () + Vérifier que est une rcine e ce polynôme On met ns ce cs, qu on peut mettre ( ) en fcteur ns P () Déterminer les réels,, c tels que P () ( ) ( + + c) Fctoriser P () Résoure P () et onner le signe e P () Eercice Déterminer un polynôme P e egré tel que P ( + ) P () Eercice Soit P un polynôme e egré On pose P () + + c + + e, où,, c, et e sont es nomres réels Schnt que : le terme constnt e P vut ; il n y ps e monôme e egré ; P () ; P ( ) ; P () Déterminer P () Eercice Dns chque cs, éterminer l composée Q P es polynômes suivnts : P () et Q () + P () + et Q () P () + + et Q () Peut-on conjecturer un résultt contennt eg (Q P)? Polynômes u secon egré Eercice Soit P () + et Q () ( ) Vérifier que, pour tout réel, P () Q () En éuire une fctoristion e P (), si cel est possile
Eercice Écrire chcun es polynômes suivnts sous s forme réuite, puis sous s forme cnonique et fire le tleu e vrition P () ( ) + Q () ( ) ( + ) R () ( ) S () Eercice 9 Prole et fonction Les proles représentent les fonctions polynômes P, Q, R, S, T, U éfinies sur R pr : P () Q () R () S () T () U () Associer à chque fonction polynôme, s coure C, en justifint (repérer le sommet pr eemple) C C o - - C - C C o - C -
Eercice Fire le tleu e vrition e chcune es fonctions polynômes éfinies sur R P () ( + ) Q () ( ) R () ( + ) + S (), ( + ) + T () ( ) + U () (,) Équtions u secon egré Eercice Résoure les équtions suivntes à l ie u iscriminnt + + ( + ) + + 9 + + 9 + 9 Eercice Résoure chque éqution près voir eviné une solution éviente + + Eercice Déterminer, s ils eistent, eu réels u et v connissnt leur somme S et leur prouit P ns les cs suivnts S et P S et P, S et P 9 Fctoristion epressions u secon egré Eercice Après voir cherché les rcines éventuelles à l ie u iscriminnt, en éuire une fctoristion e chque polynôme ns le cs où cel est possile + + + + + + + + + 9 + + + + Inéqutions u secon egré Eercice Déterminer les rcines es polynômes suivnts, onner leur fctoristion et leur signe pr un tleu e signes : A () + B () + C () + 9 D () Eercice Résoure les inéqutions suivntes (utiliser un tleu e signes si nécessire) + < + >
Équtions prmétriques Eercice Déterminer m pour que l éqution m (m ) + m + mette pour rcine Déterminer lors l utre rcine Eercice On consière l éqution (m ) m + m Pour quelles vleurs e m l éqution est-elle u secon egré? On suppose m Pour quelles vleurs e m l éqution met-elle une solution oule? Pour quelles vleurs e m l éqution -t-elle eu solutions réelles istinctes? Eercice 9 m est un réel ifférent e On consière l éqution inconnue : (m ) + + m Démontrer que, quel que soit m, est rcine e cette éqution Clculer l utre rcine sns clculer le iscriminnt Déterminer m pour que l utre rcine soit égle à Équtions se rmennt à une éqution u secon egré Eercice Équtions icrrées En posnt X, résoure les équtions : + 9 + 9 Eercice En posnt X, résoure l éqution + 9 Avec un chngement e vrile pté, résoure l éqution Avec un chngement e vrile pté, résoure l éqution sin π sin sur ; Eercice Éqution u coefficients symétriques On consière l éqution + + + (E) Que constte t-on pour les coefficients? est-il solution e l éqution (E)? Montrer que l éqution (E) est équivlente à + + On pose X + Montrer lors que est solution e (E), si et seulement si, X est solution e X + X (F) Résoure l éqution (F) Montrer lors que est solution e (E) si et seulement si est solution e eu équtions u secon egré (E ) et (E ) que l on éterminer Résoure les équtions (E ) et (E ) En éuire les solutions e l éqution (E)
Rcine et fctoristion Eercice On consière le polynôme P () + + Vérifier que P () ( + ) ( + ) En éuire l résolution e l éqution P () Eercice On consière le polynôme P () + + Déterminer les réels,, c tels que P () ( + ) ( + + c) Fctoriser P () sous forme e fcteur e egré En éuire l résolution e l éqution P () Eercice On se propose e résoure ns R l éqution + + 9 + (E) Effectuer le chngement e vrile y + Montrer que résoure (E) équivut à résoure l éqution y y + (E ) Déterminer,, c tels que, pour tout réel y, y y + (y ) ( y + y + c) En éuire les solutions ns R e l éqution (E ) puis celles e l éqution (E) Eercice Un résultt théorique Pour tout n, évelopper, réuire et oronner le prouit ( ) ( n + n + + + ) On consière le polynôme P () n Déuire e l question que P se fctorise pr et étiller les églités otenues pour n et n Soit et eu réels, émontrer l ientité : n n ( ) ( n + n + + n + n ) Iniction : utiliser l question vec Détiller les églités otenues pour n et n On pose P () n n + n n + + + En utilisnt l question précéente, montrer que P () P () se fctorise pr ( ) pour tout réel En éuire que pour tout polynôme P (vec eg P ) et tout réel, il eiste un polynôme Q (vec eg Q eg P ) tel que P () ( ) Q () Etlir lors le risonnement fonmentl suivnt : «Un polynôme e egré supérieur ou égl à peut se fctoriser pr si et seulement si P ()»
S Fonction polynôme et secon egré Correction es eercices Fonctions polynômes Eercice Prmi les fonctions suivntes, f () ( + ) ( ) + et k () sont les fonctions polynômes g () n est ps une fonction polynôme h () est le quotient e eu fonctions polynômes (fonction rtionnelle) mis n est ps un polynôme i () sin sin + est un polynôme trigonométrique mis n est ps un polynôme j () 9 n est ps une fonction polynôme (rcine crrée non simplifile ) Eercice Dns chcun es cs, iniquons si le nomre α est une rcine u polynôme P P () + et α P ( ) ( ) ( ) + + Donc est une rcine e P P () + + + et α P ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) + + + + Donc n est ps rcine e P P () + et α P () + + Donc n est ps rcine e P P () ( ) ( + ) et 9 P ( ) Donc est une rcine e P α Eercice On consière le polynôme P éfini pr P () + Vérifions que est une rcine e ce polynôme P () + + Donc est une rcine e P On met ns ce cs, qu on peut mettre ( ) en fcteur ns P () Déterminons les réels,, c tels que P () ( ) ( + + c) P () ( ) ( + + c) + + c c + ( ) + (c ) c On oit onc voir P () + + ( ) + (c ) c Or eu polynômes sont égu si et seulement si leurs coefficients sont égu Soit le système c c puis c Donc on P () ( ) ( + + ) Fctorisons P () ( ) ( + + ) ( ) ( + ) On résout P () soit ( ) ( + ) Un prouit est nul lorsque l un es fcteurs est nul Donc P () ou ( + ) ou + ou Donner le signe e P () ns un tleu
+ + ( + ) + + + P () + Eercice Déterminons un polynôme P e egré tel que P ( + ) P () Puisque P est e egré, il s écrit P () + + c (vec ) Ainsi P ( + ) P () ( + ) + ( + ) + c ( + + c) + + + + + c c ( ) + + Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls Donc ( ) + + quelconque Pr eemple,, Donc P () Il n y ps e conition sur c qui peut être pris et c est une solution u ce système est un polynôme qui vérifie P ( + ) P () Eercice Soit P un polynôme e egré On pose P () + + c + + e, où,, c, et e sont es nomres réels Puisque le terme constnt e P vut, lors P s écrit P () + + c + + Puisque P n ps e monôme e egré, lors P s écrit P () + + + Comme P (), lors + + + (L ) Comme P ( ), lors + (L ) Comme P (), lors + + + (L ) On oit onc résoure le système puis L L L et En remplçnt pr, on otient vec l euième ligne, puis en remplçnt pr et pr, on otient encore vec l première ligne Le polynôme cherché est onc P () + + Eercice Dns chque cs, éterminons l composée Q P es polynômes suivnts : P () et Q () + (Q P) () Q (P()) P() P () + ( ) + + P () + et Q () (Q P) () Q (P()) P () P () ( + ) ( + ) ( + + 9) + + + + P () + + et Q () (Q P) () Q (P()) ( + + ) + + + + + + + + + + On peut visilement conjecturer que eg (Q P) eg (Q) eg (P) soit L L L onc L L insi où
Polynômes u secon egré Eercice Soit P () + et Q () ( ) Vérifions que, pour tout réel, P () Q () Q () ( ) + + P () Nous en éuisons une fctoristion e P () P () ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) Eercice Écrivons pour chcun es polynômes suivnts sous s forme réuite, puis sous s forme cnonique P () ( ) + + (forme réuite) On clcule α puis β P α P Donc P () ( ) + (forme cnonique) Puisque >, l prole représentnt P est irigée vers le hut Donc : + + + P () Q () ( ) ( + ) ( + ) + + (forme réuite) On clcule α puis β Q α Q Donc Q () (forme cnonique) Puisque <, l prole représentnt P est irigée vers le s Donc : + Q () R () ( ) + (forme réuite) On clcule α puis β R α R Donc R () ( ) (forme cnonique) Puisque >, l prole représentnt P est irigée vers le hut Donc : + + + R ()
S () + (forme réuite) On clcule α puis β S α S 9 Donc S () (forme cnonique) + S () Eercice 9 Prole et fonction P () pour coure représenttive une prole e sommet S ( ; ) Donc c est l coure C Q () pour coure représenttive une prole e sommet S ( ; ) Donc c est l coure C R () pour coure représenttive une prole e sommet S ( ; ) Donc c est l coure C S () pour coure représenttive une prole e sommet S ( ; ) Donc c est l coure C T () pour coure représenttive une prole e sommet S ( ; ) Donc c est l coure C U () pour coure représenttive une prole e sommet S ( ; ) Donc c est l coure C Eercice Fisons le tleu e vrition e chcune es fonctions polynômes éfinies sur R P () ( + ) pour coure représenttive une prole e sommet S ( ; ) irigée vers le hut cr > On onc le tleu : + + + P () Q () ( ) pour coure représenttive une prole e sommet S ( ; ) irigée vers le hut cr > On onc le tleu : + + + Q ()
R () ( + ) + pour coure représenttive une prole e sommet S ( ; ) irigée vers le s cr < On onc le tleu : + R () S (), ( + ) + pour coure représenttive une prole e sommet S ( ; ) irigée vers le hut cr, > On onc le tleu : + + + S () T () ( ) + pour coure représenttive une prole e sommet S ( ; ) irigée vers le hut cr > On onc le tleu : + + + T () U () (,) pour coure représenttive une prole e sommet S (, ; ) irigée vers le s cr < On onc le tleu :, + U () Équtions u secon egré Eercice Résoure les équtions suivntes à l ie u iscriminnt + On clcule le iscriminnt c L éqution onc eu solutions ( ) et + + On clcule le iscriminnt c ( ) + L éqution onc eu solutions et ( + ) + On clcule le iscriminnt : c ( ) + L éqution onc eu solutions : et
+ On clcule le iscriminnt : c ( ) ( ) L éqution onc eu solutions : et + 9 On clcule le iscriminnt c 9 ( ) 9 L éqution onc eu solutions : 9 9 9, On clcule le iscriminnt c 9 9 9, ( ) ( ) + 9 L éqution onc eu solutions : 9, + + On clcule le iscriminnt c L éqution n onc ps e solution 9 + 9 On clcule le iscriminnt c L éqution onc une solution 9 9 ( ) 9 9 Eercice Résolvons chque éqution près voir eviné une solution éviente + solution éviente cr + + Comme le prouit es rcines est, lors l utre solution est pour solution éviente cr + Comme le prouit es rcines est, lors l utre solution est + pour solution éviente cr ( ) ( ) + + + Comme le prouit es solutions est, lors l utre solution est Eercice Déterminons, s ils eistent, eu réels u et v connissnt leur somme S et leur prouit P S et P S ils eistent, u et v sont solutions e l éqution + On clcule le iscriminnt c ( ) Donc cette éqution n ps e solution et il n eiste ps eu nomres u et v tels que leur somme vut et leur prouit S et P, S ils eistent, u et v sont solutions e l éqution +, On clcule le iscriminnt c ( ), Donc l éqution eu solutions et Donc u et v (ou le contrire) sont les eu nomres ont l somme est est le prouit, S et P 9 S ils eistent, u et v sont solutions e l éqution + + 9 On clcule le iscriminnt c 9 L éqution onc une unique solution Donc les nomres u et v sont les eu nomres ont l somme vut et le prouit 9
Fctoristion epression u secon egré Eercice Cherchons les rcines éventuelles à l ie u iscriminnt puis nous en éuirons une fctoristion e chque polynôme ns le cs où cel est possile + On clcule le iscriminnt c ( ) + 9 L éqution + onc eu solutions 9, On en éuit l fctoristion + + On clcule le iscriminnt c 9 ( ) + L éqution + onc eu solutions, On en éuit l fctoristion + + + On clcule le iscriminnt c 9 L éqution + + onc eu solutions, On en éuit l fctoristion + + + On clcule le iscriminnt c ( ) ( ) 9 L éqution + onc eu solutions 9, On en éuit l fctoristion + + On clcule le iscriminnt c ( ) ( ) 9 Donc l éqution + n ps e solution et l epression + ne se fctorise ps (comme prouit e termes u premier egré) + On clcule le iscriminnt c ( ) + 9 L éqution + onc eu solutions, On en éuit l fctoristion +
+ On clcule le iscriminnt c ( ) ( ) 9 + L éqution + onc eu solutions, On en éuit l fctoristion + + On clcule le iscriminnt c ( ) + L éqution + onc eu solutions, On en éuit l fctoristion + 9 + + On clcule le iscriminnt c Donc l éqution + + n ps e solution et l epression + + ne se fctorise ps (comme prouit e termes u premier egré) + + On clcule le iscriminnt c ( ) + L éqution + + onc eu solutions, On en éuit l fctoristion + + Eercice A () + On clcule le iscriminnt c ( ) + Remrquons que L éqution + onc eu solutions, onnées pr les formules : On peut ensuite fctoriser A () ( + ) ( ) On fit ensuite le tleu e signes : + + + + + A () + +
B () + On clcule le iscriminnt c ( ) ( ) + 9 Remrquons que L éqution + onc eu solutions, onnées pr les formules : On peut ensuite fctoriser B () ( ) On fit ensuite le tleu e signes : + + + + + B () + C () + 9 On clcule le iscriminnt c 9 ( ) ( ) 9 Remrquons que L éqution + 9 onc eu solutions, onnées pr les formules : 9 On peut ensuite fctoriser C () ( ) On fit ensuite le tleu e signes : 9 + + + + C () + D () Il n est ps utile e clculer le iscriminnt cr D () ( ) On sit lors que le iscriminnt est positif cr l éqution ( ) eu solutions En effet, un prouit est nul lorsque l un es fcteurs est nul, onc ou, puis ou Nous pouvons lors fire le tleu e signes : + + + + D () + +
Eercice Résolvons les inéqutions suivntes en utilisnt un tleu e signes si nécessire + < Recherche es zéros, on résout + + On clcule le iscriminnt : c ( ) + Donc l éqution eu solutions : Recherche es vleurs interites, on résout, soit (seule vleur interite) Puisque + + pour coure représenttive une prole irigée vers le s, on le tleu : + + + + + + + + + Donc pour solution l ensemle S ; ; + > Recherche es zéros, on résout + + On clcule le iscriminnt : c Donc il n y ps e zéros On en éuit que + + est toujours positif (cr s coure est une prole irigée vers le hut qui ne coupe ps l e es scisses) Recherche es vleurs interites, on résout +, soit où (seule vleur interite) D où le tleu suivnt : + + + + + + + + Donc pour solution l ensemle S ;
Recherche es zéros, on résout ( ) ( ) Un prouit est nul lorsque l un es fcteurs est nul Donc ou, soit ou, où, ou, Recherche es vleurs interites, on résout ( ), soit puis (seule vleur interite) On otient ensuite le tleu suivnt :,, + + + + + ( ) + + + + + + Donc pour ensemle solution S, ;, ; Recherche es zéros, on résout On clcule le iscriminnt : c ( ) ( ) + L éqution onc eu solutions : Recherche es vleurs interites, on résout ( ) ( ) Un prouit est nul lorsque l un es fcteurs est nul Donc ou puis ou (eu vleurs interites) On peut ensuite fire le tleu suivnt :, + + + + + + + + + + + + + On en éuit que l ensemle es solutions e est S, ; ;