I. INTRODCTION Les équations qui appaaissent dans les difféents chapites de la physique ou des sciences en généal sont souvent eacteent les êes, et asi, un phénoène donné a des "analogues". La anipulation poposée, consacée à l'étude des cicuits électiques oscillants RCL, peet aussi de siule les oscillations écaniques. II. THEORIE Considéons le cicuit électique suivant (Fig. ): L R C out Fig. : Cicuit électique RLC Rappelons que les elations tension-couant des éléents sont: I R Pou la ésistance R : R R Pou la capacité C : ICdt CC Pou la bobe L : dil C L dt ( et I epésentent la tension au bones et le couant ciculant dans l éléent ) En utilisant les lois de Kichhoff, et en posant () t t il vient: C I c dt et () t R IR out Coe : IC IR IL
Alos : C d dt R L t dt En déivant pa appot au teps: RC LC LC () Cette équation () est du êe type que l équation caactéisant un oscillateu écanique aoti. Modèle: oscillateu aoti. On considèe le odèle suivant de l'oscillateu (Fig. ): un pot atéiel de asse se déplace su un ae O (un seul degé de libeté). Il est souis: ) à une foce de appel F k qui tend à aene la asse à sa position d'équilibe ) à une foce de fotteent de type visqueu F f v 3) à une foce de petubation etéieue dépendant du teps G (t). Fig. : Oscillateu aoti L'équation difféentielle du ouveent de la asse s'écit (à onte pa le lecteu): p s t () avec: k ) Oscillations libes G(t) ps t La foce de petubation n'est pas appliquée: G (t), et alos: (3) Coe condition itiale, on choisit de lâche la asse sans vitesse itiale ( ) d'une position pa appot à sa position d'équilibe. Tois cas sont à distgue conduisant à tois solutions (Fig. 3): k a) avec < aotisseent faible: t e cos t (4) et tan On défit: T = pseudo-péiode et T = décéent logaithique Cas paticulie : (pas de fotteent), c'est le odèle de l oscillateu haonique ( cos( t ) k est la pulsation de l'oscillateu haonique, o = déphasage abitaie)
EPFL-TRAVAX PRATIQES DE PHYSIQE G3- b) ouveent aoti citique t ( t) e ( t) (5) c) > aotisseent fot: ouveent apéiodique: e ( C e C e ) (6) t t t Avec : C C aoti citique ouveent apéiodique aotisseent fot t aotisseent faible T Fig. 3: Oscillations en égie libe dans les tois cas d'aotisseent: faible, citique et fot. ). Oscillations focées On suppose le systèe à l'équilibe itialeent ( ( ) () ) et on applique une petubation susoïdale ( p ps( t)). Pou siplifie l'écitue, le déphasage de la petubation est choisi nul (choi de l'oige du teps). La solution de l'équation () est: t ( t) A( )s( t ) Ce cos( t ) si < aotisseent faible t ( t) A( )s( t ) e ( C Ct) si aotisseent citique t t t ( t) A( )s( t ) e ( Ce Ce ) si > aotisseent fot ouveent peanent ouveent tansitoie avec actan( ) et A( ) p ( ) 4 (7)
EPFL-TRAVAX PRATIQES DE PHYSIQE G3-3 Les constantes C et ou C et C se déteent dans chaque cas à l'aide des conditions itiales. L'aplitude des oscillations focées stationnaies A( ) asi que le déphasage ( ) dépendent de la valeu de (Fig. 4). A ( ) ( ) Aa o 8 Aa o 9 o Fig. 4: Aplitude et déphasage des oscillations en égie focé. a) aotisseent faible: On obtient pou A( ) une "coube de ésonance" typique caactéisée pa: et (Pulsation ésonante) (Lageu de aie) et coespondent à la lageu du pic à i-hauteu, c'est-à-die à une valeu de l'aplitude de ou encoe à une atténuation de 3 db pa appot à la valeu aiale. Aa, Le facteu de qualité de la ésonance vaut: Reaque: Les féquences, et Q sont telles que: A() oo cas = En l'absence de fotteent ( ), la coube de ésonance A( ) pésente seuleent une sgulaité pou (Fig. 5) o Fig. 5: Aplitude des oscillations en égie focé sans aotisseent
EPFL-TRAVAX PRATIQES DE PHYSIQE G3-4 Régie tansitoie. Le deuièe tee des équations (7) epésente des oscillations popes aoties de pulsation.losque t coît, il ped apideent de son ipotance au pofit du peie tee qui epésente des oscillations focées stationnaies de pulsation et de déphasage. Losque et sont voiss, le systèe oscille avec une pulsation de batteent b) aotisseent fot: > B La coube pésente un aiu pou : il n'y a pas d'oscillation focée, ais un déplaceent fie p valant. Les solutions de l'oscillateu écanique aoti s'appliquent diecteent à l'équation difféentielle () du cicuit oscillant RCL, qui est aussi un oscillateu aoti, avec les analogies suivantes: "électique" "écanique" LC RC Asi, à l aide du cicuit RCL, on peut obseve et siule le copoteent d un systèe écanique en vibation. En paticulie, si on pose P et que, au teps t, on donne au systèe une ipulsion k de couant, on aua les cas décits sous oscillations libes. Si on pose cas eposés sous oscillations focées. P LC ps t, on aua les
EPFL-TRAVAX PRATIQES DE PHYSIQE G3-5 III. TRAVAIL DEMANDE. ) Réalise le ontage d'un cicuit RCL tel que pésenté à la figue, avec: L = ductance vaiable jusqu à H C = capacité vaiable jusqu à. F R = ésistance vaiable jusqu à M n généateu de fonction avec esue de la féquence est utilisé pou aliente le cicuit. n oscilloscope peet de visualise les signau et d effectue des esues. n phaseète banché ente la souce et le signal de sotie peet de esue le déphasage. n voltète peet de esue les tensions efficaces. ) Mise en évidence de l évolution non focée. Choisi une féquence de ésonance du systèe de l ode de 7 khz ( L 5 H, R 9 k Enclenche le généateu su onde caée de féquence de l ode de Hz. C F) avec Eplique ce que l on obseve su l oscilloscope et effectue des véifications. Diue pogessiveent la ésistance. Mette en évidence des aotisseents faible, citique et fot. Discute qualitativeent. Dans le cas de l'aotisseent faible, esue le coefficient d'aotisseent. Le copae au coefficient d aotisseent théoique. Faie ce calcul pou ou 3 cicuits difféents (difféentes valeus de R, C et L ). 3) Mise en évidence de l évolution dans le cas focé. tilise la platefoe NI ELVIS coe généateu pou les ondes sus. Connecte CH pou la esue de et CH pou la esue de out (Fig. 6). Calcule la valeu de la féquence de ésonance du cicuit. Mesue A( ) et ( ) en utilisant le pogae LabVIEW "Bode Analyze" su l'odateu (utilise un nobe de pas pa décade suffisant). Détee la féquence de ésonance (cuseus) et copae avec la valeu théoique. Eplique les difféences et ecalcule les gandeus caactéistiques du cicuit en toduisant la ésistance ohique R de la bobe. R ' ( R ) ' R L (A onte) Détee la valeu de Q et de et copae avec la valeu de déteée en égie libe. Détee et Q dans des conditions epéientales difféentes (difféentes valeus de R, C et L). Coent se copote le cicuit si on échange la place de l'ductance L et la capacité C dans le ontage?
EPFL-TRAVAX PRATIQES DE PHYSIQE G3- Câblage Diagae de Bode avec NI Elvis Pogae «Bode Analyze» Féquence de dépat Féquence d aivée Nobe de pas pa décade Aplitude [V] Sauve données Déae Fig. 6 : Iage de l stallation avec NI ELVIS