Ercic l S Corrctio du bc blc 6 = cr ucu roblèm tchiqu s roduit lors d l mis srvic b O ut costruir l rbr ci-cotr. 3 D rès ct rbr, o : = ( P = P( + P( = P( P ( + P( P ( = 3 + 7 = 7 L robbilité qu l ttrctio subiss ucu roblèm tchiqu l rmièr smi st égl à: ( 3 7 = P( P ( P ( 3... P ( 7 P... Ω =... = 6 7 7 7 7 7 6 7 =,38 à 4 rès 6 fois 3 3 + + + = P( = P( + P( = P( P ( + P( P ( b + + + + + + = 3 + ( 7 = 3 + = + 7 7 3 7 4 u + = + = 3 + = = = = u 3 7 3 84 3 84 3 3 O déduit doc qu l suit ( u st géométriqu. L riso st égl à q = 3 t l rmir trm st égl à u = = b u = u = u + q = 3 = + 3 7 7 + +
c o sit qu lim 3 = cr < 3 < doc, r roduit t somm, o déduit qu lim = Au bout d u grd ombr d jours, l robbilité qu u roblèm tchiqu survi st égl à Ercic Rchrchr ls técédts du oits O rvit à résoudr l équtio : = + = = = i ou = i L oit O doc du técédts qui sot ls oits C t D d ffis rsctivs i t i Rchrchr ls oits ivrits rvit à résoudr l équtio : = + = + = Δ = ( 4 = 4 = 3 Δ < doc ctt équtio du solutios comls cojugués égls à + i 3 + = i 3 t i 3 Pr coséqut, il ist du oits ivrits: C sot ls oits E t F d ffis rsctivs + i 3 i 3. 3 Du oits M t N sot symétriqus r rort u oit O si lurs ffis t M N sot oosés. t ( ( ( O doc : N = M f N = N + = M + = M + = f M Pr coséqut, o bi rouvé qu du oits symétriqus r rort à O ot l mêm img. Du oits M t N sot symétriqus r rort à l ds bscisss si lurs ffis t M cojugués. O doc : N = M t ( f = + = ( + = + = + = + = f ( N N M M M M M t N sot Pr coséqut, o déduit qu ls imgs d du oits symétriqus r rort à l ds bscisss sot symétriqus lls ussi r rort à l ds bscisss. 4 B = ( + i = + = + = = 4 4 Soit θ u rgumt d B. cos(θ = O doc : = t si(θ = B = i π 4 : O déduit qu θ = π 4 (π b O vu récédmmt qu B = doc o déduit qu OB = : Pr coséqut, B rtit bi u crcl d ctr O t d ryo.
π π π i i i 4 4 c B' = B + = + = + = + = i + Autr méthod : B' = B + = ( + i + = ( + i + = ( + i + = i + 4 d AB = B' A = + i = i = O déduit qu B rtit bi u crcl d ctr A t d ryo. OB B O B = = = + i = = = ( + i OB' B' O B' O costt qu = OB OB', c st à dir qu OB = OB' : O déduit qu ls vcturs OB t OB' sot coliéirs : Ls oits O, B t B sot bi ligés. OM = iθ M = M = = O déduit qu l oit M rtit bi u crcl d ctr O t d ryo. = + = = = b AM = ( θ i iθ M' A M Pr coséqut, l oit M rtit u crcl d ctr A t d ryo. c i θ = M O = M = = cos( θ + isi ( θ OM iθ = M ' O = M ' = M + = ( + = ( cos( θ + isi ( θ OM' + ( ( ( ( ( ( ( ( OM' ( = cos θ + i cos θ si θ si θ + = cos θ + i cos θ si θ cos θ + O rll qu our tout θ Y, o : cos (θ + si (θ = = cos θ + i cos θ si θ + cos θ + = cos θ + i cos θ si θ ( ( ( ( ( ( ( OM' = cos( θ ( cos( θ + isi ( θ OM' O costt qu = cos ( θ, c qui rouv bi qu = ( θ OM ' cos OM OM' OM O déduit qu ls vcturs OM' t OM sot coliéirs (uisqu cos(θ st u rél. Pr coséqut, ls oits O, M t M sot ligés. d Pour costruir l oit M : O trcr l crcl c d ctr A t d ryo. O trc l droit (OM. M st à l itrsctio du crcl c t d l droit (OM Rmrqu : L crcl c t l droit (OM ot du oits d itrsctio qui sot O t M suf qud l ffi d M st i ou i t, ds c cs, l oit M st cofodu vc l oit O.
Ercic (Sécilité Prti A : Pour u rso é l r oût, l rogrmm d clcul (A do l ombr 38 : E fft, l uméro du jour d issc st multilié r : = ; l uméro du mois d issc st multilié r 37 : 8 37 = 96 ; O jout : + 96 = 38. A Pour u scttur doé, o ot j l jour d s issc t m l mois d s issc, lors liqut l rogrmm d clcul (A, o obtit : = j + 3m. Or, j [ ], doc j 37m 37m[ ] Filmt, 37m m[ ] = +. D lus, 37 3, t m sot bi cogrus modulo. = +, t o doc 37 [ ]. b Pour trouvr l dt d ivrsir yt obtu 474 liqut l rogrmm d clcul (A, o résout l systèm : = 474 = 39 + 6( divisio uclidi d 474 r m[ ] O déduit qu : m 6[ ], l mois st doc jui. Puis : = 474 = j + 37 6 j = 474 37 6 = = j = L scttur st doc é u jui. Prti B : Prmièr méthod : Voici l lgorithm modifié ( vrsio Algobo our qu il ffich touts ls vlurs d j t d m tlls qu : j + 3m = 3 L scttur st doc é u 9 mi. Duièm méthod : O ffctu l divisio uclidi d 3 r : 3 = + 7. Alors : ( [ ] = j + 3m 3m = + 7 m = m + 7m 7m
7m t ot doc bi l mêm rst ds l divisio uclidi r. b Pour m vrit d à, l rst d l divisio uclidi d 7m r st doé ds l tblu suivt : m 3 4 6 7 8 9 rst 7 9 4 6 8 3 O rmrqu qu à chcu ds dou rsts ossibls corrsod u sul mois. c Pour trouvr l dt d ivrsir yt obtu 3 liqut l rogrmm d clcul (B, o résout l systèm : = 3 = 4 + ( divisio uclidi d 3 r 7m[ ] O déduit qu 7m [ ], t doc d rès l tblu du b, m=, l mois st doc mi. Puis : = 3 = j + 3 j = 3 3 = 9 j = 9 L scttur st doc é u 9 mi. 3 roisièm méthod : L coul ( ;7 b O doc : st solutio d l équtio 3y 3 + 3 7 = 3. + = cr ( ( ( ( ( ( ( ( + 3y = + 3 7 = 3 + + 3 y 7 = + = 3 7 y c Résolutio d l équtio + 3y = 3: Alys : ( + = ( y doc 3 divis ( + 3 7 théorèm d Guss : 3 divis +. Aisi, il ist u tir rltif k vérifit : + = 3k = + 3k. E rmlçt ds l équtio : ( 3( 7 y (, t comm t 3 sot rmirs tr u, d rès l + =, o obtit : 3k = 3 7 y k = 7 y y = 7 k Sythès : + 3k + 3 7 k = + 3 7 + 3k 3k = 3. Pour tout k d Z, o : ( ( ( ( Pour tout k d Z,l coul ( ; y =( 3 k;7 k + st solutio d + 3y = 3 6 d y 7 k 6 k k 6 y Aisi k = st l uiqu tir comris tr, 4 t 6,33. L uiqu coul rchrché st doc : ( + 3 ;7 = ( 9;. L scttur st é u 9 mi. Ercic 3 Prti A f( = O sit qu = lim = + doc lim =, c st à dir lim f( =
f st d l form uv doc f st d l form u v + uv vc: u( = u ( = v( = v ( = d où f ( = + ( = ( O sit qu > our tout Y doc f ( st du sig d. D où l tblu suivt : + sig d f ( + vritio d f 3 D rès l tblu d vritio ci-dssus, si [; ] lors f( O doc bi f( [; ] Prti B ; [; ]: Démotros r récurrc l roriété suivt : our tout tir turl, u Iitilistio : our = u = t doc l roriété st vri u rg Hérédité O suos qu, our u tir, o u D rès l qustio 3 d l rti A, o sit qu si [ ; ] lors f( [ ; ]. Ici, u [ ; ] doc f ( u [ ; ] c st à dir u + [ ; ] : O bi rouvé qu u + L hérédité st démotré. Coclusio : L roriété st vri our = t st héréditir doc ll st vri our tout V : Pr coséqut, o bi rouvé qu u our tout tir turl.
3 Méthod : u u u u = u u = + u ( O sit qu u doc : u u u u u u st doc l roduit d u fctur ositif t d u fctur égtif : O déduit qu + our tout V : L suit ( u st décroisst. Méthod : r récurrc Motros r récurrc l roriété suivt : our tout V, u + u Iitilistio : our = u = t u = f( u = f( = u + u O bi doc l roriété st vri u rg = Hérédité O suos qu our u tir, o u + u L foctio f st croisst sur l itrvll [ ; ] t o motré ds l qustio récédt qu, our tout V, u Pr coséqut, o : ( f u + f ( u u + u + L roriété st doc héréditir. Coclusio : L roriété st vri u rg = t st héréditir doc ll st vri our tout V O doc u + u : L suit ( u st doc décroisst. 4 L suit ( u st mioré r t décroisst doc ll covrg. b = équivut à : = ( = = ou = = ou = = ou = = ou = L limit d l suit ( u st doc égl à.
Prti C Ercic 4 Prti A Déclrtio ds vribls : S t u sot ds ombrs réls k st u ombr tir Iitilistio : u rd l vlur S rd l vlur ritmt : Pour k vrit d à u rd l vlur u S rd l vlur S + u Fi Pour Affichr S u Prti B f ( = L cofficit dirctur d l tgt à c f u oit d bsciss st égl à f ( c st à dir à b g ( = ( = L cofficit dirctur d l tgt à c g u oit d bsciss b st égl à g (b c st à dir à b c L tgt à c f u oit A st égl à l tgt à c g u oit B doc o l églité équivut à = b = b qui d st tgt à c f u oit A doc so équtio st : y = f (( + f( y = ( + y = + D utr rt, d st tgt à c g u oit B doc so équtio st : y = f (b( b + f(b b y = ( b + b
Comm o sit qu = b, ctt équtio dvit : y = b y = b + + b + b O doc : + = + + + + = + = ( + = ( + = O bi motré qu l rél st solutio d l équtio ( + = Prti C Limit φ( = + O sit qu = t qu lim lim = doc, r roduit t somm, o déduit qu lim φ( = Limit + O sit qu ( = + t qu lim lim φ( = + lim = + doc, r roduit t somm, o déduit qu b φ st d l form uv + doc φ st d l form u v + uv vc : u( = ( u ( = v( = v ( = d où φ ( = + ( = ( + = O sit qu > our tout Y doc φ ( st du sig d D où l tblu suivt : + sig d φ ( + c vritio d φ + φ st décroisst t cotiu sur ] ; ] t [ ; [ doc l équtio φ( = dmt u uiqu solutio α rtt à l itrvll ] ; ] φ st croisst t cotiu sur [ ; + [ t [ ; + [ doc l équtio φ( = dmt u uiqu solutio β rtt à l itrvll [ ; + [. Coclusio : O bi motré qu l équtio φ( = dmt ctmt du solutios ds Y. Vrsio mois rédigé : α β + vritio d φ + D rès l tblu d vritio t l VI, l équtio φ( = dmt bi ctmt du solutios ds Y. b O trc sur l clcultric l courb d équtio y = φ( t l droit d équtio y =
Avc l mu «itrsctio», o trouv ls vlurs suivts : α =,68 à, rès β =,77 à, rès 3 O sit qu α st u solutio d l équtio ( + = doc o : (α α + = α α α + = α = α α Prti D Ls coordoés du oit E sot ;f ( Ls coordoés du oit F sot ( ( α α = ( α ; α ( α;g α = ( α; α yf ye L cofficit dirctur d l droit (EF st égl à F E α α α α = = = α α α α O vu à l qustio 3 d l rti C qu α = α α doc l cofficit dirctur d l droit (EF st lors égl à α α α = = f (α α L cofficit dirctur d l droit (EF st doc égl à clui d l tgt à c f u oit E : Cs du droits sst r E, lls sot doc cofodus. Pr coséqut, o bi motré qu l droit (EF st tgt à l courb c f E L cofficit dirctur d l tgt à c g u oit F st égl à g ( α = α L cofficit dirctur d l droit (EF st doc égl à clui d l tgt à c g u oit F : Cs du droits sst r F, lls sot doc cofodus. Pr coséqut, o bi motré qu l droit (EF st tgt à l courb c g F.