Cours de Mathématiques

Cours de Mthémtiques TS Lycée Henri IV

Tble des mtières I Les nombres complexes 7 Rcines n ième d un nombre complexe non nul 7. Définition.................................................... 7.2 Représenttion grphique........................................... 7.3 Rcines n ième de l unité........................................... 8 2 Equtions du second degré à coefficients complexes. 9 2. Etude d un exemple.............................................. 9 2.2 Générlistion................................................. 9 3 Linéristion des polynômes trigonométriques. 9 3. Définition.................................................... 9 3.2 Méthode générle................................................ 9 3.3 Exercice résolu................................................. 0 3.4 Exemple d ppliction............................................. 0 4 Clcul de cosnφ et sinnφ. 0 5 Formules trigonométriques. 5. Exemples..................................................... 5.2 Exercices..................................................... 2 II Les fonctions 3 Générlités 3. Imge d une prtie A............................................. 4.2 Imge réciproque d une prtie B...................................... 4.3 Eglité de deux fonctions. Comprisons.................................. 4.4 Restriction d une fonction.......................................... 5.5 Prolongement d une fonction......................................... 5.6 Appliction injective ou injection...................................... 5.7 Appliction surjective ou surjection..................................... 6.8 Appliction bijective ou bijection...................................... 6.9 Courbe représenttive ou grphe d une fonction............................. 7.0 Chngement d origine............................................. 7. Domine d étude................................................ 7.2 Chngement de bse.............................................. 8.3 Fonction mjorée, minorée, bornée..................................... 9.4 Opértions sur les fonctions......................................... 20.5 Exercices..................................................... 20 2 Limite d une fonction. Continuité 2 2. Limite finie en un point x 0 de R...................................... 2 2.. Définitions............................................... 2 2..2 Propriétés................................................ 2 2..3 Exemples de fonctions continues.................................. 22 2..4 Prolongement pr continuité..................................... 23 2.2 Limite à droite en un point x 0 de R. Limite à guche en x 0..................... 23 2.2. Définitions............................................... 23 2.2.2 Prolongement pr continuité à guche ou à droite....................... 24

3 Extension de l notion de limite 25 3. Limite finie d une fonction en + ou................................ 25 3.. Définitions............................................... 25 3..2 Propriétés................................................ 26 3.2 Fonction de limite + en x 0, à droite en x 0, à guche en x 0..................... 26 3.3 Fonction de limite en x 0, à droite en x 0, à guche en x 0..................... 26 3.4 Fonction de limite + en + (resp. en ).............................. 27 3.5 Fonction de limite en + (resp. en ).............................. 27 3.6 Propriétés des limites infinies........................................ 28 4 Opértions sur les limites 28 III Dérivtion 29 Dérivée en un point. Fonction dérivble 29. Définitions.................................................... 29.. Développement limité d ordre................................... 29..2 Fonction différentible- Nombre dérivé.............................. 29.2 Fonction dérivée................................................ 30 2 Dérivée d une fonction réciproque 30 3 Accroissements finis 3 3. Théorème de Rolle............................................... 3 3.2 Inéglité des ccroissements finis...................................... 3 3.3 Exercices..................................................... 32 3.4 Une ppliction de l inéglité des ccroissements finis : demi-tngentes à une courbe...... 33 IV Equivlents et nottions de Lndu 35 Fonctions équivlentes 35 2 Fonctions négligebles 37 3 Fonctions dominées 38 V Fonctions u v 39 Présenttion 39 2 Fonctions puissnces 39 3 Fonctions exponentielles de bse 39 4 Autres fonctions 40 5 Exercices 40 VI Etude de fonctions 42 Pln d étude d une fonction 42 2 Etude des brnches infinies d une courbe 43 3 Exercices corrigés 44 4 Exercices 44 2

VII Intégrtion 49 Intégrtion des fonctions en esclier sur un segment [; b] 49. Fonctions en esclier sur un segment [;b]................................ 49.. Propriétés................................................ 50.2 Intégrle d une fonction en esclier sur un segment [;b]....................... 5.2. Définitions et exemples........................................ 5.2.2 Propriétés de l intégrle d une fonction en esclier....................... 52 2 Intégrle d une fonction continue 55 2. Intégrle d une fonction continue et monotone sur [;b]........................ 55 2.. Fonctions en esclier minornt f................................. 55 2..2 Fonctions en esclier mjornt f.................................. 56 2..3 Conclusion et générlistion..................................... 57 2.2 Lien entre intégrle et primitive....................................... 58 2.3 Propriétés.................................................... 60 2.4 Intégrtion pr prties............................................. 62 2.4. Etude d un exemple.......................................... 62 2.4.2 Formule d intégrtion pr prties.................................. 63 2.5 Formule de chngement de vribles.................................... 63 3 Intégrle générlisée : recherche d un équivlent simple d une série de Riemnn 64 4 Exercices 64 5 Les intégrles u bcclurét 74 VIII Lois de probbilités continues 76 Densité de probbilité 76 2 Loi de probbilité 77 2. Définition.................................................... 77 2.2 Propriétés.................................................... 78 2.3 Fonction de réprtition d une vrible létoire à densité....................... 78 2.4 Densité de αx+β............................................... 79 3 Espérnce mthémtique. Vrince. Ecrt-type 80 3. Espérnce mthémtique........................................... 80 3.2 Vrince. Ecrt-type.............................................. 8 4 Lois usuelles 82 4. Loi uniforme.................................................. 82 4.2 Loi exponentielle................................................ 83 4.3 Lois normles................................................. 85 4.3. Loi normle centrée réduite..................................... 85 4.3.2 Lois normles N(m;σ 2 )....................................... 87 IX Mesures lgébriques 89 Définition 89 2 Propriétés 89 3

3 Brycentres 90 3. Brycentre d un système de deux points pondérés............................ 90 3.. Définitions............................................... 90 3..2 Propriétés................................................ 90 3.2 Brycentre d un système de trois points pondérés............................ 92 3.2. Définitions............................................... 92 3.3 Propriétés.................................................... 92 3.4 Brycentre d un système de n points pondérés.............................. 93 3.4. Fonction vectorielle de Leibniz................................... 93 3.4.2 Définition................................................ 93 3.4.3 Propriétés................................................ 93 3.5 Coordonnées brycentriques......................................... 94 3.5. Dns le pln.............................................. 94 3.5.2 Dns l espce.............................................. 95 3.6 Ensembles de niveu.............................................. 95 n 3.6. Etude de f(m) = α i MA 2 i.................................... 95 i= 3.6.2 Etude de g(m) = MA MB........................................ 95 4 Théorème de Thlès 96 4. Enoncé...................................................... 96 5 Théorème de Thlès et projection 97 5. Définition et propriétés d une projection.................................. 97 5.2 Autre version de l énoncé du théorème de Thlès - réciproque.................... 97 6 Exercices d ppliction 98 X Les mtrices 99 Générlités sur les mtrices 99 2 Opértions sur les mtrices 00 2. Trnsposition.................................................. 00 2.2 Multipliction d une mtrice pr un réel.................................. 00 2.3 Addition de deux mtrices.......................................... 0 2.4 Multipliction de deux mtrices...................................... 0 3 Exercices 04 4 Mtrices crrées inversibles 05 4. Définition et exemples............................................. 05 4.2 Inverse d une mtrice crrée de tille 2.................................. 06 XI Les groupes 07 Définitions et propriétés 07 2 Sous-groupes 08 3 Morphisme de groupes 09 4 Noyu et imge d un morphisme de groupes 2 4

5 Groupes et géométrie plne 2 5. Trnsformtions du pln........................................... 2 5.2 Isométries plnes............................................... 3 5.3 Similitudes directes.............................................. 4 6 Exercices 6 XII Suites récurrentes linéires d ordre 2 8 Quelques propriétés 8 2 Expression de u n en fonction de n 8 3 Exemples 9 XIII Les symboles Σ et Π 20 Définition des nottions 20 2 Propriétés 20 3 Chngement d indice 20 4 Applictions 2 5 Exercices 2 XIV Exercices de dénombrement 23 Ensembles finis. 23 2 Applictions d un ensemble fini dns un utre. Combinisons, Arrngements. 23 3 Dénombrement et probbilités. 25 XV Espces vectoriels 27 Quelques ensembles importnts 27 2 Loi de composition interne- loi de composition externe 27 2. Loi de composition interne.......................................... 27 2.. Exemples................................................ 27 2.2 Loi de composition externe.......................................... 28 2.2. Exemples................................................ 28 3 Espces vectoriels 28 3. Définition et exemples............................................. 28 3.2 Exemples..................................................... 29 3.3 Propriétés.................................................... 29 4 Sous-espce vectoriel 30 5 Fmilles libres-fmilles liées 3 5. Fmilles libres.................................................. 3 5.2 Fmilles liées.................................................. 32. Pour un exposé plus complet sur les isométries du pln, on pourr étudier vec intérêt : www.cpes-demths.com/lecons/lecon42.pdf 5

6 Fmilles génértrices-bses 33 6. Définitions.................................................... 33 7 Espces vectoriels de dimension finie 34 7. Crctéristions et propriétés........................................ 34 7.2 Rng....................................................... 34 8 Applictions linéires 34 8. Définition et propriétés............................................ 35 8.2 Imge directe et réciproque d un sous-espce vectoriel. Imge et noyu d une ppliction linéire35 8.3 Détermintion d une ppliction linéire.................................. 36 8.4 Mtrice d une ppliction linéire..................................... 38 XVI Digonlistion des endomorphismes et des mtrices crrées de R 2 et de R 3. 44 Vleur propre d un endomorphisme. Espce propre. 44 2 Endomorphismes et mtrices digonlisbles 47 3 Applictions de l digonlistion 48 3. Puissnce d une mtrice digonlisble.................................. 48 XVII Pot-pourri 50 6

Première prtie Les nombres complexes Rcines n ième d un nombre complexe non nul. Définition n désigne un entier nturel supérieur ou égl à 2. z désigne un nombre complexe non nul de forme exponentielle z = ρe iθ. Théorème.. L éqution d inconnue Z : Z n = z () possède n solutions distinctes dns C. De plus, ces solutions sont les nombres complexes de module n ρ et d rguments θ n + 2kπ n l intervlle d entiers [0;n ]. où k décrit Démonstrtion. Le réel 0 ne peut être solution de cette éqution cr z est non nul. Sous couvert d existence, posons re iα une solution de (). Nous vons lors : { () r n e inα = ρe iθ r n = ρ nα θ[2π]. Ce qui donne : () { r n = ρ α = θ n + 2kπ vec k Z. n Or l suite u : k θ n + 2kπ est n-périodique. Elle ne prend donc que n vleurs distinctes obtenues en prennt n k dns l intervlle d entiers [0;n ]. Exercice. Montrer que l on détermine insi les n vleurs distinctes de l suite u. Définition.. Les solutions de l éqution () sont ppelées rcines n ième de z. Remrque Si n = 2, on prle de rcines crrées. Si n = 3, on prle de rcines cubiques. Exercice 2. Déterminer les rcines cubiques de -8..2 Représenttion grphique Théorème.2. Les rcines n ième de z forment un polygone régulier à n cotés inscrit dns le cercle de centre O et de ryon n ρ. 7

M ( n ρe i( θ n +2π n) ) M 0 ( n ρe i θ n) M 2 ( n ρe i( θ n +4π n) ) O 2π n M 4 ( n ρe i( θ n +0π n ) ) M 3 ( n ρe i( θ n +8π n) ) Cs n = 5.3 Rcines n ième de l unité Définition.2. Les rcines n ième de l unité sont les solutions de l éqution : Z n =. Ce sont donc les complexes ω k tels que : k [0;n ], ω k = e ik2π n. Proposition.. :. k [0;n ], ω k = ω n k 2. On obtient les n rcines n ième d un nombre complexe non nul en multiplint l une d entre elle pr les rcines n ième de l unité. 3. k [0;n ],ω k = ω k 4. n ω k = 0. k=0 5. n étnt un nombre entier supérieur ou égl à 2 fixé, l ensemble des rcines n ième de l unité, noté U n forme un groupe pour l multipliction. C est-à-dire : U n (k,k ) [0;n ], k [0;n ], ω k ω k = ω k ω k U n, U n. ω k 8

2iπ Exemple.. : Les rcines cubiques de l unités sont les nombres, j = e 3,j 2. On donc +j+j 2 = +j+j = 0. 2 Equtions du second degré à coefficients complexes. 2. Etude d un exemple Définition 2.. On ppelle rcine crrée du nombre complexe z = 3+4i tout nombre complexe δ tel que δ 2 = 3+4i. On pose δ = x+iy vec (x;y) R 2.. Expliquer pourquoi x 2 +y 2 = 5 2. Résoudre le système x 2 y 2 = 3 x 2 +y 2 = 5 xy = 2 En déduire toutes les rcines crrées de -3 +4i. 3. Déterminer l forme cnonique du trinôme z 2 + z + + i. En déduire une fctoristion en utilisnt les résultts de l question 2. 4. Résoudre dns C l éqution z 2 +z++i = 0. 2.2 Générlistion En dmettnt que tout nombre complexe possède une rcine crrée, proposer et démontrer une méthode de résolution des équtions du second degré à coefficients complexes. 3 Linéristion des polynômes trigonométriques. 3. Définition On peut chercher à trnsformer un polynôme trigonométrique P en sinx et cosx en une somme de termes du type sinnx et cosnx (n N). On dit lors qu on linérise le polynôme P. Exemple : Linéristion de cos 2 x : x R,cos2x = 2cos 2 x x R, cos 2 x = 2 + 2 cos2x. 3.2 Méthode générle Il est possible de linériser n importe quel polynôme trigonométrique en ppliqunt les formules d Euler : x R, cosx = eix +e ix 2 et x R,sinx = eix e ix. 2i L formule du binôme de Newton ppliquée à (e ix +e ix ) n et à (e ix e ix ) n permet le développement de l expression insi obtenue. En ordonnnt convenblement les termes du développement, l expression obtenue peut être écrite sous l forme d une combinison linéire d expressions de l forme (e ikx +e ikx ) et (e ikx e ikx ) vec k n. L linéristion s obtient lors en réutilisnt les formules d Euler : x R, e ikx +e ikx = 2coskx et x R, e ikx e ikx = 2isinkx. 9

3.3 Exercice résolu Linériser l expression : cos 2 xsin 4 x. x R,cos 2 xsin 4 x = 2 2(eix +e ix ) 2 2 4 i 4(eix e ix ) 4 x R,cos 2 xsin 4 x = 2 6(e2ix e 2ix ) 2 (e ix e ix ) 2 x R,cos 2 xsin 4 x = 2 6(e4ix +e 4ix 2)(e 2ix +e 2ix 2) x R,cos 2 xsin 4 x = 2 6(e6ix e 2ix 2e 4ix e 2ix +e 6ix 2e 4ix +4) x R,cos 2 xsin 4 x = 2 6(e6ix +e 6ix 2(e 4ix +e 4ix ) (e 2ix +e 2ix )+4) x R,cos 2 xsin 4 x = 2 6(2cos6x 4cos4x 2cos2x+4) x R,cos 2 xsin 4 x = 32 (cos6x 2cos4x cos2x+2) 3.4 Exemple d ppliction L linéristion permet de trouver les primitives des polynômes trigonométriques : Etnt donné un polynôme trigonométrique P, une primitive de P est une fonction F définie et dérivble sur R telle que F = P. Exemple : Cherchons une primitive sur R du polynôme trigonométrique tel : x R,P(x) = cos 2 xsin 4 x. L linéristion obtenue dns l précédente section nous permet d écrire : x R,P(x) = 32 cos6x 6 cos4x 32 cos2x+ 6 Schnt que : n N, x R,(sinnx) = ncos(nx) et (cosnx) = nsin(nx), P dmet pour primitive l fonction F définie sur R pr : 4 Clcul de cosnφ et sinnφ. Rppelons l formule de Moivre : x R, F(x) = 92 sin6x 64 sin4x 64 sin2x+ 6 x. φ R, Z, (cosφ+isinφ) n = cosnφ+isinnφ. Elle permet de trouver l expression de cosnφ et de sinnφ en fonction de cosφ et de sinφ. Exemple : n 2 φ R, (cosφ+isinφ) 2 = cos 2 φ sin 2 φ+2isinφcosφ = cos2φ+isin2φ Donc : et φ R, cos2φ = cos 2 φ sin 2 φ φ R,sin2φ = 2sinφcosφ. Exercice 3.. Clculer cos5φ et sin5φ en fonction de cosφ et sinφ. 2. En déduire que : cotn5φ = 0tn2 φ+5tn 4 φ 5tnφ 0tn 3 φ+tn 5 φ 0

5 Formules trigonométriques. Les formules de trigonométrie vues en ère S, et bien d utres, peuvent être rpidement démontrées en utilisnt les complexes. 5. Exemples Exemple n Soit à démontrer que : (x;y) R 2,cosxcosy = 2 (cos(x+y)+cos(x y)). On utilise l même méthode vue dns. (x;y) R 2,cosxcosy = (e ix +e ix) ( e iy +e iy) 4 (x;y) R 2,cosxcosy = (e i(x+y) +e i(x y) +e i(y x) +e i(x+y)) 4 (x;y) R 2,cosxcosy = (e i(x+y) +e i(x+y) +e i(x y) +e i(x y)) 4 (x;y) R 2,cosxcosy = 4 (2cos(x+y)+2cos(x y)) Ce qui donne l formule demndée : (x;y) R 2,cosxcosy = 2 (cos(x+y)+cos(x y)). Exemple n 2 Soit à démontrer que : (p;q) R 2,cosp+cosq = 2cos p+q 2 cos p q 2 Cette églité est une conséquence de l exemple précédent mis peut être démontrée directement : (p;q) R 2,cosp+cosq = 2 (eip +e ip +e iq +e iq ). Or : (p;q) R 2,e ip +e iq i = e ( ) p+q 2 i e ( ) p q 2 i +e ( p q ) 2 i = 2e ( ) p+q 2 ( ) p q cos 2 Pr conséquent : (p;q) R 2,cosp+cosq = 2 (2ei(p+q 2 ( ) p q L fonction cosinus étnt pire : cos = cos 2 Ce qui prouve l églité. ( p q () (p;q) R 2, cosp+cosq = cos 2 ( p q () (p;q) R 2,cosp+cosq = cos 2 ) p q cos( )+2e i( p+q 2 2 ( ) p+q nous vons : 2 ) e i(p+q 2 ) ( 2cos ( p+q 2 ) p+q cos( ))() 2 ) +e i( p+q 2 )). )

5.2 Exercices Exercice 4. Démontrer que : x R,sin3xcos5x = 2 (sin8x sin2x). Exercice 5.. Fctoriser f(x) = sinx+sin2x+sin3x+sin4x. 2. En déduire le signe de f(x) sur ] π;π]. Exercice 6. Montrer que : x R, cosxsin 4 x = 6 (cos5x 3cos3x+2cosx). Exercice 7. Aix Mrseille 987 Clculer I = π 4 0 ( x 0 ) sin 5 tcostdt dx. 2

Deuxième prtie Les fonctions Générlités Définition.. Une reltion de R dns R est une fonction si tout réel x est relié à u plus un élément y de R : y est lors noté f(x), et l on écrit : f : R R x f(x) Remrque : On prle de l fonction f et non de l fonction f(x) : en effet f(x) est un réel et non ps une fonction. L ensemble des réels x ynt une imge pr f est ppelé ensemble de définition de f, souvent noté D ou D f. Si f est définie sur R, f est une ppliction de R dns R. Réciproquement : Etnt donné un réel y, s il existe un réel x tel que y = f(x), x est lors ppelé ntécédent de y pr l fonction f. Exemple.. L fonction prtie entière Cette fonction ssocie à tout réel x le plus grnd entier inférieur à x, notée E ou. n Z, x [n;n+[, E(x) = n. Conséquences : et : Courbe représenttive : x R, E(x) x < E(x)+. x R, n Z, E(x+n) = E(x)+n. 4 3 2 3 2 0 2 3 4 5 6 2 3

. Imge d une prtie A Définition.2. Soit A R. On ppelle imge de A pr l fonction f l ensemble des réels f(x) lorsque x décrit A. On note cet ensemble f(a) : f(a) = {f(x),x A} = {y R/ x A, y = f(x).} Exemple.2. : Alors f(a) = [0;6[. f : R R x x 2 et A = [ ;4[. Si A = D f, f(d f ) est ppelé l imge de f et est noté Im f. Il s git donc de l ensemble des réels ynt un ntécédent pr f. Exemple.3. : Alors : Im f = R +. f : R R x x 2.2 Imge réciproque d une prtie B Définition.3. Soit B R. On ppelle imge réciproque de B pr f l ensemble des ntécédents pr f des éléments de B. On le note f (B) : f (B) = {x R,/f(x) B}. Exemple.4. Si B = {α}, lors f (B) = {x R/f(x) = α} est l ensemble des ntécédents du réel α pr f : Si f est l fonction crré définie sur R, f ({3}) = { 3; 3}. Exemple.5. Si B =];4], lors f (B) = [ 2; [ ];2]. f : R R x x 2 Exemple.6. Si f est l fonction prtie entière : x R Z, f (x) =. Remrque : l nottion f (B) ne signifie ps que f est bijective, ni que l fonction f existe..3 Eglité de deux fonctions. Comprisons. Définition.4. Deux fonctions f et g sont égles si et seulement si : D f = D g x D f, f(x) = g(x). 4

Définition.5. De même : l reltion f g signifie que : D f = D g x D f, f(x) g(x)..4 Restriction d une fonction Définition.6. Soit A une prtie de l ensemble de définition D f d une fonction f. On ppelle restriction de f à A l ppliction g définie sur A pr : g est notée f /A. x A, g(x) = f(x). Remrques : f = f /A A = D f. L restriction d une fonction à son ensemble de définition est une ppliction..5 Prolongement d une fonction Définition.7. Si une prtie A de R contient l ensemble de définition d une fonction f, on ppelle prolongement de f à A toute ppliction g définie sur A telle que : g /Df = f. Exemple.7. R R f : x x2 x f est définie sur R. Tout prolongement g de f à R est défini pr : x R, g(x) = x g : x R +, g(x) = x g(0) = où est un réel quelconque. Remrque : Si = 0, le prolongement obtenu donne une fonction g continue sur R : l fonction g est ppelée prolongement pr continuité de f..6 Appliction injective ou injection Définition.8. Une fonction f est injective si et seulement si tout réel dmet u plus un ntécédent pr f, c est-à-dire : si : (x;x ) D 2 f, f(x) = f(x ) = x = x ou bien : (x;x ) D 2 f, x x = f(x) f(x ) 5

{ R R Exemple.8. L fonction f : x x 3 est injective. En effet : (x;x ) R 2,: f(x) = f(x ) x 3 = x 3 (x x )(x 2 +xx +x 2 ) = 0 Or (x;x ) R 2 {(0;0)}, x 2 +xx +x 2 0, donc : (x;x ) R 2,: f(x) = f(x ) x x = 0. { R R Contre-exemple : f : x x 2 n est ps injective cr 5 5 et f(5) = f( 5)..7 Appliction surjective ou surjection Définition.9. Une fonction f définie sur D f est surjective de D f sur un ensemble B si tout réel de B dmet u moins un ntécédent pr f, c est-à-dire : y B, x D f, y = f(x). Exemple.9. Lfonctionf : R R x x 2 estunesurjectiondersurr + cr: y R +, x R,y = x 2. Remrque : Une ppliction f est toujours surjective de D f sur Im f..8 Appliction bijective ou bijection Définition.0. Une fonction f définie sur D f est bijective de D f sur un ensemble B si tout réel de B possède un unique ntécédent pr f, c est-à-dire : y B,!x D f,y = f(x). Exemple.0. L fonction f : R R x x 2 est une bijection de R + sur R + cr : x R +,!x R +,y = x 2 vec x = y. Théorème.. f est une bijection de A sur B si et seulement si f est injective et surjective. Propriété.. Si f est une ppliction bijective de A sur B, on peut définir une ppliction de B dns A, notée f, ppelée ppliction réciproque de f, pr : f : B A y f (y) = x vec y = f(x) Définition.. Une ppliction telle que f = f est ppelée ppliction involutive ou involution. 6

.9 Courbe représenttive ou grphe d une fonction Définition.2. L courbe représenttive C ou C f d une fonction f dns un repère crtésien (O; i; j) est l ensemble des points M de coordonnées (x; f(x)) dns ce repère lorsque x décrit l ensemble de définition de f. C = {M(x;f(x)) (O; i; j) /x D f } Proposition.. : M C, x D f, OM = x i+f(x) j. Proposition.2. : Si f est bijective de A vers B, le grphe de f est, dns un repère orthonormé,l imge de l courbe de f pr l réflexion d xe l droite d éqution y = x, ppelée première bissectrice. Conséquence : le grphe d une involution est symétrique pr rpport à l première bissectrice. Exemple.. grphe de l fonction inverse..0 Chngement d origine Théorème.2. Soit R = (O; i; j) un repère donnéet soit Ω le pointde coordonnées(;b) dns ce repère ( on donc OΩ = i+b j). Soit R = (Ω; i; j) un nouveu repère. Donnons-nous un point M dont les coordonnées dns R sont (x;y) et dont les coordonnées dns R sont (X;Y). Les formules de chngement d origine sont : { x = X+ y = Y +b Démonstrtion. OM = x i+y j et ΩM = X i+y j. Or OM = OΩ+ ΩM donc : x i+y j = i+b j+x i+y j. Eqution d une courbe dns les deux repères Soit C f l courbe représenttive d une fonction f dns le repère (O; i; j). M(x;y) C f y = f(x) Y +b = f(x+) Y = F(X) où F est une nouvelle fonction. Y = F(X) est l éqution de l courbe C f dns le repère (Ω; i; j). F est l fonction dont le grphe est C f dns le repère (Ω; i; j).. Domine d étude Soit f une fonction définie sur un ensemble D. 7

Définition.3. f est pire si et seulement si : i) x D, x D (D est symétrique pr rpport à 0). ii) x D, f( x) = f(x). C f est invrinte pr l réflexion d xe (Oy) dns un repère orthogonl. On étudie lors f sur D [0;+ [. f est impire si et seulement si : i) x D, x D (D est symétrique pr rpport à 0). ii) x D, f( x) = f(x). C f est globlement invrinte pr l symétrie de centre O quel que soit le repère. On étudie lors f sur D [0;+ [. L droite d éqution x = est un xe de symétrie de l courbe C f dns un repère orthogonl si et seulement si l fonction F définie ci-dessus est pire. Le point Ω est un centre de symétrie de C f si et seulement si l fonction F définie ci-dessus est impire. Autre méthode : L droite d éqution x = est xe de symétrie de C f si et seulement si : x D,2 x D et x D,f(2 x) = f(x). Le point Ω(;b) est centre de symétrie de C f si et seulement si : x D,2 x D et x D,f( x)+f(+x) = 2b. f est périodique de période T 0 si et seulement si : x D, x+t D et x T D, et x D,f(x+T) = f(x). C f est lors globlement invrinte pr les trnsltions de vecteur kt i, pour tout k de Z. Il existe lors une période T strictement positive : f est dite T-périodique. On étudie lors f sur D [0;T[. On ppelle période fondmentle l plus petite période strictement positive. Exemple.2. Les fonctions cos et sin ont pour période fondmentle 2π. Exercice 8. Soit ω et φ deux réels donnés de R R. Quelle est l période fondmentle des fonctions x sin(ωx+φ) et x cos(ωx+φ)?.2 Chngement de bse On note (O; i; j) un premier repère, et soient I = i+b j et I = c i+d j deux vecteurs du pln vec (,b,c,d) un élément de R 4. Ces deux vecteurs du pln forment une nouvelle bse du pln si et seulement si ils ne sont ps colinéires, ce qui est équivlent u fit que leurs coordonnées ne sont ps proportionnelles, ce qui est équivlent ussi à d bc 0. Un point M pour coordonnées (x;y) dns le repère (O; i; j) et (X;Y) dns le repère (O; I; I). On lors : Théorème.3. { x = X+cY y = bx+dy Exemple.3. On suppose que le repère (O; i; j) est orthonormé direct, et que le repère (O; I; J) est déduit du précédent pr l rottion de centre O est d ngle θ[2π]. Dns ce cs : I = cosθ i+sinθ j et I = sinθ i+cosθ j. Eqution d une courbe dns deux repères. 8

Soit C f l courbe représenttive de f dns le repère (O; i; j). M(x;y) C f y = f(x) bx+cy = f(x+cy). Suivnt l expression de f, il peut ne ps être possible d exprimer Y en fonction de X. Exemple.4. Soit f : x x 2. Soit C f s courbe représenttive dns le repère (O; i; j). Posons : I = i+ j et I = i+ j. Ces deux nouveux vecteurs ne sont ps colinéires, et : M(x;y) C f y = x 2 X+Y = (X Y) 2 Y 2 (2X+)Y +X 2 X = 0. L prbole d éqution y = x 2 dns le premier repère pour éqution Y 2 (2X+)Y +X 2 X = 0 dns le second. Dns ce cs, elle n est plus l courbe représenttive d une fonction et correspond à l réunion de courbes de deux fonctions..3 Fonction mjorée, minorée, bornée Définition.4. Soit A une prtie de R. A est mjorée pr le réel M si : x A, x M. M est un mjornt de A. A est minorée pr le réel m si : x A, m x. m est un minornt de A. Tout réel supérieur à M est mjornt de A; tout réel inférieur à m est minornt de A. M est le mximum de A si M est un mjornt de A et pprtient à A : on le note mxa. m est le minimum de A si m est un minornt de A et pprtient à A : on le note mina. Un ensemble mjoré n ps toujours de mximum. On ppelle borne { supérieure de A le plus petit des mjornts { de A, on le note supa. x A,x r x A,x r r = supa s R,[( x A,x s) = r s] ε > 0, x A,r ε < x r On ppelle{ borne inférieure de A le plus grnd des minornts { de A, on le note infa. x A,x r x A,x r r = infa s R,[( x A,x s) = r s] ε > 0, x A,r x < r+ε Exercice 9. Soit A = {x R + /x 2 < 2}. Montrer que A est mjorée pr 2, que 2 est l borne supérieure de A mis que A n ps de mximum. Remrque : Si mxa existe, lors mxa = supa. Théorème.4. Toute prtie non vide et mjorée de R possède une borne supérieure. Toute prtie non vide et minorée de R possède une borne inférieure. Définition.5. Soit f une fonction définie sur un ensemble D. Soit A une prtie de D. f est mjorée sur A si {f(x),x A} est mjoré, c est-à-dire si : M R, x A,f(x) M. f est minorée sur A si {f(x),x A} est minoré, c est-à-dire si : m R, x A,f(x) m. f est bornée sur A si {f(x),x A} est borné, c est-à-dire si : M R, m R, x A,m f(x) M. Dns ce cs : k R, x R, f(x) k. f dmet un mximum reltif (ou locl ) en x 0 de D s il existe un voisinge V de x 0, tel que : x V, f(x) f(x 0 ). f dmet un minimum reltif (ou locl ) en x 0 de D s il existe un voisinge V de x 0, tel que : x V, f(x 0 ) f(x). 9

.4 Opértions sur les fonctions Définition.6. Soient f et g deux fonctions définies sur le même ensemble D. Somme L fonction f+g est définie sur D pr : x D, (f+g)(x) = f(x)+g(x). Produit L fonction f g est définie sur D pr : x D, (f g)(x) = f(x) g(x). Produit pr un sclire Soit λ un réel. L fonction λf est définie sur D pr : x D, (λf)(x) = λ f(x). Inverse On ppelle zéro d une fonction f tout réel x de D tel que f(x) = 0. Soit A l ensemble des zéros de f. (A = f (0)). L fonction ( ) f est définie sur D A pr : x D A, (x) = f f(x) Quotient L fonction g ( g ) f est définie sur D A pr : x D A, (x) = g(x) f f(x) Composée ou produit de composition Soit f une fonction définie sur D f telle que g soit définie sur f(d f ) (donc : f(d f ) D g ). On définit l fonction g f pr : x D f, (g f)(x) = g[f(x)]. Le produit de composition n est ps une opértion commuttive cr en générl : g f f g. Pr contre, ce produit est ssocitif : Si h (g f) existe, lors : h (g f) = (h g) f = h g f. Remrque : Si f est bijective de A sur B, f f = Id A et f f = Id B. f est une involution de A si et seulement si : f f = Id A..5 Exercices Exercice 0. Montrer qu un ppliction strictement monotone sur un intervlle I est injective de I dns R. Exercice. Montrer que l fonction f : x x+b, où, b,c et d sont des réels tels que : c 0 cx+d d bc 0 est bijective d un ensemble A sur un ensemble B à déterminer. Expliciter lors (f /A ). Exercice 2. Soit f : x x 2 +4x 3. Montrer que f /] ; 2] et f /[ 2;+ [ sont des bijections sur des ensembles à définir. Préciser dns chque cs l ppliction réciproque de ces restrictions. x Exercice 3. Soit f : x Déterminer son ensemble de définition et son imge. x 3 Même question vec f : x sinπx Exercice 4. Préciser si les fonctions suivntes sont injectives, surjectives, bijectives de A sur B à déterminer. f : x x+3; g : x x 2 +2x; h : x x + x+2 +3x Exercice 5. Montrer que l fonction sinus est T-périodique si et seulement si cost = et sint = 0. Exercice 6. Montrer que l fonction f : x x E(x) est -périodique et que l ensemble de ses périodes est Z. Exercice 7. On ppelle fonction crctéristique d une prtie A de R l ppliction χ A définie pr : { x A,χA (x) = x / A,χ A (x) = 0 Montrer que l ensemble des périodes de l fonction crctéristique de Q est Q. Exercice 8. Soit C l courbe d éqution x 2 2 3 y y 2 + 3x + y + = 0 dns un repère (O; i; j). On considère le repère (O; I; J) déduit du premier repère pr l rottion de centre O et d ngle θ[2π].. Exprimer I et J en fonction de i et j, puis les coordonnées (x;y) d un point M dns le premier repère en fonction des coordonnées (X;Y) du point M dns le second repère. 20

2. Justifier que l éqution de C dns le second repère est : ( X 2 cos2θ ( sin2θ )+Y 2 cos2θ+ ) sin2θ +XY 3 3 Y( 3sinθ+cosθ)+ = 0. ( 2 ) cos2θ 2sin2θ +X( 3cosθ+sinθ)+ 3 3. En déduire que cette éqution peut se mettre sous l forme XY +bx+cy +d = 0 si et seulement si tn2θ = 3. En déduire dns ce cs une vleur de θ et l éqution de C dns le repère (O, I, J). 4. Reconnître C et montrer qu elle un centre de symétrie dont on donner les coordonnées dns le premier repère. { x x si x est pir Exercice 9. Soit f et g deux pplictions de N dns N définies pr f : x 2x et g : 2 x 0 si x est impir. f est-elle injective? est-elle surjective de N sur N? 2. g est-elle injective? est-elle surjective de N sur N? 3. Déterminer g f. En déduire que g f = Id N n implique ps que f est bijective, ni que f = g. 4. Montrer que si f est une ppliction de A dns B, g une ppliction de B dns A telles que g f = Id A et f g = Id B, lors f est bijective de A sur B et f = g. Exercice 20. Soit f : x x 3 + x+3 x 2. Montrer que f est pire, mjorée et non minorée. Exercice 2. Montrer que l courbe d éqution d éqution y = 9x 5 +5x 4 +2x 3 + 6 3 x2 + 38 9 un centre de symétrie. Exercice 22. Etudier les fonctions suivntes et trcer ( ) leur courbe représenttive : f : x ( ) E(x) (x E(x)), g : x E(x 2 ) et f : x E x 2 Limite d une fonction. Continuité 2. Limite finie en un point x 0 de R 2.. Définitions x+ 47 27 dmet Soit f une fonction définie u moins sur un ensemble D de l forme ]x 0 h;x 0 + h[ ou ]x 0 h;x 0 [ ou ]x 0 h;x 0 [ ]x 0 ;x 0 +h[ ou [x 0 ;x 0 +h[ ou ]x 0 h;x 0 [ ou ]x 0 ;x 0 +h[ où h est un réel strictement positif. Définition 2.. Un tel ensemble D est ppelé voisinge de x 0. Un intervlle I est pr conséquent un voisinge du réel x 0 s i est de l forme : ]x 0 h;x 0 +h[ ou ]x 0 h;x 0 [ ou [x 0 ;x 0 +h[ ou ]x 0 h;x 0 [ ou ]x 0 ;x 0 +h[ où h est un réel strictement positif. Définition 2.2. On dit que f pour limite le réel l en x 0 si f(x) l peut être rendu ussi petit que l on veut lorsque x se rpproche de x 0, c est-à-dire lorsque x x 0 est suffismment petit. Autrement dit : ε > 0, α > 0, x D, x x 0 < α = f(x) l < ε. On note lors lim x x 0 f(x) = l ou lim x0 f(x) = l ou f(x) x x0 l 2..2 Propriétés Théorème 2.. Les fonctions x x n vec n N et x x ont pour limite 0 en 0. 2

Proposition 2... Si f une limite en x 0, cette limite est unique. 2. Si lim x0 f(x) = l lors lim x0 f(x) = l. Lréciproqueestfusse!Soitf : x x2 = R {} et x D, f(x) = x+. x festdéfiniesurd Donc lim f = 2 mis f n ps de limite en. 3. Si f une limite finie en x 0, f est bornée u voisinge de x 0. 4. Si f une limite finie l non nulle en x 0, f grde un signe constnt u voisinge de x 0 qui est le signe de l. Remrque fondmentle : Il n est ps nécessire que f soit définie en x 0 pour voir une limite finie en x 0. Exemple 2.. f : x x2 x : f n est ps définie en 0 mis lim 0 f = 0. Pr contre, si f est définie en x 0 et si f possède une limite finie l en x 0, lors nécessirement : l = f(x 0 ). On dit lors que f est continue en x 0. Théorème 2.2. Théorèmes de comprison. Théorème des gendrmes S il existe deux fonctions g et h de même limite finie l en x 0, et si : lors f une limite finie en x 0 et : lim x0 f = l. 2. Si f et g sont deux fonctions telles que : x D, g(x) f(x) h(x), x D, f(x) < g(x) et lim x0 f = l et lim x0 g = l, lors l l. Remrquer qu il y ffiblissement des inéglités : l inéglité concernnt les fonction est stricte; lors que celle concernnt les limites est fible. 2..3 Exemples de fonctions continues. L fonction f : x x est continue en tout point de R +. () Si x 0 = 0, lim 0 x = 0 = f(0) : f est continue en 0. (b) Soit x 0 > 0. f est définie sur un intervlle I de l forme ]x 0 h;x 0 +h[, h étnt un réel strictement positif. ] x0 Pr exemple, f est définie sur 2 ; 3x [ 0 en ynt posé h = x 0 2 2 x I, f(x) f(x 0 ) = x x 0 x+ x 0 < x x 0 x 0 x x 0 Or : lim x0 x = 0, donc lim x = x0 = f(x 0 ). x0 0 2. L fonction f : x sinx est continue en tout point de R. () Soit x 0 = 0. x Donc lim 0 sinx = 0 = f(0) : f est continue en 0. ] π 2 ; π [, 0 sinx x. 2 22

(b) Soit x 0 0. f est définie sur un intervlle I de l forme ]x 0 h;x 0 +h[, h étnt un réel strictement positif. x I, f(x) f(x 0 ) = 2 cos x+x 0 sin x x 0 2 2 2 sin x x 0 2. Or, lim x0 sin x x 0 2 = 0 cr l fonction sinus est continue en 0. Donc : limsinx = sinx 0 = f(x 0 ). x 0 3. Une fonction polynôme f : x n x n + n x n + + x + 0, vec n 0 est continue en tout point de R. Soit x 0 R. f est définie sur un intervlle I de l forme ]x 0 h;x 0 + h[, h étnt un réel strictement positif fixé. x R, f(x) f(x 0 ) = (x x 0 )g(x), où g est une fonction polynôme de degré n. Posons pr exemple : g : x n x n +b n x n 2 + +b 2 x+b. Il existe deux réels m et M tels que : x I, x m et, vi l inéglité tringulire : x I, g(x) n x n + b n x n 2 + + b 2 x + b M. Donc : x I,0 f(x) f(x 0 ) M x x 0 et pr conséquent : lim x0 f(x) = f(x). Remrques : m = x 0 +h. Le réel M est fonction de m et des coefficients de g. 2..4 Prolongement pr continuité Définition 2.3. Si f n estps définie en x 0 et si f possède une limite finie l en x 0, on peut lors prolonger f en x 0 en définissnt l fonction g pr : g est continue en x 0 cr : limg = limf = l = g(x 0 ). x0 x0 g est le prolongement pr continuité de f en x 0. x D f, g(x) = f(x) et g(x 0 ) = l. Exemple 2.2. L fonction f : x sinx définie sur R se prolonge pr continuité en 0. En effet : [ x x 0; π ], sinx x tnx, donc : ] 2 x 0; π [, x 2 sinx ] cosx et pr prité : x π 2 ; π [, x 2 sinx cosx. sinx Pr conséquent : lim =. 0 x Le prolongement pr continuité en 0 de l fonction f : x sinx est l fonction g définie pr : x x R, g(x) = sinx et g(0) =. x 2.2 Limite à droite en un point x 0 de R. Limite à guche en x 0 2.2. Définitions Définition 2.4. On dit que f pour limite à droite en x 0 le nombre réel l si l restriction de f à D ]x 0 ;+ [ pour limite l en x 0. On note lors lim f(x) = l ou limf(x) = l ou f(x) l ou lim f(x) = l. x x + 0 x + 0 x x + 0 x x 0 x > x 0 23

Remrque importnte Si f est définie en x 0, on n ps nécessirement l = f(x 0 ). Définition 2.5. Si f est définie en x 0 et si limf = f(x 0 ), on dit que f est continue à droite de x 0. x + 0 Si f est définie en x 0 et si limf f(x 0 ), on dit que f n est ps continue à droite de x 0. x + 0 Définition 2.6. On dit que f pour limite à guche en x 0 le nombre réel l si l restriction de f à D ] ;x 0 [ pour limite l en x 0. On note lors lim f(x) = l ou limf(x) = l ou f(x) l ou lim f(x) = l. x x 0 x 0 x x 0 x x 0 x < x 0 Exemple 2.3. f : x x : lim x f(x) = 0 f(). L fonction prtie entière n est donc ps continue à guche de. Définition 2.7. Si f est définie en x 0 et si limf = f(x 0 ), on dit que f est continue à guche de x 0. x 0 Si f est définie en x 0 et si limf f(x 0 ), on dit que f n est ps continue à guche de x 0. x 0 2.2.2 Prolongement pr continuité à guche ou à droite Exemple 2.4. Soit f : x x2 x Ecrivons f(x) sns employer les vleurs bsolues : limf = 2 et lim f = 2. + Il est donc possible de définir : le prolongement pr continuité à guche g de f : g : g (x) = x si x < g (x) = x+ si x > g () = 2 L fonction f est définie sur R {}. { f(x) = x si x < f(x) = x+ si x > que l on peut ussi écrire g : le prolongement pr continuité à droite g 2 de f : g 2 (x) = x+ si x < g 2 : g 2 (x) = x+ si x > que l on peut ussi écrire g 2 : g 2 () = 2 { g (x) = x si x g (x) = x+ si x > { g2 (x) = x si x < g 2 (x) = x+ si x Théorème 2.3. Si f n est ps définie en x 0 : limf = l limf = limf = l. x0 x x + 0 0 24

Théorème 2.4. Si f est définie en x 0 : si limf limf, f n ps de limite en x 0. x + x 0 0 si lim x + 0 si lim x + 0 f = lim x 0 f = lim x 0 f = l f(x 0 ), f n ps de limite en x 0. f,= f(x 0 ), f une limite en x 0 qui est égle à f(x 0 ) et donc est continue en x 0. Définition 2.8. On dit qu une fonction f est continue sur un intervlle I si elle est continue en tout point de I. 3 Extension de l notion de limite 3. Limite finie d une fonction en + ou 3.. Définitions Soit f une fonction définie u moins sur un intervlle de l forme ];+ [ vec > 0 (resp. sur ] ;b[ vec b < 0). Définition 3.. f pour limite le réel l en + (resp. vers ) si le réel f(x) l peut être rendu ussi petit que l on veut lorsque x tend vers + (resp. vers ), c est-à-dire si : resp : On note lors : Pour les limites en + : lim x + Pour les limites en : lim x ε > 0, A > 0, x ];+ [,[x > A = f(x) l < ε]. ε > 0, A > 0, x ] ;b[,[x < A = f(x) l < ε]. f(x) = l ou limf(x) = l ou f(x) + f(x) = l ou lim Remrque Nous vons les définitions équivlentes : f pour limite le réel l en + (resp. vers ) si : x + l. f(x) = l ou f(x) x l. ε > 0, A > 0, x ];+ [,[x > A = f(x) l ε]. resp : ε > 0, A > 0, x ] ;b[,[x < A = f(x) l ε]. Théorème 3.. Les fonction x x n vec n N ont pour limite 0 en + et en. L fonction x x pour limite 0 en +. Démonstrtion. Clire 25

3..2 Propriétés Théorème 3.2. Théorème de comprison S il existe un réel A strictement positif, un réel l et une fonction φ de limite nulle en + (resp. en ) tels que : resp : lors f pour limite l en + (resp. en ). x ];+ [, [x > A = f(x) l < φ(x)] x ] ;b[, [x < A = f(x) l < φ(x)] Exemple 3.. Soit f : x sinx L fonction sinus n ps de limite ni en + ni en mis : x x R, f(x) x Ceci permet de conclure que f possède une limite en + insi qu une limite en vec : limf = 0 et limf = 0. + Théorème 3.3.. Une fonction croissnte et mjorée sur ];+ [ vec > 0 possède une limite finie en + 2. Une fonction décroissnte et minoré sur ];+ [ vec > 0 possède une limite finie en + 3. Une fonction croissnte et minorée sur ] ;b[ vec b < 0 possède une limite finie en 4. Une fonction décroissnte et mjorée sur ] ;b[ vec b < 0 possède une limite finie en 3.2 Fonction de limite + en x 0, à droite en x 0, à guche en x 0 Soit f une fonction définie u moins sur un ensemble D de l forme ]x 0 h;x 0 + h[ ou ]x 0 h;x 0 [ ou ]x 0 h;x 0 [ ]x 0 ;x 0 +h[ ou [x 0 ;x 0 +h[ ou ]x 0 h;x 0 [ ou ]x 0 ;x 0 +h[ où h est un réel strictement positif, suf en x 0. Définition 3.2.. On dit que f pour limite + en x 0 si f(x) peut être rendu ussi grnd que l on veut lorsque x x 0 est suffismment petit, c est-à-dire si : A > 0, α > 0, x D, [ x x 0 < α = f(x) > A] On note lors lim x0 f = + ou lim x x 0 f(x) = + ou f(x) x x0 +. 2. On dit que f dmet + pour limite à droite en x 0 (resp. à guche de x 0 ) si l restriction de f à ]x 0 ;+ [ (resp.à ] ;x 0 [) pour limite + en x 0. On note lors pour l limite à droite en x 0 : f(x) = +. lim x x + 0 f(x) = + ou lim x + 0 f(x) = + ou f(x) x x + 0 + ou lim x x 0 x > x 0 3.3 Fonction de limite en x 0, à droite en x 0, à guche en x 0 Soit f une fonction définie u moins sur un ensemble D de l forme ]x 0 h;x 0 + h[ ou ]x 0 h;x 0 [ ou ]x 0 h;x 0 [ ]x 0 ;x 0 +h[ ou [x 0 ;x 0 +h[ ou ]x 0 h;x 0 [ ou ]x 0 ;x 0 +h[ où h est un réel strictement positif, suf en x 0. 26

Définition 3.3.. On dit que f pour limite en x 0 si f(x) peut être rendu ussi petit que l on veut lorsque x x 0 est suffismment petit, c est-à-dire si : A > 0, α > 0, x D, [ x x 0 < α = f(x) < A] On note lors lim x0 f = ou lim x x 0 f(x) = ou f(x) x x0. 2. On dit que f dmet pour limite à droite en x 0 (resp. à guche de x 0 ) si l restriction de f à ]x 0 ;+ [ (resp.à ] ;x 0 [) pour limite en x 0. On note lors pour l limite à droite en x 0 : ou f(x) =. lim x x + 0 f(x) = ou lim x + 0 et pour l limiteàguche : lim x x 0 f(x) = ou f(x) x x + 0 f(x) = ou lim x 0 lim x x 0 x > x 0 f(x) = ouf(x) x x 0 ou lim x x 0 x < x 0 f(x) =. Théorème 3.4. f dmet pour limite à droite en x 0 si et seulement si f dmet + pour limite à droite en x 0. 3.4 Fonction de limite + en + (resp. en ) Soit f une fonction définie u moins sur un intervlle de l forme ];+ [ vec > 0 (resp. sur ] ;b[ vec b < 0). Définition 3.4. On dit que f pour limite + en + (resp. en ] [) si f(x) peut être rendu ussi grnd que l on veut lorsque x est suffismment grnd (resp. petit), c es-à-dire si : resp : A > 0, B > 0, x >,[x > B = f(x) > A] A > 0, B > 0, x < b,[x < B = f(x) > A] Les nottions suivent ici ussi le même modèle que précédemment : lim f(x) = +... x + Théorème 3.5. Les fonctions x x n, n N et x x ont pour limite + en +. 3.5 Fonction de limite en + (resp. en ) Soit f une fonction définie u moins sur un intervlle de l forme ];+ [ vec > 0 (resp. sur ] ;b[ vec b < 0). Définition 3.5. On dit que f pour limite en + (resp. en ) si f(x) peut être rendu ussi petit que l on veut lorsque x est suffismment grnd (resp. petit), c es-à-dire si : A > 0, B > 0, x >,[x > B = f(x) < A] resp : A > 0, B > 0, x < b,[x < B = f(x) < A] Théorème 3.6. f dmet pour limite en + si et seulement si f dmet + pour limite en +. 27

3.6 Propriétés des limites infinies Théorème 3.7. Théorèmes de comprison. S il existe une fonction g telle que : il existe un voisinge de x 0 (ou de ou de + ) sur lequel on it : f > g ou f g limg = + (resp. limg = + ) x0 Alors f pour limite + en x 0 ( ou en ou en + ). 2. S il existe une fonction g telle que : il existe un voisinge de x 0 (ou de ou de + ) sur lequel on it : f < g ou f g limg = (resp. limg = x0 Alors f pour limite en x 0 ( ou en ou en + ). Théorème 3.8.. Une fonction croissnte et non mjorée sur ];+ [, > 0 pour limite + en +. 2. Une fonction croissnte et non mjorée sur ];b[ dmet + à guche en b 3. Une fonction décroissnte et non minorée sur ];+ [, > 0 pour limite en + 4. Une fonction décroissnte et non minorée sur ];b[ dmet pour limite à guche en b 4 Opértions sur les limites Les tbleux suivnts sont vlbles pour les limites en x 0, à droite et à guche en x 0, en + et en. Somme lim f l l l + + lim g l + + lim (f+g) l+l + +? Produit lim f l l > 0 l > 0 l < 0 l < 0 l = 0 l = 0 + + lim g l + + + + lim (fg) ll + +?? + + Inverse lim f l 0 0 et f > 0 0 et f < 0 lim + f l Quotient limf l l 0 l 0 ± 0 ε ε ε { ;} ε { ;} limg l 0 0 et g > 0 0 et g < 0 ± 0 0 et g > 0 0 et g < 0 u voisinge u voisinge u voisinge u voisinge de x 0 de x 0 de x 0 de x 0 lim f l g l + si l > 0 si l > 0 F.I F.I ε ε si l < 0 + si l < 0 28

Troisième prtie Dérivtion Dns tout ce qui suit, f désigne une fonction définie sur un intervlle I voisinge d un réel x 0, contennt x 0. Dérivée en un point. Fonction dérivble. Définitions.. Développement limité d ordre Définition.. Une fonction f dmet un développement limité d ordre u point x 0 s il existe un réel A et une fonction ε définie sur I tels que : x I, f(x) = f(x 0 )+A(x x 0 )+(x x 0 )ε(x), vec lim x x 0 ε(x) = 0. Ce qui peut s écrire ussi en posnt x = x 0 +h : f(x 0 +h) = f(x 0 )+Ah+hε(h)vec lim h 0 ε(h) = 0. Définition.2. L ppliction ffine x f(x 0 )+A(x x 0 ) est ppelée fonction tngente à f en x 0. Exemple.. f : x x 2 dmet un développement limité à l ordre en 2, cr : x R,f(x) f(2) = (x 2)(x+2) soit : x R,f(x) = f(2)+2(x 2)+(x 2)x. Donc ici : A = 2 et ε : x x. L fonction tngente correspondnte est Toute fonction ffine f : x x+b possède un développement limité d ordre en tout point x 0 de R : x R,f(x) = f(x 0 )+(x x 0 ). Donc ici : A = et ε : x 0. L fonction x x ne possède ps de développement limité à l ordre en 0. En effet, nous urions : x ]0;+ [, ε(x) = Or lim x 0 +ε(x) = lim x 0+ x x x = +, ce qui contredit donc l définition de ε. Remrque : Exemple d un { développement d ordre 2 x R Soit ε l fonction définie pr, ε(x) = cosx x 2 2 ε(0) = 0 cosx Cette fonction possède une limite nulle en 0 cr lim = Elle est donc continue en 0 et : x 0 x 2 2 x R, cosx = 2 x2 +x 2 ε(x) vec lim x 0 ε(x) = 0. Cette églité est le développement limité d ordre 2 de l fonction cosinus en 0, cr l exposnt de (x x 0 ) dns le dernier terme est égl à 2...2 Fonction différentible- Nombre dérivé Définition.3. Une fonction f est différentible-ou dérivble- en x 0 si et seulement si l fonction x f(x) f(x 0) x x 0 possède une limite finie en x 0. 29

Théorème.. L fonction f est différentible en x 0 si et seulement si elle y dmet un développement limité d ordre. Démonstrtion. Si f est dérivble en x 0, lors : soit : f(x) f(x 0) x x 0.2 Fonction dérivée x I, f(x) = f(x 0 )+A(x x 0 )+(x x 0 )ε(x), vec lim x x 0 ε(x) = 0. f(x) f(x 0 ) = A+ε(x) et donc : lim = A. x x 0 x x 0 Définition.4. On dit qu une fonction f est dérivble sur un intervlle ouvert I si et seulement si elle est dérivble en tout point de I. On ppelle lors fonction dérivée de f et on notef, l ppliction de I vers R, qui à tout réel x de I ssocie le nombre dérivé u point x : Nottion différentielle : On note ussi : f = df dx f : I R x f (x) Définition.5. On dit qu une fonction f est dérivble sur un intervlle [;b] si et seulement si elle est dérivble sur ];b[, dérivble à droite u point et dérivble à guche u point b. Exemple.2. Toute fonction polynomile est dérivble sur R. Les fonctions cosinus et sinus sont dérivbles sur R. L fonction vleur bsolue est dérivble sur R + et sur R. L fonction rcine crrée est dérivble sur ]0;+ [. Une fonction rtionnelle est dérivble sur tout intervlle sur lequel elle est définie. Théorème.2. Toute fonction dérivble continue sur un intervlle I y est continue. Remrque : L réciproque est fusse! L fonction vleur bsolue est continue sur R mis n y est ps dérivble! 2 Dérivée d une fonction réciproque Nous dmettrons le théorème suivnt : Théorème 2.. Soit f une fonction dérivble et strictement monotone sur un intervlle ];b[. S fonction réciproque f est dérivble en tout point y 0 = f(x 0 ) de f <];b[> tel que f (x 0 ) 0 et : (f ) (y 0 ) = f (f (y 0 )) Remrque Si f (x 0 ) = 0, lors f n est ps dérivble en y 0 mis l courbe représenttive de f possède une demi-tngente prllèle à l xe des ordonnées u point de coordonnées (y 0 ;f (y 0 ). Afin d étudier l ensemble de dérivbilité de f il convient donc dns l ordre : De résoudre l éqution f (x) = 0. De déterminer l mge pr f des solutions insi trouvées. f est lors dérivble sur l intervlle f <];b[> dont on ur exclu les imges trouvées ci-dessus. 30

3 Accroissements finis 3. Théorème de Rolle Théorème 3.. Soit f une fonction définie sur intervlle [;b] vec < b, telle que : continue sur [;b]; dérivble sur ];b[; f()= f(b). Alors, il existe un réel c de ];b[ tel que f ( c) =0. f() = f(b) c c 2 b Remrque : Ce théorème ssure l existence mis ps l unicité d un tel réel comme le montre l figure ci-dessus. 3.2 Inéglité des ccroissements finis Théorème 3.2. Soit f une fonction dérivble sur un intervlle I. S il existe deux réels m et M tels que m f M sur I, lors pour tous réels et b de I vec b : m(b ) f(b) f() M(b ). Démonstrtion. Soit g l fonction définie sur I pr g(x) = Mx f(x). Alors g est dérivble sur I et pour tout x de I : g (x) = M f (x). L fonction g est donc positive sur I. L fonction g est donc croissnte sur I : Ce qui implique : et donc finlement : (,b) I 2, b = g() g(b). (,b) I 2, b = M f() Mb f(b), (,b) I 2, b = f() f(b) M(b ). L utre inéglité se démontre de même en utilisnt l fonction h définie sur I pr h(x) = mx f(x). 3