Nombres complexes et géométrie euclidienne

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1 19 Nombres complexes et géométrie euclidienne Le corps C des nombres complexes est supposé construit voir le chapitre 7. On rappelle que C est un corps commutatif et un R-espace vectoriel de dimension, de base canonique 1, i où i est une solution complexe de l équation x + 1 = Le plan affine euclidien On suppose connu le plan affine euclidien que l on note P et que l on munit d un repère orthonormé R = O, e 1, e, en désignant par P le plan vectoriel associé à P. Nous rappelons rapidement quelques notions utiles pour la suite. Un point M P est repéré par ses coordonnées x, y R, ce qui signifie qu on a l égalité OM = x e 1 + y e dans P. On notera : v 1 v = x 1 x + y 1 y : le produit scalaire des vecteurs v 1 et v de P ; det B v 1, v = x 1 y x y 1 : le déterminant de v 1, v dans la base B = e 1, e ; AB = AB = x B x A + y B y A : la distance de A à B dans P. On rappelle que si B = e 1, e est une autre base de P, on a : det B v 1, v = det B B det B v 1, v Dans le cas où B est orthonormée comme B, on a det B B = ±1. On rappelle aussi que la base B définit la même orientation de P que B si, et seulement si, det B B > 0. En se fixant une base B, on écrira det pour det B. 19. Le plan d Argand-Cauchy Le plan P est muni d un repère orthonormé R = O, e 1, e. Théorème 19.1 L application ϕ [resp. ϕ ] qui associe à tout nombre complexe z = x + iy le point ϕ z P [resp. le vecteur ϕ z P ] de coordonnées x, y dans le repère R [resp. dans la base e 1, e ] réalise une bijection de C sur P [resp. sur P ]. 35

2 36 Nombres complexes et géométrie euclidienne Démonstration. Résulte du fait que tout nombre complexe [resp. tout point de P ou tout vecteur de P ] est uniquement déterminé par sa partie réelle et sa partie imaginaire [resp. par ses coordonnées dans le repère R ou dans la base e 1, e ]. Tout point M du plan affine P [resp. tout vecteur v du plan vectoriel P ] s écrit donc de manière unique M = ϕ z [resp. v = ϕ z] et peut ainsi être identifié au nombre complexe z. Remarque 19.1 Les bijections ϕ et ϕ dépendent du repère orthonormé R choisi. Remarque 19. L application ϕ est linéaire et donc réalise un isomorphisme d espace vectoriel de C sur P, puisqu elle est bijective. Le plan P muni de cette identification est appelé plan complexe ou plan d Argand-Cauchy. Si M P [resp. v P ] s écrit M = ϕ z [resp. v = ϕ z], on dit que z est l affixe de M [resp. l affixe de v ] et M [resp. v ] le point [resp. vecteur] image de z. On a ϕ 0 = O, le vecteur OM est le vecteur image de z et z est l affixe de OM. Précisément si z = x + iy, on a : ce qui peut s écrire dans P : ϕ 0 ϕ z = OM = x e 1 + y e = ϕ z ϕ z = ϕ 0 + ϕ z et s interprète en disant que ϕ est une application affine de C dans P d application linéaire associée ϕ le plan vectoriel C est naturellement muni d une structure d espace affine. En utilisant cette identification entre P et C, on peut donner les interprétations géométriques suivantes où a, b, z, z désignent des nombres complexes et A, B, M, M leurs images respectives dans P. 1. L axe O x = R e 1 est identifié à l ensemble des nombres réels.. L axe O y = R e est identifié à l ensemble des imaginaires purs. 3. a + b est l affixe du vecteur OC = OA + OB et b a l affixe du vecteur AB = OB OA résulte de la linéarité de ϕ. C A O B 4. R zz = R zz = xx + yy = OM OM. 5. I zz = xy x y = det OM, OM.

3 Équations complexes des droites et cercles du plan zz = R zz + ii zz = OM OM + i det OM, OM. 7. Si A, B, C sont deux à deux distincts, alors ces points sont alignés si, et seulement si, il existe un réel λ tel que AB = λ AC, ce qui équivaut à dire que b a est réel. c a On peut aussi dire que A, B, C sont alignés si, et seulement si : det AC, AB = I b a c a = 0 ce qui équivaut à dire que b a c a est réel. 8. Si les points A, B, C, D sont deux à deux distincts, alors les droites AB et CD sont orthogonales si, et seulement si : AB CD = R b a d c = 0 ce qui équivaut à dire que b a d c est imaginaire pur. Remarque 19.3 Si u, v sont deux nombres complexes avec v non nul, on a les équivalences : u v = 1 uv est réel uv est réel v et : u v = 1 uv est imaginaire pur uv est imaginaire pur v En utilisant les propriétés 7. et 8. précédentes, on en déduit que si A, B, C, D sont des points deux à deux distincts, alors : b a A, B, C sont alignés b a c a R c a R et : AB et CD sont orthogonales b a d c ir b a d c ir Dans ce qui suit, on identifie le plan d Argand-Cauchy P à C. Si A, B, M, M, Ω, sont des points de P, nous noterons a, b, z, z, ω, noter que les affixes de points variables M, M, sont notées z, z, Équations complexes des droites et cercles du plan Droites dans le plan complexe Soit D une droite passant par deux points distincts A, B. Dire que M appartient à D équivaut à dire que les points A, M, B sont alignés, ce qui équivaut encore à dire que z a z b est réel, soit : z a z b = z a z b ce qui s écrit : b a z b a z ab ab = 0

4 38 Nombres complexes et géométrie euclidienne le nombre complexe ab ab = ii ab étant imaginaire pur. En multipliant par i, une équation complexe de la droite D est alors : βz + βz + γ = où β = i a b C et γ est réel. Le nombre complexe β = i a b est l affixe d un vecteur v qui est orthogonal à D. En effet, on a : v AB = R β b a = R i b a = 0. On peut aussi aboutir à ce résultat en utilisant une équation cartésienne de D : ux + vy + w = 0 avec u, v R \ {0, 0} et w R. En écrivant que x = 1 z + z et y = 1 z z pour M i d affixe z, cette équation devient : soit : u z + z vi z z + w = 0 u iv z + u + iv z + w = 0 avec β = u + iv affixe du vecteur v = u e 1 + v e orthogonal à D. Réciproquement une équation du type 19.1 définit une droite. En effet, en écrivant z = x + iy, β = u + iv, cette équation devient : u iv x + iy + u + iv x iy + γ = 0 soit : ux + vy + γ = 0 et c est une droite dirigée par le vecteur d affixe v + iu = iβ ou orthogonale au vecteur d affixe β = u + iv Cercles dans le plan complexe Soit C un cercle de centre Ω et de rayon R > 0 dans le plan P. Dire que M C équivaut à dire que : ce qui se traduit dans le plan complexe par : et peut aussi s écrire : x x Ω + y y Ω = R z ω = R z ω z ω = zz ωz ωz + ω R = 0 Une équation complexe de ce cercle C est donc : où γ = ω R est réel avec ω γ = R > 0. zz ωz ωz + γ = 0 19.

5 Interprétation géométrique du module d un nombre complexe 39 Réciproquement une telle équation définit un cercle. En effet, en écrivant z = x + iy, ω = u + iv, cette équation devient : soit : x + y ux vy + γ = 0 x u + y v + γ u v = 0 et en posant R = u + v γ = ω γ ce réel est positif, on constate qu on a le cercle de centre ω et de rayon ω γ. On a donc montré le résultat suivant. Théorème 19. Toute équation de la forme : αzz + βz + βz + γ = 0 où α, γ sont des réels et β un nombre complexe représente : l ensemble C tout entier si α = β = γ = 0 ; l ensemble vide si α = β = 0 et γ 0 ; une droite dirigée par le vecteur d affixe iβ ou orthogonale vecteur d affixe β si α = 0 et β 0 ; l ensemble vide si α 0 et β α γ α < 0 ; le cercle de centre ω = β β α et de rayon α γ a si α 0 et β α γ α Interprétation géométrique du module d un nombre complexe A priori, a, b, z, z, ω désignent des nombres complexes et A, B, M, M, Ω leurs images respectives dans P relativement à un repère orthonormé R = O, e 1, e Module et distance euclidienne Théorème z = OM = x + y est la distance de O à M ;. b a = AB est la distance de A à B ; 3. l ensemble des nombres complexes z tels que z ω = ρ est identifié au cercle de centre Ω et de rayon ρ 0 ; 4. l ensemble des nombres complexes z tels que z ω < ρ [resp. z ω ρ] est identifié au disque ouvert [resp. fermé] de centre Ω et de rayon ρ 0 ; 5. pour A B, le point M est sur la médiatrice du segment [AB] si, et seulement si, z a = z b. Démonstration. Il suffit de vérifier.

6 330 Nombres complexes et géométrie euclidienne Remarque 19.4 Si R = O, e 1, e est un autre repère orthonormé de P, en désignant par M = ϕ z l image dans P du nombre complexe z = x + iy relativement à R, on a : O M x = e 1 + y e = x + y = z = OM et z = OM est bien indépendant du repère orthonormé choisi. On peut donc aussi définir le module de z comme la distance de O à M où M = ϕ z et O = ϕ 0, ϕ étant la bijection de C sur P relative à un repère quelconque R. Remarque 19.5 L équation complexe z a = z b de la médiatrice du segment [AB] s écrit aussi z a z b = 0, soit : a b z + a b z + b a = 0 et c est une droite dirigée par le vecteur u d affixe iβ = i a b ou orthogonale au vecteur a + b v d affixe β = b a. On constate que le point I d affixe z =, c est-à-dire le milieu de [A, B], est bien sur cette médiatrice. Une équation complexe de cette médiatrice est donc : où λ décrit R. z = a + b L égalité du parallélogramme + iλ b a L égalité suivante valable pour tous nombres complexes z et z : se traduit géométriquement par : z + z = z + R zz + z u + v = u + u v + v 19.3 pour tous vecteurs u, v du plan euclidien P. De cette identité, on déduit que : z + z + z z = z + z qui se traduit géométriquement par : u + v + u v = u + v et s interprète en disant que la somme des carrés des diagonales d un parallélogramme est égale à la somme des carrés des cotés. En effet, en notant M le point d affixe z + z, OMM M est un parallélogramme avec : z = OM = M M puisque l affixe de M M = OM OM est z + z z = z ; z = OM = MM, puisque l affixe de MM = OM OM est z + z z = z ; z + z = OM une diagonale et z z = MM l autre diagonale. Cette identité du parallélogramme est caractéristiques des normes qui se déduisent d un produit scalaire. Nous reviendrons sur cette identité du parallélogramme au paragraphe sur le triangle.

7 Interprétation géométrique du module d un nombre complexe 331 M M O M Fig OM + MM = OM + OM L inégalité de Cauchy-Schwarz L inégalité de Cauchy-Schwarz dans C : R zz z z l égalité étant réalisée si, et seulement si, z et z sont liés sur R théorème 7.5, nous permet de retrouver la même inégalité dans le plan euclidien P : u v u v l égalité étant réalisée si, et seulement si, les vecteurs u et v sont liés. De cette inégalité, on déduit l inégalité triangulaire dans C : z + z z + z l égalité étant réalisée si, et seulement si, z et z sont positivement liés sur R théorème 7.6, qui nous permet de retrouver la même inégalité dans le plan euclidien P : u + v u + v l égalité étant réalisée si, et seulement si, les vecteurs u et v sont positivement liés. Cette inégalité triangulaire s interprète en disant que dans un vrai triangle ABC la longueur d un coté est strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres cotés : BC = AC AB = z z < z + z = AC + AB en notant z l affixe de AC et z celle de AB. De manière plus générale, on a vu que pour toute suite finie z 1,, z n de nombres complexes non nuls avec n, on a : n n z k z k k=1 l égalité étant réalisée si, et seulement si, il existe des réels λ,, λ n tels que z k = λ k z 1 pour k =,, n exercice 7.7. Du point de vue géométrique, en désignant par M k les points n d affixe z k, on en déduit que l égalité OM k = n OM k équivaut à dire que les points k=1 k=1 O, M 1,, M n sont alignés sur la demi-droite [OM 1. k=1

8 33 Nombres complexes et géométrie euclidienne 19.5 Lignes de niveau associées aux module Si X est une partie non vide de C et f une application de C dans R, on appelle lignes de niveau associées a f les sous-ensembles E λ de C définis par : E λ = {z X f z = λ} où λ décrit R. À chaque ligne de niveau E λ, on associe la partie E λ de P formée des points d affixes z E λ. On identifiera les ensembles E λ et E λ. Précisément, on a : E λ = { M P f ϕ 1 M = λ } Par exemple pour ω C donné, les lignes de niveau de : f : z z ω sont définies par : si λ < 0, E λ = {Ω} si λ = 0, le cercle de centre Ω et de rayon λ si λ > 0. Du cours sur les coniques, on déduit les résultats suivants. Pour a b donnés C, les lignes de niveau de : f : z z a + z b sont définies par : si λ < a b, E λ = le segment [AB] si λ = a b, l ellipse de foyers A, B et de grand axe λ si λ > a b. Pour a b donnés C, les lignes de niveau de : f : z z a z b sont définies par : si λ > a b, E λ = la droite AB privée du segment ouvert ]AB[ si λ = a b, l hyperbole de foyers A, B et de grand axe λ si λ < a b. En utilisant la représentation complexe des droites et cercles théorème 19., on peut étudier les lignes de niveau de la fonction : Pour tout réel λ, on a : E λ = { z C \ {a} f : z C \ {a} z b z a } z b z a = λ = {z C z b = λ z a } Pour λ < 0, cet ensemble est vide et pour λ = 0, il est réduit à {b}.

9 Lignes de niveau associées aux module 333 Théorème 19.4 Appolonius Soient a, b deux nombres complexes distincts et λ un réel strictement positif. La ligne de niveau : E λ = {z C z b = λ z a } est identifiée dans P à la médiatrice du segment [AB] si λ = 1 ou au cercle de centre Ω d affixe b λ a λ a b et de rayon R = si λ 1. 1 λ 1 λ soit : Démonstration. L ensemble E λ a pour équation : c est-à-dire : où on a posé : z b = λ z a z b z b = λ z a z a αzz + βz + βz + γ = 0 α = 1 λ β = λ a b γ = b λ a C est donc une droite ou un cercle quand il n est pas vide ou C tout entier. Pour λ = 1, on a : E λ = {z C z b = z a } c est donc l ensemble des points équidistants de A et B, c est-à-dire la médiatrice du segment [AB]. Cette médiatrice ayant pour équation complexe : a b z + a b z + b a = 0 ce qui a été déjà vu avec la remarque Pour λ 1, on a : avec : β α γ α = β αγ α β αγ = λ a b λ a b 1 λ b λ a = λ a + b ab ab = λ a b > 0 et E λ est le cercle de centre Ω ayant pour affixe ω = β α = b λ a λ a b et de rayon R = 1 λ 1 λ. Remarque 19.6 Pour λ = 1, la médiatrice du segment [A, B] coupe le plan affine en deux demi-plans respectivement définis par les inéquations complexes z b < z a c est le demiplan qui contient b et z b > z a c est le demi-plan qui contient a. Remarque 19.7 Pour λ 1, on a : ω = a + 1 λ b a = b + b a 1 λ 1 λ et le centre Ω du cercle E λ est sur la droite AB privée du segment [AB] pour λ > 1, on a 1 1 λ < 0, donc Ω est sur la demi-droite ], A], et pour λ < 1, on a λ > 0, donc Ω 1 λ est sur la demi-droite [B, + [.

10 334 Nombres complexes et géométrie euclidienne Remarque 19.8 Pour λ 1, l égalité 1 λ ω = b λ a, se traduit par : 1 λ OΩ = OB λ OA et signifie que le centre Ω est le barycentre de A, λ et B, 1. On retrouve le fait que ce centre est sur la droite AB. Remarque 19.9 Pour λ 1, les points de E λ AB sont ceux dont l affixe z est telle que : { z ω = R où t est un réel. Pour de tels points, on a : z = ω + t b a z ω = t b a = R = λ a b 1 λ et : Pour λ > 1, on a les deux solutions : t = ± λ 1 λ et : ou encore : c = ω + λ 1 λ b a = a + b a + λ 1 1 λ = a + λ 1 1 b a = a + b a = λ λ 1 λ + 1 d = ω λ 1 λ b a = a + b a λ 1 1 λ = a λ b a = a b a = λ λ 1 λ 1 { λ + 1 c = λa + b λ 1 c = λa b b a λ 1 λ + 1 a + 1 λ + 1 b b a λ 1 λ 1 a 1 λ 1 b ce qui signifie que E λ AB = {C, D} où C est le barycentre de A, λ et B, 1 et D le barycentre de A, λ et B, 1. On procède de manière analogue pour 0 < λ < 1. Par exemple, pour a = 0, b = 3 et λ =, l ensemble : est le cercle de centre 1 et de rayon. E λ = {z C z + 3 = z } Exercice 19.1 Déterminer l ensemble E des nombres complexes z tels que z i = z iz = z 1.

11 Lignes de niveau associées aux module 335 M B A O Fig. 19. z + 3 = z 1 z z 3 Solution 19.1 L ensemble : Fig z i = z iz = z 1 E 1 = { z C z i = z iz = } z est le cercle de centre i et de rayon et l ensemble : E = {z C z i = z 1 } est la médiatrice du segment [1, i]. L ensemble E est l intersection de ces ensembles, soit : { E = 1 + } i, 1 + i figure Exercice Montrer que pour tous nombres complexes a, b, z, on a : z a + z b = z a + b + b a

12 336 Nombres complexes et géométrie euclidienne. Déterminer l ensemble C des points M de P tels que : MA + MB = λ où λ est un réel donné lignes de niveau de f : z z a + z b. Solution En posant z = a + b + t ce qui revient à placer l origine en I d affixe a + b, c est-à-dire au milieu du segment [A, B], on a : z a + z b = t + b a + t b a = t + b a = z a + b b a +. Désignant par I le milieu de [A, B], l identité précédente s écrit : MA + MB = MI + et l égalité MA + MB = λ se traduit par : b a Il en résulte que : b a C = pour λ < ; b a C = {I} pour λ = ; MI = C est le cercle de centre I et de rayon λ b a 4 λ b a pour λ > b a Interprétation géométrique de l argument d un nombre complexe On rappelle que pour tout nombre complexe non nul z, il existe un réel θ tel que : z z = cos θ + i sin θ = eiθ et un tel réel est unique s il est pris dans ] π, π]. On dit que le réel θ est un argument de z et on dit que c est l argument principal s il est pris dans ] π, π]. Par abus de langage, on écrira θ = arg z quand il n y a pas d ambiguïté. On suppose toujours P muni d un repère orthonormé R = O, e 1, e.

13 Interprétation géométrique de l argument d un nombre complexe 337 En utilisant la forme polaire des nombres complexes et l identité : z 1 z = R z z + ii z z = v 1 v + i det v 1, v on peut définir les mesures d un angle orienté de deux vecteurs non nuls v 1 et v. Pour ce faire on écrit que z 1 z = ρe iθ où ρ = z 1 z > 0 v 1 et v sont non nuls et θ R est un argument de z 1 z. On dit alors que θ est une mesure de l angle orienté de vecteurs v 1, v, relativement au repère orthonormé R = O, e 1, e. Si les affixes sont considérées relativement à un autre repère orthonormé R = O, e 1, e, en notant z l affixe du vecteur v relativement à R, on a : avec : z 1z = v 1 v + i det B v 1, v det B v 1, v = det B B det B v 1, v = ± det B v 1, v le calcul du produit scalaire v 1 v ne dépend pas du choix d une base orthonormée. Dans le cas où R définit la même orientation que R, on aura det B B = 1 et z 1z = z 1 z. Cette définition d une mesure d angle orienté de vecteur est donc indépendante du choix d un repère orthonormé orienté. On suppose donc ici que P est orienté par le choix d un repère orthonormé R = O, e 1, e. Tout repère orthonormé définissant la même orientation que R est dit direct. Remarque Le choix d une orientation de P nous permet de définir sans ambiguïté la mesure principale dans ] π, π] d un angle de vecteurs. Ce choix d une orientation correspond au choix d une racine carrée i de 1 dans C. Par abus de langage, on notera v 1, v une mesure de l angle orienté de vecteurs. v 1, v. On peut remarquer que : θ = v 1, z v = arg z 1 z = arg. Une telle mesure d angle orienté est donc définie par : { v1 v = ρ cos θ = v 1 v cos θ det v 1, v = ρ sin θ = v 1 v sin θ On vérifie facilement que pour tout réel non nul λ, on a λ v 1, λ v = v 1, v. En particulier, v 1, v = v 1, v. Les vecteurs v 1 et v sont orthogonaux si, et seulement si, v 1 v = 0, ce qui équivaut à cos θ ou encore à θ = π modulo π. De l identité 19.3, on déduit que : u + v = u + u v cos θ + v Pour θ = π modulo π, on retrouve le théorème de Pythagore. Les vecteurs v 1 et v sont colinéaires si, et seulement si, det v 1, v = 0, ce qui équivaut à sin θ ou encore à θ = 0 modulo π, soit θ {0, π} pour la détermination principale. z 1

14 338 Nombres complexes et géométrie euclidienne On en déduit que les points deux à deux distincts A, B, C sont alignés si, et seulement si, AB, AC 0 modulo π. Précisément, en utilisant la détermination principale de la mesure d angle ou de l argument, on aura AB, AC = 0 si, et seulement si, AC = λ AB avec λ > 0 AB AC = AB AC > 0 et AB, AC = π si, et seulement si, AC = λ AB avec λ < 0 AB AC = AB AC < 0 figure A B C AB, AC 0 A B AB, AC π π C Fig Points alignés Si les points A, B, C sont deux à deux distincts alors un argument de c a b a ou de b a c a est une mesure de l angle orienté θ A = AB, AC et on a : AB AC cos θ A = AB AC det AB, AC sin θ A = AB AC 19.4 En utilisant les propriétés de l argument, on obtient les résultat suivants. Si A, B, C dans P sont deux à deux distincts, alors ces points sont alignés si, et seulement si, arg b a arg c a modulo π. En effet dire que A, B, C sont alignés équivaut à dire que arg b a arg arg b a arg c a π, on a le résultat annoncé. c a v, v 1 arg z1 z arg La relation de Chasles sur les mesures d angle : z z 1 v 1, v π v 1, v + v, v 3 v 1, v 3 π b a 0 π et avec c a

15 Lignes de niveau associées à l argument 339 En effet, on a : v 1, v + v, v 3 arg arg z3 z 1 z z3 + arg z 1 z v 1, v 3 π 19.7 Lignes de niveau associées à l argument Le plan P est muni d un repère orthonormé direct R = O, e 1, e On s intéresse tout d abord à l étude des lignes de niveau de la fonction : f : z C \ {ω} arg z ω où ω est un nombre complexe donné, cette fonction étant a priori à valeurs dans le groupe R quotient πz. Pour tout nombre réel θ, on note : E θ = {z C \ {ω} arg z ω θ π} et E θ est la partie de P correspondante, c est l ensemble : { E θ = M P \ {Ω} e1, ΩM } θ π Théorème 19.5 Si θ est un nombre réel, alors l ensemble E θ est identifié à la demi-droite passant par le point Ω d affixe ω et d angle polaire θ privée du point Ω, soit : { E θ = M P ΩM = ρ cos θ e 1 + sin θ } e avec ρ > 0 figure E ω Ω λ Fig. 19.5

16 340 Nombres complexes et géométrie euclidienne Démonstration. Un nombre complexe z est dans E θ si, et seulement si, il s écrit z = ω+ρe iθ avec ρ > 0, ce qui se traduit dans le plan P par ΩM = ρ v avec ρ > 0, où v = cos θ e 1 + sin θ e est le vecteur d affixe e iθ. L ensemble E θ est donc la demi droite d origine Ω et dirigée par v. Remarque De manière analogue, on vérifie que l ensemble : E θ = {z C \ {ω} arg z ω θ π} est identifié à la droite passant par le point Ω d affixe ω et d angle polaire θ privée du point Ω. L étude des lignes de niveau de la fonction : f : z C \ {a, b} arg z a z b où a, b sont deux nombres complexes distincts, nous fournira un critère de cocyclicité de 4 points du plan. On s intéresse tout d abord aux lignes de niveau : E θ = { z C \ {a, b} arg z a z b } θ π où θ est un réel donné. La fonction f est dans ce cas à valeurs dans le groupe quotient R πz. On note E θ la partie de P correspondante, c est l ensemble : { } E θ = M P \ {A, B} MA, MB θ π Lemme 19.1 Soient z C et θ R. On a : arg z θ π z = ze iθ Démonstration. On désigne par α un argument de z. On a donc z = z e iα et : arg z θ π z = ± z e iθ z = z e iθ = zze iθ z = ze iθ Réciproquement, supposons que z = ze iθ. On a alors : et α θ α π, soit α θ π. Dans le cas où θ 0 π, on retrouve : z = z e iα = ze iθ = z e iθ α z R z = z = ze iθ arg z 0 π Théorème 19.6 Si a, b sont deux nombres complexes distincts et θ un réel, alors l ensemble : { } z a E θ = z C \ {a, b} arg θ π z b est identifié à : la droite AB privée des points A et B si θ est congru à 0 modulo π ;

17 Lignes de niveau associées à l argument 341 B N M A Ω Fig au cercle de centre Ω ayant pour affixe ω = a + b i cotan θ b a et de rayon R = 1 b a sin θ privé des points A et B si θ n est pas congru à 0 modulo π. figure Démonstration. On a déjà vu que les points M, A, B sont alignés si, et seulement si, z a arg 0 π, donc pour θ 0 π, E θ est la droite AB privée des points A et B. z b En désignant par α un argument de z a, pour z C \ {a, b}, en utilisant le lemme z b précédent, on a : z a z a arg θ π z b z b = z a z b eiθ 1 e iθ zz + ae iθ b z + be iθ a z + ab abe iθ = 0 Pour θ 0 π, on a e iθ = 1 et la condition : b a z b a z ab ab = 0 avec z C \ {a, b}, qui est bien l équation de la droite AB privée de A et B. Pour θ non congru à 0 modulo π, on peut diviser par 1 e iθ et on obtient l équation : zz + aeiθ b 1 e z + beiθ a ab abeiθ z + = 0 iθ 1 eiθ 1 e iθ

18 34 Nombres complexes et géométrie euclidienne soit : En écrivant que 1 e iθ = i sin θ e iθ, cette équation s écrit : ou encore : en posant : et : zz aeiθ b i sin θ e z beiθ a ab abeiθ z iθ i sin θ eiθ i sin θ e = 0 iθ zz aeiθ be iθ i sin θ z beiθ ae iθ i sin θ z abe iθ abe iθ i sin θ γ = abeiθ abe iθ i sin θ = 0 zz ωz ωz + γ = ω = beiθ ae iθ i sin θ = ii abe iθ i sin θ Le nombre complexe ω peut s écrire sous la forme : = I abe iθ sin θ R. ω = b a cos θ + i b + a sin θ i sin θ = a + b i cotan θ b a. En écrivant que γ = ab abeiθ et ω = a beiθ, on a : 1 e iθ 1 eiθ a be ω iθ ab abe iθ 1 e iθ γ = 1 e iθ = a + b R abe iθ ab + abe iθ + abe iθ ab 1 e iθ = a + b R abe iθ R ab + R abe iθ 1 e iθ = a + b R ab b a b a 1 e iθ = 1 e iθ = 4 sin θ L équation 19.5 est donc celle du cercle de centre ω = a + b i cotan θ b a et de rayon b a R = sin θ. L ensemble E θ est donc le cercle de centre ω et de rayon R privé des points A et B. Remarque 19.1 Les points A et B sont bien sur le cercle de centre ω et de rayon R puisque : a ω = b ω = b a 1 + i cotan θ = R

19 Lignes de niveau associées à l argument 343 Remarque Le centre du cercle E θ, pour θ non congru à 0 modulo π, ayant une affixe de la forme ω = a + b +iλ b a est sur la droite passant par le milieu de [AB] et perpendiculaire à la droite AB, c est-à-dire sur la médiatrice du segment [AB]. En particulier, pour θ = π b a, on a R = et ω = a + b est l affixe du milieu de [A, B]. L ensemble : { E π = M P \ {A, B} MA, MB π } π est donc le cercle de diamètre [A, B] privé des points A et B. Remarque Au vu du résultat obtenu, il eut été judicieux d utiliser le repère orthonormé direct R = O, e 1, e, où O est le milieu de [AB] et e 1 dirige la droite AB ce repère est-il, a priori, si naturel que ça?. Avec ce choix les affixes de A et B sont respectivement a et a avec a réel non nul et le lieu géométrique : { } E θ = M P \ {A, B} MA, MB θ π correspond à la ligne di niveau : { z a E θ = z C \ { a, a } arg z + a } θ π On a alors : arg z a z + a z a θ π = z a z + a z + a eiθ 1 e iθ zz + a e iθ + 1 z a e iθ + 1 z a 1 e iθ = 0 avec ω = ia cotan θ et γ = a. Et comme : zz + a 1 + eiθ 1 + eiθ z a 1 eiθ 1 e z iθ a = 0 zz + ia cotan θ z ia cotan θ z a = 0 ω γ = a cotan θ + 1 = a sin θ zz ωz ωz + γ = 0 on reconnaît là le cercle centré en Ω d affixe ω et de rayon R = a sin θ avec a = OA = AB = b a. Remarque Quand le point M sur le cercle E θ tend vers B, la droite BM devient tangente au cercle et cette tangente T B fait un angle géométrique θ avec la droite AB. On peut déduire du théorème 19.6 le critère de cocyclicité suivant. Corollaire 19.1 Soient A, B, C, D des points deux à deux distincts. Ces points sont alignés ou cocycliques si, et seulement si, c b d a est réel. c a d b

20 344 Nombres complexes et géométrie euclidienne Démonstration. On a : c b d a c a c b d b R d a arg c a d b d b arg arg d a c b c a 0 π On distingue alors deux cas. c b Soit A, B, C sont alignés et dans ce cas arg 0 π, de sorte que : c a c b d a d b c a d b R arg 0 π A, B, C, D alignés. d a c b Soit A, B, C ne sont pas alignés et dans ce cas arg θ π avec θ non congru à 0 c a modulo π, de sorte que : c b d a d b c a d b R arg θ π A, B, C, D cocycliques. d a π Théorème 19.7 Soient a, b deux nombres complexes distincts et θ un nombre réel. L ensemble : { } z a z C \ {a, b} arg θ π z b est la droite AB privée du segment [AB] si θ 0 modulo π, le segment [AB] privé de A et B si θ π modulo π, ou un arc de cercle d extrémités A, B privé de ces points arc capable, si θ n est pas congru à 0 modulo π. En utilisant l inégalité triangulaire avec son cas d égalité dans C, on a le résultat suivant. Théorème 19.8 Ptolémée Soient A, B, C, D des points deux à deux distincts. Le quadrilatère convexe ABCD est inscriptible dans un cercle si, et seulement si, AC BD = AB CD + AD BC le produit des diagonales est égal à la somme des produits des cotés opposés. Démonstration. Dans tous les cas, on a : AC BD = c a d b = b a d c + d a c b b a d c + d a c b = AB CD + AD BC inégalité de Ptolémée l égalité étant réalisée si, et seulement si, il existe un réel λ > 0 tel que : b a d c = λ d a c b ce qui équivaut à b a d c d a b c = λ R, qui est encore équivalent à : b a d c arg π π d a b c

21 Le triangle dans le plan complexe 345 ou à : et entraîne : soit : arg b a arg d a arg b a arg d a b c π π d c b c d c AB, AD CB, CD et A, B, C, D sont cocycliques. Réciproquement si ces points sont cocycliques, on a : b a b c arg arg π d a d c donc µ = b a d c d a b c R. Si µ > 0, alors AB, AD CB, CD π et les points A, C sont dans le même demi-plan délimité par la droite BD, ce qui contredit le fait que ABCD est convexe. On a donc µ < 0 et b a d c = λ d a c b avec λ > 0, ce qui entraîne l égalité dans l inégalité de Ptolémée Le triangle dans le plan complexe Définition 19.1 On appelle vrai triangle dans le plan P, la donnée de trois points non alignés A, B, C. Si T = ABC est un vrai triangle, on notera : θ A = AB, AC, θ B = π π BC, BA, θ C = CA, CB les mesures principales des angles orientés de vecteurs en A, B et C respectivement figure??. B C A Fig Usuellement, on note respectivement a, b, c les cotés opposés à A, B, C à ne pas confondre avec les abscisses.

22 346 Nombres complexes et géométrie euclidienne Relations trigonométriques pour un triangle Lemme 19. Si T = ABC est un vrai triangle, on a alors : det AB, AC = det CA, CB = det BC, BA 19.6 Démonstration. En utilisant les propriétés du déterminant, on a : det AB, AC = det AC + CB, AC = det CB, AC = det CA, CB et : det AB, AC = det AB, AB + BC = det AB, BC = det BC, BA. Définition 19. On dit que le triangle T est orienté positivement [resp. négativement] ou qu il est direct [resp. indirect] relativement au repère R, si det AB, AC > 0 [resp. det AB, AC < 0]. Du lemme précédent et des relations : det AB, AC sin θ A = AB AC, sin θ B = det BC, BA BC BA, sin θ C = det CA, CB CA CB 19.7 on déduit que les quantités sin θ A, sin θ B et sin θ C sont toutes de même signes. Les déterminations principales de ces mesures d angle seront donc tous dans ]0, π[ pour T direct ou toutes dans ] π, 0[ pour T indirect. Lemme 19.3 Si T = ABC est un vrai triangle, on a alors : θ A + θ B + θ C π π Démonstration. En utilisant la relation de Chasles pour les angles orientés, on a : θ A + θ B + θ C = AB, AC + AC, BC + BC, BA = AB, BC + BC, BA = AB, BA π π Pour un vrai triangle direct [resp. indirect] les déterminations principales de ces angles sont toutes dans ]0, π[ [resp. dans ] π, 0[], donc la somme est dans ]0, 3π[ [resp. dans ] 3π, 0[] congrue à π modulo π et en conséquence est égale à π [resp. π]. On a donc θ A + θ B + θ C = π pour un triangle direct et θ A + θ B + θ C = π pour un triangle indirect. Des relations 19.7 et 19.6 on déduit que : AB AC sin θ A = BC BA sin θ B = CA CB sin θ C ce qui donne : BC sin θ A = AC sin θ B = AB sin θ C 19.8

23 Le triangle dans le plan complexe 347 ou encore avec les notations usuelles : a sin θ A = b sin θ B = c sin θ C. Pour T direct rectangle en A, on a : cos θ A = AB AC AB AC = 0 avec θ A ]0, π[, donc θ A = π. De plus, avec : BC BA = BA + AC BA = BA det BC, BA = det AB, AC = AB AC sin θ A π = AB AC sin = AB AC on déduit que : BC BA cos θ B = BC BA = BA BC BA = BA BC coté adjacent à l angle droit sur l hypoténuse et : det BC, BA AB AC sin θ B = = BC BA BC BA = AC BC coté opposé à l angle droit sur l hypoténuse, ce qui donne aussi : tan θ B = sin θ B cos θ B = AC AB coté opposé à l angle droit sur coté adjacent. Dans le cas où le triangle direct T est isocèle en A, on a AB = AC, donc A est sur la médiatrice du segment [BC] et en désignant par I le milieu de ce segment, on peut écrire pour les triangles rectangles en I, AIC et AIB : cos θ B = IB AB = IC AC = cos θ C avec θ B et θ C dans ]0, π[, ce qui équivaut à θ B = θ C et entraîne θ A = π θ B. AC Réciproquement si θ B = θ C, de sin θ B = et T est isocèle en A. Pour un triangle direct quelconque T, en écrivant que : AB formule 19.8, on déduit que AB = AC sin θ C CB = AB AC = AB AB AC + AC on déduit que : CB = AB AB AC cos θ A + AC.

24 348 Nombres complexes et géométrie euclidienne ou encore en utilisant les notations usuelles : a = b + c bc cos θ A. Pour T rectangle en A, on a θ A = π et on retrouve le théorème de Pythagore. Par permutations circulaires des sommets, on a les deux autres formules : b = c + a ca cos θ B et : c = a + b ab cos θ C Aire d un triangle Définition 19.3 L aire d un triangle T = ABC est le réel : m T = 1 det AB, AC. En prenant pour origine du repère R le projeté H du point A sur la droite BC, le vecteur e1 dirigeant cette droite BC, on a : de sorte que : { AB = HB HA = xb e1 y Ae AC = HC HA = x C e1 y Ae det AB, AC = x B y A x C y A = y A x C x B et : m T = 1 y AH BC A x C x B = soit la formule : «base que multiplie hauteur divisé par». Pour un triangle direct, on a : et pour un triangle indirect, on a : m T = 1 det AB, AC = 1 AB AC sin θ A m T = 1 det AB, AC = 1 AB AC sin θ A en notant θ A la détermination principale de l angle en A. On retrouve l aire d un triangle T rectangle en A, m T = 1 AB AC. Réciproquement si m T = 1 AB AC, on a alors sin θ A = ±1, soit θ A = ± π T est direct ou non et T est rectangle en A. Pour un triangle direct, en utilisant la formule 19.8, on obtient : suivant que m T AB AC BC = sin θ A BC = sin θ B AC = sin θ C AB

25 Le triangle dans le plan complexe 349 qui s écrit aussi avec des notations usuelles : m T abc = sin θ A a = sin θ B b = sin θ C c a = BC,... Dans un repère orthonormé R quelconque, en utilisant les propriétés du déterminant, on peut écrire que : det AB, AC = x B x A y B y A = x A x B x C y A y B y C x C x A y C y A = = x A y A 1 x B y B 1 x C y C x A x B x A x C x A y A y B y A y C y A et en désignant par a, b, c les affixes relatives au repère R des points A, B, C, cela s écrit aussi : x A y A 1 a+a a a det AB, AC = x B y B 1 x C y C 1 = 1 i b+b b b 1 i c+c c c 1 i = 1 a + a a a 1 4i b + b b b 1 c + c c c 1 = 1 a a a 1 4i b b b 1 c c c 1 = 1 a a a 1 i b b b 1 c c c 1 = 1 a a 1 i b b 1 c c 1 et : m T = ± 1 4i det a a 1 b b 1 c c 1 le signant ± étant celui qui assure la positivité de m T. En calculant ce déterminant, on a : a a 1 a a 1 det b b 1 = det b a b a 0 c c 1 c a c a 0 b a b a = det = b a c a b a c a c a c a = ii b a c a et on obtient la formule : m T = ± 1 I b a c a 19.9 En traduisant le fait que M est sur la droite AB si, et seulement si, l aire du triangle ABM est nulle, on en déduit l équation complexe suivante de la droite AB : a a 1 M AB det b b 1 = 0 z z 1

26 350 Nombres complexes et géométrie euclidienne En utilisant l expression 19.9 de m T, on retrouve la condition : M AB I b a z a = 0 ce qui est encore équivalent à dire que b a c a est réel. Cette formule 19.9 nous donne aussi le résultat suivant. Théorème 19.9 Si T = ABC est un vrai triangle, on a alors : m T 1 AB AC l égalité étant réalisée si, et seulement si, le triangle T est rectangle en A. Démonstration. On a : m T = 1 I b a c a 1 b a c a = 1 AB AC l égalité étant réalisée si, et seulement si, b a c a est imaginaire pur, ce qui équivaut à dire que les droites AB et AC sont perpendiculaires Centre de gravité d un triangle Si T = ABC est un vrai triangle, la médiane issue de A est la droite M A qui joint les points A et le milieu I A du segment [BC]. Théorème Les trois médianes d un vrai triangle T = ABC concourent en G d affixe a + b + c. 3 Démonstration. L affixe du milieu I A de [BC] étant b + c, une équation de la médiane M A est : a a 1 det b+c b+c 1 = 0 z z 1 soit : ou encore : det a a 1 b+c a b+c a 0 z a z a 0 = 0 b + c a b + c a det z a z a On constate que z = a + b + c est solution de cette équation z a = 1 b + c a. 3 3 Définissant de manière analogue les médianes en B et C, on constate encore que le point G d affixe a + b + c est sur ces médianes. 3 Définition 19.4 Avec les notations du théorème qui précède, on dit que le point G d affixe a + b + c est le centre de gravité du triangle. 3 Le centre de gravité est aussi l iso-barycentre des points A, B, C..

27 Le triangle dans le plan complexe Cercle circonscrit à un triangle Si A, B, C sont trois points non alignés, alors θ = arg π et ces points sont sur le cercle E θ {A, B}, où : { E θ = M P \ {A, B} a c n est pas congru à 0 modulo b c MA, MB θ π Ce cercle, qui est uniquement déterminé, est le cercle circonscrit au triangle T = ABC et son centre Ω est à l intersection des trois médiatrices de T. Un point M est sur ce cercle circonscrit à T si, et seulement si : arg a z b z arg a c b c π } ce qui est encore équivalent à : MA, MB CA, CB π c est ce qu on appelle l équation angulaire du cercle passant par A, B, C. L utilisation de la relation de Chasles pour les angles orientés de vecteurs nous permet de montrer le théorème de l angle inscrit qui suit. Théorème Soient T = ABC un vrai triangle et Ω le centre du cercle circonscrit à ce triangle. On a alors : AB, AC ΩB, ΩC π Démonstration. En utilisant la relation de Chasles, on a : ΩB, ΩC + ΩC, ΩA + ΩA, ΩB ΩB, ΩB 0 π Comme les triangles ΩAB et ΩAC sont isocèles en Ω, on a : AB, AΩ + ΩA, ΩB π π et : AΩ, AC + ΩC, ΩA π π ce qui donne par addition : AB, AΩ + AΩ, AC + ΩA, ΩB + ΩC, ΩA 0 π soit : ou encore : AB, AC + ΩA, ΩB + ΩC, ΩA 0 π AB, AC ΩB, ΩC 0 π

28 35 Nombres complexes et géométrie euclidienne B A Ω C Orthocentre d un triangle Fig Théorème de l angle inscrit La caractérisation complexe de l orthogonalité de deux droites nous permet de retrouver la définition de l orthocentre d un triangle. Lemme 19.4 Soit T = ABC un vrai triangle. Un point M est sur la hauteur issue de A de T si, et seulement si, son affixe z est telle que z a c b ou de manière équivalente z a c b soit imaginaire pur. Démonstration. Si M = A, on a z = a et z a c b = 0 est bien imaginaire pur. Sinon M est sur la hauteur issue de A si, et seulement si les droites AM et BC sont orthogonales, ce qui équivaut à z a c b imaginaire pur, qui est encore équivalent à dire que z a est imaginaire pur. c b Lemme 19.5 Soient a, b, c des nombres complexes deux à deux distincts. Pour tout z C, le nombre complexe Z = z a c b + z b a c + z c b a est imaginaire pur.

29 Le triangle dans le plan complexe 353 Démonstration. Résulte de : z c b a = z a b a + a c b a = z a b c + z a c a + a c b a = z a b c + z b c a + b a c a + a c b a = z a c b z b a c + ii b a c a qui s écrit : Z = ii b a c a Le fait que Z soit imaginaire pur se traduit par R Z = 0, soit par : ou encore par : R z a c b + R z b a c + R z c b a = 0 pour tout point M P. Cette égalité est l égalité de Wallace. AM BC + BM CA + CM AB = 0 Lemme 19.6 Soient a, b, c des nombres complexes deux à deux distincts et z un nombre complexe. Si deux quantités parmi z a c b, z b a c, z c b a sont imaginaires pures, il en est alors de même de la troisième. Démonstration. Résulte du lemme précédent. Théorème 19.1 Soit T = ABC un vrai triangle. Les trois hauteurs de T sont concourantes. Démonstration. Notons respectivement T A, T B et T C les hauteurs issues de A, B et C. Un point M est sur T A T B si, et seulement si, les quantités z a c b et z b a c sont imaginaires pures, ce qui entraîne que z c b a est aussi imaginaire pur et M est sur T C. Les trois hauteurs sont donc concourantes. Le point d intersection des trois hauteurs du triangle T est l orthocentre de T. Exercice 19.3 Soit T = ABC un vrai triangle. Montrer que l orthocentre H de T a pour affixe relativement au repère R = O, e 1, e : R a b c a h = a + i c b I c b c a a b R c a = a + i c b c b I c a Solution 19.3 Comme H T A T B, il existe deux réels λ 1 et λ tels que : h = a + iλ 1 c b = b + iλ c a ce qui entraîne : iλ = a b c a + iλ c b 1 c a

30 354 Nombres complexes et géométrie euclidienne B A H C et en prenant les parties réelles : a b 0 = R + λ 1 R c a Fig Orthocentre i c b = R c a a b λ 1 I c a c b c a Comme les points C, A, B ne sont pas alignés, c a c b = a c b c n est pas réel et λ 1 est uniquement déterminé. On a donc : a b R c a R a b c a λ 1 = = c b I c b c a. I c a et : R a b c a h = a + i c b I c b c a a b R c a = a + i c b c b I c a Par exemple, pour a, b réels et c = iγ imaginaire pur, on a : R a b c a I c b c a = a γ

31 Le triangle dans le plan complexe 355 et : h = i ab γ = ab c. En fait, pour déterminer une affixe de l orthocentre, il est plus commode de travailler dans un repère d origine O = Ω où Ω est le centre du cercle circonscrit au triangle. Exercice 19.4 Montrer que si ABC est un triangle inscrit dans le cercle de centre Ω et de rayon R > 0, alors l affixe de son orthocentre est h = a + b + c. Ω étant pris comme origine. Solution 19.4 On désigne par M le point d affixe h = a + b + c. Comme h a = b + c avec b = c = R, on a AM = ΩB + ΩC et ce vecteur est orthogonal à CB = ΩB ΩC, ΩB + ΩC ΩB ΩC = ΩB ΩC = R R = 0, ce qui équivaut à dire que h a b c est imaginaire pur, qui est encore équivalent à dire que M est sur la hauteur de T issue de A. On montre de manière analogue que M est sur les deux autres hauteurs et en conséquence c est l orthocentre de T. En utilisant les affixes relativement au repère Ω, e 1, e, le théorème nous dit que le centre de gravité G a pour affixe g = a + b + c et l exercice 19.4 que l orthocentre a pour affixe 3 h = a + b + c, ce qui se traduit par : ΩH = 3 ΩG et entraîne que ces trois points sont alignés. Théorème Dans un vrai triangle T, le centre du cercle circonscrit, l orthocentre et le centre de gravité sont alignés. La droite passant par ces trois points est la droite d Euler Triangle équilatéral Théorème Soient A, B, C trois points deux à distincts de P et a, b, c leurs affixes respectives. Les propositions suivantes sont équivalentes : 1. le triangle ABC est équilatéral ;. b a = c b = c a ; 1 3. a b + 1 b c + 1 c a = 0 ; 4. a + b + c = ab + bc + ca ; 5. j ou j est racine de az + bz + c = 0 j et j sont les racines cubiques de l unité. a z 1 6. j ou j est racine de det b z 1 = 0. c 1 1 Démonstration. L équivalence entre 1. et. résulte de la définition d un triangle équilatéral. Supposons que a b = b c = c a.

32 356 Nombres complexes et géométrie euclidienne On a : 1 a b = a b a b = a b b c = 1 a b b c b c = 1 a c + c b = 1 a c b c b c b c b c 1 avec a c b c = b c a c puisque a c b c = a c b c = 1, donc : 1 a b = 1 b c b c a c 1 = 1 b c b c a c 1 b c = 1 a c 1 b c 1 et a b + 1 b c + 1 c a = 0. Supposons cette dernière identité réalisée. On a alors en multipliant par a b b c c a : et en développant, cela est équivalent à : b c c a + a b c a + a b b c = 0 En supposant cette identité vérifiée, on a : ab + bc + ca a b c = 0. aj + bj + c aj + bj + c = a + b + c + j + j ab + avec j + j = j + j = 1, ce qui donne : aj + bj + c aj + bj + c = 0 j + j ac + j + j bc et j ou j est racine de az + bz + c = 0. Supposons que j soit racine de az + bz + c = 0. Tenant compte de 1 + j + j = 0, on a alors : 0 = aj + bj + c = aj + bj c j + j = b c j + a c j et b c j = a c j qui entraîne b c = c a. On peut aussi écrire : 0 = aj + bj + c = aj b 1 + j + c = c b + a b j et on a c b = a b j qui entraîne a b = c b. L équivalence entre 5. et 6. se déduit du calcul suivant. Pour z { j, j } = {j, j } : a z 1 a b z z 0 det b z 1 = det b c z 1 0 a b z = det z b c z 1 c 1 1 c 1 1 = az + b + cz a + bz + cz = z az + bz + c z az + bz + c = z z az + bz + c = ii z az + bz + c. Nous verrons un peu plus loin que la caractérisation 6. des triangles équilatéraux traduit le fait qu un triangle équilatéral est semblable à un triangle ayant pour sommets les points d affixes 1, z, z avec z = j ou z = j.

33 Interprétation géométrique des applications z az + b, z az + b Interprétation géométrique des applications z az + b, z az + b Les nombres complexes peuvent être utilisé pour décrire quelques transformations géométriques de P. Ainsi : z z + a est la translation de vecteur OA ; z z est la symétrie par rapport à O ; z z est la symétrie orthogonale par rapport à l axe O x ; z z est la symétrie orthogonale par rapport à l axe O y ; pour tout réel ρ > 0, z ρz est l homothétie de rapport ρ et de centre O ; pour tout réel θ, z e iθ z est la rotation de centre O et d angle θ ; pour tous nombres complexes a, b avec a / {0, 1} d argument θ, l application z az + b b est la composée commutative de la rotation d angle θ et de centre Ω et de 1 a l homothétie de centre O et de rapport a, on dit que cette application est la similitude directe de centre Ω, de rapport a et d angle arg a. Exercice 19.5 Soit α = ρe iθ un nombre complexe non nul et n un entier naturel non nul. Montrer que les racines n-ièmes de α se déduisent des racines n-ième de l unité par une similitude directe de centre 0, de rapport n ρ et d angle θ n. Solution 19.5 Les racines n-ièmes de α sont les : z k = n ρe i θ+kπ n = n ρe i θ n e i kπ n 0 k n 1 où les e i kπ n, pour k compris entre 0 et n 1, sont les racines n-ième de l unité.

34 358 Nombres complexes et géométrie euclidienne

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