Distributions et EDP Espaces vectoriels topologiques Cours Master /2010

Transcription

1 Distributions et EDP Espaces vectoriels topologiques Cours Master /2010 Dr HITTA Amara Univ. 8 Mai 1945 Guelma Janvier 2010

2 Université 8 Mai Guelma COURS - Master Distributions, E.d.p. & Espaces de Sobolev Dr HITTA Amara Maître de Conférences Habilité Site Perso : [email protected]

3 Table des Matières 1 Espaces vectoriels topologiques Notations et Rappels Régularisation de fonctions Partition de l unité Semi-normes Topologie déterminée par une famille de semi-normes Espaces vectoriels localement convees Ensembles convees, équilibrés et absorbants Jauges ou fonctionnelles de Minkowski Applications et formes linéaires Dualité dans les E.V.T Topologie limite inductive Topologie des espaces de fonctions tests Distributions Définitions et propriétés Dérivées partielles au sens des distributions Multiplication des distributions Transformations de distributions Translation d une distribution Symétrie d une distribution Changement d échelle et distributions homogènes

4 3.5 Topologies sur l espace D (Ω) Topologies sur l espace E (Ω) Limites de distributions Convolutions de distributions Produit tensoriel de distributions Convolution de deu distributions Motivation et définition Propriétés de la convolution Solutions fondamentales de certaines équations au dérivées partielles 60 5 Transformations de Fourier, Espaces S et S 67 6 Espaces de Sobolev L intégration par partie et dérivations faibles Espace de Sobolev H 1 (Ω)

5 Chapitre 1 Espaces vectoriels topologiques 1.1 Notations et Rappels Étant donné un entier n 1, les éléments de N n sont appelés multi-indices. Pour α = (α 1, α 2,, α n ) N n le nombre α = α α n est appelé longueur du multi-indice α. Pour k compris entre 1 et n, on note l opérateur de dérivation par rapport à la k-ième variable par k = / k et α = α 1 1 α n n = α α 1 1 α 2 2 α n Soit k un entier supérieur à 1. On dit que f : Ω K est de classe C k si toutes les dérivées partielles de f eistent et sont continues jusqu à l ordre k. L ordre dans lequel sont effectuées les dérivations est indifférent d après la théorème de Schwarz. On note C k (Ω) l ensemble des fonctions de classe C k sur Ω. n. On dit que f : Ω K est de classe C si elle est de classe C k sur Ω pour chaque entier k 1. On pose C (Ω) l ensemble des fonctions de classe C sur Ω, noté d après Laurent Schwatrz, par E(Ω) = C (Ω) On a C (Ω) C k (Ω) C 1 (Ω) C(Ω). Nous rappelons que : E(Ω) = C (Ω) = C k (Ω). k 0

6 On désignera par L p (Ω) l espace des fonctions de puissance p intégrable à valeurs dans K. Muni da la norme [ ] 1 f p = f() p p d, Ω l espace L p (Ω) est un espace de Banach. Si p 1, on désigne par L p loc (Ω) l espace de fonctions f L p loc (K), pour tout compact K de Ω. 1.2 Régularisation de fonctions Définition Soit f une fonction réelle définie sur un ouvert Ω R n. On appelle support de f l ensemble supp(f) = { Ω : f() 0}. Le support de f est alors le plus petit fermé de R n à l etérieure duquel la fonction f est nul. On note par C k c(ω) l ensemble des fonctions de C k (Ω) qui sont à support compact dans Ω. L objectif est de construire des fonctions permettant, en particulier, de séparer deu fermés disjoints. Ces fonctions seront utilisées dans les techniques de convolution et de régularisation de fonctions et de distributions. Une fonction test (ou fonction d essai) sur Ω est, par défintion, une fonction de classe C définie sur Ω à support compact dans Ω. L espace vectoriel de ces fonctions tests sur Ω, dans la notation de L. Schwartz, est D(Ω) = C c (Ω). Cet espace, equipé d une topologie appropriée que l on précisera, jouera un rôle important dans la définition des distributions sur Ω. La fonction suivante ( ) 1 ep si 1 ρ() = si > 1. est C à support la boule fermée de centre 0 et de rayon 1 dans R n, notée B 1 (0). En divisant ρ par l intégrale de ρ sur R n, on obtient une autre fonction C de support B 1 (0),

7 notée α, telle que R n α()d = 1. Pour tout ε > 0, on définit α ε () = 1 ε n α ( ε ). On voit clairement que : 1 α ε C α c (R n ). 2 Le support de α ε est B ε (0), boule fermée de centre 0 et de rayon ε. 3 R n α ε ()d = 1. A l aide de la famille (α ε ) ε>0, on peut régulariser les L p -fonctions discontinues c est-à-dire qu on peut montrer qu elles peuvent être approchées par des fonctions tests. C est la vocation principale du théorème qui suivra. Définition Une fonction f définie sur Ω est dite localement intégrable sur Ω si f est intégrable (au sens de Lebesgue) sur chaque compact K Ω. Ainsi, f est localement intégrable sur Ω si, pour tout compact K Ω, le produit f.χ K est intégrable sur Ω, où χ K est la fonction caractéristique de K, qui est égale à 1 sur K et 0 à l etérieure de K. Définition Soit f L 1 loc (Rn ) une fonction localement intégrable sur R n. La fonction f ε () = f( y)α ε (y)dy = R n f()α ε ( y)dy R n est dite la convolution de f par α ε, notée par f α ε ou α ε f. Théorème Soit f une fonction localement intégrable sur R n, alors 1 La convolution f ε est une fonction C dans R n. 2 3 Si f est à support compact K, le support de f ε est contenu dans un ε-voisinage de K définie par K ε = K + B ε (0) = B ε (). K Si f est continue, alors la suite (f ε ) ε>0 converge uniformément vers f sur tout compact de R n. 4 Si f L p (R n ), 1 p < +, alors la suite (f ε ) ε>0 converge vers f dans L p (R n ).

8 Preuve : 1 Comme l intégrale définissant f ε () est prise sur des compacts de R n donc on peut dériver sous le signe intégrale. 2 Si R n et d(, K) > ε alors / K ε = K + B ε (0). Donc, pour tout y K, y / B ε (0) = suppα ε donc α ε ( y) = 0. Il s en suit que l intégrale définissant f ε () vaut 0pour tout / suppf ε, ce qui assure que le support de f ε () est contenu dans K ε. 3 4 Supposons que f est une fonction continue et fions K un compact quelconque de R n. Comme f est uniformément continue sur K, pour tout η > 0, il eiste δ > 0 tel que f( y) f() < η pour tout K et y < δ (y est dans un voisinage de 0 dans R). En choisissant ε < δ il vient que f ε () f() f( y) f() α ε (y)dy < η, R n pour tout K, ce qui montre que f ε converge uniformément vers f sur K lorsque ε tend vers 0. Supposons que f L p (R n ), 1 p < +. D après le théorème de densité, f peut être approchées dans L p (R n ) par des fonctions continues à supports compacts. D autre part, en utilisant l inégalité de Minkowski dans sa forme intégrale on montre que si f L p (R n ) alors f ε L p (R n ) telle que f ε p f p. Soit η > 0 et g C c (R n ) telle que f g p < η 3. Il s ensuit que f ε g ε p f g p < η 3. Écrivons f ε f p f ε g ε p + g ε g p + g f p. Comme g est continue à support compact, alors d après 3, la suite (g ε ) ε>0 converge uniformément vers g sur R n, donc g ε g dans L p (R n ). En choisissant ε assez petit, on en déduit que g ε g < η 3. Finalement, on obtient f ε f < η. Ce théorème justifie la définition suivante : Définition La famille (α ε ) ε>0 est dite famille régularisante des fonctions définies sur R n. Si ε = i 1, la suite de fonctions α i () = i n α(i), i = 1, 2, est dite suite régularisante de fonctions. Corollaire Soit Ω un ouvert de R n. L espace C c (Ω) est un dense dans L p (Ω), 1 p < +.

9 Corollaire Soit K un compact de Ω. Il eiste une fonction ϕ C c (Ω) telle que 0 ϕ 1 et ϕ = 1 dans K. Preuve : Sans perdre de généralité, on peut supposer que Ω est borné. Soit d la distance entre K et la frontière F r(ω) et posons K d/3 le d/3-voisinage de K défini comme précédemment. Il est facile de voir que la fonction ϕ = χ d/3 α d/3 vérifie ce qui est demandé dans l énoncé du corollaire. Corollaire Soient K 1 et K 2 deu compacts disjoints de l ouvert Ω R n. Il eoste, alors, une fonction ϕ D(Ω) telle que ϕ() = et ϕ() 1 pour tout Ω. { 1 si K1 1 si K 2 Preuve : Soient U 1 et U 2 deu ouverts disjoints de Ω contenant respectivement K 1 et K 2. D après le corollaire précédent, il eiste ϕ 1 et ϕ 2 D(Ω), telles que et 0 ϕ i () 1, ϕ 2 (), Ω. ϕ i 1 dans K i, ϕ i D(U i ), i {1, 2}, i {1, 2}. La fonction cherchée sera définie par ϕ() = ϕ 1 () Avec la même argumentation, on montre que, si K est sous-ensemble compact de R n et si V est un voisinage arbitraire de K, il eiste une fonction ϕ C c (Ω) telle que 0 ϕ 1, ϕ vaut 1 sur un voisinage de K et supp(ϕ) V. Théorème Soient R et r R tels que 0 < r < R. Notons par B R et B R r deu boules concentriques de rayons respectifs R et R r. Il eiste une fonction ϕ C c (Ω) telle que : 2 supp(ϕ) B R, 2 ϕ() = 1 sur B R r, 3 pour tout p N n : p ϕ() C(p, n).r p, R n. Preuve : Posons χ la fonction caractéristique de la boule concentrique de rayon R (2r/3) et définissons la fonction ϕ par ( ) 1 y ϕ() = χ α d () = α d ( y)dy = α dy d n d B R (2r/3) B R (2r/3)

10 avec d = r 3. Il est clair que supp(ϕ) B R et ϕ = 1 sur B R r. Pour tout 1 i n, on a ainsi i ϕ() d 1 d n i ϕ() = d 1 d n R n i α ( y d Une preuve analogue nous donne 3. B R (2r/3) ) dy = d 1 ( ) α y dy, i d R n i α(t)dt C(i, n).r Partition de l unité L objectif est la construction de fonctions indéfiniment différentiables et à support compact permettant d obtenir des propriétés globales de fonctions où de distributions en étudiant leurs propriétés locales. Proposition Soit K un compact de R n et soit (U i ) n i=1 un recouvrement ouvert de K. Il eiste une famille de compacts (K i ) n i=1 tel que K i U i pour tout i = 1,, n et K = n i=1 K i. Preuve : Pour chaque K soit r > 1 tel que B(, r ) U i. U i K B(, r ). Il eiste un nombre fini 1,, n K tel que K Posons K K i = K B( j, r j ). B( j,r j ) U i n j=1 Alors, on a B( j, r j ). Il est clair que K i est un sous-ensemble compact dek et K i U i. D autre part, soit K, il eiste i tel que B( i, r i ). Par ailleurs, il eiste j 0 tel que i U j0 et alors B( i0, r i0 ) U j0. Donc K j0 n K i. i=1 Corollaire [Partition de l unité] Soient K un compact de R n et (Ω i ) 1 i n un recouvrement fini de K. Il eiste des fonctions ϕ i C c (Ω) telles que : 1 0 ϕ i 1, 2 k i=1 ϕ i = 1 sur un voisinage de K.

11 Preuve : On peut trouver des compacts (K i ) 1 i n tel que K i Ω i et K n Ki, où Ki désigne l intérieur de K i. Pour tout i, posons ψ i C c (Ω i ) telle que 0 ψ i 1 et ψ i = 1 sur K. Définissons la suite que nous cherchons de la façon suivante ϕ = ψ 1, ϕ i = ψ i (1 ψ 1 ) (1 ψ i 1 ), i = 2,, n. Il est facilement vérifiable que la suite de fonctions (ϕ i ) 1 i n vérifie les propriétés demandées. Les espaces vectoriels considérés, dans la suite, ont pour corps de base K = R ou C. i=1 1.4 Semi-normes Définition Soit E un K-espace vectoriels. On dit qu une application p : E R est une semi-norme si, pour chaque, y E et λ K, on a : 1 p( + y) p() + p(y) 2 p(λ) = λ p(). Proposition Soit E un K-espace vectoriel. Si p est une semi-norme sur E alors : 1 p(0) = 0 2 p() 0 3 p() p(y) p( y). Preuve : On a p(0) = p(0) = 0p() = 0, ce qui prouve 1. Montrons 3, pour, y E, la sous-additivité de p révèle que p() = p( y + y) p( y) + p(y), donc p() p(y) p( y). Cependant, par homogéniété de p on déduit que p( y) = p[ (y )] = p(y ) p(y) p(). Ce qui prouve que p( y) p() p(y). Eemple Toute norme sur E est une semi norme. Soit Ω un ouvert non vide de R n. On note par K Ω l ensemble des parties compactes de Ω. Eemple Considérons l espace C(Ω) des fonctions continues sur Ω. Pour chaque compact K K Ω, l application p K : C(Ω) R définie, pour chaque f C(Ω), par p K (f) = sup f(). K est une semi-norme.

12 Eemple Soit k N. Pour chaque K K Ω, l application p K définie pour chaque f C k (Ω) par : C k (Ω) R p K (f) = sup α f(). K, α k est une semi-norme. Eemple Pour chaque k N et chaque K K Ω, l application p K R définie pour chaque f C (Ω) par : C (Ω) p k,k (f) = sup α f(). K, α k est une semi-norme. Définition On dit qu une famille (p i ) i I de semi-normes sur un espace vectoriel E est séparante si, pour chaque E non nul, il eiste i I tel que p i () > 1. Eemple Les familles de semi-normes définies précédemment sur les espaces C(Ω), C k (Ω) et C (Ω) sont séparantes. 1.5 Topologie déterminée par une famille de seminormes Les types de convergence rencontrés en analyse ne rentrent pas tous dans le cadre des espaces normés, on peut citer par eemple la convergence simple sur un ensemblee infini, la topologie de la convergence uniforme sur les parties compactes d un ouvert... Soit E un espace vectoriel et (p i ) i I une famille séparante de semi-normes sur E. Etant donnés un élément 0 E, un sous-ensemble fini non vide I n de I et un réel r > 0, on note V n ( 0, r) = {y E : ma p i ( 0 y) < r}. i I n Définition On dit qu un sous-ensemble O de E est ouvert s il est vide ou bien si, pour chaque 0 O, il eiste un sous-ensemble fini non vide I n de I et un réel r > 0 tels que V n ( 0, r) O.

13 Les ensembles de la forme V n ( 0, r) sont des ouverts et jouent un rôle analogue à celui des boules ouvertes dans les espaces métriques. Les sous-ensembles de E de la forme : V n ( 0, r) = { E : ma i I n p i ( 0 ) r} sont des fermés et jouent un rôle analogue à celui des boules fermées dans les espaces métriques. Définition On appelle topologie sur E déterminée par la famille (p i ) i I celle dont les ouverts sont définis précédemment. Proposition La topologie determinée par une famille séparante de semi-normes (p i ) i I est séparée. Preuve : Soient, y E tels que y. Puisque (p i ) i I est séparante, il eiste i 0 I ( ( tel que r = p i0 ( y) > 0. Alors V {i0 }, r 2) et V{i0 } y, r 2) sont deu ouverts disjoints contenant séparément et y. Définition Un espace vectoriel E muni d une topologie T est un espace vectoriel topologique (E.v.t) si : (Tvs 1) (, y) + y est une application continue de E E dans E. (Tvs 2) (λ, ) λ de K E dans E sont continues. Il est évident que dans les deu aiomes on considère la topologie produit dans des espaces vectoriels produits. La structure d espace vectoriel de E est dite compatible avec la topologie T si les aiomes (Tvs 1) et (Tvs 2) sont vérifiés. Eemple L espace normé (E,. ) est un espace vectoriel topologique. En effet, par définition ( + y) (a + b) a + b. On a ( + y) (a + b) ε dès que a 1 2 ε et y b 1 2 ε. Ce qui prouve que (, y) + y est une application continue de E E dans E. D autre part, on a ξ λa = (ξ λ)( a) + (ξ λ)a + λ( a);

14 Si λ 0 et a 0 : ξ λa < ε, dès que ( ) ( ) ε ξ λ < min 3, ε ε et a < min 3 a 3, ε 3 λ Si λ = 0 et a 0 : ξ λa < ε, dès que ( ) ε ξ < min 3, ε 3 a et a < ε 2 Si λ 0 et a = 0 : ξ λa < ε, dès que ( ) ε ε ε ξ λ < et < min 3 2, 2 λ Si λ = 0 et a = 0 : ξ λa < ε, dès que ξ < ε et < ε. Théorème Un espace vectoriel E muni de la topologie engendrée par une famille séparante de semi-normes est un espace vectoriel topologique. Preuve : Etablissons la continuité de l addition en un point (a, b). Fions un indice i 0 I et un réel ε > 0. Pour (, y) E E nous avons p i0 [( + y) (a + b)] p i0 ( a) + p i0 (y b). Il s en suit que p i0 (( +y) (a+b)) ε dès que p i0 (ϕ( a)) ε/2 et p i0 (ϕ(y b)) ε/2 d où la continuité de l addition au point (a, b). Pour la multiplication eterne (λ, ) λ, établissons sa continuité en un point (α, a). Fions un indice i 0 I et un réel ε > 0. Pour (λ, ) K E, nous avons p i0 [(λy) (µa)] λ α p i0 () + α p i0 ( a). Fions un réel r > 0 tel que α r ε/2. Nous observons que pour vérifiant p i0 ( a) r nous avons p i0 () p i0 (a) + r et donc λ α p i0 () λ α (p i0 (a) + r). Fions alors un réel η tel que η(p i0 (a) + r) ε/2. Pour (λ, ) K E vérifiant λ α η et p i0 ( a) r nous avons p i0 (λ αa) ε, d où la continuité de la multiplication au point (α, a). On en déduit ainsi que : 1 2 Les translations et les homothéties, de rapports 0, sont des homéomorphismes. L ensemble V(a) des voisinages d un point a E est l image par la translation τ a de l ensembles des voisinage V(0) de 0. La topologie d un espace vectoriel est connue dès que l on connait les voisinages de 0 : V(a) = τ a (V(0)).

15 Chapitre 2 Espaces vectoriels localement convees On va montrer qu un espace vectoriel muni d une famille séparante de semi-normes est un espace vectoriel topologique localement convee. Inversement, on montrera que tout espace vectoriel topologique localement convee est un espace vectoriel sur lequel on définit une famille séparante de semi-normes. 2.1 Ensembles convees, équilibrés et absorbants Définition Soit A un sous-ensemble de E. 1 A est convee si, pour chaque, y A et chaque λ [0, 1], on a λ + (1 λ)y A. 2 A est équilibré si, pour chaque A et chaque λ K : λ 1, on a λ A A est absorbant si, pour chaque E et chaque λ K on a λa. A absorbe B E, s il eiste λ R + tel que B λa. A est absolument convee s il est convee et équilibré. Lemme Si p est une semi-norme sur un espace vectoriel E, alors l ensemble B 1 = { E : p() 1} est convee, équilibré et absorbant. Preuve : Soient, y V et λ [0, 1]. Posons z = λ + (1 λ)y E, alors p(z) = p(λ + (1 λ)y) = λp() + (1 λ)p(y) λ + (1 λ) = 1.

16 Donc z B 1 et B 1 est convee. Supposons que µ K et µ 1, comme B 1 alors p(µ) = µ p() p() 1 et µ B 1. Donc B 1 est équilibré. Pour montrer que B 1 est absorbant, prenons E et p() = k alors p(k 1 ) = 1 1 donc k 1 B 1. Plus précisément, soit λ R +, on définie B λ = { E : p() λ} On vérifie facilement que l on a B λ = λb Jauges ou fonctionnelles de Minkowski Les jauges jouent un rôle important dans l étude du lien entre les espaces vectoriels topologiques et les espaces localement convees. Lorsque A est une partie absorbante d un espace vectoriel E, alors pour chaque E, l ensemble {λ > 0 : λa} est non vide, on peut alors considérer J A () = inf{λ > 0 : λa}. On a définit ainsi une fonction réelle J A : E R appelée jauge ou fonctionnelle de Minkowski de A. Si A est convee et absorbante alors, pour tout, y E et chaque réel λ R +, on a J A ( + y) J A () + J A (y) et J A (λ) = λj A (). Si de plus A est équilibré, alors J A est une semi-norme : Si A E est convee, absorbant et équilibré alors J A est une semi-norme sur E. Preuve : Comme A est une partie absorbante de E alors J A est bien définie sur E et J A : E R +. Soient E, y E, λ > 0 et β > 0 tels que λa et y βa. On a [ λ + y λa + βa = (λ + β) λ + β A + β ] λ + β A (λ + β)a car A est convee. D où l additivité J A ( + y) J A () + J A (y). Finalement, puisque A est equilibré, il vient que J A (λ) = λ J A ().

17 On vérifie facilement que { E : J A () < 1} A { E : J A () 1} Nous allons montré le théorème suivant qui donne une caractérisation des espaces localement convees ceci justifie en même temps le nom donnés à ces espaces. Théorème Soit E un espace vectoriel topologique, alors on a les conditions suivantes sont équivalentes : E est localement convee; Il eiste un système fondamental de voisinages convees de l origine; Il eiste un système fondamental de voisinages convees, équilibrés et absorbants de l origine. Preuve : 1 = 2 : Si la topologie de E est définie par une famille de semi-normes (p i ) i I, alors les ensembles V n (ε) = { E : p i () ε, i I n } où 0 < ε < 1, forment un système fondamentale de voisinages convees de l origine. 3 = 1 : A chaque voisinage convee, equilibré et absorbant V on peut lui associé une jauge J V qui est une semi-norme. La famille des jauges, ainsi, obtenue définie la topologie de E. 2 = 3 : Il suffit de montrer que si V est un voisinage convee de l origine alors l ensemble U = λ =1 est un voisinage convee, absorbant et équilibré de l origine. Comme (µ, ) µ est continue à l origne (0, 0), il eiste ε > 0 et un voisinage V de l origne dans E tel que λv µ V pour tout µ ε et pour tout V. Ceci est équivalent à l eistence d un voisinage W de 0 tel que µw V pour tout µ 1. En particulier : µw V pour tout µ = 1. Ainsi, W λv où λ = 1, ce qui implique que U est un voisinage de 0 dans E. Il est clair que U est convee comme intersection de convees. De plus U est absorbant. Montrons, enfin, que U est équilibré. Si U, le segment [0, ] est contenu dans U c est-à-dire que λ U pourtout 0 λ 1. D autre

18 part, si U, de la définition de U il vient que λ U pour tout λ = 1. Si µ 0 et µ 1 on obtient µ = µ. µ µ U ce qui montre que U est équilibré. Eemple Soit Ω un ouvert de R n et 1 p < +. Notons L p loc (Ω) l espace des fonctions mesurables p-localement intégrable sur Ω c est-à-dire : pour tout compact K de Ω on a f() p < +. On définie une semi-norme par K [ p K (f) = K f() p ] 1/p < + La famille de semi-normes (p K ) K KΩ détermine une topologie faisant de L p loc (Ω) un espace vectoriel localement convee. Définition On dit qu une suite ( n ) n de E converge vers un éléments E si, pour chaque voisinage V de 0, il eiste un entier m 0 tel que, pour chaque entier m > m 0, on a m V. Comme la topologie étant séparée, une suite convergente possède une seule limite. En terme de semi-normes on a la définition équivalente : Une suite ( n ) n de E converge vers un éléments E si, et seulement si, pour chaque indice i I et chaque ε > 0 il eiste un entier m 0 tel que pour chaque entier m m 0 on a p i ( m ) ε. On peut introduire dans les espaces vectoriels topologiques la notion de suite de Cauchy : Définition On dit qu une suite ( n ) n de E est une suite de Cauchy si, et seulement si, pour chaque voisinage V de 0, il eiste un entier m 0 tel que, pour chaque entier m, m > m 0, on a m m V. Ce qui se traduit en terme de semi-normes par : Une suite ( n ) n de E est une suite de Cauchy si, et seulement si, pour chaque indice i I et chaque ε > 0, il eiste un entier m 0 tel que pour chaque entier m, m m 0 on a p i ( m m ) ε.

19 On conserve les notations, précédemment évoquées. Les topologies suivantes ne peuvent être déterminées par des normes. Eemple Dans l espace C(Ω), la topologie déterminée par la famille de seminormes (p K ) K KΩ p K (f) = sup f() K est appelée la topologie de la convergence uniforme sur les parties compactes de Ω. Une suite (f n ) n de C(Ω) converge vers f si, et seulement, si pour chaque K K Ω, la suite (f n ) n converge uniformément vers f sur K. Toute suite de Cauchy de C(Ω) est convergente. Cette topologie ne peut être déterminée par une norme. Eemple Dans l espace C k (Ω), k 1, la topologie déterminée par la famille de semi-normes (p K ) K KΩ p K (f) = sup K, α k α f() est appelée la topologie de la convergence uniforme sur les parties compactes de Ω pour f et toutes ses dérivées jusqu à l ordre k. Une suite (f n ) n de C k (Ω) converge vers f si, et seulement, si pour chaque K K Ω, la suite ( α f n ) n converge uniformément vers α f sur K. Toute suite de Cauchy de C k (Ω) est convergente. On va étudier rapidement les notions topologiques vues en Licence dans le cadre des espaces vectoriels dont la topologie est déterminée par une famille séparante de seminormes. Dans ce qui suit E et F sont deu espaces vectoriels munis respectivement par des topologies déterminées par les familles de semi-normes (p i ) i I et (q l ) l L. Rappelons que V est un voisinage de a E si, et seulement si, il eiste un sous-ensemble fini non vide I n de I et un réel r > 0 tel que V n (a, r) V. Étant donné a E et A une partie non vide de E. On a a A si, et seulement si, pour chaque sous-ensemble fini non vide I n de I et pour chaque réel r > 0 on a n N, r > 0, V n (a, r) A Théorème L adhérence d une partie convee est convee. L adhérence d un sous-espace vectoriel est un sous-espace vectoriel. Preuve : Notons par f l application de E E R dans E qui, à chaque (, y, λ) associe f(, y, λ) = λ+(1 λ)y. Cette application f est continue. Nous observons qu une partie

20 A de E est convee si, et seulement si, f(a A [0, 1]) A. Pour chaque partie convee C de E nous avons ( ) f C C [0, 1] = f ( C C [0, 1] ) f(c C [0, 1]) C ce qui montre la conveité de C. On utilise une méthode analogue pour démontrer que l adhérence d un sous-espace vectoriel est un sous-espace vectoriel. Lemme Soit E un espace localement convee et F un fermé de E. Supposons que V est un voisinage ouvert convee et équilibré de 0 dans F et soit E et / F. Alors, il eiste un voisinage W ouvert convee et équilibré de 0 dans E tel que / W et W F = V. Preuve : Comme F est un fermé de E, il eiste un voisinage V 0 ouvert convee et équilibré de 0 dans E tel que ( + V 0 ) F = et V 0 F V Posons W l enveloppe convee équilibré de V V 0. Il est facile de montrer que W est ouvert. D autre part, on a clairement V W F. Si w W F, il s écrit w = αv + βv 0 avec v V et v 0 V 0 et α + β 1. On doit supposer β 0, sinon il y aurait rien à démontrer. La relation précédente implique que v 0 V 0 F V, donc w V. Finallement, supposons par contradiction que W. Alors, = y + z avec y F et z V 0. Ainsi, y = z ( + V 0 ) F ce qui est impossible. 2.3 Applications et formes linéaires Définition Une application f de E dans F est continue au point a E si, et seulement si, pour chaque l L et chaque réel ε > 0, il eiste un sous-ensemble fini non vide I n I et un réel r > 0 tels que ma p i ( a) < r = q l (f() f(a)) < ε i I n Si f est une application linéaire cette définition se reformule ainsi :

21 Théorème Soit f une application linéaire de E dans F. Les affirmations suivantes sont équivalentes : 1 f est continue; 2 f est continue en 0; 3 l L, il eiste I n I, fini, et c R + tel que, pour chaque E on a : q l (f()) c ma p i (). i I n Lorsque E = F et f une forme linéaire sur E, on a Théorème Soit f une forme linéaire de E. équivalentes : 1 f est continue; Les affirmations suivantes sont 2 f est continue en 0; 3 Il eiste I n I, fini, et c R + tel que, pour chaque E on a : f() c ma p i (). i I n Ce résultat s écrit ainsi : η > 0, c > 0 et n N tel que f ( ( )) η V n ] η, η[. c L ensemble des formes linéaires continues sur E est un espace vectoriel noté E appelé la dual topologique de E. Rappelons que si H est un sous-espace vectoriel d un espace vectoriel, les affirmations suivantes sont équivalentes : 1. H est le noyau d une forme linéaire non nulle définie sur l espace vectoriel. 2. H est un élément maimal, pour l inclusion, parmi les sous-espaces vectoriels propres de l espace vectoriel.

22 Corollaire Si H est un hyperplan de E alors H est fermé ou dense dans E. Théorème Un hyperplan de E est fermé si, et seulement si, il est le noyau d une forme linéaire continue. Preuve : Soient H un hyperplan fermé de E et f une forme linéaire non nulle dont H est le noyau. Nous pouvons trouver un a E tel que f(a) = 1, l ensemble a + H est alors un fermé de E qui ne contient pas 0. Par définition, on peut trouver n N et r > 0 tel que V f,n (r) (a + H) =. Nous allons montrer que pour chaque V f,n (r) on a f() < 1. Supposons la contraire : il eiste 0 V f,n (r) tel que f() > 1. Quite à multiplier 0 par un réel de module égal à 1 nous pouvons supposer que f( 0 ) est un réel 1. Si f( 0 ) = 1 alors 0 a H ( 0 + a H) ce qui est contradictoire avec V f,n (r) (a + H) =. Si f() > 1 il eiste un réel λ ]0, 1[ tel que f(λ 0 ) = 1. Nous remarquons que λ 0 V f,n (r) et nous sommes ramenés au cas précédent. Puisque, pour chaque E, ma p i () r i I n entraîne f() 1 et pour chaque E nous avons f() (1/r) ma p i (). i I n Définition On dit qu une métrique d sur un espace vectoriel E est invariant par translation si, pour chaque, y, a E, on a d(, y) = d( + a, y + a). Deu métriques d et d, invariantes par translation sur le même espace vectoriel E, qui déterminent la même topologie sont uniformément équivalentes (c est-à-dire que I E : (E, d) (E, d ) et I E : (E, d ) (E, d) sont uniformément continues). Lorsque d et d sont deu métriques invariantes par translation topologiquement équivalentes sur E alors (E, d) est complet si, et seulement si, (E, d ) est complet. Définition On dit que la topologie T d un espace vectoriel topologique E est métrisable s il eiste une métrique sur E, invariante par translation, qui détermine la topologie T. Théorème La topologie sur un espace vectoriel déterminée par une suite séparante de semi-normes est métrisable. Preuve : Soit (p k ) k une suite séparante de semi-normes sur un espace vectoriel E. Pour, y E définissons + d(, y) = 2 k p k ( y) 1 + p k ( y). k=1 Il est facile de vérifier que d est une distance invariante par translation sur E qui détermine la même topologie que la suite (p k ) k.

23 Eemple Lorsque (p k ) 1 k m est une suite finie séparante de semi-normes sur E alors ( m ) 1 r ma p k et p r k, 1 r < 1 k k=1 sont des normes équivalentes qui déterminent la même topologie que la suite (p k ) 1 k<m Un espace vectoriel muni d une topologie déterminée par une famille séparante de semi-normes est dit espace de Fréchet lorsqu il eiste une distance invariante complète qui détermine T. Eemple Les espaces C(Ω), C k (Ω) et C (Ω) sont des espaces de Fréchet. 2.4 Dualité dans les E.V.T. Soit E un espace vectoriel sur K = R ou C, le dual algébrique, noté E, est l espace vectoriel des formes linéaires : E K. On note () =<, > le crochet de dualité représentant la valeur de sur E. Pour chaque E posons p () = <, >. L application p : E K est une semi-norme sur sur E et la famille (p ) E détermine une lopologie localement convee sur E, notée σ(e, E ). Dans le même d idées, nous pouvons définir une topologie localement convee sur E, notéeσ(e, E). Lorsque E est un K-espace vectoriel topologique, Le dual topologique E de E est le sousespace de E formé des formes linéaires continues (ou fonctionnelles) sur E. La topologie σ(e, E ) définie sur E par la famille de semi-normes (p ) E est dite topologie faible sur E elle est plus fine que la topologie de E et de celle induite par σ(e, E ). Eemple Soit E un espace vectoriel normé, E son dual topologique et f E. On peut recenser les ouverts qui doivent appartenir à la topologie σ(e, E ) de la manière suivante : si f E et U ouvert de R, il faut que f 1 (U) soit un ouvert de σ(e, E ). Mais comme les intervalles sont une base de voisinages de R, on voir que ceci revient à dire que pour tout intervalle I et tout f E, f 1 (U) est dans σ(e, E ). La topologie σ(e, E ) est la moins fine contenant tous les ensembles f 1 (I) pour tout f E et tout intervalle I de R. On définit, de même, la topologie faible σ(e, E) sur le dual topologique E de E. Il vient qu une suite ( j) converge faiblement vers 0 dans E si, et seulement si, pour tout E,

24 la suite j() converge vers 0 dans K. Ainsi, la topologie faible σ(e, E) coincide avec la topologie de la convergence simple sur E. Dans E on peut définir une autre importante topologie localement convee à savoir la topologie forte sur E. Pour cela, on doit caractériser les parties bornées de E. Définition Soit E un espace vectoriel topologique. On dit que A E est borné si, pour chaque V V 0, il eiste un réel λ > 0 tel que λa V. Lorsque E est un espace vectoriel localement convee, chaque voisinage de 0 contient un voisinage équilibré de 0. Ce qui justifie : Définition Si E est un espace vectoriel localement convee A E est borné si, pour chaque V V 0, il eiste un réel ε > 0 tel que λa V pour tout λ 0. Les deu définitions sont équivalente dans le cas général, puisque tout espqce vectoriel topologique admet une base de voisinages équilibrés de 0. En d autres termes : B est bornée s il est absorbée par chaque voisinage de 0 ce qui est équivalent à : pour chaque i I on a sup p i () < +. B Eemple Toute partie finie et, plus généralement, toute partie compacte de E est bornée. Eemple Toute partie relativement compact A d un espace localement convee E est bornée. En effet, soit V V 0 dans E, il eiste W V 0 tel que W + W V et µw W pour tout µ 1. Comme A est relativement compact, on peut trouver un ensemble fini ( j ) 1 j p d éléments de A tel que les ouverts ( j + W ) 1 j p forment un recouvrement de A. Comme ( j ) 1 j p est borné dans E, on peut trouver 0 < λ < 1 tel que λ{ j } W. On a alors Donc A est borné. p λa λ( j + W ) W + W V. j=1 Définition Soit B une partie d un espace vectoriel topologique E. polaire B de B est le sous-ensemble de E définie par L ensemble B = { E : <, > 1, B}. Théorème Si A est une partie bornée d un espace vectoriel topologique E alors son ensemble polaire A E est un sous-ensemble convee, équilibré et absorbant de E.

25 Preuve : Si, y A et α, β 0 tels que α + β = 1, on a <, α + βy > α <, > + β < y, y > 1. Donc A est convee. Si A et λ K tel que λ 1, on a <, λ > = λ. <, > 1. Ainsi, λ A et A est équilibré. Finallement, soit z E et considérons le voisinage de 0 suivant V = { E : <, z > 1}. Comme A est un sous-ensemble borné de E, il eiste λ > 0 tel que λa V, donc <, λz > = < λ, z > 1, A, ce qui montre que A est un sous-ensemble absorbant dans E. Les résultats de ce théorème, nous conduit à définir, pour toute partie A borné d un espace vectoriel topologique E la semi-norme suivante sur E par p A ( ) = inf{λ 0 : λa }. Si l on note B(E) la famille des parties bornées de E, la famille (p A ) A B(E) définie une topologie localement convee et séparée sur E, dite topologie forte de E. On peut montré que la suite ( j) converge fortement vers 0 dans E si, et seulement si, la suite ( j()) converge uniformément vers 0 sur chaque partie bornée de E. Ainsi, la topologie forte sur E est dite topologie de la convergence uniforme sur les parties bornées de E. On note par E b le dual topologique E muni de la topologie forte ainsi définie. Eemple Si E est un espace normé, son dual topologique E muni de la norme est un espace de Banach. E = sup <, > E Topologie limite inductive Nous aborderons, dans la suite, la notion de topologie limite inductive d un point de vue qui nous permettra de définir l espace des fonctions tests et la notion duale des distributions. Soit (E i ) i N une suite croissante d espaces localement convees tels que l application identité E i E i+1 soit continue pour chaque i. Posons E = E i. i=1

26 Définissons sur E la topologie localement convee la moins fine rendant les identités E i E i+1 continues pour i = 1, 2,,. Elle est dite topologie limite inductive de E définie par les sous-espaces E i. L espace E muni de cette topologie est dit limite inductive des espaces (E i ) i N. Pour que un convee V soit un voisinage de 0 dans la topologie limite inductive, il faut et il suffit que chaque intersection V E i pour tout i = 1, 2,. Ainsi, nous obtenons un système fondamentale de voisinages de l origine dans E en prenant toutes les enveloppes convees de la forme ( ) V = Γ V i où chaque V i appartient au système fondamentale de voisinages convees de chaque E i, i = 1, 2,. Proposition Soit E la limite inductive de (E i ) i N et soit F un espace localement convee. Une application linéaire u : E F est continue si, et seulement si, la restriction u i = u Fi de u est continue de E i dans F pour tout i N. i=1 Preuve : Si u est continue, alors chaque restriction u i est continue puisque, par définition, l identité E i E est continue. Inversement, supposons que chaque u i de E i F est continue. Fions U un voisinage convee de 0 dans F (, il eiste un voisinage convee de ) 0, noté V i, dans E i tel que u i (V i ) U. Alors, V = Γ V i est un voisinage de 0 dans i=1 E, et on a u(v ) U; donc u est continue de E dans F. Théorème Si E est la réunion d une suite croissante (E i ) i N d espaces localement convees tels que : Pour tout i, l identité E i E i+1 est continue; La topologie induite par E i+1 sur E i coincide avec la topologie de E i, pour tout i; E i est un sous-espace fermé de E i+1, pour tout i. Alors : 1. La topologie limite inductive de E induit sur chaque E i sa topologie originale. 2. Un sous-ensemble A est borné dans la topologie inductive de E si, et seulement, il eiste un indice j tel que A est contenu et borné dans E j. Preuve : 1. Dans le but de montrer que la topologie induite par E sur E i coincide avec la topologie originale de E i, il suffit de montrer que : étant donné V i un voisinage

27 convee équilibré de 0 dans E i, il eiste un voisinage V de 0 dans E tel que V i = V E i, i. En appliquant le lemme, Il est facile de voir qu il eiste une suite (V i+k ), k = 0, 1, 2,, de voisinages convee équilibré de 0 dans E i+k tel que En posant V = que V i = V E i. k=0 V i+k 1 = V i+k E i+k 1, k = 1, 2,. V i+k, il est aisé de voir que V est un voisinage de 0 dans E et 2. Soit A un borné de E. Supposons, par contradiction, qu il n eiste pas d indice i tel que A E i. Alors, on peut trouver une suite croissante d indices (i n ) et une suite ( n ) d éléments de E tel que n A E in et n / E in 1. D après le lemme, il eiste une suite (V n ) de voisinages ouvert convee et équilibré de 0 dans E in tel que n / nv n et V n E in 1 = V n 1. Posons V = V n. Alors V est un voisinage de 0 dans E tel que i V E in = V n et n / nv n. Mais, ceci contredit la supposition que A est borné dans E. Eemple (L espace C c (Ω)). Soit (K i ) une suite croissante de compacts d un Ω un ouvert R n telle que Ω = i K i. Posons E = C c (Ω) l espace des fonctions continues à support compact définies sur Ω. Posons E i = C c (Ω, K i ) le sous-espace de C c (Ω) formé des fonctions continues dont le support est inclu dans K i. On a C c (Ω) = i C c (Ω, K i ). Définissons sur C c (Ω, K i ) la topologie de la convergence uniforme sur K i ; elle est localement convee puisqu elle est définie par la norme p Ki (f) = sup K i f(). L espace C c (Ω, K i ) muni de cette norme est un espace de Banach et l application C c (Ω, K i ) C c (Ω, K i+1 ) est continue. L espace C c (Ω, K i ) est un sous-espace fermé de C c (Ω, K i+1 ). Les hypothèses de theorème précédent sont vérifiées, on définit sur C c (Ω) la topologie limite inductive des espaces C c (Ω, K i ). Comme conséquence : une suite (ϕ j ) converge vers 0 dans C c (Ω) si, et seulement si, on a : 1 Il eiste un compact K de Ω tel que supp(f j ) K pour chaque j; 2 La suite (f j ) converge uniformément vers 0 sur K.

28 Eemple (L espace L p c (Ω), 1 p ). Soit K un compact de Ω ouvert de R n. Désignons par L p (K), 1 p < +, l espace des fonctions L p -intégrables à support contenu dans K muni de sa norme naturelle. Les espaces L p (K) sont des espaces de Banach. Si K 1 K 2, l application L p (K 1 ) L p (K 2 ) est continue et la topologie induite par L p (K 2 ) sur L p (K 1 ) coincide avec la topologie de L p (K 1 ). Si (K i ) est une suite croissante de compacts de Ω telle que Ω = K i. Alors L p c(ω) = L p (K i ) est muni de la i i topologie limite inductive. 2.6 Topologie des espaces de fonctions tests Soit Ω un ouvert fié de R n. Pour chaque partie compacte K Ω on note D K (Ω) = {ϕ E(Ω) : Ω \ K, ϕ() = 0}. L espace D K (Ω) est le sous-espace vectoriel de E(Ω) dont les éléments sont les fonctions dont le support, contenu dans K, est une partie compacte de Ω. C est un sous-espace fermé de E(Ω), donc D K (Ω) est un espace de Fréchet. On note D(Ω) = C c (Ω) = D K (Ω) K K Ω le sous-espace vectoriel de E(Ω) dont les éléments sont les fonctions dont le support est une partie compacte de Ω. Le sous-espace D(Ω) n est pas fermé dans E(Ω). On note T K la topologie induite par E(Ω) sur D K (Ω). C est la topologie déterminée sur D K (Ω) par la famille de semi-normes sur D(Ω) : p m (ϕ) = sup α ϕ() < +. α m, Ω On va construire une topologie sur D(Ω) en distinguant une famille de parties qui sera, en fait, une base de voisinages de 0. Pour cela, on note V = {V D(Ω); absolument convee et équilibré, K K Ω, V D K (Ω) T K }. Pour chaque V V, sa jauge J V est une semi-norme sur D(Ω) Corollaire La famille de semi-normes (J V ) V V est séparante. Preuve : Soit ϕ D(Ω) telle que ϕ 0. Evidemment r = sup ϕ() > 0. Notons Ω V = {f D : q 0 (f) < r}. Il est clair que V V et que J V (ϕ) 1. On note par T la topologie sur D(Ω) déterminée par la famille (J V ) V V.

29 Corollaire Pour chaque V V on a V = {ϕ D(Ω) : J V (ϕ) < 1} et la famille V est un système de voisinage de 0 pour la topologie T. Autrement dit, pour tout voisinage U de 0 pour T il eiste V V tel que V U. Preuve : Il est clair que V est convee et que {ϕ D(Ω) : J V (ϕ) < 1}. Réciroquement, soit ϕ V. Il eiste une partie compacte de Ω telle que ϕ appartient à l ouvert V D K (Ω) de D K (Ω). L application λ R λϕ étant continue au point λ = 1 il eiste alors un réel r > 1 tel que pour tout réel λ véerifiant 1 r λ 1 + r on a λϕ V D K (Ω).Il découle (1 + r)ϕ V donc J V (ϕ) < 1. La suite est clair. Théorème Pour chaque partie compact K de Ω, la topologie T K et la topologie induite par T sur D K (Ω) sont égau. Preuve : Fions une partie compacte K de Ω. Soit U un voisinage de 0 dans D K (Ω) muni de la topologie induite par T. D après le corollaire précédent nous pouvons trouver V V tel que V D K (Ω) U. Puisque V D K (Ω) est un voisinage de 0 pour T K il s ensuit que U est aussi voisinage de 0 pour cette même topologie. La topologie induite par T sur D K (Ω) est donc moins fine que la topologie T K. Réciproquement, soit W un voisinage de 0 pour T K. Puisque la suite (p m ) m détermine la topologie T K sur D K (Ω), il eiste alors un m 0 et un réel r > 0 tel que {ϕ D K (Ω) : p m (ϕ) < r} W. Il est clair que V = {ϕ D(Ω) : p m (ϕ) < r} V, il s ensuit que W est un voisinage de 0 pour la topologie induite par T sur D K (Ω). Théorème Une suite (ϕ m ) m de D(Ω) tend vers 0 quand m tend vers + si, et seulement si, il eiste un compact K Ω tel que, pour chaque m, on a ϕ m D K (Ω) et (ϕ m ) m tend vers 0 pour la topologie T K. Preuve : Puisque la topologie T K est induite par T sur D K (Ω) il est clair qu une suite (ϕ m ) m de D(Ω) telle que ϕ m D K (Ω) pour chaque entier m et qui tend vers 0 dans D K (Ω) tend aussi vers 0 dans D(Ω). Réciproquement, considérons une suite (ϕ m ) m de D(Ω) tendant vers 0 et supposons que pour chaque compact K Ω il eiste un entier m tel que la restriction ϕ m Ω\K 0. Fions (K l ) l une suite ehaustive de compacts de Ω. Nous pouvons alors construire une suite strictement coissante d entiers (m l ) l et une suite ( l ) l de Ω qui vérifient, pour chaque entier l, l Ω \ K i et ϕ ml ( i ) 0. Notons alors V = {ϕ D(Ω) : l, ϕ( l ) < (1/2) ϕ mi ( i ) }. Il est clair que V est absolument convee. Pour chaque compact K Ω il n y a qu un nombre fini de l qui appartiennent à K, il s ensuit que V D K (Ω) T K et donc V est un voisinage de 0 pour T. La suite (ϕ m ) m convergeant vers 0 il eiste un entier m l tel que ϕ ml V ce qui est contradictoire.

30 Théorème Une suite (ϕ m ) m de D K (Ω) est Cauchy si, et seulement si, il eiste un compact K Ω tel que, pour chaque entier m, ϕ m D K (Ω) et (ϕ m ) m est de Cauchy pour la topologie T K. La preuve est identique à celle du théorème précédent. Théorème Toute suite de Cauchy de D(Ω) est convergente. Théorème Soit u une application linéaire de D(Ω) dans un espace vectoriel E muni de la topologie déterminée par une famille séparante de semi-normes. Les affirmations suivantes sont équivalentes : 1 u est continue, 2 pour toute suite (ϕ m ) m 0 dans D(Ω), la suite (u(ϕ m )) m tend vers 0 dans E, 3 pour tout compact K Ω, la restriction de u à D K (Ω) est continue. Preuve : Les affirmations 1 = 2 et 2 = 3 sont évidentes. Montrons que 3 = 1. Pour cela nous allons établir la continuité de u en 0. Soit W un voisinage absolument convee de 0 dans E. Il est clair que V = u 1 (W ) est une partie absolument convee de D(Ω). Puisque V D K (Ω) = (u DK (Ω)) 1 (W ) nous avons V D K (Ω) T K. Il s ensuit que V est un voisinage de 0 dans D(Ω). Remarque: Soit u une forme linéaire sur D(Ω). u est continue si, et seulement si, pour chaque compact K Ω, il eiste un réel C et un entier m 0 tels que, pour chaque ϕ D K (Ω), on a u(ϕ) C sup α ϕ(). Ω, α m La constante C et l entier m dépendent du compact K.

31 Chapitre 3 Distributions 3.1 Définitions et propriétés Définition Les formes linéaires continues sur D(Ω) sont appelées distributions sur l ouvert Ω. L espace vectoriel de toutes les distributions sur Ω sera noté D (Ω). L espace D (Ω) est le dual topologique de l espace fonctionnel C c (Ω). Ainsi, on a le résultat suivant : Proposition Une forme linéaire T est une distribution sur Ω si, et seulement si, pour chaque compact K Ω, il eiste une constante C > 0 et un entier m 0 tels que < T, ϕ > C. sup α ϕ(), ϕ D K (Ω). ( ) Ω, α m Preuve : Soit T D (Ω). Pour chaque compact K Ω, T est une forme linéaire sur D K (Ω). Il eiste, alors, V V 0 de la forme V = V m,ε K = {ϕ D K (Ω) : p m,k(ϕ) ε} où p m,k (ϕ) = sup α ϕ() tel que < T, ϕ > 1 pour tout ϕ V. D autre part, K, α m si ϕ D K (Ω) est tel que ϕ 0, on a ε.ϕ p m,k (ϕ) V.

32 Il s ensuit que < T, ϕ > < (1/ε).p m,k (ϕ), ϕ D K (Ω) \ {0}. En posant C = ε 1 on obtient ( ) lorsque ϕ 0. Notons, enfin, qu on a l égalité dans ( ) lorsque ϕ = 0. Inversement, si ( ) est satisfaite, alors pour chaque compact K Ω, T est une forme linéaire continue sur D K (Ω). D après la proposition 2.5.1, on en déduit que T est une distribution sur Ω. L inégalité ( ) n est le seul critère à démontrer pour vérifier qu une forme linéaire sur D(Ω) est une distribution. Une autre caractérisation s impose en terme de suites convergentes dans D(Ω) : Théorème On a T D (Ω) si, et seulement si, pour toute suite (ϕ i ) convergente vers 0 dans D(Ω), la suite numérique < T, ϕ i > converge vers 0 dans K = R ou C. Preuve : Supposons que T D (Ω) et (ϕ i ) une suite convergente vers 0 dans D(Ω). Il eiste un compact K Ω tel que ϕ i D K (Ω), i et ϕ i 0 dans D K (Ω). Comme T est continue dans D(Ω), d après ( ), on a (< T, ϕ i > 0 lorsque i +. Inversement, Supposons que ceci est vérifié. Il suffit de vérifier que T est continue sur chaque espace D K (Ω). Supposons, par contradiction, qu il eiste K i0 telle que T n est pas continue sur D Ki0 (Ω). On peut trouver, alors, une suite (ϕ i ) de fonctions de D Ki0 (Ω) convergente vers 0 dans D Ki0 (Ω) telle que < T, ϕ i > ne converge pas. Comme l inclusion D Ki0 (Ω) D K (Ω) est continue, la suite (ϕ i ) doit converger vers 0 dans D K (Ω), ainsi (< T, ϕ k >) devrait converger vers 0 ; Contradiction. Eemple Soit f L 1 loc (Ω). Définissons une forme linéaire T f par T f (ϕ) = f()ϕ()d, ϕ C c (Ω). Ω : C c (Ω) C Comme f L 1 loc (Ω) alors C = f() d < +. Ω facilement que T f (ϕ) f() ϕ() d sup ϕ(). Ω K Ω Posons supp(ϕ) = K; on vérifie f() d C(K). sup ϕ(). K Ainsi, T f : C c (Ω) C est une distribution, dite régulière, d ordre α = 0. L application j : L 1 loc (Ω) D (Ω) définie par j(f) = T f est injective : L 1 loc (Ω) D (Ω).

33 Dans l eemple suivant nous montrerons que j n est pas surjective. Eemple Soit a Ω. On considère la forme linéaire sur D(Ω) définie par < δ a, ϕ >= ϕ(a), ϕ D(Ω). On vérifie, alors que < δ a, ϕ > ϕ L (Ω), ϕ D(Ω) donc δ a est une distribution d ordre 0 dans Ω. Cette distribution est dite masse de Dirac au point a. Mais, δ a ne s écrit pas en fonction d une fonction de L 1 loc (Ω). En effet, supposons qu il eiste f L 1 loc (Ω) telle que δ a = T f c-à-d. < δ a, ϕ >= f()ϕ()d = ϕ(a), ϕ D(Ω). Posons Ω = Ω\{a}. Alors < δ a, ϕ >= Ω Ω f()ϕ() = 0, ϕ D( Ω). Donc f = 0 presque partout dans Ω et donc presque partout dans Ω. Ainsi, ϕ(a) = 0 pour tout ϕ D(Ω) ce qui contredit la fait que < δ a, ϕ > 0. La masse de Dirac au point a est un eemple de distributions, dites singulières, qui ne proviennent pas d une fonction appartenant à L 1 loc (Ω). Eemple Posons Ω = R et définissons < δ, ϕ >= δ, dϕ = dϕ (0), ϕ D(R). d d Il est clair que δ est une forme linéaire continue sur D(R). Lorsque Ω = R n, on peut généraliser cet eemple en posant < k δ, ϕ >= ( 1) k < δ, k ϕ >= ( 1) k k ϕ(0) pour tout ϕ D(R n ), 1 k n. Nous montrerons que k δ n est autre que la dérivée partielle d ordre k de la masse de Dirac au sens des distributions. Eemple La fonction 1/ n est pas localement intégrable sur R, Donc elle ne peut définir une distribution régulière sur R. Par contre, elle l est sur R donc elle définit une distribution que l on pourra prolonger à R. Par définition, posons vp ( 1 ) ϕ() +, ϕ = lim ε 0 ε d = 0 ϕ() ϕ( ) d, ϕ D(R).

34 Cette dernière limite est dite valeur principale de Cauchy de l intégrale On a alors ϕ() d = ε ε ϕ() d + = ϕ( ε) log ε + ε ε ϕ() d ϕ () log d ϕ(ε) log ε + ε + ϕ() d. ϕ () log d. Mais, on peut écrire ϕ() = ϕ(0) + ψ() tel que ψ(0) = ϕ (0). En remplaçant, on trouve ε ϕ() d = 2εψ(ε) log ε ε ϕ () log d + ε ϕ () log d. Passons à la limite lim ε 0 ε ϕ() d = + ϕ () log d. La dernière intégrale étant convergente; elle définie une forme linéaire sur D(R). D où vp ( 1 ), ϕ = lim ε 0 ε ϕ() d = + ϕ () log d. D autre part, puisque ϕ D(R) il eiste, alors, un réel A tel que suppϕ [ A, A]. Si ε < A alors ( ) 1 ϕ() A vp, ϕ = lim ε 0 ε d = ϕ() ϕ( ) A ϕ() ϕ(0) d = 2 d 0 0 A D après la formule des accroissements finis, on a ϕ() ϕ(0) d 0 A. ϕ. Donc ( ) ( ) 1 1 vp, ϕ 2A ϕ. Ainsi, vp une distribution d ordre inférieur où égal à 1. Il nous reste à montrer qu elle n est pas d ordre 0. Pour cela, on utilise une partition de l unité, corollaire page 10 : Pour tout n 2 il eiste [ ϕ n D(R) telle que 0 ϕ n 1, supp(ϕ n ) ]0, 1[ 1 et ϕ n = 1 sur l intervalle n, n 1 ]. n Soit ψ n la fonction impaire qui coincide avec ϕ n sur R +. Si K = [ 1, 1], alors ψ n D K (R), ψ n = 1 et ( ) 1 1 ϕ n () vp, ψ n = 2 d 2 log (n 1). 0

35 Il n eiste pas de constante C K telle que ( ϕ D K (R) 1 vp Ce qui montre que l ordre de la distribution vp ), ϕ C K ϕ. ( 1 ) est différent de 0. Dans l eemple précédent, ( nous ) avons fait appel à l imparité de la fonction 1/ pour 1 définir la distribution vp comme limite, lorsque ε 0, de la distribution associée à la fonction χ () {: >1}. Pour une fonction non impaire une telle procédure ne fonctionne pas et ce qui nous amène à introduire un terme correctif (divergent) pour pallier à ce défaut en utilisant la méthode des parties finies. Eemple [Partie finie de H()/] Soit ϕ D(R) telle que supp ϕ [ A, A]. On + ϕ() A ε d = ϕ() ϕ(0) d + ϕ(0) log A ϕ(0) log ε. ε Alors, lorsque ε 0 +, on obtient lim ε 0 + ( + ε ) ϕ() d + ϕ(0) log ε = A 0 ϕ() ϕ(0) d + ϕ(0) log A. D après le théorème des accroissements finis, cette epression est majorée en valeur absolue par 2 ϕ (1). ma{a, log A}. Donc Pf ( H() ), ϕ = lim ε ε ϕ() d + ϕ(0) log ε est une distribution d ordre inférieure égal à 1. Faisant appel une deuième fois à la partition de l unité page 10 et en utilisant les mêmes notations que dans l eemple précédent pour montrer que cette distribution est d ordre eactment 1. Eemple Soit 0 Ω alors u(ϕ) = α ϕ( 0 ), avec α N n, est une distribution d orde α. En effet, supposons que u est d ordre β < α et choisissons ψ D (Ω) telle que ψ(0) = 1 et posons ( ) ϕ ε () = ( 0 ) α 0 ψ, ε avec ε > 0. Un calcul simple montre que u(ϕ ε ) = α! alors que sup β ϕ ε K.ε α β 0 si ε 0 et β < α. Ω

36 3.2 Dérivées partielles au sens des distributions Considérons une fonction f de classe C 1 dans R n et analysons l action de ses dérivées partielles sur les fonctions tests. Si ϕ D(Ω) alors : f f, ϕ = ()ϕ()d = [f()ϕ()] + ϕ ()f()d k k k R n = R n ϕ k ()f()d = f, ϕ k R n Cette dernière formule a-t-elle un sens si on remplace f par une distribution? précisément, on a : Plus Proposition Soit Ω un ouvert de R n et T D (Ω). Pour tout 1 i n, la forme linéaire définie par ϕ T, ϕ, ϕ D(Ω) k est une distribution. Si T est d ordre m K sur tout compact K, alors cette distriburion est d ordre 1 + m K. Preuve : Pour tout ϕ D K (Ω), on a T, ϕ ( ) C K. sup ϕ k α C K. sup β ϕ. k β 1+m K α m K Définition Soit Ω un ouvert de R n et T D (Ω). La dérivée partielle de T par rapport à la variable k, 1 k Ω, est la distribution T/ k définie par la formule T, ϕ = T, ϕ, ϕ D(Ω). k k Soient α = (α 1,, α n ) N n un multi-indice et T D (Ω). Par récurrence, on définit la dérivée partielle de T d ordre α pat α T, ϕ = ( 1) α T, α ϕ, ϕ D(Ω). Si T f est une distribution régulière définie par une fonction f localement intégrable sur Ω, une dérivation par partie montre que la dérivée partielle d ordre α de T f coincide avec

37 la dérivée partielle d ordre α de f au sens des fonctions. En particulier, si T f distribution régulière associée à f L 1 loc (Ω) où Ω R, on a est une T f = T f. La dérivation des distributions verifie les proprités suivantes : La dérivation, au sens des distributions, est définie partout sur D (Ω). Chaque distribution sur R n admet des dérivées partielles de tout ordre. Si T D (Ω), alors : 2 T i k = 2 T k i, 1 i, k n. C est une conséquence du lemme de Schwarz. Pour f L 1 loc (Ω), on a : T f = T f Eemple La fonction log est localement intégrable sur R n, elle définie une distribution dont la dérivée est, d après l eemple??, ( ) 1 vp, ϕ = log.ϕ ()d = (log ).ϕ()d = (log ), ϕ, ϕ D(R n ) Donc ( ) d 1 log = vp. d Eemple Supposons que Ω = R et considérons la fonction de Heaviside sur R : { 1 si 0 H() = 0 si < 0 Sa dérivée au sens des distributions est < H (), ϕ >= < H, ϕ () >= Donc 0 H = δ. ϕ () = ϕ(0) =< δ, ϕ >, ϕ D(R).

38 Remarque : La fonction de Heaviside est discontinue à l origine dont le saut de discontinuité est égal à 1. On peut dire que sa dérivée au sens des distributions est égale au saut de la discontinuité par la mesure de Dirac à l origine. Eemple Posons + = ma(, 0), alors T + = H(). Eemple On a T /2 = δ. Eemple Soit f une fonction dérivable sur R sauf au point 0 où elle présente une discontinuité de première espèce. Soit h 0 = f( + 0 ) f( 0 ) le saut de f au point 0. Alors, par inétgration par parties et en tenant compte du fait que ϕ est nulle à l infini, on obtient 0 + < T f, ϕ > = < T f, ϕ >= f()ϕ ()d ϕ ()d = ϕ( 0 )[f( + 0 ) f( 0 )] + + = ϕ( 0 )h 0 + < T f, ϕ > = < h 0 δ 0, ϕ > + < T f, ϕ >. 0 f ()ϕ()d Ainsi, on a T f = T f + h 0δ 0. Plus généralement, nous allons maintenant étendre ce résultat à une classe de distributions régulières associées a des fonctions de classe C 1 par morceau définies sur un intervalle ouvert ]a, b[. Définition On dit que f définie dans un intervalle ]a, b[ est de classe C 1 par morceau s il eiste un nombre fini de points a = a 0 < a 1 < < a n = b < + tels que, dans chacun des intervalles ]a i, a i+1 [, la dérivée f eiste et continue et se prolonge par continuité dans les intervalles ]a 0, a 1 ],, [a i, a i+1 ],, [a n 1, a n [. Posons h i = f(a + i ) f(a i ) le saut de f au point a i. Théorème Avec les notations précédentes, on a T f = T f + n 1 i=1 h i δ ai.

39 Preuve : En intégrant par parties dans chacun des intervalles [a i, a i+1 ], le théorème se déduit aisément de l eemple précédent. Nous allons, maintenant, étudier l application linéaire : D (R) D (R) : L application continue : D(R) D(R) est injective puisque ϕ = 0 implique que ϕ est une constante, comme elle est de support compact alors ϕ = 0. Proposition L application : D(R) D(R) est un morphisme injective strict + d image un hyperplan fermé H. Soit ϕ 0 donnée de D(R) telle que ϕ 0 ()d = 1, alors chaque élément ϕ D(R) admet une décomposition unique ϕ = λϕ 0 + χ, où λ = + ϕ()d et χ H. Preuve : Une fonction χ D(R) est dans le sous-espace H = Im( ) si, et seulement si, elle vérifie la relation + χ()d = 0 ( ) En effet, si χ = ψ pour ψ D(R), alors + χ()d = + ψ()d = ψ() + = 0. Inversement, si χ satisfait ( ), alors la fonction ψ définie par ψ() = + χ()d est un élément de D(R) du moment que ψ est une constante pour les vaelurs de assez large, et d après ( ) cette constante ne peut être que 0. Donc χ = ψ. + La forme linéaire χ χ()d est continue sur D(R). Donc H est un hyperplan fermé de D(R) d équation ( ). Soit ϕ 0 une fonction fiée de D(R) telle que + ϕ 0 ()d = 0. Chaque ϕ D(R) admet une décomposition unique ϕ = λϕ 0 + χ où λ R et χ H. En effet, si l on pose + λ = ϕ()d, alors ϕ λϕ 0 H et si λ 1 ϕ 0 + χ 1 = λ 2 ϕ 0 + χ 2, il vient que (λ 1 λ 2 )ϕ 0 =

40 χ 2 χ 1 H; ainsi λ 1 = λ 2 et χ 1 = χ 2. Enfin, l application χ = ψ ψ de H dans D(R) est continue. Or, d après la proposition p. 26, il suffit de montrer que pour chaque compact K de R l application χ ψ de H D K (R) dans D(R) est continue. Soit V un voisinage de 0 dans D(R) et soit K = [a, b] un compact contenant K. Alors V D(K ) contient un ensemble de la forme {ψ : p ψ() ε, p m}, ε > 0 et m N. Soit U un voisinage de 0 dans H D(K) définie par { χ : χ() Alors χ U implique ψ V du moment que ψ() χ(t)dt et ε b a, p χ() ε, 0 p m 1 a ε (b a) = ε b a p ψ() = p 1 χ() ε, pour 1 p m. }. Proposition L application : D (R) D (R) est un morphisme surjective stricte dont le noyau est une sous-espace de D (R) de dimension 1, formé par toutes les distributions T C asociées à une constante C. Preuve : On procède en trois étapes : 1) Soit T D (R) tel que T = S. En utilisant la décomposition de la proposition p. 39, on a < T, ϕ >= λ < T, ϕ 0 > + < T, χ >= λ < T, ϕ 0 > < S, ψ > où χ = ψ. En particulier, si S = 0, on a < T, ϕ >= λ < T, φ 0 >= c est-à-dire T = T f où f() =< T, ϕ 0 >. + ϕ()d; 2) Montrons que est surjective. Pour un S D (R) donnée, choisissons une constante k K et définissons T par < T, ϕ >= kλ < S, ψ >, lorsque ϕ est une fonction arbitraire de D(R). Comme la décomposition de ϕ est unique, T est une forme linéaire bien définie sur D(R). De plus T est contine comme composition de fonction continues en application de la proposition Enfin < T, ψ >= < T, ψ >=< S, ψ > pour tout ψ D(R) c est-à-dire T = S. Observons, d après 1), la distribution T est complètement déterminée par k =< T, ϕ 0 >.

41 3) Pour chaque S D (R) on associe une distribution T D (R) telle que T = S et < T, ϕ 0 >= 0. Posons T = I(S). L application I : D (R) D (R) est linéaire. Par défintion, on a I(S) = S, S D (R) et d après 1) on a < I(S), ϕ >= < S, ψ >, S D (R) et ϕ D(R). Ainsi, I est la transposée de l application linéaire continue ϕ ψ. D où I est continue. Remarque : D après ce qui précède on a D (R) = N L, où N est formé par les distributions constantes et L par les distributions qui s annulent en ϕ 0. Si ϕ = λϕ 0 + χ D(R), et T = k + U D (R) où U L, alors < T, ϕ >= kλ+ < T, χ >. Corollaire Pour tout distribution S D (R) et pour tout p N, il eiste une distribution T D (R) telle que p T = S. 2 Si T D (R) est telle que p T = 0, alors T = T f où f est un polynôme de degrè inférieure où égal à p 1. Preuve : D après la proposition p. 40, ce réultat est vrai pour p = 1. Supposons qu il est vrai pour p 1 (p > 1). Il eiste alors U D (R) tel que p 1 U = S. D après la proposition 3.2.4, il eiste T D (R) tel que T = U. D où p T = p 1 U = S, d où 1). On procède de la même manière pour 2). Proposition Pour tout S D (R), il eiste T D (R) tel que T = S. Si T 0 est tel que T 0 = S, l ensembles des solutions de l équation T = S est {T 0 + kδ, k K}. Preuve : Soit χ D(R) tel que χ(0) = 1. Pour tout ϕ D(R) on associe une une fonction ˆϕ définie par ˆϕ() = 1 0 [ϕ (t) ϕ(0)χ (t)]dt.

42 L application ϕ ˆϕ étant continue de D(R) dans lui même comme on peut le constater facilement. En plus, si R, on a ϕ() = ϕ() ϕ(0)χ (t). On pose, pour ϕ D(R), < T, ϕ >=< S, ϕ >. Or, ϕ ϕ est continue alors T D (R). Mais comme ϕ = ϕ alors on a T = S. Soit T D (R) tel que T = 0, alors pour ϕ D(R), on a 0 =< T, ϕ >=< T, ϕ ϕ(0)χ >=< T, ϕ > < T, χ >< δ, ϕ >. D où T =< T, χ > δ. 3.3 Multiplication des distributions La fonction f() = 1 L 1 loc (R) définie une distribution T f D(R). Par contre, le produit f 2 = f.f donne la fonction g() = 1 qui n est pas inétgrable au voisinage de 0, et ne définit pas une distribution sur R. Ainsi, le produit de deu distributions, n est pas en général une distribution. Mais, on montrera que l on peut définir le produit d une fonction C par une distribution sur R n. Proposition Soit f C (Ω) et T D (Ω). Alors la forme linéaire sur D(Ω) définie par ϕ < T, fϕ >, ϕ D(Ω) est une distribution sur R n noté ft d ordre inférieure à celui de T. Ainsi < ft, ϕ >=< T, fϕ >, f C (Ω), T D (Ω). Preuve : < ft, ϕ > est bien définie car fϕ D(Ω) pour ϕ D(Ω) et f C (Ω). D autre part, si ϕ D K (Ω) pour un certain K compact de Ω alors fϕ D K (Ω) et l on a < ft, ϕ > = < T, fϕ > C K sup α m K α (fϕ). Mais, la formule de Liebniz, s écrit α (fϕ) = β α C β α β α β ϕ et donc Ce qui donne, en posant sup α (fϕ) C(n, m K ) sup α f. sup α ϕ. α m K α m K α m K CK = C(n, m K ) sup α m K α f, que < ft, ϕ > C K. sup α m K α ϕ, ϕ D K (Ω), ce qui signifie que ft D (Ω) et que ord K (ft ) ord K (T ) pour tout compact K de Ω.

43 Eemple Soit f C (Ω) et a Ω, on a < fδ a, ϕ >=< δ a, fϕ >=< f(a)δ(a), ϕ >, ϕ D(Ω). Ainsi fδ a = f(a)δ(a). En particulier, δ = 0. Eemple Soit f C(R) et T D (R), alors en appliquant une dérivation par parties on obtient, au sens des distributions : (ft ) = ft + f T. Proposition [Formule de Leibniz] Si f C (Ω) et T D (Ω) alors i (f.t ) = f i.t + f. T i, 1 k n. Preuve : Pour tout ϕ D(Ω), on a (f.t ), ϕ = f.t, ϕ i i T =, fϕ + i Eemple Pour tout R, on a = f i T, ϕ T, f. ϕ i = ( ) 1.vp = 1. = T, f i.t + f. T i, ϕ (fϕ) f i..ϕ i En effet, pour ϕ D(R) on a ( ) 1.vp, ϕ = = vp + ( ) 1, ϕ = + (ϕ() ϕ( ))d = 0 ϕ() ϕ( ) d + 1.ϕ()d 0 = < 1, ϕ >, où 1 désigne la distribution régulière associée à la fonction constante 1.

44 Eemple [Équation T = 1]. Comme.vp = 1, d après la proposition page 41, alors ( ) 1 ( ) 1 T = 1 k K : T = vp + kδ, k K. Eemple La fonction 1/ 2 n est pas localement intégrable sur R, on ne peut pas, de ce fait, lui associer une distribution régulière. Pour éliminer la partie + ϕ() divergente de l intégrale pour ϕ D(R), on définit la partie finie de cette 0 2 intégrale par ( ) 1 Pf, ϕ = 2 + ϕ() + ϕ( ) 2ϕ(0) d. 2 0 On vérifie facilement que l on a ( ) 1 Pf = vp 2 ( ) 1 ( ) 1 et 2 Pf = 1. 2 Eemple considérons les fonctions suivantes : 0 si 1/2 π() = et sgn() =. 1 si < 1/2 Claculons leurs dérivées au sens des distributions. On peut les eprimes en terme de la fonction de Heaviside H, il vient que ( π() = H + 1 ) ( H 1 ) et sgn() = 2H() Comme H () = δ(), au sens des distributions, il vient que ( π () = δ + 1 ) ( δ + 1 ) et sgn () = 2δ(). 2 2 Eemple Considérons la suite de fonctions 1 si > 1 2n Y n () = n ( ) + 1 si 1 2n 2n < 1 2n 0 si 1. 2n

45 Au sens des fonctions, la suite (Y n ) n converge simplement vers la fonction 1 si > 0 Y () = 1 si = si 0. Chaque fonction Y n est continue, dérivable presque partout dont la dérivée admet des discontinuité de premières espèces au points 1 et 1. Un calcul directe montre qu au 2n 2n sens des distributions on a Y n = n.χ. En effet, pour tout ϕ D)(R, on a ] 2n 1, 2n[ 1 1 < Y n, ϕ >= < Y n, ϕ >= 2n Y n()ϕ()d 1 2n + Une intégration par parties de I 1 et I 2 donnera ( ) 1 1 2n I 1 = ϕ + n ϕ()d 2n et I 2 = ϕ 1 2n 1 2n ϕ()d = I 1 + I 2. ( ) 1. 2n D où 1 I = n 2n ϕ()d = 1 2n + n.χ 1 ] n.χ 2n, 2n[ ϕ()d = 1 ] 2n 1, 2n[, ϕ. 1 Proposition Dans R 3, on a ( ) 1 = 4πδ 0 où r = = Preuve : Notons par n() = la normale etérieure à B(0, ε)c. Soit ϕ une fonction test, on a ( 1 ), ϕ = = = = = 1 ϕ()d = 1 ϕ()d + O(ε 2 ) R 3 B(0,ε) c ( 1 ) ϕ()d 1 ϕ().n()dσ() + O(ε 2 ) B(0,ε) c S(0,ε) 3. ϕ()d + ε 1 ϕ(). B(0,ε) c S(0,ε) dσ() + O(ε2 ) ( 3 )ϕ()d 3.n()ϕ()dσ() + O(ε) B(0,ε) c S(0,ε) 2 ϕ()dσ()d + O(ε) = ε 2 ε 2 ϕ(εy)dσ(y) + O(ε) S(0,ε) = 4πϕ(0) + O(ε). D où le résultat. S(0,1)

46 3.4 Transformations de distributions Translation d une distribution Soit f : R n K une fonction et h R n. Définition La translation τ h f de f par h est définie par τ h f() = f( h), R n. Supposons que f L 1 loc (Ω), la distributions régulière associée à τ hf s écrit, pour tout ϕ D(Ω), comme : < T τh f, ϕ >= f( h)ϕ()d = R n f()ϕ(+h)d = R n f()τ h ϕ()d =< T f, τ h ϕ >. R n Ceci justifie la définition suivante : Définition Soit T D (Ω). La translation de T par h R n est la distribution τ h T définie par < τ h T, ϕ >=< T, τ h ϕ > pour tout ϕ D(Ω). Soit que τ h T = T τ h La distribution T est dite périodique de période h si τ h T = T Eemple Pour tout ϕ D(Ω) on a < τ h δ, ϕ >=< δ, τ h ϕ >= τ h ϕ(0) = ϕ(h) =< δ h, ϕ >. D où τ h δ = δ h Symétrie d une distribution Soit f L 1 loc (R). Définissons ˆf par ˆf() = f( ). Le graphe de ˆf est le symétrique de celui de f par rapport à l ae y oy. Pour tout ϕ D(R), on a < T ˆf, ϕ >= + f( )ϕ()d = + f()ϕ( )d =< T, ˆϕ >.

47 On est amené à définir < ˆT, ϕ >=< T, ˆϕ >; ϕ D(Ω). On vérifie, facilement, que ˆT est une distribution dite symétrique de T. La distribution T est dite paire si ˆT = T. Une ditribution T est dite impaire si ˆT = T. Eemple On vérifie que ˆδ = δ, donc δ est une distribution paire. D autre part, la distribution δ est impaire car ˆδ = δ. Par ailleurs, on vérifie que toute distribution peut s écrire comme la somme d une distribution paire et d une distribution impaire Changement d échelle et distributions homogènes Soit h λ : λ l homothétie de rapport (λ 0), de R dans R. Son application inverse est l homothétie h 1 λ () = h 1 () de rapport 1. λ λ Définition La transformée de la distribution T D(R) par l application h λ est la distribution T h λ définie par < T h λ, ϕ >= 1 λ < T, ϕ h 1 λ >. Si T h λ = T, on dit que T est invariante par h λ. On dira que la distribution T est homogène de degré p, p entier, si T h λ = λ p T. Eemple La distribution est homogène de( degré ) 1. La ( distribution ) sgn() 1 1 est homogène de degré 0. Par contre, les distributions vp et Pf sont homogènes 2 de degrés respectifs 1 et 2 : ( ) 1 vp h λ, ϕ ( ) 1 Pf h 2 λ, ϕ = 1 λ = + 0 vp ( 1 ϕ ( λ ), ϕ h 1 λ ) ) ( ϕ λ d λ + = λ 1 ϕ() ϕ( ) d 0 ( ) 1 = λ vp 1, ϕ. = 1 ( ) 1 Pf, ϕ h λ 2 1 λ

48 = + 0 ϕ ( ) ( λ + ϕ λ) 2ϕ(0) 2 d λ + = λ 2 ϕ() + ϕ( ) 2ϕ(0) d 0 ( ) 1 = λ Pf 2, ϕ Topologies sur l espace D (Ω) Nous avons étudier les topologies faible et forte, dans le cas général, sur des espaces vectoriels topologiques. Plus particulièrement, dans l espace de distributions D (Ω), la topologie faible est la topologie engendrée par la famille de semi-normes définies par p ϕ (T ) = < T, ϕ >, ϕ D(Ω) et T D (Ω), faisant de D(Ω) un espace localement convee. La convergence pour cette topologie est la convergence simple : Une suite de distributions (T i ) de D (Ω) converge faiblement vers 0 si, et seulement si, pour tout ϕ D(Ω), la suite numérique (< T i, ϕ >) converge vers 0 dans K = R ou C. D autre part, la topologie forte sur D (Ω) est la topologie localement convee définie par la famille de semi-normes sur les parties polaires de sous-ensembles bornés de D(Ω). La convergence pour cette topologie est la convergence uniforme : Une suite de distributions (T i ) de D (Ω) converge fortement vers 0 si, et seulement si, pour tout ϕ D(Ω), la suite numérique (< T i, ϕ >) converge uniformément vers 0, dans K = R ou C, sur les parties bornées de D(Ω). 3.6 Topologies sur l espace E (Ω) des distributions à support compact Définition On dit qu une distribution T est nulle dans l ouvert U Ω R n si T (ϕ) = 0 pour toute ϕ D(Ω) tel que supp(ϕ) U.

49 Considérons un ouvert U Ω et T D (Ω). Toute fonction test ϕ D(U) définit une fonction test ϕ D(Ω) par { ϕ() si V ϕ() = 0 si Ω \ V. La restriction de T à l ouvert U, notée T U, est définie par < T U, ϕ >=< T, ϕ >, ϕ D(U). Proposition Soit T D (Ω). Il eiste un plus grand ouvert U Ω tel que la restriction T U soit nulle. Preuve : Considérons (U i ) i I une famille d ouverts de Ω tel que T Ui = 0. Notons U leurs réunion. On doit montrer que T U = 0. Pour cela, soit ϕ D(U). On peut trouver un nombre fini d ouverts U 1,, U n tels que n supp(ϕ) U i et T Ui = 0, i = 1,, n. i=1 Soit (ρ i ) i=1,,n une partition de l unité associée au recouvrement de supp(ϕ) par les ouverts (U i ) i=1,,n, alors ϕ = n ρ i ϕ avec ρ i ϕ D(U i ). Donc i=1 < T, ϕ >= n < T, ρ i ϕ >= i=1 n < T Ui, ρ i ϕ >= 0. Définition Le support d une distribution T, est le plus petit fermé tel que T soit nulle dans son complémentaire. On le note supp(t ). Eemple Le support d une distribution régulière T f s identifie au support de la fonction f L 1 loc (Ω) c est-à-dire supp(t f) = supp(f). Eemple Le support de la distribution associée à la fonction de Heaviside est le fermé { R : 0}. Eemple Le support de la distribution de Dirac est {0}, dit support ponctuel. Eemple Soit T D(Ω) définit par < T, ϕ >= α ϕ(a) avec ϕ D(Ω) et α N n. Alors supp(t ) = {a}. En effet, si ϕ D(Ω \ {a}) on a < T, ϕ >= 0, donc supp(t ) {a}. Pour montrer que a supp(t ) on considère un voisinage ouvert V V a ( a)α de a et χ D(V ) telle que χ 1 au voisinage de a. Posons ϕ() = χ(); α! alors ϕ D(V ). En utilisant la formule de Leibniz, on trouve que α ϕ(a) = 1 donc a supp(t ). i=1

50 Notons par E (Ω) le dual topologique de l espace fonctionnel E(Ω) = C (Ω) muni de sa topologie naturelle. Théorème L application injective Id : D(Ω) E(Ω). est continue. Preuve : Considérons (K i ) une famille ehaustive de sous-ensembles compacts de Ω. Par définition, l injection D Ki (Ω) E(Ω) est continue. D après la proposition 2.5.1, Il s ensuit la continuité de Id car D(Ω) = D Ki (Ω). i Comme conséquence à ce résultat, tout sous-ensemble borné de D(Ω) est un sous-ensemble borné de l espace E(Ω). De plus, Théorème L ensemble D(Ω) est un sous-espace dense dans E(Ω). Preuve : Soit (K i ) une famille ehaustive de sous-ensembles compacts de Ω. Il eiste une famille de fonctions de D(Ω), notée (β i ), telle que β i 1 dans chaque voisinage de K i. Si ϕ D(Ω), posons ϕ i = β i ϕ D(Ω). On vérifie, aussitôt, que ϕ i ϕ dans D(Ω). D autre part, on a l injection E (Ω) D (Ω). Ainsi, Tout élément T E (Ω) définie une distribution sur Ω. Théorème T E (Ω) si, et seulement si, il eiste une constante C > 0, un entier m 0 et un compact K Ω tel que : < T, ϕ > C. sup α ϕ(), ϕ E(Ω). α m, K Preuve : Si T E (Ω) il eiste un voisinage de 0 dans E(Ω) de la forme V = {ϕ E(Ω) : p m,k (ϕ) ε} tel que < T, ϕ > 1, ϕ V.

51 Choisissons ϕ tel que p m,k (ϕ) 0. Alors, ε/p m,k (ϕ) V, il s ensuit que < T, ϕ > ε 1.p m,k (ϕ). D autre part, soit ϕ E(Ω) vérifiant p m,k (ϕ) = 0, alors < T, ϕ >= 0. En effet, une telle fonction ϕ est dans V ainsi que les fonctions λϕ, λ K. Si < T, ϕ > 0, alors < T, λϕ > peut être choisie assez large qu on le souhaite ; ce qui contredit la première inégalité. Par conséquent, la première inégalité reste vraie pour tout ϕ E(Ω). Le reste de la preuve est évident. Plus précisément, nous allons montrer que : Théorème Les éléments de l espace fonctionnel E (Ω) sont des distributions à supports compacts contenus dans Ω. Preuve : Dans la preuve précédente, nous avons montré que si T E (Ω), il eiste ε 0, un entier m 0 et un compact K de Ω tel que pour tout ϕ E(Ω) vérifiant p m,k (ϕ) ε alors < T, ϕ > 1. On a, aussi, remarqué que pour tout ϕ E(Ω) vérifiant p m,k (ϕ) = 0 on a < T, ϕ > = 0. Comme tout ϕ D(Ω \ K) vérifie cette condition, il s ensuit que T serait nulle sur Ω \ K, donc le support de T est contenu dans K. 3.7 Limites de distributions Définition On dit qu une suite {T n } de D (Ω) converge vers T D (Ω) si lim T n, ϕ = T, ϕ n ϕ D(Ω). Le résultat suivant donne quelques conditions suffisantes pour la convergence dans D. Proposition Les conditions suivantes sont suffisantes pour qu on ait f n f dans D (Ω) : 1 f n f dans L 1 (Ω). 2 f n f dans L 2 (Ω). 3 Si {f n } f dans L 1 (Ω), il eiste g L 1 loc (Ω) telle que f i g pour tout n. Preuve : Supposons que f n f dans L 1 (Ω). Or, pour tout n N, on a f n ()ϕ))d f()ϕ))d ϕ. f n f L 1 (Ω), ϕ D(Ω) Ω Ω

52 on obtient que f n f dans D (Ω) d où 1. Supposons que f n f dans L 2 (Ω). D après l inégalité de Cauchy-Schwarz, pour tout n N, on a f n ()ϕ))d f()ϕ))d ϕ L 2 (Ω). f n f L 2 (Ω), ϕ D(Ω) Ω Ω on obtient que f n f dans D (Ω) d où 2. Soit ϕ D(Ω) de support K dont la fonction caractéristique est χ K. Alors f n ()ϕ() g(). χ K (). ϕ pour presque tout Ω. Comme la fonction g(). χ K (). ϕ est clairement dans L 1 (Ω), la conclusion découleen applicant le théorème de la convergence dominée de Lebesgue, d où 3. Proposition Soit {T n } une suite telle que T n T dans D (Ω). Alors, pour tout multi-indice α N n fié, on a α T n α T dans D (Ω). Preuve : On a α T n, ϕ = ( 1) α T n, α ϕ ( 1) α T, α ϕ = α T, ϕ Pour tout ϕ D(Ω). Eemple D après la proposition 3.7.1, on peut calculer d une manière différente la dérivée dans D (R) de log (qui est dans L 1 loc (R)). En effet, soit f ε la fonction définie par { log si ε f ε () = log ε si < ε. C est une fonction par morceau et coninue donc, sa dérivée dans D (R) est donnée par 1 si ε f ε () = 0 si < ε. Par ailleurs, on a f ε () f() et f ε () f() presque partout donc d après la proposition 3.7.1, f ε f dans D (R). D après la proposition 3.7.2, f ε f dans D (R) donc d où la conclusion. (log ), ϕ = lim f ε, ϕ = lim ε 0 + ε 0 + ε ϕ() d,

53 Chapitre 4 Convolutions de distributions 4.1 Produit tensoriel de distributions Soient m et n deu entiers naturels. Considérons Ω 1 (resp. Ω 2 ) un ouvert de R n (resp. R m ). Il est clair que Ω 1 Ω 2 est un ouvert de R n+m. L espace vectoriel D(Ω 1 Ω 2 ) est formé par les fonctions indéfiniment différentiables à support compact en (, y) = ( 1,, n, y 1,, y m ) Ω 1 Ω 2. Définition Le produit tensoriel, noté ϕ 1 ϕ 2, de ϕ 1 D(Ω 1 ) et ϕ 2 D(Ω 2 ), est définie par ϕ 1 ϕ 2 (, y) = ϕ 1 ()ϕ 2 (y) Le produit tensoriel (algébrique) est l espace vectoriel, noté D(Ω 1 ) D(Ω 2 ), formé par les fonctions de la forme u(, y) = n ϕ i 1 ().ϕi 2 (y). i=1 où ϕ i 1 D(Ω 1 ) et ϕ i 2 D(Ω 2 ). Le théorème suivant nous aidera à définir le produit tensoriel de deu distributions. Théorème L espace D(Ω 1 ) D(Ω 2 ) est dense dans D(Ω 1 Ω 2 ). Preuve : Toute fonction (, y) ϕ(, y) D(Ω 1 Ω 2 ) peut être approchée d aussi près qu on le souhaite par suite de polynômes (, y) P k (, y). Ces polynômes étant des sommes de monômes de la forme p,q p y q. Comme ces monômes ne sont pas à support compact, considérons ρ et σ deu fonctions à supports compacts telles que ρ()σ(y)

54 1 sur le support de u D(Ω 1 Ω 2 ). Il s ensuit que la suite de fonctions (, y) ρ()σ(y)p k (, y) est dans D(Ω 1 ) D(Ω 2 ) ; puisque chaque fonction est une somme de termes de la forme ϕ i 1()ϕ i 2(y). Cette suite converge vers u D(Ω 1 Ω 2 ). Comme conséquence à ce résultat, toute distribution T D (Ω 1 Ω 2 ) est définie par ses valeurs sur l espace des fonctions ϕ 1 ϕ 2 où ϕ 1 D(Ω 1 ) et ϕ 2 D(Ω 2 ). Théorème Soit S D (Ω 1 ) et T D (Ω 2 ) deu distributions définies respectivement sur R n et R m. 1 Pour tout ϕ 1 D(Ω 1 ) et ϕ 2 D(Ω 2 ), la distribution S T, est définie par. S T, ϕ 1 ()ϕ 2 (y) = S, ϕ 1 () T, ϕ 2 (y) La distribution S T, est dite produit tensoriel de S et T sur R n R m. 2 Si ϕ D(Ω 1 Ω 2 ), la distribution S T, est définie par S T, ϕ(, y) = S, T y, ϕ(, y) = T, S y, ϕ(, y). Eemple La distribution de Dirac sur R 2 peut s écrire δ(, y) = δ()δ(y). Remarque. Le théorème 2 peut être interprétée comme étant une etension du théorème de Fubini. Ainsi, si l on considère deu fonctions S = f() et T = g(y) intégrables, respectivement, sur deu ouverts Ω 1 R n et Ω 2 R m, alors { } S, T y, ϕ(, y) = f() g(y)ϕ(, y)dy d Ω 1 Ω 2 et { } T y, S, ϕ(, y) = g(y) f()ϕ(, y)d dy Ω 2 Ω 1 sont égales d après le théorème de Fubini. La preuve du théorème s appuie sur les lemmes suivants qui étendent, au distributions, certains résultats sur la continuité et la différentiabilité des intégrales à un paramètre. Lemme Soit (ϕ(, λ)) λ R une famille de D(Ω) à un paramètre λ. supposons que : 1 Lorsque λ V (λ 0 ), le support de ϕ(, λ) est contenu dans un compact fié de Ω. 2 Pour tout p N n, les dérivées partielles p ϕ (, λ) sont continues en et λ. p Alors T, ϕ(, λ) est une fonction continue par rapport à λ pour tout ϕ D(Ω).

55 Preuve : Posons ψ λ () = ϕ(, λ) ϕ(, λ 0 ). Les conditions du lemme assurent que ψ λ 0 dans D(Ω) lorsque λ 0. Donc, pour tout T D (Ω), on a T, ψ λ 0 lorsque λ λ 0, d où la continuité suivant λ de T, ϕ(, λ). Lemme Soit (ϕ(, λ)) λ R une famille de fonctions à un paramètre de D(Ω). supposons que : 1 Lorsque λ V (λ 0 ), le support de ϕ(, λ) est contenu dans un compact fié de Ω. ( ) 2 Pour tout p N n p ϕ, (, λ) eistent et sont continues en et λ. λ p Alors T, ϕ(, λ) est différentiable, pour tout T D(Ω), sur un voisinage de λ 0 et λ T, ϕ(, λ) = T, ϕ (, λ). λ Preuve : Posons ϕ(, λ + h) ϕ(, λ) ϕ h = ϕ (, λ). h λ En utilisant les conditions du lemme, on vérifie facilement que ϕ h 0 dans D(Ω), donc, pour tout T D (Ω), on a ϕ(, λ + h) ϕ(, λ) T, T, ϕ (, λ) h λ lorsque λ 0. Revenons maintenant à la preuve du théorème précédent. Preuve du théorème : Soit ϕ D(Ω 1 Ω 2 ). D après le lemme 4.1.3, T y, ϕ(, y) est une fonction de classe C en la variable = ( 1, 2,, n ) et de support compact contenu dans Ω. Alors, on peut lui appliquer S pour obtenir S, T y, ϕ(, y). De la même manière, on montre que T y, S,, ϕ(, y) est bien définie. Si ϕ(, y) = ϕ 1 ().ϕ 2 (y) où ϕ 1 D(Ω 1 ) et ϕ 2 D(Ω 2 ), il est clair que S, T y, ϕ(, y) = T y, S, ϕ(, y) = S, ϕ 1. T, ϕ 2. D après ce qui précède les deu formes linéaires coicident sur D(Ω 1 ) D(Ω 2 ). Enfin, l application linéaire ϕ D(Ω 1 Ω 2 ) T y, ϕ(, y) D(Ω 1 ). est continue. Elle est, aussi, continue sur D(Ω 1 ) D(Ω 2 ) muni de la topologie induite par D(Ω 1 Ω 2 ). Ce qui implique que T y, S, ϕ(, y) et S, T y, ϕ(, y) sont continues.

56 4.2 Convolution de deu distributions Motivation et définition Soient f et g deu fonctions localement intégrables dont l une au moins est à support compact. Leurs convolution est définie par (f g)() = f( y)g(y)dy = R n f(y)g( y)dy. R n On peut interprété f g comme étant une forme linéaire sur l espace test D(R n ), en posant f g, ϕ = (f g)()ϕ()d, ϕ D(R n ). R n En remplaçant f g par son epression sous le signe intégral et après changement de variable, on obtient f g, ϕ = f() g(y), ϕ( + y). On peut ainsi redéfinir la notion de convolution des fonctions f et g par cette identité. Mais, il nous reste à donner un sens au crochet de dualité <. > puisque ϕ( + y) comme fonction à deu variables et y n est pas à support compact dans R n R m. Ceci sera abordé d une manière plus générale dans ce qui suit. Définition Considérons T, S D (R n ) et supposons que l une au moins est à support compact. La convolution S T est une distribution sur R n définie par S T, ϕ = S T y, ϕ( + y), ϕ D(R n ). Ce produit de convolution eiste dans au moins des cas suivants : 1 2 L une au moins des distributions est à support compact. Les deu distributions ont leur support limité à gauche. Il s agit, en effet, dans chacun des cas de contrôler que l ensemble {(, y) R 2 : supp(s), y supp(t ) et + y supp(ϕ)} est borné, ce qui donnera un sens à la définition de la convolution. La convolution est une opération associative, lorsque celle-ci est définie.

57 Eemple Algèbre de convolution D + (R) : On définit D + (R) = {T D (R) : supp(t ) R + }. Montrons que T S est bien défini dans D +(R) c est-à-dire que S, T y, ϕ( + y) a un sens pour une fonction test ϕ D(R). Pour cela, posons F () = T, ϕ( +.). A fié, l application y ϕ( + y) est Cc (R), donc F définit bien une fonction C (R). On cherche à justifier le produit de dualité S, F. Soit M > 0 tel que supp(ϕ) [ M, M] et O un ouvert inclus dans supp(f ). Deu cas se présentent : 1 Si O R +, alors S, F = 0 car S D +(R). 2 Si O R + [M, + [, alors S, F = 0. En effet, soit > M et y supp(t ) c est-à-dire y 0, alors + y > M et ϕ( + y) = 0. Par conséquent F () = 0. On en déduit de ce dernier point que supp(f ) R + [0, M] c est-à-dire que supp(f ) R + est compact. Et puisque S D +(R), alors S, T est bien défini, ce qui montre que l on peut définir le produit de convolution dans D +(R). L élément neutre de la convolution dans D +(R) est δ 0 car δ 0 D +(R) puisque supp(δ 0 ) = {0} R +. Eemple Le produit de convolution n est pas associatif lorsque les distributions sont à support non borné : (H δ ) 1 = δ 1 = 1 H (δ 1) = H 0 = 0. Eemple Pour les distributions dont les supports sont tous limités à gauche (resp. à droite), le produit de convolution est toujours associatif Propriétés de la convolution 1 Support d une convolution : Soient S, T D (R n ) deu distributions dont l une au moins est à support compact, alors supp(s T ) supp(s) + supp(t ) Preuve : Posons A = supp(s) et B = supp(t ). Comme A et B sont fermés et que l un d eu est compact alors A + B est fermé. Posons Ω = (A + B) c. Considérons ϕ D(Ω), le support de ϕ( + y) est contenu dans l ensemble ouvert {( + y) R n R m : + y Ω}. D autre part, le support de S T est A B.

58 Comme (, y) A B implique +y A+B, le support de S T est d intersection vide avec celui de ϕ(a+b). Par conséquent S T, ϕ( + y) = S T y, ϕ( + y) pour tout ϕ D(Ω). 2 Application bilinéaire continue : Soient (S, T ) E (R n ) D (R n ) deu distributions dont l une au moins est à support compact, alors (S, T ) E (R n ) D (R n ) S T D (R n ) est une application bilinéaire continue en S et T. Preuve : C est une conséquence des propriétés du produit direct de distributions. 3 Algèbre unitaire : L espace (E (R n ), ) est une algèbre commutative, associative d unité δ : δ T = T, T E (R n ). Preuve : En effet, on a δ T, ϕ = δ T y, ϕ( + y) = T y, δ, ϕ( + y) = T y, ϕ(y). Le reste est facile à démontrer. 4 Convolution par la distribution de Dirac : Soit h R n et notons par δ h la distribution de Dirac au point h définie par δ h, ϕ = ϕ(h), ϕ D(R n ). Alors, on a τ h T = δ h T, D (R n ) où τ h désigne la translation de vecteur h R n. Preuve : Comme δ h est à support compact, δ h T est définie pour tout T D (R). Soit ϕ D(R n ), on peut calculer eplicitement le produit de convolution En particulier δ h T, ϕ = δ h T, ϕ( + y) = δ h T y, ϕ( + y) = T y, ϕ(h + y) = T y, τ h ϕ(y) = τ h T, ϕ. δ T = T, T D (R n ).

59 En utilisant la commutativité et l associativité du produit de convolution, on obtient τ h (S T ) = (τ h S) T = S τ h T. 5 La dérivation est une convolution : Pour T D (R n ), on a k T = ( k δ) T. En général, si D est un opérateur différentiel à cœfficients constants, alors DT = Dδ T, T D(R n ). Ainsi, dériver une convolution revient à dériver simplement l un des termes de la convolution, k (S T ) = ( k S) T = S ( k ). Preuve : Soit ϕ D(R n ) alors k T, ϕ = ( 1) k T, k ϕ. Or, on peut ecrire En remplaçant, on trouve k ϕ() = δ y, k ϕ( + y) = ( 1) k ( k δ) y, ϕ( + y). k T, ϕ = ( 1) k T, k ϕ = T, ( k δ) y, ϕ( + y) = T ( k δ) y, ϕ( + y) = ( k δ) T, ϕ. Le reste est une conséquence de l associativité. Eemple Calculons m δ (n) 0 p δ (q) 0 : Pour cela, on doit d abord epliciter la distribution m δ (n) 0. Pour tout ϕ D(R n ), on a m δ (n) 0, ϕ = δ (n) 0, m ϕ = ( 1) n ( m ϕ) (n) =0. Mais ( m ϕ) (n) = i n C n i ( m ) (i) ϕ (n i) = i n C n i m i ϕ (n i). Donc ( m ϕ) (n) =0 = A n,m ϕ (n m) (0) = A n,m δ (n m) 0, où { 0 si n m A n,m = C m n si n m.

60 Ce qui revient à calculer δ (n m) 0 δ (q p,ϕ) 0 = ( 1) q p δ (n m) 0, ϕ (q p) = Finalement, m δ (n) 0 p δ (q) 0 = A n,m A p,q δ n m+q p 0. δ (n m+q p) 0, ϕ. Eemple On admet que pour tout T D +(R), il eiste T 1 D +(R) tel que T T 1 = δ 0. Calculons H 1, (δ 0) 1 et (δ 0 kδ 0 ) 1, k C : 1 2 Soit à calculer X = H 1. Alors H X = δ 0. En dérivant les deu termes, on obtient H X = δ 0 soit que δ X = δ 0 ce qui donne X = H 1 = δ 0. Cherchons X = H 1 tel que δ 0 X = δ 0. Donc (δ 0 X) = δ 0. Une primitive de cette epression donne X = (δ 0) 1 = H. 3 Posons X = (δ 0 kδ 0 ) 1, donc (δ 0 kδ 0 ) X = δ 0. En remarquant que (δ 0 e k ) = (δ 0 kδ 0 )e k, muliplions l équation précédente par e k, pour obtenir e k (δ 0 kδ 0 ) X) = δ 0 e k. Ce qui s écrit ( e k (δ 0 kδ 0 ) ) ( e k X ) = δ 0 e k. Or, δ 0 e k = δ 0, il vient que (δ 0 e k ) X = ( (δ 0 e k ) X ) = δ 0. En prenant la primitive des deu côtés, on obtient δ 0 e k X = H. Donc e k X = H et alors X = He k. Ainsi, (δ 0 kδ 0 ) 1 = He k. Les propriétés algébriques précédentes permettent de considérer des équations, dites de convolution, de la forme A X = B Il est clair qu au moins une solution X eiste, quel que soit le second membre B, si et seulement si, A est inversible au sens de la convolution, c est-à-dire s il eiste G telle que A G = G A = δ. Cet inverse G A 1 s appelle la solution élémentaire Solutions fondamentales de certaines équations au dérivées partielles Soit P (, ) = α m a α () α un opérateur différentiel sur R n, à cœfficient a α C (R n ). Si les coefficients a α sont des constantes par rapport à, on dit que l opérateur différentiel est à cœffcients constants et on note P ( ) = a α α α m

61 Une distribution E D (Ω) est dite solution élémentaire de P ( ) si elle vérifie P ( )E = δ 0 dans D (Ω). Notons que qu une solution élémentaire, lorsqu elle eiste, n est pas unique. Pour le voir, il suffit de lui ajouter une solution de l équation homogène P ( )T = δ 0 dans D (Ω). La distribution E + T est encore une solution élémentaire. Il faut imposer des conditions pour caractériser l une des solution et démontrer par là, l unicité de la solution. L éistence de la solution est assuré par la résultat célèbre qui suit Théorème (Malgrange-Ehrenpreis): Tout opérateur différentiel à cœfficients constants P ( ) sur R n admet une solution élémentaire E dans D (R). La notion de solution élémentaire est eploitée pour trouver les solutions de certaines équations au dérivées partielles de la manière suivante : Théorème Soit P ( ) un opérateur différentiel à cœfficients constants sur R n et E D (R) une solution élémentaire de P ( ). Alors, pour tout f E (R n ), l équation P ( )u = f possède au moins une solution u D (R) de la forme u = E f. Preuve : Comme f est à support compact, l epression de u a un sens. On a alors P ( )u = P ( )(E f) = (P ( )E) f = δ 0 f = f. Eemple (Equation de la chaleur). L équation de la chaleur est l équation au dérivées partielles : u t = 2 u 2, R, t R +.

62 Le problème de Cauchy associé consiste à trouver la solution u(, t) de cette équation qui vérifie la condition initiale u(, 0) = f(). La solution, au sens des distributions, est u D,t. Posons D = t 2 2. Vérifions que la distribution régulière associée à la fonction localement intégrable E : R 2 R définie par E(, t) = 1 ) ( 2 πt ep 2. 4t est une solution élémentaire. On doit alors vérifié que Dg = δ (0,0). n effet, ( ) t 2 (g), ϕ 2 = E, ϕ E, 2 ϕ t 2 ( ) ) 1 = lim ( ε 0 + t>ε 2 πt ep 2 ϕ 4t t dt d ( ) ) 1 lim ( ε 0 + t>ε 2 πt ep 2 2 ϕ 4t dt d 2 ) 1 = lim ( ε πε ep 2 ϕ(, ε)d 4ε ) 1 = lim ( ε πε ep 2 ϕ(sqrtε, ε)d 4ε = ϕ(0, 0) = δ (0,0), ϕ. Dans la cas général, notons = ( 1,, n ) R n et t R la variable temps. L opérateur de Laplace est = n L opérateur différentiel D = t est dit opérateur de la chaleur. La distribution ( ) 1 n ) E(, t) = 2 H(t) ep ( 2. πt 4t est une solution fondamentale de D.

63 Eemple (Equation des cordes vibrantes). C est l équation au dérivées partielles : 2 u t 2 = 2 u 2 qui satisfait au conditions initiales u(, 0) = f 0 (), u t = f 1() où f 0 C 2 (R) et f 1 C 1 (R). La solution élémentaire du problème de Cauchy est la distribution régulière g t associée à la fonction localement intégrable g t () = 1 (H( + t) H( t)) 2 et on a lim g g t t = 0 et lim t 0 + t 0 + t = δ. La solution générale de l équation des ondes s écrit u t = f 0 g t t + f 1 g t. En fait, la solution de l équation des ondes est de la forme u(, t) = f( + t) + g( t) où f et g sont des fonctions continues. En effet, pour tout ϕ D(R), 2 u t, ϕ = 2 (f( + t) + g( + t))ϕ()d 2 t 2 = = = 2 u f(u)ϕ (u t)du + (f( + t) + g( t))ϕ ()d, ϕ. 2 g(u)ϕ (u + t)du Eemple Soit P ( ) un opérateur différentiel à cœfficients constants. Posons E = (P ( )δ 0 ) 1. Par définition on a (P ( )δ 0 ) E = δ 0. Par la dérivée d un produit de convolution P ( )[δ 0 E] = δ 0 c est-à-dire P ( )[E] = δ 0. Ainsi, E = (P ( )δ 0 ) 1 est une solution fondamentale de P ( )

64 Supposons que P ( ) = α m C α α et le polynôme correspondant s écrit P (z) = Si z 1,, z m sont les racines de P, on peut écrire, à un facteur près P (z) = (z z 1 ) (z z m ). Pour calculer (P ( )δ 0 ) 1, on calcul dans un premier temps P ( )δ 0 : P ( )δ 0 = α m C α δ (α) 0 α m C α z α. où δ (α) 0 = δ 0 δ 0 (α fois), à démontrer par récurrence. D où On vérifie facilement que P ( )δ 0 = (δ 0 z 1 ) (δ 0 z m ). (P ( )δ 0 )) 1 = (δ 0 z m ) 1 (δ 0 z 1 ) 1. Ainsi, et en utilisant l eemple 4.2.5, on trouve : (P ( )δ 0 )) 1 = (He z 1 ) (He z 2 ) (He zm ). On a ainsi eplicité la solution élémentaire de tout opérateur différentiel à cœffcients constants. Eemple Si n 3, une solution fondamentale de l opérateur de Laplace est donnée par Γ[(n 2)/2] 1 E =. 4π n/2 r, n 2 où r = n. Pour le voir, observons que E n est pas continue à l origine mais qu elle définie une distribution sur toute la partie de l espace R n telle que r ε. Pour ϕ D(R n ), on a E, ϕ = E, ϕ = Γ [(n 2)/2]. lim 4π n/2 ε 0 r ε ( ϕ)() d. r n 2 Formule de Green : Ω (u v v u)d = Ω ( u v n v u ) dω n où / n désigne la dérivation dans la direction de la normale etérieure à la frontière Ω de Ω.

65 Dans notre cas, Ω sera le domaine compris entre les sphères de rayon R et ε, R sera choisi tel que supp(ϕ) soit contenu dans la boule de rayon r < R. On applique maintenant la formule de Green pour obtenir : ( ) ϕ 1 d = ϕ d + ϕ ( ) 1 ε n 1 1 ϕ dσ r ε rn 2 r ε r n 2 r=ε r r n 2 r=ε r n 2 r εn 1 dσ, où dσ désigne un élément de surface de la sphére unité S n 1. En fait, l intégrale est prise sur la sphère S ε de rayon r = ε dont l aire est égale( à ε n 1 ) l aire de la sphère unité S n Comme est une fonction harmonique alors = 0 sur le complémentaire de rn 1 r n 2 l origine, la première intégrale du second membre est alors nulle. D autre part, on a ( ) 1 = (2 n)ε 1 n r r n 2 sur r = ε, la deuième intégrale est égale à 1 (n 2) ϕ()dσ = (2 n) S n 1. S n 1 r=ε r=ε ϕ(rσ)dσ, où S n 1 = 2π n/2 /Γ(n/2) est l aire de la surface S n 1. Lorsque ε 0, cette epression tend vers 4π n/2 (2 n) S n 1.ϕ(0) = δ, ϕ. Γ[(n 2)/2] Enfin, la dernière intégrale est dominée en valeur absolue par une epression de la forme k.ε σ, k une constante, donc elle tend vers 0 lorsque ε 0. Il s ensuit que E, ϕ = δ, ϕ c est-à-dire E = δ. Remarque : (Solutions fondamentales de, pour n = 2 et n = 3) 1 Si n = 3, comme Γ[1/2] = π on obtient ( ) 1 = 4πδ. r Donc la distribution E = 1 4πr est une solution fondamentale de l opérateur. 2 Si n = 2, la distribution E = 1 2π.log r est une solution fondamentale de l opérateur.

66 Eemple Soit z = + iy C. L opérateur de Cauchy-Riemann est défini par z = 1 ( 2 + i ). y On montre que cet opérateur admet pour solution fondamentale la distribution E = 1 πz.

67 Chapitre 5 Transformations de Fourier, Espaces S et S Pas assez de temps pour la frappe.

68

69 Chapitre 6 Espaces de Sobolev Nous présenterons, dans ce Chapitre, les propriétés essentielles des espaces de Sobolev qui seront d une très grande utilité dans l étude des problèmes au limites. Soit Ω un ouvert de R n de point générique = ( 1,, n ). Sauf mention du contraire, toutes les fonctions seront à valeurs dans R. 6.1 L intégration par partie et dérivations faibles Les dérivées faibles seront introduites en utilisant la dérivation par partie comme défintion. Lemme Soit Ω un ouvert de R n, 1 i n. Pour tout ϕ C 1 0(Ω) on a ϕ d = 0. (6.1) i Ω Preuve : En posant ϕ() = 0 pour tout R n \ Ω, on peut prendre ϕ D(R n ). Supposons alors que suppϕ [ M, M] n pour un certain M R. Sans perdre de généralité, on peut supposer que i = n. Il s en suit que, pour ( 1, 2,, n 1 ) R n 1, l on a ϕ ( 1,, n 1 )d n = ϕ( 1, 2,, n 1, M) ϕ( 1, 2,, n 1, M). n R Et alors R n ϕ n d = 0. Ω D après (6.1) on déduit que pour f C 1 (Ω), ϕ C 1 0(Ω) (donc fϕ C 1 0(Ω)), on a f ()ϕ()d = f() ϕ ()ϕ()d. (6.2) i i Par itération, on obtient pour f C 2 (Ω), ϕ C 2 0(Ω), on a 2 f f ()ϕ()d = () ϕ ()d = Ω 2 i Ω i i Ω Ω f() 2 ϕ ()d. (6.3) 2 i

70 En prenant la somme pour 1 i n dans (6.3), on trouve Ω f()ϕ()d = gradf().gradϕ() = f() ϕ()d. (6.4) Ω Ω Dans l intégrale du milieu le point désigne la produit scalaire dans R n. Nous allons utilisé les formules précédentes comme motivation pour introduire le concept de différentiation de certaines fonctions qui ne le sont pas nécéssairement dans le sens classique. Définition Soit f L 1 loc (Ω). Une fonction v L1 loc (Ω) est dite dérivée faible de f dans la direction i, = ( 1,, n ) R n, si est vérifiée pour toute fonction test ϕ D (Ω). Ω v()ϕ()d = f() ϕ ()d. (6.5) Ω i On note v = D i f. Dans le cas où f admet des dérivées faibles D i f pour i = 1,, n, on écrit Df = (D i f,, D n f). Il ressort de (6.2) et (6.5) que chaque f C 1 (Ω) admet des dérivées faibles dans toute direction à savoir, D i f = f/ i. Cependant, il eiste des fonctions qui admettent des dérivées faibles mais qui n appartiennent pas à l espace C 1 (Ω). D autre part, il eiste des fonctions dans l espace L 1 loc (Ω) qui n ont pas de dérivées faibles. Eemple Soient Ω =] 1, 1[ R et f() =. Elle admet la dérivée faible { 1 si 0 < 1 Df() = 1 si 1 < < 0, car pour tout ϕ D (] 1, 1[), on a 0 1 ( ϕ())d + Eemple La fonction f() = ϕ()d = ϕ (). d. 1 { 1 si 0 < 1 0 si 1 < < 0, n admet aucune dérivée faible, si c est la cas Df() devrait être 0 pour 0, et puisqu elle est L 1 loc alors Df 0. Mais pour ϕ D(] 1, 1[) on a 0 = 1 ϕ().0d = 1 ϕ ().f()d = ϕ ()d = ϕ(0).

71 Eemple Soit Ω =]0, 2[ R. Soit { si 0 < 1 u() = 1 si 1 < 2 et { 1 si 0 < 1 v() = 0 si 1 < < 2. Montrons que u = v au sens faible. Pour cela, choisissons ϕ D(Ω). On devrait montrer que 2 Un calcul simple, nous donne 2 0 u()ϕ ()d = u()ϕ ()d = = comme convenu. 0 1 ϕ ()d v()ϕ()d. ϕ ()d ϕ()d + ϕ(1) ϕ(1) = v()ϕ()d, Eemple Soit Ω =]0, 2[ R. Soit u() = { si 0 < 1 2 si 1 < 2. Montrons que u n eiste pas au sens faible. Pour cela, supposons qu il eiste v tel que u = v. Alors pour tout ϕ D(Ω), on a 2 0 vϕd = 2 0 u()ϕ ()d = 1 = 0 1 ϕ ()d + 2 Choisissons une suite {ϕ m } m=1 de fonctions tests vérifiant ϕ()d ϕ(1). 0 ϕ m 1, ϕ m (1) = 1, ϕ m () 0 pour tout 1 ϕ ()d et remplaçons ϕ par ϕ m et en faisant tendre m vers l infini, on obtient [ 2 1 ] 1 lim ϕ m(1) lim vϕ m ()d ϕ m ()d = 0. m m 0 0 Contradiction.

72 Les dérivées faibles d ordre supérieures sont définies d une manière analogue. Soit f L 1 loc (Ω), α := (α 1,, α n ), α i 0 (i = 1,, n), α = n i=1 α i > 0, et D α ϕ := α α 1 1 α n n pour ϕ C α (Ω). Une fonction v L 1 loc (Ω) est dite la dérivée α-faible de f, ce qui s écrit v = Dα f si Ω v()ϕ()d = ( 1) α Ω f()d α ϕ()d, ϕ C α (Ω). (6.6) Définition Soit k N, 1 p +, on définit l espace de Sobolev W p,k (Ω) par W p,k (Ω) = {f L p (Ω) : D α f eiste et D α f L p (Ω), α k} On munit les espaces de Sobolev par une structure d espaces normés dont les normes sont définies par f W p,k (Ω) := 1/p D α f() p d, 1 p < + f W p, (Ω) := α k α k Ω sup D α f(), p = +. Ω Eemple (Eercice) Posons Ω = { R n : < 1} R n. Pour quelles valeurs de α R on a f() = α W p,k (Ω)? Lemme Soit f L 1 loc (Ω). Supposons que v = D if eiste. Si dist(, Ω) > h alors D i (f h ()) = (D i f) h (), où f h est la convolution de f et un noyau ρ. Preuve : Par différentiation sous l intégrale, on obtient D i (f h ()) = 1 ( ) y ρ f(y)dy h n i h = 1 ( ) y ρ f(y)dy h n y i h = 1 ( ) y ρ D h n i f(y)dy h = (D i f) h ().

73 6.2 Espace de Sobolev H 1 (Ω) Toute fonction f L 2 (Ω) s identifie à une distribution sur Ω, notée f, ses dérivées f, i 1 i n, en tant que distributions sur Ω. En général, f / L 2 (Ω), ce qui nous conduit i à introdure le sous-ensemble de L 2 (Ω) : Définition On appelle espace de Sobolev d ordre 1 sur Ω, l espace H 1 (Ω) = { f L 2 (Ω), } f L 2 (Ω), 1 i n i On munit H 1 (Ω) du produit scalaire ( (f, g) 1,Ω = fg + Ω n i=1 ) f g i i La norme correspondante sera notée f 1,Ω = (f, f) 1,Ω A suivre...