Calculer t JJ, et J t J. Exercice On définit pour i j, la matrice T λ i j M n(r) par

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1 Chapitre 4 Calcul matriciel 4. Opérations sur les matrices Exercice 4.. Soient les matrices : A=. Calculer : AB et BA Calculer : t AB et t B, t A et t B t A. 3. Calculer : Tr A, Tr B, Tr AB et Tr BA. 4. Développer :A+B 2. et B= Exercice 4..2 Calculer lorsque cela est possible les produits AB et BA :. 2. A= 2 A= et B= et B= A= et B=. Soient i, j,k,l,n et E i j, E kl les matrices élémentaires de M n K correspondantes. Calculer E i j E kl. 2. Soit une matrice A M n R. On suppose que A commute avec toutes les matrices diagonales. Montrer que A est une matrice diagonale. 3. Trouver les matrices A M n R qui commutent avec toutes les matrices symétriques. Exercice 4..4 Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit encore une matrice symétrique. Exercice 4..5 On considère la matrice... O. J=..... O Calculer t JJ, et J t J. Exercice 4..6 On définit pour i j, la matrice T λ i j M nr par T λ i j = I+λE i j Soit une matrice A M n R. Calculer AT λ i j et Tλ A. Interpréter le résultat trouvé. i j Exercice 4..7 Soit A M np R telle que X,Y M p R M n R t XAY= Exercice 4..3 a Montrer que A =.

2 Exercice On se donne deux matrices A,B M n R. Trouver toutes les matrices X M n R vérifiant : X+ TrXA= B. Indication 4. : Si X est une solution, prendre la trace de l équation puis discuter. Exercice Soient deux matrices A,B M n R. On note < A,B>= Tr A t B a Calculer < A, B > en fonction des coefficients de A et B. b On note A = < A, A>. Montrer que A = A=. c Montrer que < A, B > A B. Exercice a Soit A M n R. Calculer Tr E kl A. b Soit ϕ une forme linéaire sur M n R. Montrer qu il existe une matrice B M n R telle que : A M n R ϕa= Tr BA 4.3 Rang d une matrice Exercice 4.3. Déterminer le rang des matrices suivantes :. A= 2. B= C= Exercice Déterminer suivant la ou les valeurs du des paramètres le rang des matrices :. A= 2. B= a 2 a 2 3 a b+ c c+ a a+ b bc ca ab. 3. C= 4. D= cosθ cos 2θ cosθ cos2θ cos 3θ cos2θ cos3θ cos 4θ a b c a 2 b 2 c 2.. 2

3 5. E= a b a b a b a b b a. Exercice Calculer le rang des familles de vecteurs v = v, v 2, v 3 de R 3 suivantes avec :. v =,2,, v 2 =,,, v 3 =,,. 2. v =,,, v 2 =,,, v 3 =,2,. 3. v =,,, v 2 =,2,, v 3 =,,. Exercice Calculer le rang des applications linéaires suivantes :. f : R 3 R 3 x, y, z x+y z, x, z. R 2 R 3 2. f : s, t s+ t,2s t, t. Exercice Soit M= Calculer M Déterminer le rang de M. R2 [X] R 2 [X] 3. θ : P P. R3 [X] R 3 [X] 4. θ : P XP P. 3. Soit A M 3,2 C et A M 2,3 C telles que AB=M. Démontrer que BA= 9.I Inversion de matrice Exercice 4.4. Inverser A= Exercice Montrer que les matrices suivantes sont inversibles et calculer leur inverse :. A= 2 i 2. B= i 3

4 b Trouver une matrice 2 2 non-nulle telle que X M n R Exercice 4..8 Soient deux matrices A,B M n R telles que : t XAX= C M n R ACB= Montrer que A= ou B=. Exercice 4..9 Soit deux matrices colonnes non nulles X,Y M n R.. Montrer que la matrice X t Y est de rang. 2. Montrer que toute matrice carrée A de rang peut s écrire sous la forme ci-dessus. 3. Soit une matrice A M n R de rang. Montrer qu il existe λ R tq et exprimer λ en fonction de X et Y. A 2 = λa Exercice 4.. On considère deux matrices A et B de M 2 R, et C=AB.. Calculer le nombre d additions, puis de multiplications nécéssaires au calcul de C. 2. On pose : S = a 2 a ; S 2 = a +a 2 ; S 3 = a 2 S ; S 4 = a 22 S 3 ; S 5 = b 22 b 2 ; S 6 = b 2 b ; S 7 = b + S 5 ; S 8 = b 2 S 7. P = a 2 b ; P 2 = a 22 b 2 ; P 3 = S S 5 ; P 4 = S 2 S 6 ; P 5 = S 4 b 22 ; P 6 = a 2 S 8 ; P 7 = S 3 S 7. Enfin S 9 = P + P 7 ; S = S 9 + P 3 ; S = P 4 + P 5. Démontrer que c = S + P 6 ; c 2 = S + P 4 ; c 2 = P + P 2 ; c 22 = S 9 + S. 3. Calculer le nombre d additions, puis de multiplications nécéssaires au calcul de C par cette nouvelle méthode. 4.2 Trace d une matrice Exercice 4.2. Existe-t-il deux matrices A,B M n R 2 vérifiant AB BA= I n? Exercice Soit A,B M n R 2 vérifiant AB BA= B. Démontrer que k N, TrB k =. Exercice Soit deux matrices A,B M n K. On suppose que Montrer que A= B. X M n K TrAX= TrBX 3. C= D= Exercice On considère la matrice A M 2 C donnée par A= 5. E= 2 6. F= 2i i. Montrer que A 2 2A I 2 =. On dit que X 2 2X est un polynôme annulateur de A. 2. En déduire que A est inversible et calculer son inverse. 3. Retrouver ce résultat par un calcul direct. Exercice Soit A= 2. Montrer que le polynôme que P= X 3 3X+ 3 est un polynôme annulateur de A. 2. En déduire que A est inversible et calculer son inverse. 3. Retrouver ce résultat par un calcul direct. Exercice Soit A M n K telle que I n + A est inversible. Soit B=I n AI n + A.. Montrer que B=I n + A I n A. 2. Montrer que I n + B est inversible et exprimer A en fonction de B. Exercice Soit une matrice U triangulaire supérieure telle que tous les éléments de la diagonale soient non-nuls. Montrer que la matrice U est inversible. On montrera que UX= = X= Exercice i si i j On considère la matrice M=m i j i,j n M n R avec m i j = j. Calculer M 2 si i = j et M. Exercice Inverser la matrice suivante :. 4

5 Exercice A= Soit n N, Démontrer qu il existe un unique polynôme U n X Z[X], de degré n, vérifiant ϑ R, sinϑ.u n cosϑ=sin n+ ϑ. Démontrer que Démontrer que 2. Soit U n+ X+U n X=2XU n X n, p, U n+p = U p U n U p U n 2x.... 2x..... B n x= x... 2x. Démontrer que pour x 2cos kπ n+,b nx est inversible et son inverse est la matrice symétrique définie par et b i j = i+j U i xu n j x U n x b i j = i+j U j xu n i x U n x 4.5 Calcul des puissances d une matrice Exercice 4.5. Calculer A n pour n N et les matrices A suivantes : pour i j pour i j.. A= 2 a b 2. A= a Exercice Calculer les puissances de A =. 3. A= 4. A= 2. On pose : F = ; F = ; F n+2 = F n+ + F n. Démontrer que pour tous entiers naturels n et p, F n+p = F n+ F p+ + F n F p. Exercice Soit A=. Montrer que A I 3 est nilpotente d ordre 3 c est à dire que A I 3 2 et que A I 3 3 = 2. En déduire, en utilisant la formule du binôme de Newton A n pour tout n N. Exercice Calculer A n pour A= de deux manières différentes. Exercice On considère la matrice A= 2 3. Montrer que le polynôme X 2 5X+ 4 est un polynôme annulateur de A. 2. En déduire que A est inversible et calculer son inverse. 3. Pour n 2, déterminer le reste de la division euclidienne de X n par X 2 5X En déduire l expression de A n pour tout n N. Exercice On considère la matrice J M n R remplie de :... J=.... acalculer J 2 puis pour k N, J k. b J est-elle inversible? c On considère la matrice Calculer les puissances successives de A.... A= 5

6 Exercice On considère la matrice Calculer pour n N, A n. Exercice Soient les matrices A = a a A= M 3 R, B = a b a b b a. Calculer les puissances des matrices A,B. Exercice Soit la matrice A=. Calculer A n. on décomposera A= I J Exercice 4.5. a Soit la matrice H=h i j M n R avec h i j =. Calculer H k. b En déduire les puissances de la matrice A= a i j où a i j = δ i j. c Montrer que la matrice A est inversible en calculant son rang. d Trouver l inverse de la matrice A on le cherchera sous la forme ai+bh Exercice 4.5. On considère la matrice Calculer ses puissances A n pour n N. a b A= b a 4.6 Représentation matricielle d une application linéaire Exercice 4.6. Pour chacune des applications linéaires suivantes :. vérifier que u est linéaire. 2. déterminer sa matrice dans les bases canoniques des espaces vectoriels considérés. 3. déterminer son rang. 4. Déterminer u quand cette application existe. 5. calculer l image du vecteur V donné en utilisant cette matrice. R 3 R 2. u : x, y, z x+y+ z, x 2y 3z et V=,,.. 2. u : R 3 R 3 x, y, z 3. On pose v =,,. u : x+ z, y z, z x et V=,2,. R 3 R 3 u u et V=,,2. v R3 [X] R 3 [X] 4. u : P XP X P et V= X3 3X 2 + X. R2 [X] R 3 5. u : et V= X 2 X+. P P,P,P 2 M2 R M 2 R 6. u : et V=. M M M2 R M 2 R 7. u : où E= et V= M EM Exercice On considère la matrice A= a i j Mn+ R donnée par : i, j,n+, a i j = j i. On suppose que A est la matrice d un endomorphisme θ L R n [X] dans la base canonique e =,X,...,X n de R n [X].. Soit P R n [X]. Expliciter θp. 2. En déduire que A est inversible et calculer A. 3. Calculer A m pour tout m N. Exercice Soit l endomorphisme ϕ :. Montrer que ϕ est linéaire. Rn [X] R n [X] P P. 2. Écrire la matrice de ϕ dans la base canonique de R n [X]. Exercice Soit ϕ : P XP + P où P est un polynôme.. Prouver que ϕ L R 3 [X]. 2. Calculer la matrice de ϕ dans la base canonique de R 3 [X]. 3. Démontrer que cette matrice est inversible et calculer son inverse. 4. En déduire que ϕ est bijective et calculer l image réciproque de chacun des éléments de la base canonique de R 2 [X] par ϕ. Exercice On considère l espace vectoriel E= C R et les vecteurs f, f 2, f 3, f 4 E donnés par : f : x ch x, f 2 : x sh x, f 3 : x x ch x et f 4 : x x sh x. Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel F de E engendré par la famille f = f, f 2, f 3, f Soit ϕ : f f 2f + f f. Montrer que ϕ L E. 3. Déterminer la matrice de ϕ dans la base f. 4. ϕ est-elle un automorphisme de F dans F? Si oui, déterminer la matrice de ϕ dans la base f. 6

7 5. Trouver une solution particulière de l équation différentielle : f 2f + f f = sh x+ x ch x. Exercice Soit A M 2 R. On définit l application M2 R M 2 R f A : X AX a. Vérifier que f A est un endomorphisme de M 2 R, et déterminer sa matrice dans la base canonique de M 2 R. b. Comparer rg f A et rgu A où u A est l unique endomorphisme de matrice A dans la base canonique de R 2. Exercice n j Soit A M n R définie par a i j = i. i Démontrer que A 3 = n I n. R n [X] R n [X] On pourra considérer : L : En déduire que n n k= l= n,i, j N 3, i, j n. i+k+l n k i i, j n. PX X n.p X n l 4.7 Structure formée de matrices Exercice 4.7. Soit l ensemble x x J = x x j n j } M 2 R : x R \ }. l = n δ i j. Montrer que, muni de la multiplication usuelle des matrices, J est un groupe abélien. Exercice Pour la multiplication usuelles des matrices carrées, les ensembles suivants sont-ils des groupes : GL2,R M 2 Z, M M 2 Z : detm=}? Exercice L ensemble E= a : a R \ } } muni de la loi de multiplication usuelle des matrices de M 2 R est-il un groupe? 2. L ensemble S 2 R des matrices symétriques réelles d ordre 2 muni de la loi de multiplication usuelle des matrices de M 2 R est-il un groupe? Exercice a c. L ensemble des matrices avec a,b,c,d R tels que ad bc et a 2 b 2 b d c 2 d 2 est il un sous-groupe de Gl 2 R? a b 2. L ensemble des matrices a avec a R et b R est-il un sous groupe de Gl 2 R? a c 3. Existe-t-il une valeur M R telle que l ensemble des matrices avec a,b,c,d b d R tels que ad bc et a M forme un sous-groupe de Gl 2 R? Exercice Soient les ensembles x L= } x x M 2 R : x R et M= x x } M 2 R : x R Étudier si, munis des lois usuelles, L et M sont des anneaux, des corps. Exercice Soit la matrice A=. On note C l ensemble des matrices qui commutent avec A. Montrer que C est un sev de M 2 R et déterminer sa dimension. Exercice Posons : I= et J= et E= xi+ yj x, y R 2}. Vérifier que J 2 = I et montrer que l application θ : est un isomorphisme de corps. Exercice Soit c >. Mx= x x2 c 2 c x c ; x ] c;c[. Démontrer que cet ensemble de matrices est un sous-groupe. de quoi? Exercice cos 2 ϑ sin 2ϑ sin 2 ϑ ϑ R, On pose Γ ϑ = cosϑ. sin ϑ cos2ϑ sinϑ. cos ϑ sin 2 ϑ sin 2ϑ cos 2 ϑ Démontrer que Γ=Γ ϑ,ϑ R} est un groupe. Exercice 4.7. Pour chacun des sous-ensembles suivants : C x+ i y 7

8 . Montrer que c est un sous-espace vectoriel de E= M 3 E. 2. En donner une base et la dimension. a b a F = b a b a,b R et F 2 = a b a 2a c b a 3b+ c a b a+ 2c a+ 3c b a c a,b,c R Exercice 4.7. a+ b b Soit E l ensemble des matrices de M 2 K de la forme : A = avec b a b a,b K 2.. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M 2 K. Donner une base de E. 2. Montrer que E est un sous-anneau commutatif de M 2 K. 3. Déterminer les éléments inversibles de E. 4. Déterminer les diviseurs de zéro de E. Exercice Une matrice A = a i,j de M3 R est dite magique si elles vérifie les 4 conditions suivantes : 3 Pour tout j,2,3}, on a : a i j =. 2 Pour tout i,2,3}, on a : 3 3 On a : a ii =. i= 4 a 3 + a 22 + a 3 =. i= 3 a i j =. j= On notera M l ensemble des matrices magiques.. Montrer que l ensemble des matrices magiques possède une structure de R- espace vectoriel. 2. Montrer que si M M alors t M M. 3. Caractériser les matrices magiques antisymétriques et les matrices symétriques. On notera A l ensemble des matrices magiques antisymétriques et S l ensemble des matrices magiques antisymétriques. 4. Prouver que A S = M. 5. Interpréter le résultat obtenu. Exercice I-Étude de deux ensembles de matrices Soit x, y un élément quelconque de R 2. On note M x,y la matrice x y y 2 x+y Soit Σ le sous-ensemble de M 2 R tel que Σ= M x,y x, y R 2}.. Quelle relation doivent vérifier x et y pour que la matrice M x,y ne soit pas inversible? Calculer le produit M x,y M x,y. En déduire l inverse de M x,y lorsqu il existe. 2. Σ est-il un sous-espace vectoriel de M 2 R,+,.? On justifiera sa réponse. Soit A= M 2 2 R et J= A+M x,y x, y R 2}. 3. Montrer que J est un sous-espace vectoriel de M 2 R,+,.. 4. Quelle est la dimension de J? Déterminer une base de J. 5. Montrer que la loi est interne dans J. II - Étude d une application de M 2 R Soit B une matrice quelconque de M 2 R. Soit ϕ B l application de M 2 R dansm 2 R qui à la matrice X associe la matrice ϕ B X=B X.. Montrer que ϕ B est un endomorphisme de l espace vectoriel M 2 R,+,.. 2. On suppose dans cette question que B=M 2, =. 2 3 a ϕ B est elle surjective? Bijective? b Déterminer la matrice de ϕ B dans la base canonique de M 2 R. On rappelle que la base canonique de M 2 R est constituée des matrices E,,E,2,E 2,,E 2,2 où E, = E,2 = 3. On prend dans cette question B=M, 2 = 2 2. ϕ 2 2 B est-elle surjective? Bijective? E 2, = et E 2,2 = Exercice Soit la matrice A=. On note C l ensemble des matrices qui commutent avec A. Montrer que C est un sev de M n R et déterminer sa dimension. Exercice Déterminer toutes les formes linéaires ϕ sur M n R vérifiant : A,B M n R ϕab=ϕb t A 8

9 Exercice Soit la matrice J de M n R définie par J=δ i,j. a Trouver toutes les matrices qui commutent avec J. b Montrer que ce sont des polynômes en J. Exercice Soit P l ensemble des matrices A= a i j M n R telles que i, j [,n], n n a ik = k= a k j k= a Soit H la matrice avec des partout. Montrer que A P ssi λ R tq AH=HA= λh. b Montrer que la matrice B est inversible ssi λ. Exercice Soit une sous-algèbre A de l algèbre LE. On suppose que f LE, f 2 A = f A. Montrer que A = LE. 4.8 Changement de base Exercice 4.8. Dans le R-espace vectoriele = R 3 muni de sa base canonique e, on considère la famille de vecteurs ε=ε,ε 2,ε 3 donnés par : Posons F=Vect ε,ε 2 et G=Vect ε 3.. Montrer que F et G sont supplémentaires dans E. Donner une base de E adaptées à la supplémentarité de ces deux sous-espaces vectoriels. 2. Écrire, dans la base e, la matrice de la projection p de E sur F parallèlement à G. 3. En déduire les matrices, dans la base e de : a la projection p de E sur G parallèlement à F. b la symétrie s par rapport à F parallèlement à G. Exercice On considère l espace vectoriel R 2 muni de sa base canonique e = e,e 2. On considère l endomorphisme f de R 2 donné par : f e =e + e 2 et f e 2 = e + 2e 2. Déterminer la matrice A de f dans la base canonique e. 2. Soit v = xe + ye 2 R 2. Calculer les composantes x et y de f v dans la base canonique e. 3. On pose : ε = e 2 et ε 2 = e + e 2. Prouver que ε=ε,ε 2 est une base de E. 4. Déterminer P e ε ainsi que P ε e. 5. En déduire la matrice B de f dans la base ε et en déduire les expressions de f ε et f ε 2 en fonction de ε et ε 2. Exercice Soit e,e 2,e 3 la base canonique de R 3. On pose : f = e e 2 + 2e 3, f 2 = e2+e 3, e + 2e 3. Prouver que f, f 2, f 3 forme une base de R Écrire la matrice de passage de la base e à la base f. 3. Déterminer la matrice de passage de la base f à la base e. 4. On considère le vecteur u de coordonnées,,2 dans la base canonique. Quelles sont ses coordonnées dans la base f? x, y, z x+y 2z 5. On considère l endomorphisme θ :. Déterminer x z x+ 2y la matrice de θ dans la base f. Exercice Soient : P = X 2 +, P 2 = X+ et P 3 = 2X 2 X On note B=,X,X 2 la base canonique de R 2 [X].. Montrer que B = P,P 2,P 3 forme une base de R 2 [X]. 2. Écrire la matrice de passage de B à B, puis celle de B à B. 3. Soit P X=X 2 X+ 2. Donner les composantes de P dans la base B. R2 [X] R 2 [X] 4. On considère l endomorphisme de R 2 [X] donné par θ : P XP. Déterminer la matrice de θ dans la base B. Exercice On considère E= R 3 et F=R 2 tout deux munis de leurs bases canoniques respectives qu on notera e = e,e 2,e 3 et f = R 3 R 2 f, f 2. Soit u : x, y, z x+y, y z.. Prouver que u L E,F et écrire la matrice de u relativement aux bases e et f. 2. On considère les familles de vecteurs e = e,e 2 3,e avec e =,,, e 2 =,,2,e 3 =,, et f = f, f 2 avec f =,, f 2 =,. Montrer que e et f sont des bases de respectivement E et F et écrire les matrices de changement de base de e vers e et de f vers f. 3. En déduire la matrice de u relativement aux bases e et f. Exercice Soit E = R 3, ε =,,, ε 2 =,, et ε 3 =,,. On pose : F = Vect ε,ε 2 et G=Vect ε 3.. Prouver que E= F G et en déduire que ε=ε,ε 2,ε 3 est une base de E.. 2. Déterminer la matrice P dans la base ε de E de la projection p sur F parallèlement à G. 9

10 3. En déduire la matrice de cette projection dans la base canonique de E. 4. En déduire, dans la base canonique de E, la matrice S de la symétrie s par rapport à F parallèlement à G et la matrice P de la projection sur G parallèlement à F. Exercice Soient A= et = e,e 2,e 3 la base canonique de R 3. Soit f l endomor- 4 4 phisme de R 3 représenté par A dans la base e. On pose : ε =,,, ε 2 =,,, ε 3 =,,2 et ε=ε,ε 2,ε 3. Montrer que ε est une base de R Écrire la matrice de f dans cette base. 3. Déterminer une base de Ker f et de Im f. Exercice Soit E un K-espace vectoriel muni d une base e = e,e 2,e 3. On considère f l endomorphisme de E dont la matrice dans la base e est A= Calculer A 2. Que peut-on en déduire au sujet de f? 2. Déterminer une base de Im f et de Ker f. 3. Prouver de deux façons différentes que Im f et Ker f sont supplémentaires dans E. 4. Quelle est la matrice de f relativement à une base adaptée à la supplémentarité de Im f et de Ker f. Exercice Soit e = e,e 2,e 3 la base canonique de R 3 et soit A = l endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base e est A.. Notons f. Déterminer Ker f et Im f. Démontrer que ces sous-espaces sont supplémentaires dans R Déterminer une base à la supplémentarité de Im f et de Ker f et écrire la matrice de f dans cette base. 3. Écrire f comme composée de transformations vectorielles élémentaires. Exercice 4.8. Soit E un K-espace vectoriel muni d une base e = e,e 2,e 3. On considère u L E représenté dans la base e par la matrice A= Montrer que la famille ε=ε,ε 2,ε 3 avec ε =, ε = et ε = est une base de E. Écrire la matrice de passage de la base e à la base ε. 2. Calculer la matrice de u dans la base ε. 3. En déduire la matrice de u n dans la base e. Exercice 4.8. On considère le K-espace vectoriel E= R 3 muni de sa base canonique e = e,e 2,e 3. 2 Soit u l endomorphisme de E représenté dans la base e par la matrice A= Le but de cet exercice est de trouver une base ε de E tel que dans cette base la matrice de u est diagonale. On dira alors qu on a diagonalisé u.. Développer le polynôme P λ=deta λi 3. P est appelé polynôme caractéristique de u. 2. Calculer les racines de P. Les trois réels trouvés sont appelées valeurs propres de u. 3. Déterminer des vecteurs ε,ε 2,ε 3 de E en sorte que ε forme une base de Ker u i d, ε 2 forme une base de Keru 2i d et ε 3 forme une base de Ker u+ i d. Ces trois vecteurs sont des vecteurs propres de u. 4. Montrer que ε=ε,ε 2,ε 3 est une base de E. 5. Vérifier que la matrice de u dans la base ε est diagonale. 4.9 Matrices semblables, équivalentes Exercice 4.9. On considère la matrice P= ր. a Montrer que la matrice P est inversible et calculer son inverse P. b Pour une matrice A M n K, calculer la matrice PAP. c En déduire qu une matrice triangulaire inférieure est semblable à une matrice triangulaire supérieure.

11 Exercice Trouver les matrices E i j de la base canonique de M n R semblables à une matrice diagonale. Exercice A quelle condition deux matrices E pq et E kl de la base canonique de M n R sontelles semblables? Exercice Montrer que la matrice A = est semblable à la matrice D= Exercice Soit une matrice A M 2 R vérifiant A 2 = I et telle que A n est pas une matrice scalaire. Montrer que A est semblable à la matrice Exercice Soit un K-espace vectoriel de dimension finie n et un endomorphisme f LE de rang. a. Si l on suppose que Ker f Im f = E }, montrer qu il existe une base ε de E et un scalaire λ K tels que λ Mat ε f = b. En déduire que pour tout endomorphisme f de rang, il existe un scalaire α K tel que f 2 = αf. c. Soit une base e quelconque de E, et un endomorphisme f LE quelconque. On note B=Mat e f la matrice de l endomorphisme f dans la base e. Montrer l équivalence rgf = X,Y M n K 2 non nuls tels que B=X t Y i On se contentera de la démonstration dans le cas où Ker f Im f = E }. Exercice Trouver toutes les matrices A M 3 R vérifiant A 2 =. Exercice Les matrices A = et B= sont-elles semblables? Exercice Soient deux matrices A,B M n R, avec A inversible. a Montrer que AB et BA sont semblables. b Montrer que le résultat est faux si B n est pas inversible. ii Exercice 4.9. On considère une matrice A M n R qui s écrit : B C A= t D a où B M n R, C,D M n, R et a R. On suppose que B est inversible. Montrer que A est inversible si et seulement si a= t DB C Exercice 4.9. On considère un C-e.v. E de dimension 3 et f un endomorphisme non nul de E. Montrez que f 2 = si et seulement s il existe une base e de E telle que Mat e f = Exercice On considère dans M n R une matrice de transvection, de la forme T i j λ=i n + λe i j avec i j a. Montrer qu une matrice de transvection est inversible, et que T i j λ = T i j λ. b. Soit une matrice A=a i j i j M n R. On considère la matrice B= T i j λat i j λ. Vérifier que pour k < i et l < j, on a b kl = a kl, et calculer le coefficient b i j. c. Montrer qu une matrice triangulaire supérieure A dont les éléments diagonaux sont tous distincts est semblable à une matrice diagonale. Exercice On considère le sous-espace vectoriel V de M 3 R engendré par les matrices A= et B= Montrez qu aucun élément de V n est inversible. Montrez que V,+, est un corps isomorphe à C.