NOTION DE REPÈRE. z y. terre. soleil

Transcription

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2 Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouements des corps dans l espace en fonction du temps indépendamment des causes qui les prooquent.

3 NOTION DE REPÈRE Point matériel Un point matériel est un objet infiniment petit deant les distances caractéristiques du mouement pour être considéré comme ponctuel. D D 3

4 NOTION DE REPÈRE z y terre soleil x 4

5 NOTION DE REPÈRE Pour repérer la position d un point matériel dans l espace, on se donne un repère d espace, c est-à-dire: - un point O origine des coordonnées - trois axes de coordonnées orientés et munis d une unité de mesure (par exemple le mètre) Pour des raisons de commodité, on choisit un repère orthonormé O, i, j, k direct Un point M de l espace est repéré par ses coordonnées x, y et z tel que: OM xi yj zk 5

6 NOTION DE MOUVEMENT La notion de mouement est relatie. En effet un point peut être en mouement par rapport à un repère R Et au repos par rapport à un second repère R Un objet est mouement par rapport à un autre si sa position change au cours du temps Un point M est dit fixe par rapport au repère R(O, x, y, z) si ses coordonnées ne changent pas. Le point M est en mouement si au moins une de ses coordonnées change dans le temps. 6

7 NOTION DE MOUVEMENT On distingue essentiellement trois type de mouements : Translation Rotation Vibration Ou une combinaison de deux de ces mouements 7

8 NOTION DE TRAJECTOIRE Définition : C est le lieu géométrique des positions successies occupées par le point matériel au cours du temps Exemple : un mobile est repéré par les coordonnées suiantes : x (t) = A cos wt y (t) = A sin wt En supprimant le temps, on obtient : x y A La trajectoire est donc un cercle de centre O et de rayon A L équation de la trajectoire est une relation qui lie les coordonnées du point entre elles 8

9 MOUVEMENT RECTILIGNE La trajectoire d un mouement rectiligne est une droite. Vecteur position OM C est le ecteur point O pris comme origine. x() t i qui désigne la distance qui sépare le mobile M du O i OM 1 M 1 OM M OM 3 M 3 x x(t) est appelée équation horaire du mouement 9

10 Notion de diagramme des espaces Si on reporte les positions successies du mobile en fonction du temps, on obtient une courbe appelée : Diagramme des espaces x(m) t(s) Remarque: Il ne faut pas confondre trajectoire et diagramme des espaces 10

11 Vecteur déplacement (m): A l instant t 1 le éhicule est à la position M 1 qui correspond au ecteur position : OM A l instant t le éhicule est à la position M qui correspond au ecteur position : OM x i 1 1 x i O i OM 1 M 1 OM OM M x Le ecteur déplacement est la distance parcourue entre deux instants t 1 et t M M OM OM OM ( x x ) i

12 Vecteur itesse (m/s): Vecteur itesse moyenne: t t t 1 Si est le temps mis entre et, la itesse moyenne est : 1 M M Ou encore : m M M OM OM OM t t t t ( x x ) x 1 m i i ( t t1) t 1

13 Vecteur itesse instantanée: Si on diminue l interalle de temps, on obtient la itesse instantanée : OM dom x dx i lim ou i lim i i t 0 t 0 t t dx Le terme possède deux significations : dx 1- Si on a l expression de x(t), alors désigne la dériée de x(t): Exemple: 3 x( t) 3x x 5 dx ( t) 9x 4x 13

14 Vecteur itesse instantanée: dx - Si on a le graphe de x(t), alors désigne la pente de la tangente à la courbe x(t) Exemple: Problème!!! x(m) + A + dx tan AC BC B t C t(s) 14

15 Vecteur itesse instantanée: On a donc calculer la itesse instantanée à partir de la itesse moyenne Il y a deux cas ou la itesse moyenne est confondue aec la itesse moyenne 1 er cas: Mouement rectiligne uniforme: x x1 x(m) t1 t t(s) m x x x t t t 1 1 dx x x tan t t 1 1 m 15

16 ème cas: mouement rectiligne quelconque: On calcule la itesse instantanée à l instant t. x(m) =pente de la tangente m =pente de la corde + m1 m m3 t t t 1 ( ) m1 t m t 1 m m3 + + m4 m V(t) t(s) t1 t3 t5 t7 t t8 t6 t4 t Conclusion : La itesse instantanée à l instant t est assimilée à la itesse moyenne entre deux instants t1 et t tel que t est milieu de t1 et t aec t 16

17 Vecteur accélération (m/s ): Vecteur accélération moyenne: A l instant t 1 le éhicule possède une itesse 1 A l instant t le éhicule possède une itesse O i OM 1 M 1 OM M 1 x Le ecteur accélération moyenne est donné par la relation: a m am et t t t :Sont dans le même sens et direction 1 Pour cela on doit d abord déterminer le ecteur ariation de itesse 17

18 Vecteur accélération instantanée: d ai lim t 0 t d a d Comme pour la itesse le terme possède deux significations : 1- Si a l expression de (t), alors désigne la dériée de (t): Exemple: Le ecteur accélération instantané est donné par la relation : a x t x x 3 ( ) 3 5 dx ( t) 9x 4x d d x a( t) 18x 4 18

19 Vecteur accélération instantanée: d - Si on a le graphe de (t), alors désigne la pente de la tangente à la courbe (t) (m/s) En procédant de la même façon que pour la itesse : -On calcule la pente de la tangente -On calcule la pente de la corde B A C a t t t 1 ( ) a t m t 1 t t(s) Conclusion : L accélération instantanée à l instant t est assimilée à l accélération moyenne entre deux instants t1 et t tel que t est milieu de t1 et t aec t 19

20 Différents types de mouements rectilignes a- Mouement rectiligne uniforme : cons tan te et a 0 b- Mouement rectiligne uniformément accéléré : a cons tan te et a. 0 c- Mouement rectiligne uniformément retardé ou décéléré : a cons tan te et a. 0 0

21 Exemple d application: Soit une oiture se déplaçant sur une route rectiligne repérée par les positions M1, M, M3 et M4 aux instants t1= 0s, t=s, t3 = 4s et t4= 5s respectiement tel que : OM1 1i, OM 10i, OM OM 4 i 3 i et 1- Calculer les ecteurs déplacements : MM, 1 MM 3 et MM Déterminer les ecteurs itesses moyennes entre M1 et M et entre M3 et M4 3- Déterminer le ecteur accélération moyenne entre et 6 s, (s) = 4m/s et (6s) = m/s 1

22 Corrigé de l exemple d application: MM 3 4 M 1 M M 3 OM 4 i M 4 x OM 1 OM3 OM O MM MM Calculer les ecteurs déplacements : MM MM 1, MM 3 et 3 4 M M OM OM ( x x ) i ( 10 ( 1)) i i M M OM OM ( x x ) i ( ( 10)) i 1i M M OM OM ( x x ) i ( ()) i 4i

23 Corrigé de l exemple d application: - Déterminer les ecteurs itesses moyennes entre M 1 et M et entre M 3 et M 4 M M1 M 3 MM 3 4 i M 4 x MM 1 MM 3 O m1 M M ( x x ) m 1 1 m 1 i i i m s t ( t t1) ( 0) ( / ) M M ( x x ) m i i i m s t ( t4 t3) (5 4) 4 ( / ) 3

24 Corrigé de l exemple d application: 3- Déterminer le ecteur accélération moyenne entre et 6 s si on a : (s) = 4m/s et (6s) = m/s O i OM 1 M 1 OM 3 M 3 ( s ) (6 s) x (6 s) ( s) (6 s) ( ( s)) 1 1 a m (6 s) ( s) ( (6 s) ( s)) ( 4) 1 am i 0.5 i ( m / s ) t ( t t1) (6 ) 4

25 Calcul Intégral: Jusqu à présent on a u comment passer de la position x(t) à la itesse (t) puis à l accélération a(t) Nous maintenant on a étudier le problème inerse pour passer de l accélération à la itesse puis à la position Passage de la itesse à la position: 1 er Cas: Mouement uniforme (m/s) Dans ce cas: x x x m t t t 1 1 x x ( t t ) 1 1 Et donc: x ( t t ) x 1 1 t1 t t(s) x ( t t1) correspond à l aire sous la courbe (t) 5

26 ème Cas général : (m/s) On dispose du graphe de la itesse en fonction du temps On partage l interalle entre t1 et t en plusieurs petits =cte dx dx = aire sous la courbe (t) sur l interalle x En faisant la somme des petits interalles entre t1 et t : t1 t t(s) x x dx x 1 t1 t alors: t 1 x x t1 x est donc l aire sous la courbe (t) entre t1 et t. Remarque : Il ne faut pas confondre entre position et distance parcourue -La position est l aire sous (t) en aleur algébrique -La distance parcourue est l aire sous (t) en aleur absolue 6

27 Exemple d application : 10 Le graphe de la itesse d un mobile en fonction du temps est donné ci-dessous: 1- Déterminer la position du mobile à t = 40 s - Déterminer la distance parcourue entre 0 et 40 s (m/s) Sachant qu à t=0 s, x = 0 m t(s) Corrigé de l exemple: x 1- position du mobile: 40 x dx 10(0 0) 10(40 0) 0 m x(40 s) 0m distance parcourue par le mobile: D x1 x 10(0 0) 10(40 0) 40m

28 Passage de l accélération à la itesse: a( m / s ) On dispose du graphe de l accélération en fonction du temps On partage en plusieurs interalle a=cte d a d a = aire sous la courbe a(t) Pour calculer la itesse à l instant t on intègre : t1 t t(s) d a 1 t1 t est donc l aire sous la courbe a(t) entre t1 et t. 8

29 Étude de quelques mouements particuliers Mouement rectiligne uniforme: a( m / s ) Graphiquement ts () aire sous a( t) 0 0 Analytiquement d a () t a ( m/ s) 0 cons tan te 0 xm ( ) ts () a 0 ( t) a cons tante dx dx dx 0 x aire sous () t t x t x x( t) x t x( t) t x x 0 ts () x() t est une droite 9

30 Mouement rectiligne uniformément arié: a=cte, t = 0s, 0 et x0 a a( m / s ) Graphiquement a cons tan te Analytiquement d a d a 0 ( m/ s) A t ts () aire sous a() t at at () t est une droite x aire sous () t A A 1 0 On calcule la itesse (t): at 0 t t () t at a t On calcule la position x(t) x 0 A1 xm ( ) t ts () A1 0t A ( 0 ) t (( at 0 ) 0) t at 1 x x x0 at 0t ts () dx dx 1 t t x x( t) x ( at ) x() t at 0t x0 30

31 Relation entre a, et x: La relation entre et a est : d a d a On multiplie chaque membre par d a d adx On intègre de chaque côté x x d adx a dx x x ( 0 ) ( 0 ) a x x 0 a( x x0) 31

32 Exemples d étude de mouement 3

33 Mouement dans l espace ou curiligne : Position d un point : On peut définir la position d un point dans l espace de deux manières - A : En repérant le point par rapport à un repère orthonormé z r 1 x i k j y r r 3 r 4 Le ecteur position s écrit : OM ( t) r( t) 33

34 - B : En considérant un point sur la trajectoire pris comme origine MM 0 1 On parle d abscisse curiligne notée : s() t M M 0 1 La loi décriant s(t) en fonction du temps est appelée équation horaire 34

35 Vecteur déplacement : C est la distance pour aller du point M1 au point M. z k MM 1 x i j y M1M OM OM1 OM () t M M r ( t t) r ( t) r ( t)

36 Vecteur itesse d un point : Vecteur itesse moyenne : m m MM 1 OM ( t) r ( t) t t t z k x i j y Le ecteur itesse moyenne est parallèle au ecteur déplacement Vecteur itesse instantanée : OM ( t) r ( t) dr lim lim t0 t t0 t 36

37 Construction géométrique de et m : On calcule la itesse instantanée à partir de la itesse moyenne m1 m1 m MM t 10 MM t ' 3 9 m m3 MM t " 4 8 m3 m4 m4 MM t ''' 5 7 Conclusion: la itesse instantanée à l instant t est assimilée à la itesse moyenne entre deux instants t1 et t, tel que t est milieu de [t1, t] et t petit. 37

38 Vecteur accélération : Accélération moyenne : Elle caractérise la ariation du ecteur itesse a m a m t t t 1 1 a le même sens et direction que Accélération instantanée : a ai lim t 0 t d On peut confondre l accélération instantanée et l accélération moyenne au milieu de l interalle de temps si est très petit. t 38

39 Construction géométrique de aet a : m On cherche l accélération à t7 =0.6 s (correspond au point 7) aec t= 0.1 s m m a 7 t 8 6 t ( ) a 7 6 m m 9 7 8

40 Étude du mouement dans différents systèmes de coordonnées : Coordonnées cartésiennes : Vecteur position : OM xi yj zk x(t), y(t) et z(t) sont les équations paramétriques du mouement Vecteur itesse : Vitesse moyenne: OM r x y z m i j k mxi my j mzk t t t t t Vitesse instantanée: m dom dr dx i dy j dz k xi y j zk 40

41 Coordonnées cartésiennes : Vecteur accélération : Accélération moyenne : x y z am i j k amxi amy j amzk t t t t Accélération instantanée : d d d d x y z a i j k axi ay j azk 41

42 Coordonnées curilignes ou intrinsèques : Abscisse curiligne: u T OM s() t u N Vecteur itesse : On définit deux ecteurs unitaires: u T: porté par la tangente à la trajectoire en M est orienté dans le sens positif: u : porté par la perpendiculaire à la trajectoire et dirigée ers l intérieur N Donc : ds ut u T u T un 4

43 Coordonnées curilignes ou intrinsèques : Vecteur accélération : a N Or: u N u T a T a dut d un a d d d a u u a u a u Donc: T N T T N N d( u T ) d a ut du T Aec: a T d et a N d 43

44 Coordonnées curilignes ou intrinsèques : Vecteur accélération : u T ds La relation entre l abscisse curiligne et angulaire est: u N ds rd r d En diisant par de chaque côté on a: Et donc: ds d r On peut l écrire sous la forme: d 1 ds r r d an r 44

45 Coordonnées polaires : u Vecteur position: y On repère le point M par la distance OM=r et l angle M j OM r() t O u r i x OM rt () () t r(t) et (t) sont les équations paramétriques en coordonnées polaires On prend deux ecteurs noueaux unitaires ur et u OM r() t u r 45

46 Coordonnées polaires : Vecteur itesse: Nous dérions le ecteur position dom d( r( t) u r ) dr() t dur ur r Et comme : dur d u y Alors : dr() t d ur r u On décompose la itesse suiant les deux axes : Par identification on a : u u r r r dr et u j OM r() t O d r u r i M 46 r x

47 Coordonnées polaires : Vecteur accélération: On dérie le ecteur itesse d a a dr() t d d( ur r u ) d r dr dur dr d d d du a u r u r u r Or on sait que : dur d u et du d u r 47

48 Coordonnées polaires : d r dr d dr d d d d r a u u u r u r u d r d dr d a r u d r r u On décompose l accélération suiant les deux axes: Par identification on a: Vecteur accélération: a a u a u r r r a r d r d r a dr d r d 48

49 Coordonnées polaires : Exercice d application : En coordonnées polaires le mouement d un mobile est décrit par les équations OM t rt () () t t 4 Déterminer et représenter les ecteurs position, itesse et accélération à t = 1s Corrigé de l exercice d application : dr t d r 1 d d

50 Coordonnées polaires : Vecteur itesse: Corrigé de l exercice d application : dr r t d t r 8 Vecteur accélération: a d r d ar r ar 1 t dr d d t a r a 3

51 Coordonnées polaires : À t = 1s Vecteur position: 1 r( t) 0.5 m OM (1 s) () t 4 Vecteur itesse: Vecteur accélération: r (1 s) 1 m / s (1 s) (1) 0.39 m / s 8 a(1 s) Corrigé de l exercice d application : a a r 0.69 m / s 1.57 m / s y O a (1 s) (1 s) (1 s) r (1 s) u M a (1 s) j OM r() t i 4 Echelles: 1 cm 0. m 1 cm 0.4 m/s 1 cm 0.7 m/s a(1 s) u r r x 51

52 Coordonnées cylindriques : P est la projection de P dans le plan xoy Vecteur position: Vecteur itesse: OM u zk dom d( u zk ) d d dz u u k u u k z 5

53 Coordonnées cylindriques : Vecteur accélération: On dérie le ecteur itesse et on a: d d d d dz a u u k d d d d d d z a u u k a a u a u a k z 53

54 Coordonnées sphériques : Vecteur position: On écrit les différents ecteurs en fonction de r, et x rsincos OM y r sinsin z rcos OM ru r 54

55 Coordonnées sphériques : Vecteur itesse: 55

56 Coordonnées sphériques : Vecteur accélération: 56

57 Changement de repère ou mouement relatif: Vecteur position: On décrit le mouement du ballon par rapport aux deux repères R et R, la position s écrit: OM OO ' O' M x x k j i x x ' k ' i x ' j ' ' x ' Dans R, la position du ballon s écrit: Dans R, la position du ballon s écrit: OM xi yj zk O' M x' i ' y' j ' z ' k ' 57

58 Changement de repère ou mouement relatif: Vecteur itesse: La itesse dans R est dite absolue et notée a = M/R La itesse dans R est dite relatie et notée r = M/R Vitesse absolue: Vitesse relatie : Calcul de la itesse : dom dx dy dz a i j k dx ' dy ' dz ' r i ' j ' k ' dom doo ' do' M 58

59 Changement de repère ou mouement relatif: Vecteur itesse: On dérie le ecteur position: doo ' do' M doo ' d( x ' i ' y ' j ' z ' k ') Dans le repère R les ecteurs unitaires ne sont pas immobiles donc: doo ' dx ' di ' dy ' dj ' dz ' dk ' i ' x' j ' y ' k ' z ' En regroupant les termes identiques on obtient: dx ' dy ' dz ' doo ' di ' dj ' dk ' i ' j ' k ' x' y ' z ' 59

60 Changement de repère ou mouement relatif: Vecteur itesse: dx ' dy ' dz ' doo ' di ' dj ' dk ' i ' j ' k ' x' y ' z ' On pose pour cela: Vitesse Relatie: Vitesse d entrainement: Vitesse absolue s écrit donc : dx ' dy ' dz ' r i ' j ' k ' doo ' di ' dj ' dk ' e x' y ' z ' a r e Ou encore: M / R M / R' R/ R' 60

61 Changement de repère ou mouement relatif: Vecteur itesse: Cas particuliers: a r e M / R M / R' R/ R' * Si R décrit un mouement de translation donc les dériées des ecteurs unitaires sont nulles: di ' dj ' dk ' 0 e doo ' *Si R et R se déplacent à la même itesse : a r 61

62 Changement de repère ou mouement relatif: Vecteur accélération: On dérie le ecteur itesse: a d a d d dx ' dy ' dz ' d doo ' di ' dj ' dk ' a i ' j ' k ' x' y ' z ' 6

63 Changement de repère ou mouement relatif: Vecteur accélération: En tenant compte du fait que les ecteurs unitaires de R sont en mouement donc leur dériées ne sont pas nulle et en regroupant les termes identiques on a: d x ' d y ' d z ' a i ' j ' k ' ' ' ' ' x ' y ' z ' d OO d i d j d k dx ' di ' dy ' dj ' dz ' dk ' 63

64 Changement de repère ou mouement relatif: Vecteur accélération: Accélération relatie: Accélération entrainement: Accélération Coriolis: Dans l expression précédente on pose : Accélération prend enfin la forme : d x' d y ' d z ' ar i ' j ' k ' d OO ' d i ' d j ' d k ' ae x' y ' z ' a c dx ' di ' dy ' dj ' dz ' dk ' aa ar ae ac ou encore a a a a : M / R M / R' R'/ R c 64

65 Changement de repère ou mouement relatif: Vecteur accélération: Cas particuliers: aa ar ae ac * Si R décrit un mouement de translation donc les dériées des ecteurs unitaires sont nulles: d OO ' ae et a *Si en plus le mouement de R est uniforme alors : c 0 a 0 et a 0 a a e c a r 65