Articulés. Université Libre de Bruxelles. Laboratoire des Structures Actives Service des Constructions Mécaniques et Robotique

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1 Université Libre de Bruxelles F a c u l t é d e s S c i e n c e s A p p l i q u é e s Théorie Générale des Systèmes Articulés Introduction à la Robotique André PREUMONT 2 nde Edition Laboratoire des Structures Actives Service des Constructions Mécaniques et Robotique

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3 Théorie Générale des Systèmes Articulés i Table des matières 1 Introduction Généralités Robots manipulateurs Robots mobiles Spécification d un robot manipulateur Espace de travail Charge utile Mobilité Agilité Répétabilité et précision Chaîne cinématique Articulations Boucle cinématique Exercices Transformations de coordonnées Introduction Matrice de rotation Exemple: rotation autour d un axe coordonné Changement de coordonnées Transformation homogène Opérateurs de translation et de rotation Exemple Exercices Représentation des rotations finies Introduction Formule de Rodrigues Paramètres d Euler Composition des rotations, quaternions Relation d inversion Angles d Euler Autres représentations

4 ii TABLE DES MATIÈRES 3.8 Rotations infinitésimales Changement de base d une matrice de rotation Exemple: rotation autour d un axe quelconque Exercices Cinématique directe des manipulateurs Introduction Paramètres de Denavit-Hartenberg Exemples Matrice de transformation homogène d un lien Exemple Cinématique inverse des manipulateurs Introduction Remarques préliminaires Un exemple simple Un exemple plus compliqué Les robots sous-déterminés et redondants Robot sous-déterminé (m < n) Robot redondant (m > n) Distribution des vitesses, jacobien Introduction Distribution de vitesse dans un corps rigide Changement virtuel de configuration Liaison entre la vitesse angulaire et les paramètres de rotation Jacobien des vitesses Exemple Exemple Jacobien inverse, singularité Le jacobien des forces Changement de base au sein d un corps rigide Exemple Robot redondant Pseudo-inverse et valeurs singulières Singularités, les moindres carrés amortis Dextérité Ellipsoïde de manipulabilité Evitement d obstacles Exercices

5 Théorie Générale des Systèmes Articulés iii 7 Cinématique du manipulateur imparfait Introduction Les paramètres de Denavit-Hartenberg étendus Identification des paramètres Effet du bruit de mesure Simulation Cinématique inverse du modèle perturbé Concepts de base de la dynamique Introduction Lois de Newton Système de particules Taux de variation dans un référentiel en rotation Accélération Exemple Distribution de la vitesse et de l accélération au sein d un corps rigide Exemple Dynamique du corps rigide, dynamique du manipulateur Introduction La quantité de mouvement et le moment angulaire d un corps rigide Exemple L énergie cinétique d un corps rigide Propriétés du tenseur d inertie Les équations du mouvement d un corps rigide Exemple: couple gyroscopique La dynamique inverse du manipulateur: méthode de Newton-Euler Exemple: manipulateur RR Structure de l équation dynamique du manipulateur Exemple: oscillations d une toupie Exemple: pendule inversé gyroscopique Les équations de Lagrange Introduction Coordonnées généralisées, contraintes, variation virtuelle admissible Le principe des travaux virtuels Exemple: le corps rigide Le principe de Hamilton Exemple Equations de Lagrange Intégrales premières Exemple: le pendule sphérique Exemple: inertie d une transmission

6 iv TABLE DES MATIÈRES 10.11Matrice des masses d un manipulateur Exemple: manipulateur RR Potentiel de gravité Equation du mouvement Forces d inertie Forces de gravité Forces extérieures Exemple: oscillations d une toupie Exercices Les manipulateurs en boucle fermée Introduction Le jacobien Modèle dynamique Dynamique directe Dynamique inverse Génération de trajectoire Introduction Génération en variables articulaires Trajectoire cubique Spline cubique Interpolation linéaire avec transition parabolique Génération dans l espace cartésien A Solution de systèmes d équations algébriques non linéaires 173 A.1 Cas m = n A.2 Cas m < n A.3 Cas m > n B Les Multiplicateurs de Lagrange 177 C Décomposition en valeurs singulières 179 C.1 Nombre de conditionnement d une matrice C.1.1 Matrice symétrique définie positive C.1.2 Matrice non symétrique C.2 Décomposition en valeurs singulières C.3 Matrice pseudo-inverse

7 Théorie Générale des Systèmes Articulés 1 Chapitre 1 Introduction 1.1 Généralités Robots manipulateurs Un robot est un automate destiné principalement à la manipulation et doté d un certain degré d anthropomorphisme (figure 1.1), ainsi que des possibilités élevées de programmation. Cette dernière propriété permet d affecter le même robot à des tâches diverses. Parmi Fig. 1.1 Robot manipulateur avec articulations de rotation. les motivations ayant conduit à l utilisation des robots, il y a évidemment la diminution des coûts de productions et l amélioration de sa qualité ainsi que de sa reproductibilité. C est pour cela que l industrie automobile a connu une robotisation précoce et massive.

8 2 1. Introduction Comme autre motivation, on peut distinguer la meilleure tolérance à l environnement. Les robots peuvent ainsi être substitués à l homme pour effectuer des tâches en ambiance polluée ou dans des environnements à haut risque tels que ceux rencontrés dans l énergie nucléaire. Les robots peuvent être classés en fonction de leur espace de travail charge utile mobilité (nombre de degrés de liberté) agilité précision et répétabilité. Ces paramètres, ainsi que le niveau de fiabilité requis, dicteront la structure du manipulateur ainsi que son coût. Ils sont discutés succintement ci-après. Ils sont en général interdépendants comme, par exemple, la charge et l accélération maximum qui dépendent de l endroit où l on se trouve dans l espace de travail ou encore de l agilité qui peut, en excitant les modes flexibles, interférer avec la précision. Le manipulateur proprement dit est composé de sa structure articulée, de ses moteurs et ses transmissions et de capteurs proprioceptifs (ex: encodeurs) permettant de connaître sa configuration (figure 1.2). La complexité de la structure mecanique s accroît rapidement avec le nombre de d.d.l. (figure 1.2). En effet, il apparait d une part que la position des moteurs a une influence sur l inertie du manipulateur, et donc les couples nécessaires (agilité); d autre part, les transmissions, parfois longues pour la raison évoquée ci-dessus, doivent être dépourvues de jeu afin de garantir une bonne répétabilité. L ensemble de la problématique du fonctionnement d un robot est schématisée à la figure 1.3. Connaissant l environnement dans lequel évolue le manipulateur, il est possible, au départ de la spécification de la tâche, de générer une trajectoire qui permettra son exécution en évitant les obstacles éventuels présents dans l espace de travail. Cette génération de trajectoire se fait tout d abord dans l espace physique où évolue le manipulateur et doit être convertie dans l espace des variables d articulations. Cette conversion nécessite un modèle géométrique du manipulateur. Le processus de génération de trajectoire décrit ci-dessus porte le nom de programmation hors ligne, parce qu elle s effectue sans interaction directe avec le robot. Elle n interrompt donc pas son fonctionnement, éliminant ainsi les temps morts. En outre, elle permet de simuler et d optimiser les trajectoires à l aide d un système CAO. Nous verrons cependant que la programmation hors ligne impose des contraintes de précision considérables sur le modèle géométrique du manipulateur. En alternative à la programmation hors ligne, il est possible d éviter l opération de génération de trajectoire dans l espace de travail et sa transformation dans l espace des coordonnées articulaires, en soumettant le manipulateur à la procédure d apprentissage. Celle-ci consiste à effectuer la trajectoire avec l organe effectueur du manipulateur en enregistrant les variables articulaires θ pendant l opération. Lors de son fonctionnement, le manipulateur se contente alors de reproduire la tâche qui lui a été enseignée. Cette procédure ne nécessite pas un modèle cinématique précis du manipulateur, mais elle impose des périodes d arrêt dans l utilisation du manipulateur afin d effectuer l apprentissage. Elle ne permet pas non plus d effectuer des simulations dans un environnement CAO. Une fois que la trajectoire de l organe effectueur a été définie,

9 Théorie Générale des Systèmes Articulés 3 Fig. 1.2 Vue générale et schéma d entraînement d un robot industriel 6 axes (KUKA).

10 4 1. Introduction Fig. 1.3 Schéma général du robot manipulateur. elle est entrée comme consigne au contrôleur qui en assure la régulation en boucle fermée, pour compenser les perturbations et les incertitudes. La régulation, en général, utilise un modèle dynamique du manipulateur et celui-ci, par rapport au manipulatuer réel, contient des incertitudes de provenances diverses telles que la distribution des masses (il ne faut pas oublier que cette dernière est variable en fonction de la charge utile et de la configuration), les jeux ou les frottements. Les difficultés rencontrées dans les algorithmes de régulation résultent principalement du comportement hautement non linéaire des structures robotiques, ainsi que des incertitudes du modèle. Dans le schéma général de la figure 1.3, les objectifs de ce cours sont plutôt limités. Ils visent essentiellement à l établissement des modèles cinématique (géométrique) et dynamique de mécanismes articulés formés de corps rigides. Ces sujets se rattachent essentiellement à la mécanique rationnelle. La théorie des mécanismes articulés a, dans un passé récent, élargi son champ d application largement en dehors du robot manipulateur; soit par l avènement de technologies nouvelles comme les structures spatiales déployables, qui ont nécessité son extension aux mécanismes flexibles; ou par son intégration directe aux systèmes CAO, qui lui a permis de franchir un pas vers les utilisateurs non initiés.

11 The orie Ge ne rale des Syste mes Articule s Robots mobiles Parmi les applications robotiques non conventionnelles voue es a faire une utilisation intensive de la dynamique des syste mes articule s, citons la locomotion a pattes. Le choix de la structure d un tel ve hicule repose sur le type d e quilibre sur lequel son fonctionnement est base : statique ou dynamique. Dans le premier cas, on fait souvent appel a un hexapode, qui permet de garantir a chaque instant un contact d au moins 3 pattes avec le sol (figure 1.4); Les de veloppements re cents dans le domaine des robots humanoı des et dans l industrie des loisirs sont illustre s a la figure 1.5. Fig. 1.4 Hexapode robots: (a) SILEX (ULB ), (b) IOAN (ULB ) Fig. 1.5 (a) Robots humanoı des (HONDA ), (b) AIBO (SONY ) 1.2 Spe cification d un robot manipulateur La spe cification d un robot manipulateur (figure 1.6) contient les informations que nous avons indique es au de but de la section pre ce dente. Elles sont intimement lie es a son comportement cine matique et dynamique. Nous le discuterons plus en de tail dans ce qui suit.

12 6 1. Introduction Fig. 1.6 Specification d un robot industriel (ASEA-IRb6-1987).

13 Théorie Générale des Systèmes Articulés Espace de travail En général, la mobilité du manipulateur est obtenue par deux parties distinctes : la structure primaire, constituée en général d au moins trois articulations, qui permet d effectuer le mouvement global (figure 1.1), c est à dire d amener l organe effectueur dans la position voulue, et d un poignet qui permet d obtenir l orientation (mouvement local). Sur ce poignet vient alors s adapter un outil, ou une pince, qui est spécifique de la tâche à effectuer et ne constitue donc pas une caractéristique intrinsèque du robot. Pour cette raison, l espace de travail est défini comme le lieu des points pouvant être atteints par l extrémité du bras, ou un point du poignet. Nous reviendrons de manière plus précise sur cette définition dans la suite. La forme de l espace de travail est conditionnée par la configuration de la structure principale, c est à dire le type d articulations, leur orientation relative et la grandeur des liens. Il est limité par l interférence géométrique entre les différents composants tels que les moteurs et les transmissions. Les structures les plus fréquentes sont représentées à la figure 1.7. Leur architecture est décrite par le type d articulation, en partant du pied, avec le symbole P pour les articulations de translation (prismatiques) et R pour celles de rotation. Une architecture cartésienne est du type PPP, les coordonnées cylindriques sont du type RPP et les coordonnées polaires du type RRP. Il faut y ajouter les robots SCARA (Selected Compliance Articulated Robot Arm) (figure 1.8), qui sont fréquemment utilisés en assemblage. Ces derniers sont constitués de 3 articulations de rotation à axes verticaux, suivis d une articulation de translation, elle aussi à axe vertical. Quoique d une mobilité limitée, ce type de manipulateur est suffisant pour de nombreuses opérations d assemblages où les différents composants sont contenus dans un même plan, comme les circuits imprimés; il est insensible aux effets de gravité. Sur la figure 1.9, on voit que l espace de travail d un robot RRR est en général plus grand que celui d un robot cartésien PPP de dimensions comparables. Toutefois, l espace de travail d une architecture RRR contient des points singuliers où l agilité ne peut être maintenue dans toutes les directions, et où certains mouvements ne peuvent être exécutés. Ces portions de l espace de travail doivent être éliminées lors de la programmation des tâches du robot. Les manipulateurs en boucle fermée, tels que celui de la figure 1.9.c, ont en général un espace de travail plus limité. Ils présentent par contre une rigidité supérieure; ils permettent de situer les moteurs principaux en des points stationnaires où ils contribuent peu à l inertie du manipulateur, et ils offrent des possibilités de découplage cinématique. Dans cette discussion relative à l espace de travail, il faut rappeler qu un robot manipulateur, compte tenu de sa vitesse de déplacement, est un engin dangereux autour duquel il y a lieu de définir un espace de protection auquel l accès est interdit à l opérateur pendant le fonctionnement Charge utile La charge utile est la charge maximum pouvant être manipulée par le robot, dans n importe quelle configuration. La charge du manipulateur varie en fait fortement avec la position dans l espace de travail, de même que l articulation qui en impose la limite. De

14 8 1. Introduction Fig. 1.7 Exemples de configurations courantes. Fig. 1.8 Robot SCARA (BOSCH) et son volume de travail.

15 Théorie Générale des Systèmes Articulés 9 Fig. 1.9 Influence de la configuration sur l espace de travail: (a)rrr, (b)ppp (cartésien), (c)structure en boucle fermée (pantographe). faibles restrictions sur l espace de travail peuvent augmenter considérablement la charge utile Mobilité La mobilité exprime la possibilité de pouvoir placer l organe effectueur n importe où dans l espace de travail, avec une orientation arbitraire. Ceci nécessite un minimum de 6 degrés de liberté (d.d.l.). Toutefois, il y a des tâches, comme la soudure où la peinture, qui ne nécessitent pas 6 d.d.l.. L opération est en effet insensible à une rotation de la baguette de soudure, ou du pistolet de peinture, autour de son axe. De même, il est parfois souhaitable, quand l espace de travail présente des obstacles, d augmenter le degré de mobilité afin de pouvoir les contourner. C est le cas du bras humain qui comporte 7 d.d.l. entre l épaule et le poignet. Un tel robot est redondant. Les robots redondants offrent la possibilité de contourner les obstacles et d éviter les singularités internes à l espace de travail. Ceci est obtenu au prix d une complication de la structure électromécanique et de la stratégie de planification du mouvement. La figure 1.10 montre un manipulateur géant expérimental d une portée de 20 mètres, destiné à se substituer à un pont roulant lors d opérations de montage (une version de ce manipulateur existe pour laver des avions). Le porteur principal possède 6 d.d.l. et est donc fortement redondant. Ceci permet de respecter les restrictions sévères sur la hauteur disponible au manipulateur, visant à éviter toute collision avec le pont roulant réservé à d autres types de manutentions. A tout point de l espace de travail, on peut associer un index qui représente la fraction d angle solide à l interieur duquel l organe d extrémité peut être orienté en ce point: S = θ 4π (1.1)

16 10 1. Introduction Fig Manipulateur géant (Putzmeister ).

17 Théorie Générale des Systèmes Articulés 11 où θ est l angle accessible au point considéré (une sphère équivaut à 4π steradians). Si le manipulateur est plan, on a similairement S = θ 2π (1.2) Agilité L agilité est la propriété de se déplacer avec rapidité d une configuration à une autre dans l espace de travail. Elle est entièrement liée à la réponse dynamique du manipulateur. Le temps de transfert entre deux points est limité par la vitesse maximum permise par chacun des degrés de liberté (les robots actuels atteignent des vitesses de l ordre de 2 m/s et des vitesses angulaires de 3 rad/s), l accélération maximum permise, elle-même limitée par les couples disponibles, le temps nécessaire à l amortissement des oscillations aux extrémités du parcours. Ces oscillations résultent principalement, pour les manipulateurs conventionnels, des flexibilités présentes dans les transmissions, plutôt que de celles des liens. Le temps de stabilisation sera minimisé en générant des trajectoires qui n excitent pas les modes flexibles et en augmentant l amortissement du système. La limite de l agilité qu il est possible d atteindre par la simple augmentation du couple des moteurs est fixée par le temps de stabilisation et les dépassements associés aux oscillations. Notons ici que les meilleurs manipulateurs modernes ont des accélérations maximum un ordre de grandeur inférieures à celles du bras humain Répétabilité et précision Ces notions sont associées respectivement à l apprentissage et à la programmation hors ligne. La répétabilité est la propriété de pouvoir reproduire de manière fidèle une tâche préalablement apprise. L erreur associée à la répétition de la même tâche sous la même charge peut provenir de la résolution des encodeurs ou des jeux dans le mécanisme. Ces derniers sont en général rendus aussi faibles que possible par une précharge des organes de transmission et des roulements à billes dans les paliers. La répétabilité des manipulateurs industriels est en général assez bonne, de l ordre de 0,2 à 0,1 mm; elle est toujours spécifiée par le constructeur. Notons ici que la stabilité thermique du robot peut avoir un effet non négligeable sur la répétabilité. En effet, si, par suite de son fonctionnement, ou des simples fluctuations entre le jour et la nuit, une vis à billes de 50 cm de long est soumise à une variation de 10 degrés, sa longueur variera de = 0,06 mm. Si, du fait de la structure cinématique, le déplacement de la vis à billes est amplifié 5 fois à l organe d extrémité, ceci nous conduit à une variation de 0,3 mm sur la position de ce dernier. La précision, quant à elle, exprime la faculté de pouvoir accéder par programmation hors ligne en un point déterminé de l espace de travail. A l erreur de répétabilité s ajoutent ici les erreurs en provenance des déformations statiques sous l effet de la charge et de la

18 12 1. Introduction gravité, et celles du modèle géométrique du manipulateur. Ces dernières, qui peuvent représenter plusieurs dizaines de millimètres, résultent essentiellement du processus de fabrication des liens des manipulateurs; elles peuvent être éliminées par l opération de calibration, qui permet d ajuster le modèle géométrique au comportement réel du manipulateur. La précision n est pas toujours spécifiée par les constructeurs de robots, comme on peut le voir à la figure 1.6. Elle peut varier de 30 mm à 0.3 mm, en fonction du soin apporté à la calibration; elle dépend de l endroit considéré dans l espace de travail. En termes statistiques, la répétabilité est associée à la variabilité statistique, que l on peut caractériser par l écart type σ, tandis que la précision représente un biais, c est à dire une différence entre la position moyenne réellement atteinte et la position souhaitée. 1.3 Chaîne cinématique Articulations En ce qui nous concerne, une chaîne cinématique (figure 1.11) consiste en un ensemble de corps rigides articulés entre eux. Les articulations peuvent être de nature extrêmement variées suivant le type de mouvement relatif qu elles autorisent et peuvent impliquer plusieurs degrés de liberté (figure 1.12). Par exemple, Fig Chaînes cinématiques en boucle ouverte (a,b) et fermée (c). l articulation de rotation (R) possède 1 d.d.l. permettant la rotation autour de son axe; l articulation prismatique (P) possède 1 d.d.l. de translation le long de son axe; l articulation cylindrique (C) possède 2 d.d.l. qui permettent la rotation et translation suivant l axe; l articulation Screw (S) possède 1 d.d.l. correspondant au mouvement d une vis; la translation relative est reliée à la rotation par l intermédiaire du pas;

19 Théorie Générale des Systèmes Articulés 13 Type d articulation F orme physique Symbol Degrés de liberté Rotation (R) 1 Prismatique (P) 1 Cylindrique (C) 2 Screw (S) 1 Sphérique (G) 3 Universelle (U) 2 Fig Principaux types d articulations et leur representation conventionnelle.

20 14 1. Introduction l articulation sphérique, ou globulaire (G) possède 3 d.d.l. et permet une orientation relative arbitraire; l articulation universelle (U)ou joint de Hooke possède 2 d.d.l.. Les coordonnées généralisées nécessaires pour décrire le mouvement relatif de deux corps rigides reliés par une articulation constituent les coordonnées articulaires. Leur nombre est égal au nombre de d.d.l. de l articulation. Pour les applications qui nous concernent, il nous suffira de considérer la combinaison des articulations P et R, auxquelles peuvent se ramener bon nombre d articulations d ordre plus élevé Boucle cinématique Une chaîne cinématique est dite en boucle ouverte si on ne peut trouver plus d un cheminement reliant deux corps appartenant à la chaîne. Une chaîne en boucle ouverte peut être simple ou arborescente (figure 1.11). Dans le cas contraire, on dit que la chaîne cinématique est en boucle fermée. C est le cas du manipulateur ASEA de la figure 1.6. Une chaîne cinématique en boucle ouverte, qu elle soit simple ou arborescente, possède le même nombre de corps mobiles que d articulations. Le nombre de boucles indépendantes d une chaîne cinématique en boucle fermée est b = l n (1.3) où l est le nombre d articulations et n est le nombre de corps mobiles, excluant la base. Un nombre de coupures égal au nombre de boucles indépendantes transforme la chaîne cinématique en une chaîne équivalente en boucle ouverte. Une chaîne cinématique ouverte possède un nombre de d.d.l. global, N, égal à la somme des d.d.l. ν i de toutes ses articulations. Ceci n est plus vrai pour une chaîne cinématique fermée, puisque chaque boucle indépendante introduit 6 contraintes dans le cas général (3 dans le cas plan). Le nombre de d.d.l. d une chaîne en boucle fermée peut être obtenu en retranchant du nombre de d.d.l. de la structure équivalente en boucle ouverte, autant de fois 6 qu il y a de boucles fermées indépendantes: l N = ν i 6 b (1.4.a) i=1 où ν i est le nombre de d.d.l. du joint i. Cette formule s applique à un mécanisme spatial. Dans le cas d un mécanisme plan, chaque boucle cinématique entraîne 3 contraintes et la relation précédente doit être remplacée par N = l ν i 3 b i=1 (1.4.b) Alternativement, le nombre de d.d.l. total peut être obtenu en retranchant du nombre de d.d.l. de n corps solides (6n) le nombre de contraintes cinématiques associées à chacun des joints (6 ν i ): l N = 6 n ( 6 ν i ) (1.5.a) i=1

21 Théorie Générale des Systèmes Articulés 15 pour un mécanisme spatial. Puisque pour un mécanisme plan chaque corps solide a 3 d.d.l. et que le nombre de contraintes d un joint est 3 ν i, la relation équivalente est N = 3 n l ( 3 ν i ) (1.5.b) i=1 L équivalence entre les formules (1.4) et (1.5) est laissée comme exercice. Utilisant cette règle, on vérifiera aisément que le mécanisme de la figure 1.13.a, composé de 3 joints cylindriques (C) ayant chacun 2 d.d.l. et d un joint de rotation (R), a, globalement, 1 seul d.d.l. (N = 7 6 = 1). Il en est de même du système plan à quatre barres de la figure 1.13.b (N = 4 3 = 1). Fig Exemples de mécanismes en boucle fermée. 1.4 Exercices P.1.1 Démontrez l équivalence entre les formules (1.4) et (1.5).

22 16 1. Introduction

23 Théorie Générale des Systèmes Articulés 17 Chapitre 2 Transformations de coordonnées 2.1 Introduction Un manipulateur en boucle ouverte consiste en un certain nombre de liens dont la position relative est définie par les variables d articulations. Ces dernières peuvent être des rotations ou des translations. Puisque chacun des liens constitue un corps rigide, il est logique de lui associer un référentiel cartésien. La configuration du robot est ainsi définie par la position relative des référentiels associés à chacun des liens, (figure 2.1). Celle-ci ne dépend que de la géométrie des liens et des variables d articulations. Une fois définie la position et l orientation d un objet dans le référentiel associé à l organe d extrémité, il est possible de situer cet objet dans chacun des référentiels associés aux liens. Ceci se fait de manière récursive, en utilisant les règles de changement de coordonnées. Le but de ce chapitre est de rappeler les règles de transformation de coordonnées et les propriétés des matrices de rotation. La paramétrisation des matrices de rotation sera abordée au chapitre 3. Avant d aborder la transformation de coordonnées, il convient de préciser les notations vectorielles utilisées dans le suite. Un vecteur est un segment orienté reliant deux points dans l espace (figure 2.2). Nous le noterons p = OP (2.1) Tel que défini, un vecteur ne fait appel à aucun référentiel. Par contre, ce vecteur peut être représenté par ses composantes dans un repère cartésien: p = ( p. u) u + ( p. v) v + ( p. w) w = p x u + p y v + p z w (2.2) p x, p y et p z sont alors les projections de p sur les vecteurs de base orthonormés du référentiel. Ils sont obtenus par produit scalaire de p avec les vecteurs de base du référentiel. La notation p = (p x,p y,p z ) T est utilisée pour représenter les composantes de p dans le référentiel ( u, v, w). Le vecteur p n est plus ici qu un ensemble de trois nombres algébriques qui dépend essentiellement du référentiel adopté. Quand une ambiguité existe sur le référentiel adopté, celui-ci peut être spécifié en haut à gauche : 1 p correspond aux composantes de p dans le référentiel {1}.

24 18 2. Transformations de coordonnées Fig. 2.1 Robot à 6 d.d.l. figurant les référentiels associés aux trois premiers liens. Fig. 2.2 Coordonnées cartésiennes d un vecteur.

25 Théorie Générale des Systèmes Articulés Matrice de rotation Soient deux référentiels {1} et {2} de même origine, dont les vecteurs de base sont respectivement (figure 2.3). {1} ( i, j, k) {2} ( u, v, w) Fig. 2.3 Référentiels en rotation relative. Un vecteur quelconque p dans l espace peut être représenté indifféremment dans ces deux reférentiels : p = 1 p x i + 1 p y j + 1 p z k (2.3.a) p = 2 p x u + 2 p y v + 2 p z w (2.3.b) où 1 p = ( 1 p x, 1 p y, 1 p z ) T et 2 p = ( 2 p x, 2 p y, 2 p z ) T représentent les composantes de p dans les référentiels {1} et {2} respectivement. Nous cherchons ici à établir la manière dont ces composantes sont reliées. Cette relation peut être obtenue en exprimant chacun des vecteurs de base d un référentiel dans l autre référentiel: u = ( u. i) i + ( u. j) j + ( u. k) k v = ( v. i) i + ( v. j) j + ( v. k) k (2.4) w = ( w. i) i + ( w. j) j + ( w. k) k Substituant les relations dans (2.3.b), on obtient

26 20 2. Transformations de coordonnées p = [ 2 p x ( u. i) + 2 p y ( v. i) + 2 p z ( w. i)] i + [ 2 p x ( u. j) + 2 p y ( v. j) + 2 p z ( w. j)] j +[ 2 p x ( u. k) + 2 p y ( v. k) + 2 p z ( w. k)] k (2.5) La relation recherchée s obtient par identification de (2.5) avec (2.3.a). Sous forme matricielle, elle s écrit où la matrice 1 p = R 2 p (2.6) ( u. i) ( v. i) ( w. i) R = 1 2R = ( u. j) ( v. j) ( w. j) ( u. k) ( v. k) ( w. (2.7) k) est la matrice de rotation fixant le repère {2} dans le repère {1}. La notation 1 2R, facultative, est utilisée quand il est nécessaire d identifier explicitement les référentiels considérés. Comme le montre (2.7), les éléments de la matrice de rotation sont les cosinus directeurs des vecteurs unitaires de la base {2} dans la base {1}. Les colonnes de 1 2R représentent les composantes dans la base 1 des vecteurs unitaires de la base 2: 1 2R = ( 1 u, 1 v, 1 w) (2.8) La longueur d un vecteur est invariante par rapport à une rotation du référentiel, p 2 = ( p. p) = p T p (2.9) Ce dernier produit scalaire peut être exprimé dans l un ou l autre référentiel. Compte tenu de (2.6), 2 p T 2 p = 1 p T 1 p = 2 p T R T R 2 p On en conclut que R T R = I (2.10) Cette relation exprime que la matrice de rotation R est orthogonale. Une conséquence immédiate est que son déterminant vaut 1. Ses 9 paramètres sont par conséquent reliés par 6 relations exprimant respectivement ( u. v) = ( u. w) = ( v. w) = 0 ( u. u) = ( v. v) = ( w. w) = 1 (2.11.a) (2.11.b) Il reste par conséquent trois paramètres indépendants qui permettent de caractériser complètement une orientation. Le choix de tels paramètres sera discuté au chapitre suivant. Prémultipliant les deux membres de (2.6) par 1 2R T et tenant compte de (2.10), on obtient 2 p = 1 2R T 1 p Compte tenu de ce que, par définition, 2 p = 2 1R 1 p, on a 2 1R = 1 2R T (2.12) Cette importante relation est du reste une conséquence immédiate de l orthogonalité de R.

27 Théorie Générale des Systèmes Articulés Exemple: rotation autour d un axe coordonné Soit le référentiel {x,y,z } qui, par rapport à {x,y,z}, a subit une rotation autour de l axe z, d un montant θ (figure 2.4). On recherche la matrice de rotation 1 2R. Par définition, les colonnes de celle-ci sont les coordonnées des vecteurs de base du référentiel {x,y,z } exprimés dans {x,y,z}. Fig. 2.4 Rotation autour de z. Comme u = cos θ i + sin θ j v = sin θ i + cos θ j w = k cos θ sin θ 0 1 2R = sin θ cos θ 0 (2.13) Similairement, les rotations autour des axes O x et O y conduisent respectivement aux matrices de rotation et R = 0 cos θ x sin θ x 0 sin θ x cos θ x R = cos θ y 0 sin θ y sin θ y 0 cos θ y (2.14.a) (2.14.b)

28 22 2. Transformations de coordonnées 2.4 Changement de coordonnées Nous référant à la figure 2.5, le référentiel {2} a subit, par rapport à {1}, une translation définie par OO = x 0 et une rotation définie par R. Cette dernière définit la relation entre le référentiel {2} et le référentiel {1 }, de même origine que {2} mais parallèle à {1}. Le vecteur r définit les coordonnées de P dans {2}. La relation gouvernant le changement Fig. 2.5 Changement de coordonnées. de coordonnées s obtient en exprimant l égalité vectorielle OP = OO + O P (2.15) dans le référentiel {1}. Les composantes des deux premiers vecteurs dans {1} sont respectivement x et x 0. Le troisième, en revanche, est connu par r, ses composantes dans {2}. Elles doivent être converties dans {1 } à l aide de la matrice de rotation R. Les vecteurs étant ainsi exprimés dans le même référentiel, ou des référentiels parallèles, ce qui revient au même, la relation vectorielle (2.15) peut être projetée dans la base {1} sous la forme: x = x 0 + R r (2.16.a) ou, en indiquant explicitement les référentiels 1 x = 1 x R 2 r (2.16.b) 2.5 Transformation homogène L équation (2.16) exprime la liaison entre les coordonnées du même point dans deux référentiels séparés par une translation x 0 et une rotation de matrice R. Les coordonnées du point P dans les deux référentiels sont respectivement x = (x,y,z) T et r = (u,v,w) T.

29 Théorie Générale des Systèmes Articulés 23 La relation (2.16) peut être écrite de manière compacte en ajoutant une quatrième composante, unitaire, aux deux vecteurs position ci-dessus. Ceci permet d écrire x y ( ) R z = x0 0 T 1 1 u v w 1 (2.17) La partie supérieure de cette relation est identique à (2.16), tandis que la dernière ligne fournit l identité triviale 1 = 1. (2.17) ne fournit aucune information complémentaire à (2.16), mais constitue une écriture plus compacte, particulièrement lorsque de nombreux changements de coordonnées sont considérés successivement. Comme la quatrième composante du vecteur position ne porte aucune information, nous utiliserons les mêmes notations x et r pour désigner le vecteur étendu à quatre composantes. Le contexte se chargera de préciser duquel il s agit. La matrice de transformation homogène 1 2T = ( 12 R ) x 0 0 T 1 (2.18) de dimension 4x4, relie les référentiels {1} et {2} et en définit complètement la position relative. La forme compacte de (2.17) est x = T r (2.19) A nouveau, les indices situés à gauche de T sont facultatifs et servent à préciser les référentiels reliés par T, quand cela est nécessaire. La composition des transformations homogènes se fait très simplement comme expliqué à la figure 2.6: si 1 x, 2 x et 3 x représentent la position d un point P dans les référentiels {1}, {2} et {3} respectivement, on a par définition 2 x = 2 3T 3 x 1 x = 1 2T 2 x 1 x = 1 3T 3 x Combinant les deux premières de ces équations, il suit immédiatement que 1 3T = 1 2T 2 3T (2.20) Cette relation se généralise sans difficulté à un nombre quelconque de transformations 1 nt = 1 2T 2 3T... n n 1 T (2.21) On observera que tout indice apparaissant au bas d une matrice de transformation et au haut de la suivante disparait lors de la composition.

30 24 2. Transformations de coordonnées Fig. 2.6 Composition des transformations homogènes. Pour obtenir la relation d inversion de la matrice de transformation homogène, il est commode de repartir de (2.16). Compte tenu de l orthonormalité de R, celle-ci fournit r = R T (x x 0 ) Sous forme homogène, cette équation fournit ( ) ( r R T R = T ) ( ) x 0 x 1 0 T 1 1 On a donc T 1 = ( R T R T ) x 0 0 T 1 (2.22) On vérifiera sans difficulté que, compte tenu de RR T = I 3, T T 1 = T 1 T = I 4 (les symboles I 3 et I 4 ont éte utilisés pour insister sur le fait qu il s agit des matrices unité d ordre 3 et 4, respectivement). 2.6 Opérateurs de translation et de rotation Si on effectue une translation x 0 sur un vecteur r, les coordonnées du vecteur translaté sont identiques à celles obtenues en effectuant un changement de coordonnées dans lequel les bases parallèles sont distantes de x 0. L opérateur correspondant est ( ) I x0 T = 0 T (2.23) 1 La matrice unité I indique que les référentiels n ont pas subit de rotation. Similairement, effectuer une rotation R sur un vecteur r revient à exprimer ce vecteur au travers d une rotation du système de coordonnées définie par R. L opérateur correspondant est ( ) R 0 T = 0 T (2.24) 1

31 Théorie Générale des Systèmes Articulés 25 Le vecteur 0 indique que les référentiels considérés ont la même origine. Il suit de (2.24) que l application successive des rotations R 1 puis R 2 est équivalente à une rotation unique de R = R 2 R 1 (2.25) 2.7 Exemple Soit le vecteur (1,0,1) T sur lequel on veut effectuer une rotation de 90 degrés autour de l axe OZ. Le résultat est, comme on le voit sur la figure 2.7, (0,1,1) T. Ceci peut également Fig. 2.7 Rotation de 90 0 autour de l axe z. être obtenu par application de (2.24) où R corespond à une rotation de 90 0 autour de l axe z, donnée par (2.13) : : = : : : Exercices P.2.1 Le vecteur OP de coordonnées (0,1,0) T subit successivement une rotation de 90 0 autour de l axe x, et de 90 0 autour de l axe y. Donnez la matrice de transformation globale; vérifiez graphiquement. P.2.2 Vérifiez par application de (2.24) que le vecteur (0,1,1) T peut être obtenu au départ de (1,0,1) T par rotations successives de 90 0 autour de l axe y et de 90 0 autour de l axe z. P.2.3 Trouvez les composants du vecteur (1,1,0) T suivie d une rotation de 60 0 autour de l axe z. après une translation de (0,0,1) T

32 26 2. Transformations de coordonnées P.2.4 Sous quelle condition peut-on permuter les operateurs de translation et de rotation?

33 Théorie Générale des Systèmes Articulés 27 Chapitre 3 Représentation des rotations finies 3.1 Introduction L orientation relative de deux référentiels est exprimée par une matrice de rotation R. Celle-ci peut également être utilisée comme opérateur de rotation. Nous avons vu que la matrice de rotation R est orthogonale et ne possède par conséquent que trois paramètres indépendants. Dans ce chapitre, nous discuterons la question importante du choix de ces paramètres; nous verrons qu il existe de nombreuses possibilités plus ou moins bien adaptées en function du problème géométrique à traiter. Avant cela, il convient d insister sur une propriété essentielle des rotations finies. Elles ne sont en général pas commutatives. Ainsi donc, quand un corps rigide subit successivement plusieurs rotations, l ordre dans lequel ces rotations sont appliquées est important. Ce point est illustré à la figure 3.1 où l on voit l évolution d une brique qui subit deux rotations de 90 degrés en ordre inversé. Fig. 3.1 Exemple de rotations effectuées dans un ordre inversé.

34 28 3. Représentation des rotations finies Formellement, l ordre du produit (2.25) dépend essentiellement de celui dans lequel les rotations sont appliquées et le produit matriciel n est en général pas commutatif: R 1 R 2 R 2 R 1 (3.1) Dans la définition des paramètres définissant une rotation, un résultat important est le théorème d Euler qui stipule que le déplacement général d un corps rigide autour d un point fixe consiste en une rotation unique autour d un certain axe. Une rotation déterminée peut donc se représenter par un vecteur dont la direction est située sur l axe et la longueur est l angle de rotation. Toutefois, la composition de deux rotations représentées par de tels vecteurs viole la règle du parallélogramme. Cette règle devient applicable aux rotations infinitésimales qui sont commutatives. 3.2 Formule de Rodrigues Soit une rotation θ effectuée autour d un axe de vecteur unitaire n. Nous définissons le vecteur rotation θ = θn (3.2) Cette représentation est, compte tenu du théorème d Euler, tout à fait génerale. Lors de la rotation, le vecteur p se déplace en p en décrivant un cône (figure 3.2). Fig. 3.2 Rotation θ = θn. Utilisant le concept d opérateur de rotation, une forme explicite de la matrice de rotation peut être obtenue en exprimant les coordonnées du vecteur après rotation en function des coordonnées avant rotation: p = R(θ) p (3.3)

35 Théorie Générale des Systèmes Articulés 29 Cette relation peut être obtenue comme suit (figure 3.2): avec respectivement Après projection, il suit que ou en tenant compte de ce que et OP = OC + CP = OC + CD + DP OC = n (n.p) CD = CP cos θ = [ p n(n.p)] cos θ DP = ( p n) sin θ p = n(n.p) + [p n(n.p)] cos θ (p n) sin θ p = [cos θ I + (1 cos θ)nn T + sin θ ñ] p (3.4) n(n.p) = (nn T )p (3.5) p n = n p = ñ p (3.6) où ñ désigne la matrice antisymétrique construite avec les éléments de n: 0 n 3 n 2 ñ = n 3 0 n 1 (3.7) n 2 n 1 0 Sous forme indicielle, cette relation s écrit où ɛ ijk est le symbole de permutation, définit comme suit ñ ij = n k ɛ ijk (3.8) ɛ ijk = 1 quand i,j,k sont en ordre cyclique = -1 quand i,j,k ne sont pas en ordre cyclique = 0 quand deux indices sont égaux (3.9) Dans la suite, la notation sera toujours utilisée pour désigner la matrice antisymétrique construite en suivant la régle (3.7). Comparant avec (3.3), (3.4) fournit la forme recherchée de la matrice de rotation; ce résultat est connu sous le nom de formule de Rodrigues: R(θ) = cos θi + (1 cos θ)nn T + sin θ ñ (3.10) Le vecteur rotation est le seul vecteur à ne pas être affecté par la rotation et on vérifiera aisément que R(θ)θ = θ. Compte tenu de (3.2), le vecteur rotation θ peut être substitué à n, ce qui fournit R(θ) = cos θi + 1 cos θ θ 2 θθ T + sin θ θ θ (3.11)

36 30 3. Représentation des rotations finies La forme explicite de (3.10) est n 2 xv θ + Cθ n x n y V θ n z Sθ n x n z V θ + n y Sθ R = n x n y V θ + n z Sθ n 2 yv θ + Cθ n y n z V θ n x Sθ (3.12) n x n z V θ n y Sθ n y n z V θ + n x Sθ n 2 zv θ + Cθ avec les notations usuelles qui seront fréquemment utilisées dans la suite. 3.3 Paramètres d Euler Cθ = cos θ, Sθ = sin θ, V θ = 1 cos θ (3.13) Une forme alternative à (3.10) peut être obtenue en utilisant les identités trigonométriques cos θ = 2 cos 2 θ cos θ = 2 sin 2 θ 2 sin θ = 2 sin θ 2 cos θ 2 Il suit que R(θ) = (2 cos 2 θ 2 1)I + 2 sin2 θ 2 nnt + 2 sin θ 2 cos θ 2 ñ (3.14) Les paramètres d Euler sont définis comme suit e 0 = cos θ 2 e 1 e = e 2 = n sin θ 2 e 3 Par substitution dans l équation précédente, on trouve (3.15) R(e) = (2e 2 0 1)I + 2(ee T + e 0 ẽ) (3.16) ou, de manière explicite e e e 2 1 e 2 e 0 e 3 e 1 e 3 + e 0 e 2 R(e) = 2 e 1 e 2 + e 0 e 3 e e e 2 2 e 3 e 0 e 1 (3.17) e 1 e 3 e 0 e 2 e 2 e 3 + e 0 e 1 e e Les quatre paramètres d Euler ne sont donc pas indépendants; ils satisfont la contrainte e e e e 2 3 = 1 (3.18)

37 Théorie Générale des Systèmes Articulés 31 L interdépendance exprimée par la relation (3.18) fait que les paramètres d Euler ne constituent pas une représentation minimale des rotations (une telle représentation utilise seulement 3 paramètres). En revanche, ils obéissent à l algèbre des quaternions en ce qui concerne la composition des rotations successives. Notons encore que les paramètre ( e 0, e) conduisent à la même matrice de rotation que (e 0,e). Le meilleur conditionnement numérique des paramètres d Euler est à la base de leur utilisation. Ces aspects sont discutés ci-après. 3.4 Composition des rotations, quaternions ou Les quatres paramètres d Euler constituent un quaternion: q = (q 0,q) q 0 + q Un quaternion se compose d une partie vectorielle q qui nous renseigne sur l axe de rotation et d une partie scalaire q 0 qui nous renseigne sur le montant de la rotation. Le quaternion utilisé pour représenter la rotation d un angle θ autour de l axe n s écrit q = (cos θ 2,n sin θ 2 ) (3.19) Conformément au théorème d Euler, plusieurs rotations successives autour d un point fixe peuvent être ramenée à une rotation unique autour de ce même point fixe. Si f et g constituent les quaternions définissant deux rotations successives, chacun exprimé dans son référentiel local, le quaternion q définissant la rotation unique combinant les deux rotations successives est obtenu par la règle suivante (produit de quaternions). q = f g = (f 0 g 0 f T g,f 0 g + g 0 f + f g) (3.20) Nous donnons ce résultat sans démonstration, pour laquelle nous renvoyons à des textes spécialisés. On observera que la partie scalaire est commutative mais que la partie vectorielle ne l est pas, de sorte que f g g f ; on sait en effet que les rotations ne sont pas commutatives. Pour illustrer ce résultat, considérons les deux rotations définées à la figure 3.3. La première consiste en une rotation de 90 0 autour de l axe z qui amène le vecteur v en v ; le quaternion corespondant est f = [ 1 2,(0,0, 1 2 )] La seconde rotation de 90 0 s effectue autour de l axe local x ; elle est définie par le quaternion g dans la base locale O : g = [ 1 2,( 1 2,0,0)]

38 32 3. Représentation des rotations finies La règle de composition (3.20) nous fournit le quaternion unique permettant de passer de O à O : q = [ 1 2,(1 2,1 2,1 2 )] Réécrivant q sous la forme q = [ 1 2, 3 2 ( 1 3, 1 3, 1 3 )] et comparant à (3.19), on constaté que θ/2 = 60 0, c est à dire qu il s agit d une rotation de θ = autour de l axe de rotation n = ( 1 3, 1 3, 1 3 ) T. On vérifiera que la matrice de Fig. 3.3 Composition des rotations. rotation (3.17) construite au départ du quaternion q transforme effectivement le vecteur v = (1,0,0) T en (0,1,0) T. 3.5 Relation d inversion Nous abordons ici la question de la détermination du vecteur rotation ou des paramètres d Euler correspondant à une matrice de rotation R donnée. Comme toute matrice de rotation correspond à une rotation unique autour d un certain axe, son effet sur

39 Théorie Générale des Systèmes Articulés 33 un vecteur quelconque p, passant par l origine, est représenté à la figure 3.2. Le vecteur rotation θ lui-même n est pas affecté par la rotation, ni en orientation, ni en longueur. Il suit que Rθ = θ (3.21) Cette relation exprime que le vecteur rotation θ est vecteur propre de R, avec une valeur propre égale à 1. Le théorème d Euler implique donc qu une matrice de rotation a toujours une valeur propre unitaire. La matrice R étant d ordre 3, elle possède deux autres valeurs propres; leurs propriétés sont discutées ci-dessous, en se basant sur l invariance du déterminant vis à vis d une transformation de similarité. Si X désigne la matrice des vecteurs propres de R et λ la matrice diagonale des valeurs propres, on a RX = Xλ X 1 RX = λ det R = det λ = λ 1 λ 2 λ 3 = 1 (3.22) Comme λ 1 = 1, les deux autres valeurs propres doivent être complexes conjuguées et d amplitude unitaire; elles sont par conséquent de la forme λ 2 = e jφ, λ 3 = e jφ. Une valeur propre λ 1 = 1 correspond à une réflexion, parce qu une matrice de rotation possédant une telle valeur propre λ = 1 correspond à une vision miroir, comme représenté à la figure 3.4; de telles transformations ne sont pas envisagées ici. Fig. 3.4 Transformation de réflexion. En ce qui concerne la valeur de l angle Φ qui apparaît dans λ 2 et λ 3, elle peut être aisément déterminée en observant au départ de (3.12) que la trace de R vaut Tr(R) = cos θ (3.23) Comme d autre part la trace d une matrice est égale à la somme de ses valeurs propres, on a également Tr(R) = i λ i = 1 + e jφ + e jφ = cos Φ (3.24)