Séminaire de Statistique

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Séminaire de Statistique"

Transcription

1 Master 1 - Economie & Management Séminaire de Statistique Support (2) Variables aléatoires & Lois de probabilité R. Abdesselam /2014 Faculté de Sciences Economiques et de Gestion Université Lumière Lyon 2, Campus Berges du Rhône

2 Différents types de variables aléatoires Variable aléatoire Discrète Finie ou infinie dénombrable de valeurs généralement entières Continue Infinité de valeurs réelles

3 Exemples Variable aléatoire discrète Nombre fini ou infini de valeurs, généralement entières Exemple 1 : Nombre d entreprises défaillantes n ayant pas remboursé leurs émissions obligataires ces 15 dernières années ( ) Valeurs possibles : 0, 1, 2, 3 Exemple 2 : Nombre de pièces prélevées jusqu à l obtention d une pièce défectueuse Valeurs possibles : 1, 2, 3, 4,.

4 Exemples Variable aléatoire continue Nombre infini de valeurs réelles Exemple 1 : Rendements de l indice CAC40 Valeurs possibles : IR = ]-, + [ ou un intervalle de IR Exemple 2 : Cours du titre France Telecom Valeurs possibles : IR+ = [ 0, + [

5 Loi de probabilité Loi de probabilité d une v.a.r. Discrète (finie ou infinie) - Distribution de probabilité : ( x i ; p i = P(X = x i ) ) (Diagramme en bâtons) Loi de probabilité d une v.a.r. Continue n (+ ) - Fonction de répartition : F(x) = P(X x) = p i i = 1 (Courbe en escaliers) - Fonction densité de probabilité : ( x ; f(x) ) (Courbe de la fonction densité f ) x - Fonction de répartition : F(x) = P(X x) = f(x) dx - (Courbe de la fonction de répartition F) F est la primitive de la fonction densité f de X.

6 Lois de probabilité usuelles Discrète Loi de probabilité Loi Hypergéométrique Loi Binomiale Loi de Poisson Continue Normale Log-Normale Exponentielle

7 Caractéristiques d une variable aléatoire Espérance mathématique Variance V(X) = E(X) = n (+ ) n (+ ) p i x i i = 1 + x f(x) dx - p i ( x i E(X) )² i = 1 E(X²) E(X)² v.a.r. discrète v.a.r. continue v.a.r. discrète + ( x E(X) )² f(x) dx - Ecart-type : x = V(X) v.a.r. continue CV : x / E(X)

8 Propriétés Si X est une variable aléatoire Alors Y = a X b est une variable aléatoire ( a, b constantes non nuls ) Espérance mathématique : E(Y) = E(aX b) = E(aX) E(b) = a E(X) b Variance mathématique : V(Y) = V(aX b) = V(aX) V(b) = a² V(X) 0

9 Exemples d application Soit f : IR IR la fonction définie par : ke x si x < 0 f(x) = x si 0 x 1 0 si x > 1 Déterminer la valeur de la constante k pour que f soit une densité de probabilité d une v.a.r. absolument continue X. Conditions à vérifier : Exemple de fonction densité de probabilité 1) x IR f(x) 0 : si x < 0 alors k e x 0 k 0 ; si 0 x 1 alors f(x) = x 0 si x > 1 alors f(x) = ) f(x) dx = 1 : f(x) dx = k e x dx + x dx + 0 dx = k [e x ] [x²/2] = k (1 0) + (1/2) (1-0) = 1 = k + 1/2 = 1 k = 1/2. e x /2 si x < 0 Fonction densité de probabilité f : IR IR f(x) = x si 0 x 1 0 si x > 1 9

10 Exemples d application Exemple de fonction de répartition Déterminer la fonction de répartition F de la v.a.r. X continue, caractérisée par sa fonction densité de probabilité f : IR IR e x /2 si x < 0 f(x) = x si 0 x 1 0 si x > 1 x x 0 1 x Si x > 1 : F(x) = P(X x) = f(x) dx = e x /2 dx + x dx + 0 dx x Si x < 0 : F(x) = P(X x) = f(x) dx = e x /2 dx = (1/2) [e x ] - = (1/2) (e x 0) = e x /2 - - x 0 x Si 0 x 1 : F(x) = P(X x) = f(x) dx = (e x /2) dx + x dx = (1/2) [e x ] - + [x²/2] 0 x = (1/2) (1 0) + (1/2) (x² - 0) = (1/2) + (1/2) x² = (1 + x²) /2 = (1/2) [e x ] [x²/2] = (1/2) (1 0) + (1/2) (1-0) = 1 x 0 e x /2 si x < 0 Fonction de répartition F : IR IR F(x) = (1 + x 2 ) / 2 si 0 x 1 1 si x > 1 10

11 Espérance mathématique Exemples d application Calculer l espérance mathématique de la v.a.r. X 1) discrète et finie caractérisée par sa distribution de probabilité : x i P i = P(X = x i ) F(x) = P(X x ) 0 p 0 = 1/4 p 0 = 1/4 1 p 1 = 1/2 p 0 + p 1 = 3/4 2 p 2 = 1/4 p 0 + p 1 + p 2 = 1 2 p i x i = (1/4)x0 + (1/2)x1 + (1/4)x2 = 3/4. i = 0 2) Continue, caractérisée par sa fonction de répartition F : e x /2 si x < 0 F(x) = (1 + x 2 ) / 2 si 0 x 1 1 si x > 1 fonction densité de probabilité f : e x /2 si x < 0 f(x) = x si 0 x 1 0 si x > E(X) = x f(x) dx = (x e x )/2 dx + x 2 dx + x.0 dx = - 1/ Intégration par parties 11

12 Variance mathématique Exemples d application Calculer la variance de la v.a.r. X dans les 2 cas de l'application précédente. 1) discrète et finie caractérisée par sa distribution de probabilité : x i P i = P(X = x i ) F(x) = P(X x i ) 0 p 0 = 1/4 p 0 = 1/4 1 p 1 = 1/2 p 0 + p 1 = 3/4 2 p 2 = 1/4 p 0 + p 1 + p 2 = 1 E(X) = 3/4 2 E(X²) = p i x i 2 = (1/4)x0 2 + (1/2)x1 2 + (1/4)x2 2 = 5/4 i = 0 V(X) = E(X²) E(X)² = (5/4) (3/4)² = 11/16. 2) Continue, caractérisée par sa fonction de répartition F : e x /2 si x < 0 fonction densité de probabilité f : F(x) = (1 + x 2 ) / 2 si 0 x 1 1 si x > 1 e x /2 si x < 0 f(x) = x si 0 x 1 0 si x > E(X) = - 1/6 ; E(X 2 ) = x 2 f(x) dx = (x 2 e x )/2 dx + x 3 dx + x 2.0 dx = 5/ V(X) = E(X²) E(X)² = (5/6) (-1/6)² = 11/9. 12

13 Variable aléatoire réelle centrée réduite V.A.R. Centrée et réduite Si E(X) = 0 alors la v.a.r. X est dite centrée. Si x = 1 alors la v.a.r. X est dite réduite. On pose Y = X - E(X), Y est la v.a.r. centrée associée à la v.a.r. X. En effet, E(Y) = E [(X E(X)] = E(X) E(E(X)) = E(X) E(X) = 0 L espérance mathématique est un opérateur linéaire. X - E(X) On pose U =, U est la v.a.r. centrée réduite associée à X ( x 0). x En effet, E(U) = E [(X E(X))/ x ] = (E(X) E(X) / x = 0 V(U) = V [(X E(X))/ x ] = (1/ x 2 ) V [X E(X)] = (1/ x 2 ) V(X) = 1 13

14 Paramètres Loi de probabilité discrète finie Loi Binomiale X B( n ; p ) n : Nombre de répétitions ( mêmes conditions ) d une expérience à 2 résultats «événements» possibles. Taille de l échantillon p : Probabilité de l un des 2 événements possibles q = 1 - p : Probabilité de l autre événement possible

15 Loi de probabilité discrète finie Loi Binomiale X B( n ; p ) Distribution de probabilité Fonction Excel : LOI.BINOMIALE( x i ; n ; p ; FAUX) Caractéristiques p i = P(X = x i ) = C n x i E(X) = n p pour tout x i = 0, 1, 2,...,n p x i (1 - p) n - x i V(X) = npq = np(1 p) Représentation graphique : Diagramme en bâtons

16 Loi Binomiale X B( n ; p ) Fonction de répartition Fonction Excel : LOI.BINOMIALE( x i ; n ; p ; VRAI ) Propriété : F(x) = P( X x ) = P(X = x i ) { x i / x i x } Représentation graphique :: Courbe en escaliers Si X B( n 1 ; p) et Y B( n 2 ; p) deux v.a.r. aléatoires indépendantes alors : Alors S = X + Y B( n 1 + n 2 ; p )

17 Exemples d application Exemple d application 1 : D après un représentant de la compagnie aérienne Lyon Air, 15% des clients réservent un siège en première classe. Parmi les 10 prochaines réservations, - Quelle est la loi de probabilité suivie par la v.a.r. X associée au nombre de clients qui réservent en 1 ère classe parmi les 10 prochaines réservations. X B (n = 10, p = 0.15) ; P(X = k) = C 10 k p k (1-p) 10-k k = 0,1,,10 - Quelle est la probabilité qu'aucune personne ne réserve en première classe? P(X = 0) = C = = 19.69% - Quelle la probabilité d'avoir exactement une réservation en première classe? P(X = 1) = C = 34.74% - Quelle est la probabilité d'avoir au plus une réservation en première classe? P(X 1) = F(1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 54.43% - Quelle est la probabilité d'avoir plus une réservation en première classe? P(X > 1) = 1 - P(X 1) = 1 - F(1) = 45.57% 17

18 Exemples d application Exemple d application 1 : X : nombre de clients qui réservent en 1 ère classe parmi les 10 prochaines réservations. X B (n = 10, p = 0.15) - Quelle est la probabilité d'avoir un nombre de réservations en première classe compris entre la moyenne plus ou moins un écart-type? E(X) = np = 1.5 ; V(X) = npq = et X = 1.13 P[ E(X) - X X E(X) + X ] = P( 0.37 X 2.63 ) = P(X = 1) + P(X = 2) = 62.33% - Parmi ces 10 prochaines réservations, quel est le nombre le plus probable de réservations en première classe? x i p i F(x) 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , ,3326E-06 0, ,2677E-07 0, ,7665E-09 1 Mode = 1 : c est le nombre de réservations en 1 ère classe le plus probable parmi les 10 prochaines réservations : P(X = 1) = 34.74% Médiane = 1 : F(1) = 54.43% 18

19 F(x) = P(X <= x) p i = P(X = x i ) Exemples d application 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Diagramme en bâtons - Distribution de probabilité "Nombre de clients qui réservent en 1 ère classe parmi les 10 prochaines réservations 20% 35% 28% 13% 4% 1% 0% 0% 0% 0% 0% x i : nombre de clients qui réservent en 1 ère classe Courbe en escalier - Fonction de répartition 100% 75% 50% 25% 0% xi : nombre de clients qui réservent en 1ère classe 19

20 Exemples d application Exemple d application 2 : Une société de location de voitures a calculé que la probabilité qu'une de ses voitures louées ait un accident dans une journée est de l'ordre de 3% ( la probabilité qu'une voiture louée ait plus d'un accident par jour est supposée nulle ). Les accidents sont supposés indépendants les uns des autres. Chaque jour, 20 voitures de la société sont en circulation. On notera par X : '' Le nombre d'accidents par jour enregistré par cette société '' a) Quelle est la probabilité d'observer, parmi les 20 voitures en circulation, qu'un accident dans la journée? b) Quelle est la probabilité d'observer, parmi les 20 voitures en circulation, jusqu'à 2 accidents dans la journée? c) Quelle est la probabilité d'observer, parmi les 20 voitures en circulation, plus de 2 accidents dans la journée? d) Quelle est la probabilité d'observer, parmi les 20 voitures en circulation, de 1 à 2 accidents dans la journée? e) Quelle est en moyenne, le nombre d'accidents par jour que peut enregistrer cette société?

21 Loi de probabilité discrète infinie dénombrable Loi de Poisson X P( ) Loi des événements rares : (assurance : sinistres, accidents, files d attente, etc.) Distribution de probabilité Fonction Excel : LOI.POISSON( x i ; ; FAUX) p i = P(X = x i ) = e - x i / x i! pour tout x i = 0, 1, 2,...,+ Caractéristiques : E(X) = V(X) = Représentation graphique : Diagramme en bâtons

22 Loi de Poisson X P( ) Fonction de répartition Fonction Excel : LOI.POISSON( x i ; ; VRAI ) Propriété : F(x) = P( X x ) = P(X = x i ) { x i / x i x } Représentation graphique : Courbe en escalier Si X P( 1 ) et Y P( 2 ) deux v.a.r. aléatoires indépendantes alors : Alors S = X + Y P( )

23 Exemples d application Exemple d application 1 : Le responsable d'une compagnie d'assurances a effectué une compilation du nombre de sinistres qui se sont produits ces dernières années. Ceci a permis d'établir que le taux moyen de sinistres enregistrés par la compagnie a été de 2,5 sinistres par jour. En admettant que le nombre de sinistres en une journée obéit à la loi de Poisson, X : le nombre de sinistres / jour ; E(X) = = 2.5 sinitres / jour X P ( = 2.5 ) ; P(X = k) = e k / k! k = 0, 1,, + - Quelle est la probabilité que cette compagnie n enregistre aucun sinistre dans la journée? P(X = 0) = e / 0! = e -2.5 = 8.21% - Quelle est la probabilité que cette compagnie enregistre plus de 3 sinistres par jour? P(X > 3) = 1 P(X 3) = 1 F(3) = 1 [ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) ] = = 24.24% - Sur une période d'une année, quel est vraisemblablement le nombre de jours où la compagnie n'a enregistré aucun sinistre? 1 année = 365 jours ; 365 x P(X = 0) = 365 x 8.21% = jours 1 mois 23

24 Probabilité P(X = k) Exemples d application Exemple d application 1 : - Calculer la probabilité d'avoir un nombre de sinistres compris entre le taux moyen de sinistres plus ou moins un écart-type. E(X) = V(X) = = 2.5 ; X = V(X) = 1.58 P[ E(X) - X < X < E(X) + X ] = P[ < X < ] = P( 0.92 < X < 4.08 ) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 80.91% - Quel est le nombre de sinistres par jour le plus probable et quelle est sa probabilité? Mode = 2 ; P(X = 2) = 25.65% - Représenter graphiquement la distribution de probabilité de X. 0,3 Distribution de probabilité du nombre d'accidents / jour 0,25 0,2 0,15 0,1 0, k : nombre d'accidents / jour 24

25 Exercice d application Le responsable d'une compagnie d'assurances a effectué une compilation du nombre de sinistres qui se sont produits ces dernières années. Ceci a permis d'établir que le taux moyen de sinistres enregistrés par la compagnie a été de 2,5 sinistres par jour. On associera à la variable aléatoire X : '' Le nombre de sinistres/jour enregistré par cette compagnie ''. En admettant que le nombre de sinistres en une journée obéit à la loi de Poisson, a) Quelle est la probabilité que cette compagnie enregistre plus de 3 sinistres par jour? b) Sur une période d'une année, quel est vraisemblablement le nombre de jours où la compagnie n'a enregistré aucun sinistre? c) Calculer la probabilité d'avoir un nombre de sinistres compris entre le taux moyen de sinistres plus ou moins un écart-type. d) Sachant que le coût moyen de l'indemnisation d'un sinistre est de l'ordre de 15 M, calculer la probabilité que la compagnie ait à débourser plus 80 M par jour?

26 Approximation X B( n ; p ) Conditions d approximation : Si n 30, p 10% et n p 5 Alors X P( = n p ) Plus la taille d échantillon n est grande et plus la probabilité p est petite, meilleure sera l approximation

27 X Loi de probabilité continue Loi de probabilité continue Normale, log-normale, Exponentielle, etc Fonction densité de probabilité + Conditions : f(x) 0 et f(x) dx = 1 pour tout x IR - Fonction de répartition Propriété : F(x) = P(X x) = f(x) dx x - pour tout x IR P( a < X < b) = P( a X b) = F(b) F(a) = P( a X < b) = P( a < X b)

28 Loi de probabilité continue Loi normale X N( m ; ² ) Fonction densité de probabilité Fonction Excel : LOI.NORMALE( x ; m ; ; FAUX) Caractéristiques : 1 f(x) = exp{- [(x m)/ ]² / 2} 2 pour tout x ] -, + [ = IR E(X) = m et V(X) = ² Représentation graphique : Courbe en cloche centrée en m

29 Loi de probabilité continue Loi normale X N( m ; ² ) Fonction de répartition Fonction Excel : LOI.NORMALE( x ; m ; ; VRAI ) x F(x) = P(X x) = f(x) dx - pour tout x ] -, + [ = IR Représentation graphique F(- ) = 0 Courbe bornée 1 = F(+ ) Fonction inverse Fonction Excel : LOI.NORMALE.INVERSE( F(x) ; m ; ) x =? connaissant F(x) = P(X x)

30 Courbe en cloche Aire sous la cloche = 1 Caractéristiques d une loi normale Fonction densité de probabilité N( m ; ² ) 0,2 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 50% m- m m+ + x 50% 1/ 2 Axe de symétrie (parfaite) Fonction paire : f(-x) = f(x) Mode = Médiane = m Coefficient d asymétrie = 0 x F(x) = P(X x) = f(x) dx - Fonction de répartition N( m ; ² ) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 F(m) = P(X m) = 1/ m + x 30

31 Caractéristiques d une loi normale Remarques 0,2 0,15 0,1 0,05 Distributions normales m 1 < m2 & 1 = 2 Distributions normales m 1 = m 2 & 2 > 1 0,2 0,15 0,1 0, CV 1 < CV 2 la distribution 2 est plus homogène que la distribution Plus la variance est élevée, plus la courbe sera aplatie Propriétés 3) La somme ou la différence de 2 lois normales indépendantes suit une loi normale. X 1 N(m 1 ; 1 ²) S = X 1 + X 2 N( m 1 + m 2 ; ( 1 ²+ 1 ² )² ) X 2 N(m 2 ; 2 ²) X 1 et X 2 indépendantes D = X 1 - X 2 N( m 1 - m 2 ; ( 1 ²+ 1 ² )² ) 31

32 Loi de probabilité continue Loi normale : fonction densité de probabilité X N( ; ² )

33 Loi de probabilité continue Loi normale : fonction de répartition

34 Loi de probabilité continue Loi normale centrée réduite U = (X m)/ N( 0 ; 1 ) Fonction de répartition Fonction Excel : LOI.NORMALE.STANDARD( u ) u F(u) = P(U u) = f(u) du - pour tout u ] -, + [ = IR Fonction inverse Fonction Excel : LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE( F(u) ) u =? connaissant F(u) = P(U u)

35 Caractéristiques d une loi normale centrée réduite : Fonction densité de probabilité N( 0 ; 1 ) 0,2 Courbe en cloche 1/ 2 Aire sous la cloche = 1 0,15 0,1 Symétrie - Fonction paire : f(-u) = f(u) Points d inflexion : u = -1 et u = 1 + 1/2 = (1/ 2 ) e -u²/2 du 50% 0,05 50% = P(U 0) = (0) = 1/ u (0) = 1/2 : Fonction de répartition N( 0 ; 1 ) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 (u) = P(U u) (valeurs tabulées) (-u) = 1 - (u) Point d inflexion : u = 0 ; (0) = 1/ u 35

36 Table statistique de la loi normale centrée-réduite : N(0, 1) Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite : U N( 0, 1). Probabilité de trouver une valeur inférieure à u. (u) = P(U u) ; (-u) = P(U - u) = 1 - (u) u Exemples : P(U 1.26) = (u) (1.26) = 89.62% P(U ) = (-1.51) = 1 - (1.51) = = 6.55% 36

37 Exemples d application Exemple d application 1 : 1- Usage de la table N(0, 1) : Soit X une v.a.r. qui suit une N(5, 4²). a) Calculer les probabilités suivantes : P(X 10), P(X > 2) et P(2 < X 10). F(10) = P(X 10) = P[ (X-m)/ (10 5)/4 ] = P(U 5/4) = (1.25) = = 89.44%. P(X > 2) = 1 - P(X 2) = 1 - P[ (X-m)/ (2 5)/4 ] = P(U -3/4) = (-0.75) = 1 - (0.75) = = 22.66%. P(2 < X 10) = P[ (2 5)/4 < (X-m)/ (10 5)/4 ] = P(-0.75 < U 1.25) = (1.25) - (-0.75) = (1.25) - (1 - (0.75)) = (1.25) + (0.75) 1 = = 66.78%. b) Déterminer x de telle sorte que F(x) = P(X x) = 0,77 ; F(x) = P(X x) = 0,39 x =? / P(X x ) = 0.77 P[(X-m)/ (x 5)/4 ) = P(U (x 5)/4 ) = 0.77 [(x 5)/4] = (u) = 0.77 cf. table N(0;1) u = (x 5)/4 = x = 4 x = x =? / P(X x ) = 0.39 P[(X-m)/ (x 5)/4 ) = P(U (x 5)/4 ) = 0.39 [(x 5)/4] = (u) = 0.39 [- (x 5)/4 ] = (- u) = 1 - (u) = = u = - (x 5)/4 = x = 5-4 x =

38 Exemple d application 1 : Exemples d application 2- Soit X N(m, ²), déterminer la probabilité des intervalles suivants : [m - ; m + ] ; [m - 1,96 ; m + 1,96 ] ; [m - 2,58 ; m + 2,58 ]. P(m - X m + ) = P[ -1 (X-m)/ 1 ] = P(- 1 < U 1) = P(- 1 < U 1) = (1) - (-1) = (1) - (1 - (1)) = 2 (1) 1 = 2 x = 68.26%. P(m 1.96 X m ) = P[ (X-m)/ 1.96 ] = P( < U 1.96) = P( < U 1.96) = 2 (1.96) 1 = 2 x = 95%. P(m 2.59 X m ) = P[ (X-m)/ 2.58 ] = P( < U 2.58) = P( < U 2.58) = 2 (2.58) 1 = 2 x = 99%. 38

39 Exemple d application 1 : Exemples d application 2- Soit X N(m, ²), déterminer la probabilité des intervalles suivants : [m 1 ; m + 1 ] ; [m 1.96 ; m ] ; [m 2.58 ; m ]. P(m 1 X m + 1 ) = 68.26% P(m 1.96 X m ) = 95% P(m 2.58 X m ) = 99% U N( 0 ; 1) f(u) u 68.26% 95% 99% 39

40 Exemples d application Exemple d application 2 : Le service comptable d'une compagnie d'assurances a évalué la montant de la cotisation annuelle d'un contrat d'assurance complémentaire proposé depuis plusieurs années, et en a établi que cette cotisation était distribuée normalement avec une moyenne m = 500 et un écart-type = 50. On notera par X : '' Le montant de la cotisation annuelle des assurés'' X N( m = 500 ; ² = 50² ) a) Déterminer puis interpréter la valeur du coefficient de variation du montant de la cotisation annuelle des assurés? CV% = 50 / 500 = 10% ; la distribution du montant de la cotisation est très homogène b) Quelle est la probabilité qu'un contrat d'assurance, choisi au hasard, ait une cotisation annuelle inférieure à 440? P(X 440 ) = P[ U ( ) / 50 ] = P(U -1.2) = (-1.2) = 1 - (1.2) = = 11.51%. c) Quelle est la probabilité qu'un contrat d'assurance, choisi au hasard, ait une cotisation annuelle supérieure à 560? P(X > 560 ) = P[ U > ( ) / 50 ] = P(U > 1.2) = 1 - P(X 1.2 ) = 1 - (1.2) = = 11.51%. 40

41 Exemples d application Exemple d application 2 : X : '' Le montant de la cotisation annuelle des assurés'' X N( m = 500 ; ² = 50² ) d) Sur les 3600 assurés de cette compagnie, combien auront une cotisation annuelle comprise entre 440 et 560? P(440 < X 560) = P[ ( )/50 < U ( )/50 ] = P(-1.2 < U 1.2) = (1.2) - (-1.2) = 2 (1.2) - 1 = 2 x = 76.98%. Nombre d assurés : 76.98% x3600 = assurés. e) 25% des contrats de cette compagnie, ont une cotisation annuelle inférieure ou égale à quelle valeur? x =? / P(X x ) = 0.25 P[ U (x 500)/50 ] = [u = (x 500)/50 ] = 0.25 u = (x 500)/50 = x = f) Les 10% des contrats ayant des cotisations les plus élevées, ont une cotisation supérieure à quelle valeur? x =? / P(X > x ) = 0.10 F(x) = P(X x ) = P[ U (x 500)/50 ] = 0.90 [u = (x 500)/50 ] = 0.90 u = (x 500)/50 = x =

42 Exemple d application 2 : Exemples d application X : '' Le montant de la cotisation annuelle des assurés'' X N( m = 500 ; ² = 50² ) h) Entre quelles valeurs autour de la moyenne se situe la cotisation des 95% des assurés de cette compagnie? [ m 1.96 ; m ] : [ 402 ; 598 ] En effet, P(-x < X - m x ) = P(-x < X - m x ) = 0.95 = P[ -x / 50 < U x / 50 ] = (x/50) - (-x/50) = 2 (x/50) - 1 = 0.95 (x/50) = u = x/50 = 1.96 x = 98. i) En supposant que l écart-type reste inchangé, à quel montant moyen doit être fixée la cotisation de sorte que seulement 5% des assurés auront une cotisation annuelle supérieure à 564,08? m* =? / P(X > ) = 0.05 P(X ) = 0.95 = P[ U ( m*)/50 ] [u = ( m*)/50 ] = 0.95 u = ( m*)/50 = m* =

43 Approximations Discrète finie Continue Si X B( n ; p ) Conditions d approximation : n 30, np 15 et n pq > 5 Alors X N( m = n p ; ² = n pq ) Discrète infinie Continue X P( ) Conditions d approximation : Si > 20 Alors X N( m = ; ² = )

44 Loi de probabilité continue Loi log-normale Y LN( m x ; x ² ) 1 g(y) = exp{-[(lny m x )/ x ]² / 2} pour tout y > 0 y x 2 = f( lny ) / y Si lny = X N( m x ; x ² ) Fonction densité de probabilité Fonction Excel : LOI.NORMALE( lny ; m x ; x ; FAUX) / y

45 Loi de probabilité continue Loi log-normale Y LN( ; ² )

46 Domaines d application Loi de probabilité continue Loi exponentielle X Exp( ) Industrie, génie industriel, recherche opérationnelle ( file d attente, durée de service, etc. ) Exemple : Durée de vie d un composant électronique Analyse de la fiabilité du composant afin de mesurer son aptitude à fonctionner sans défaillance. Paramètres : taux moyen de défaillance du composant = 1/ : Moyenne des Temps de Bon Fonctionnement Temps moyen entre défaillances

47 Loi de probabilité continue Loi exponentielle X Exp( ) Fonction densité de probabilité : Fonction Excel : LOI.EXPONENTIELLE( x ; ; FAUX) f(x) = e - x si x 0 0 sinon Caractéristiques : E(X) = 1 / et V(X) = 1 / ² Représentation graphique : Courbe exponentielle

48 Fonction de répartition : Loi de probabilité continue Loi Exponentielle X Exp( ) Fonction Excel : LOI.EXPONENTIELLE( x ; ; VRAI) F(x) = P(X x) = 1 - e - x si x 0 0 sinon F(- ) = 0 Courbe bornée 1 = F(+ )

49 Exemple d application 1 : Exemples d application Un composant électronique a une durée de vie qui est distribuée selon une loi exponentielle dont la durée de vie moyenne est de 500 heures. - Quelle est alors la valeur du paramètre? Que représente ce paramètre dans ce contexte? X : la durée de vie d un composant électronique ; E(X) = 500 = 1/ = 1/500 = X Exp ( = 0.002) ; f(x) = e - x si x 0 ; f(x) = 0 sinon F(x) = 1 - e - x si x 0 ; F(x) = 0 sinon = 1/500 = composant / h, il représente le taux moyen de défaillance - Quelle est la probabilité qu un composant ait une durée inférieure à 250 heures? P(X < 250) = F(250) = 1 e -250/500 = 39.35% - Quelle est la probabilité qu un composant ait une durée inférieure à la durée de vie moyenne? P(X < E(X) = 500) = F(500) = 1 e -500/500 = 1 e -1 = 63.21% - Sur 1000 composants, combien auront vraisemblablement une durée de vie supérieure à 345 heures? P(X > 345) = 1 P(X 345) = 1 - F(345) = 1 e -345/500 = 50.20% Sur 1000 composants 502 composants qui auront une durée de vie supérieure à 345 h. 49

50 F(x) f(x) Exemples d application 0,0025 0,002 0,0015 Densité de probabilité Durée de vie d'un composant électronique 0,001 0, x : durée de vie en heures 1 Fonction de répartition Durée de vie d'un composant électronique 0,8 0,6 0,4 0, x : durée de vie en heures 50

51 Exemple d application 1 : Exemples d application X : la durée de vie d un composant électronique ; E(X) = 500 = 1/ = 1/500 = si x < 0 0 si x < 0 X Exp ( = 0.002) ; f(x) = F(x) = 0.002e x si x e x si x 0 -Quelle est la probabilité qu un composant ait une durée vie comprise entre 250 et 500 heures? P(250 < X < 500) = F(500) F(250) = 63.21% % = 23.86% - Quelle est la probabilité qu un composant ait une durée de vie inférieure à 500 heures sachant qu il a duré plus de 250 heures? P (X > 250) (X < 500) = P[(X < 500)/(X > 250)] = P[(X < 500) (X > 250)] / P(X > 250) = P(250 < X < 500) / [1 - P(X 250)] = [F(500) F(250)] / [1 F(250)] = / = 39.34% 51

52 Exemple d application 2 : Exemples d application Dans un magasin de pièces détachées, le temps nécessaire pour servir des clients est distribué selon une loi exponentielle avec une durée moyenne de service de 5 minutes par client. Quelle est alors la valeur du paramètre lambda? X : la durée de service d un client ; X Exp ( = 0.2) E(X) = 1/ = 1/E(X) = 1/5 = 0.2, il représente le taux moyen de service f(x) = 0.2e -0.2x si x 0 F(x) = 1 - e -0.2x si x 0 0 si x < 0 0 si x < 0 - Quelle est la probabilité que la durée de service soit supérieure à 6 minutes? P(X > 6) = 1 - P(X 6) = 1 - F(6) = e -0.2x6 = 30.12% Comprise entre 3 et 8 minutes? P(3 < X < 8) = F(8) F(3) = (1 e -0.2x8 ) - (1 e -0.2x3 ) = 34.69% Inférieure à 8 minutes sachant qu elle est supérieure à 3 minutes? P (X > 3) (X < 8) = P[(X < 8) / (X > 3)]= P[(X < 8) (X > 3)] / P(X > 3) = P(3 < X < 8) / P(X > 3) = [F(8) F(3)] / [1 P(X 3) ] = [F(8) F(3)] / [1 F(3)] = / e -0.2x3 = 63.21% - Est-ce exacte de dire qu il y a 50% de chances pour que la durée de service d un client soit inférieure à la durée moyenne de service? Non, P(X < E(X) = 5) = F(5) = 1 e -0.2x5 = 63.21% (loi asymétrique à gauche) 52

53 Exemple d application 3 : Exemples d application Un fabricant de moniteur-vidéo veut déterminer la période de garantie qu il devrait associer aux tubes-écran qu il commercialise. Des essais en laboratoire ont indiqué que la durée de vie utile (en années) de ce composant est distribué selon une loi exponentielle avec un taux moyen de défaillance de 0,20 tube/an. - Quelle est la durée de vie moyenne des tubes? X : la durée de vie (en années) d un tube-écran ; X Exp ( = 0.2 ) E(X) = 1/ = 5 ans ; durée de vie moyenne d un tube - Quelle est la probabilité qu un tube opère sans défaillance pour une période excédant sa durée de vie espérée? P(X > E(X) = 5) = 1 - P(X 5) = 1 - F(5) = e -0.2x5 = 36.79% - 50% des tubes fonctionnent sans défaillance pendant combien de temps? x =? / P(X > x ) = 50% 1 P(X x) = 1 F(x) = 50% F(x) = 1 - e -0.2 x = 0.5 e -0.2x = 0.5 ln e -0.2 x = ln x = ln 0.5 x = - ln 0.5 / 0.2 = 3,47 3 ans et demi. On veut donner une période de garantie à ces tubes ; toutefois, on ne veut pas remplacer plus de 18% de tubes au cours de cette période de garantie. Quelle devrait être la période de garantie? x =? / P(X x ) 18% F(x) = 1 - e -0.2 x 0,18 e -0.2x 0.82 ln e -0.2 x ln x ln 0.82 x - ln 0.82 / 0.2 = ans. 53

Variables aléatoires continues

Variables aléatoires continues IUT Aix-en-Provence Année 204-205 DUT Informatique TD Probabilités feuille n 6 Variables aléatoires continues Exercice (La station-service) Dans une station-service, la demande hebdomadaire en essence,

Plus en détail

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Université Paris1, Licence 00-003, Mme Pradel : Principales lois de Probabilité 1 DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Notations Si la variable aléatoire X suit la loi L, onnoterax

Plus en détail

PROBABILITES TRAVAUX DIRIGES

PROBABILITES TRAVAUX DIRIGES Université de Caen Basse-Normandie U.F.R. de Sciences Economiques et de Gestion Année universitaire 2009-2010 LICENCE ECONOMIE ET GESTION Semestre 3 L2 PROBABILITES TRAVAUX DIRIGES (18 heures) Hélène Ferrer

Plus en détail

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun

Plus en détail

Loi binomiale Lois normales

Loi binomiale Lois normales Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli

Plus en détail

3. Caractéristiques et fonctions d une v.a.

3. Caractéristiques et fonctions d une v.a. 3. Caractéristiques et fonctions d une v.a. MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v2) MTH2302D: fonctions d une v.a. 1/32 Plan 1. Caractéristiques d une distribution 2. Fonctions

Plus en détail

Actuariat I ACT2121. septième séance. Arthur Charpentier. Automne 2012. charpentier.arthur@uqam.ca. http ://freakonometrics.blog.free.

Actuariat I ACT2121. septième séance. Arthur Charpentier. Automne 2012. charpentier.arthur@uqam.ca. http ://freakonometrics.blog.free. Actuariat I ACT2121 septième séance Arthur Charpentier charpentier.arthur@uqam.ca http ://freakonometrics.blog.free.fr/ Automne 2012 1 Exercice 1 En analysant le temps d attente X avant un certain événement

Plus en détail

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions :

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions : Probabilités I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : 1- Définitions : Ω : Ensemble dont les points w sont les résultats possibles de l expérience Des évènements A parties de Ω appartiennent à A une

Plus en détail

Mth2302B - Intra Été 2011

Mth2302B - Intra Été 2011 École Polytechnique de Montréal page 1 Contrôle périodique Été 2011--------------------------------Corrigé--------------------------------------T.Hammouche Question 1 (12 points) Mth2302B - Intra Été 2011

Plus en détail

Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4. Lois limites ; estimation.

Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4. Lois limites ; estimation. Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4 Lois limites ; estimation. Exercice 1. Trois machines, A, B, C fournissent respectivement 50%, 30%, 20% de la production d une usine. Les pourcentages

Plus en détail

Analyse de données et méthodes numériques

Analyse de données et méthodes numériques Analyse de données et méthodes numériques Analyse de données: Que faire avec un résultat? Comment le décrire? Comment l analyser? Quels sont les «modèles» mathématiques associés? Analyse de données et

Plus en détail

9. Distributions d échantillonnage

9. Distributions d échantillonnage 9. Distributions d échantillonnage MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v3) MTH2302D: distributions d échantillonnage 1/46 Plan 1. Échantillons aléatoires 2. Statistiques et distributions

Plus en détail

Loi normale ou loi de Laplace-Gauss

Loi normale ou loi de Laplace-Gauss LivreSansTitre1.book Page 44 Mardi, 22. juin 2010 10:40 10 Loi normale ou loi de Laplace-Gauss I. Définition de la loi normale II. Tables de la loi normale centrée réduite S il y avait une seule loi de

Plus en détail

Fiche de révision sur les lois continues

Fiche de révision sur les lois continues Exercice 1 Voir la correction Le laboratoire de physique d un lycée dispose d un parc d oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit

Plus en détail

MT18 A 2012 Variables aléatoires à valeurs réelles Aleth Chevalley Loi binomiale, loi de Poisson, loi normale

MT18 A 2012 Variables aléatoires à valeurs réelles Aleth Chevalley Loi binomiale, loi de Poisson, loi normale MT8 A 0 Variables aléatoires à valeurs réelles Aleth Chevalley Loi binomiale, loi de Poisson, loi normale. Fonction de répartition.. Variable aléatoire à valeurs réelles Définition : Soit un ensemble fondamental

Plus en détail

BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR COMPTABILITÉ ET GESTION DES ORGANISATIONS Session 2013 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES. Durée : 2 heures Coefficient : 2

BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR COMPTABILITÉ ET GESTION DES ORGANISATIONS Session 2013 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES. Durée : 2 heures Coefficient : 2 BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR COMPTABILITÉ ET GESTION DES ORGANISATIONS Session 2013 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée : 2 heures Coefficient : 2 SUJET Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu il

Plus en détail

Lois de probabilité 3/3. Anita Burgun

Lois de probabilité 3/3. Anita Burgun Lois de probabilité 3/3 Anita Burgun Contenu des cours Loi binomiale Loi hypergéométrique Loi de Poisson Loi normale Loi du Chi2 Loi de Student Loi normale VA continue X Densité de probabilité de X" Loi

Plus en détail

Exercices sur les lois de probabilités continues

Exercices sur les lois de probabilités continues Terminale S Exercices sur les lois de probabilités continues Exercice n 1 : X est la variable aléatoire de la loi continue et uniforme sur [0 ; 1]. Donner la probabilité des événements suivants : a. b.

Plus en détail

Actuariat I ACT2121. huitième séance. Arthur Charpentier. Automne 2012. charpentier.arthur@uqam.ca. http ://freakonometrics.blog.free.

Actuariat I ACT2121. huitième séance. Arthur Charpentier. Automne 2012. charpentier.arthur@uqam.ca. http ://freakonometrics.blog.free. Actuariat I ACT2121 huitième séance Arthur Charpentier charpentier.arthur@uqam.ca http ://freakonometrics.blog.free.fr/ Automne 2012 1 Exercice 1 Soit X une variable aléatoire continue de fonction de densité

Plus en détail

Cours de Probabilités et statistiques L1 2011-2012 Maths-PC-SVT

Cours de Probabilités et statistiques L1 2011-2012 Maths-PC-SVT Cours de Probabilités et statistiques L1 2011-2012 Maths-PC-SVT Université d Avignon Fichier dispo sur http://fredericnaud.perso.sfr.fr/ Une étude statistique dans la population montre que le Q.I. est

Plus en détail

Contrôle de statistiques Sujet 2 Corrigé

Contrôle de statistiques Sujet 2 Corrigé Contrôle de statistiques Sujet 2 Corrigé L2 d économie - Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne Nom : Prénom : Les exercices sont indépendants. Le barème est indicatif. L utilisation de documents, calculatrices,

Plus en détail

Statistiques Descriptives à une dimension

Statistiques Descriptives à une dimension I. Introduction et Définitions 1. Introduction La statistique est une science qui a pour objectif de recueillir et de traiter les informations, souvent en très grand nombre. Elle regroupe l ensemble des

Plus en détail

Lois de probabilité. Anita Burgun

Lois de probabilité. Anita Burgun Lois de probabilité Anita Burgun Problème posé Le problème posé en statistique: On s intéresse à une population On extrait un échantillon On se demande quelle sera la composition de l échantillon (pourcentage

Plus en détail

Lois de probabilité à densité Loi normale

Lois de probabilité à densité Loi normale DERNIÈRE IMPRESSIN LE 31 mars 2015 à 14:11 Lois de probabilité à densité Loi normale Table des matières 1 Lois à densité 2 1.1 Introduction................................ 2 1.2 Densité de probabilité

Plus en détail

Statistiques et probabilités : Loi Normale. Les I.P.R. et Formateurs de l Académie de LILLE

Statistiques et probabilités : Loi Normale. Les I.P.R. et Formateurs de l Académie de LILLE Statistiques et probabilités : Loi Normale Les I.P.R. et Formateurs de l Académie de LILLE Bulletin officiel spécial 8 du 13 octobre 2011 Cadre général : loi à densité Définition Une fonction f définie

Plus en détail

Terminale S - ACP Ex1 : Partie A - Restitution organisée des connaissances Partie B : 1. a. 1. b. 1. c. 2. a. 2. b. Ex2 :

Terminale S - ACP Ex1 : Partie A - Restitution organisée des connaissances Partie B : 1. a. 1. b. 1. c. 2. a. 2. b. Ex2 : Terminale S - ACP Ex1 : Antilles Septembre 2006 Partie A - Restitution organisée des connaissances On suppose connu le résultat suivant : Si est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de

Plus en détail

BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL SUJET

BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL SUJET SESSION 2012 France métropolitaine - Antilles - Guyane - Réunion - Mayotte BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE E4 CULTURE SCIENTIFIQUE ET TECHNOLOGIQUE : MATHÉMATIQUES Option : Toutes Durée : 2 heures Matériel(s)

Plus en détail

Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités

Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module: Stat inférentielles Définition Quelques exemples loi d une v.a

Plus en détail

Calcul élémentaire des probabilités

Calcul élémentaire des probabilités Myriam Maumy-Bertrand 1 et Thomas Delzant 1 1 IRMA, Université Louis Pasteur Strasbourg, France Licence 1ère Année 16-02-2006 Sommaire La loi de Poisson. Définition. Exemple. 1 La loi de Poisson. 2 3 4

Plus en détail

Mathématiques Ch. 6 : Exercices

Mathématiques Ch. 6 : Exercices 1 BTS CGO - LYCÉE LOUIS PAYEN - Mathématiques Ch. 6 : Exercices Cours J-L NEULAT 1 Loi normale 1.1 Lecture directe EXERCICE 1 Soit X une variable aléatoire qui suitn(0,1). On donne : P(X 1) 0,84. Sans

Plus en détail

1 Variable aléatoire discrète... 1. 1.1 Rappels... 1. 1.2 Exemple... 2 2 Couples de variables aléatoires... 3. 2.1 Définition... 3

1 Variable aléatoire discrète... 1. 1.1 Rappels... 1. 1.2 Exemple... 2 2 Couples de variables aléatoires... 3. 2.1 Définition... 3 CHAPITRE : LOIS DISCRÈTES Sommaire Variable aléatoire discrète................................... Rappels........................................... Exemple......................................... Couples

Plus en détail

Examen d accès - 1 Octobre 2009

Examen d accès - 1 Octobre 2009 Examen d accès - 1 Octobre 2009 Aucun document autorisé - Calculatrice fournie par le centre d examen Ce examen est un questionnaire à choix multiples constitué de 50 questions. Plusieurs réponses sont

Plus en détail

1 Sujets donnés en option scientifique

1 Sujets donnés en option scientifique Les sujets suivants, posés aux candidats des options scientifique, économique, technologique et littéraire BL constituent la première version d un échantillon des sujets proposés lors des épreuves orales

Plus en détail

Chapitre 4 NOTIONS DE PROBABILITÉS

Chapitre 4 NOTIONS DE PROBABILITÉS Statistique appliquée à la gestion et au marketing http://foucart.thierry.free.fr/statpc Chapitre 4 NOTIONS DE PROBABILITÉS Les chapitres précédents donnent des méthodes graphiques et numériques pour caractériser

Plus en détail

Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires

Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires Master Modélisation et Simulation / ENSTA TD 1 2012-2013 Les méthodes dites de Monte-Carlo consistent en des simulations expérimentales de problèmes

Plus en détail

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Pierre Andreoletti IUT d Orléans Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences) - Bureau 126 email: pierre.andreoletti@univ-orleans.fr

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

ECRICOME 2004. Voie Eco. 1 1 + x. f (x) dx n N, u n = 1. 0 xn f (x) dx

ECRICOME 2004. Voie Eco. 1 1 + x. f (x) dx n N, u n = 1. 0 xn f (x) dx ECRICOME 2004 Voie Eco 1 EXERCICE 1 EXERCICE Soient f la fonction numérique de la variable réelle définie par : x R, f (x = 1 2 et (u n la suite de nombres réels déterminée par : { u 0 = 1 f (x dx 0 n

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHÉMATIQUES Série ES/L

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHÉMATIQUES Série ES/L BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2015 MATHÉMATIQUES Série ES/L Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) ES : ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE L : ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE Les calculatrices électroniques

Plus en détail

Série de TD N 1. On lance un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6, donc

Série de TD N 1. On lance un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6, donc Série de TD N 1 Exercice 1 Combien de " mots " de cinq lettres au plus peut-on former avec les quatre lettres de mot "CLAN". Ces lettres étant répétées ou non, et leur ordre n intervenant pas. Exercice

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHÉMATIQUES Série ES

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHÉMATIQUES Série ES BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2015 MATHÉMATIQUES Série ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 7 (ES) ES : ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 213 MATHÉMATIQUES Série ES/L Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) ES : ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE L : ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE Les calculatrices électroniques

Plus en détail

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples 36 Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples (Ω, B, P est un espace probabilisé. 36.1 Définition et propriétés des probabilités conditionnelles Définition 36.1

Plus en détail

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B EXERCICE 1 (12 points) Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d une équation différentielle On considère

Plus en détail

Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e

Plus en détail

Baccalauréat ES Centres étrangers 12 juin 2014 - Corrigé

Baccalauréat ES Centres étrangers 12 juin 2014 - Corrigé Baccalauréat ES Centres étrangers 1 juin 14 - Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points Commun à tous les candidats 1. On prend un candidat au hasard et on note : l évènement «le candidat a un dossier

Plus en détail

Baccalauréat ES Polynésie 7 juin 2013

Baccalauréat ES Polynésie 7 juin 2013 Baccalauréat ES Polnésie 7 juin 2013 EXERCICE 1 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Une réponse juste rapporte

Plus en détail

Espérance, variance, quantiles

Espérance, variance, quantiles Espérance, variance, quantiles Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 22 mai 2008 0. Motivation Mesures de centralité (ex. espérance) et de dispersion (ex. variance) 1 f(x) 0.0 0.1

Plus en détail

Nouveaux programmes de terminale Probabilités et statistiques

Nouveaux programmes de terminale Probabilités et statistiques Nouveaux programmes de terminale Probabilités et statistiques I. Un guide pour l'année II. La loi uniforme : une introduction III. La loi exponentielle IV. De la loi binomiale à la loi normale V. Échantillonnage

Plus en détail

Ch.12 : Loi binomiale

Ch.12 : Loi binomiale 4 e - programme 2007 - mathématiques ch.12 - cours Page 1 sur 5 1 RÉPÉTITION D'EXPÉRIENCES INDÉPENDANTES Lancer plusieurs fois un dé et noter les résultats successifs. Ch.12 : Loi binomiale Prélever des

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2014 2015 Cours de B. Desgraupes. Simulation Stochastique

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2014 2015 Cours de B. Desgraupes. Simulation Stochastique UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2014 2015 L2 MIASHS Cours de B. Desgraupes Simulation Stochastique Séance 04: Nombres pseudo-aléatoires Table des matières 1

Plus en détail

Licence Pro Amélioration Végétale

Licence Pro Amélioration Végétale Analyse de données Licence Pro Amélioration Végétale Marc Bailly-Bechet Université Claude Bernard Lyon I France marc.bailly-bechet@univ-lyon1.fr 1 marc.bailly-bechet@univ-lyon1.fr Analyse de données Des

Plus en détail

Séminaire de Statistique

Séminaire de Statistique Master 1 - Economie & Management Séminaire de Statistique Support (1) Statistique descriptive «Uni & Bi-variée» R. Abdesselam - 2013/2014 Faculté de Sciences Economiques et de Gestion Université Lumière

Plus en détail

BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL SUJET

BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL SUJET SESSION 203 Métropole - Réunion - Mayotte BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE E4 CULTURE SCIENTIFIQUE ET TECHNOLOGIQUE : MATHÉMATIQUES Toutes options Durée : 2 heures Matériel(s) et document(s) autorisé(s)

Plus en détail

Introduction au cours STA 102 Analyse des données : Méthodes explicatives

Introduction au cours STA 102 Analyse des données : Méthodes explicatives Analyse des données - Méthodes explicatives (STA102) Introduction au cours STA 102 Analyse des données : Méthodes explicatives Giorgio Russolillo giorgio.russolillo@cnam.fr Infos et support du cours Slide

Plus en détail

ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #12

ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #12 ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #12 ARTHUR CHARPENTIER 1 Une compagnie d assurance modélise le montant de la perte lors d un accident par la variable aléatoire continue X uniforme sur l intervalle

Plus en détail

C3 : Manipulations statistiques

C3 : Manipulations statistiques C3 : Manipulations statistiques Dorat Rémi 1- Génération de valeurs aléatoires p 2 2- Statistiques descriptives p 3 3- Tests statistiques p 8 4- Régression linéaire p 8 Manipulations statistiques 1 1-

Plus en détail

Les statistiques descriptives et les intervalles de confiance

Les statistiques descriptives et les intervalles de confiance Les statistiques et les intervalles de Yohann.Foucher@univ-nantes.fr Equipe d Accueil 4275 "Biostatistique, recherche clinique et mesures subjectives en santé", Université de Nantes Master 2 - Cours #2

Plus en détail

Variables aléatoires discrètes. Soit une expérience aléatoire à laquelle est associé l ensemble des issues Ω.

Variables aléatoires discrètes. Soit une expérience aléatoire à laquelle est associé l ensemble des issues Ω. Variables aléatoires discrètes I. Définitions 1. Définition d une variable aléatoire : Soit une expérience aléatoire à laquelle est associé l ensemble des issues Ω. On appelle variable aléatoire et on

Plus en détail

Examen d accès - 28 Septembre 2012

Examen d accès - 28 Septembre 2012 Examen d accès - 28 Septembre 2012 Aucun document autorisé - Calculatrice fournie par le centre d examen Cet examen est un questionnaire à choix multiples constitué de 50 questions. Plusieurs réponses

Plus en détail

Exercices de simulation 1

Exercices de simulation 1 Licence MIA 2ème année Année universitaire 2009-2010 Simulation stochastique C. Léonard Exercices de simulation 1 Les simulations qui suivent sont à effectuer avec Scilab. Le générateur aléatoire de Scilab.

Plus en détail

Lycée Cassini BTS CGO 2014-2015. Test de début d année

Lycée Cassini BTS CGO 2014-2015. Test de début d année Lycée assini BTS GO 4-5 Exercice Test de début d année Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées. Déterminer celles qui sont correctes. On a mesuré, en continu pendant quatre heures, la concentration

Plus en détail

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre : Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant

Plus en détail

Test de Poisson à 1 échantillon et à 2 échantillons

Test de Poisson à 1 échantillon et à 2 échantillons Test de Poisson à 1 échantillon et à 2 échantillons Sous-menus de Minitab 15 : Stat>Statistiques élémentaires>test de Poisson à 1 échantillon Stat>Statistiques élémentaires>test de Poisson à 2 échantillons

Plus en détail

Paramètres de position

Paramètres de position Paramètres de position 1 On va parler ici des statistiques quantitatives. On veut les résumer par des nombres. On a deux types de nombres Les paramètre de position : ce sont ceux qui définissent une notion

Plus en détail

Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014

Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014 Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014 EXERCICE 1 Cet exercice est un Q.C.M. 4 points 1. La valeur d une action cotée en Bourse a baissé de 37,5 %. Le coefficient multiplicateur associé

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014 Durée : 4 heures Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats Les trois parties A, B et C sont indépendantes Une fabrique de desserts glacés

Plus en détail

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Amérique du Nord

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Amérique du Nord Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Amérique du Nord EXERCICE 1 : 5 points On se place dans l espace muni d un repère orthonormé. On considère les points,, et. 1. Démontrer que les points,

Plus en détail

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65 Sommaire Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires............... 5 A. Généralités sur les variables aléatoires réelles.................... 6 B. Séries doubles..................................... 9

Plus en détail

ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #6

ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #6 ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #6 ARTHUR CHARPENTIER 1 Supposons que le nombre X de coups de téléphone durant une heure suive une loi de Poisson avec moyenne λ. Sachant que P (X = 1 X 1) = 0.8, trouver

Plus en détail

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes UNIVERSITÉ DE CERG Année 0-03 UFR Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH0 : Probabilités Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes Généralités Définition Soit (Ω, P(Ω), P)

Plus en détail

ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #9

ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #9 ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #9 ARTHUR CHARPENTIER 1 Soit X la variable aléatoire continue de fonction de densité : { (1.4)e 2x + (0.9)e 3x pour x > 0 f X (x) = 0 sinon. Trouver E[X]. A) 9 20 B)

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat ES Antilles Guyane 24 juin 2015

Corrigé du baccalauréat ES Antilles Guyane 24 juin 2015 Corrigé du baccalauréat ES Antilles Guyane 2 juin 2015 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats Aucune justification n était demandée dans cet exercice. 1. La fonction f définie sur R par f (x)= x 3 + 6x

Plus en détail

EXERCICES SUR LE CHAPITRE 1 : «MIXTE»

EXERCICES SUR LE CHAPITRE 1 : «MIXTE» EXERCICES SUR LE CHAPITRE 1 : «MIXTE» 1. Les électeurs d'une grande ville américaine sont constitués de 40% de blancs, 40% de noirs et 20% d'hispaniques. Un candidat noir à la fonction de Maire espère

Plus en détail

Représentation d une distribution

Représentation d une distribution 5 Représentation d une distribution VARIABLE DISCRÈTE : FRÉQUENCES RELATIVES DES CLASSES Si dans un graphique représentant une distribution, on place en ordonnées le rapport des effectifs n i de chaque

Plus en détail

Lois normales, cours, terminale S

Lois normales, cours, terminale S Lois normales, cours, terminale S F.Gaudon 6 mai 2014 Table des matières 1 Variables centrées et réduites 2 2 Loi normale centrée et réduite 2 3 Loi normale N (µ, σ 2 ) 4 1 1 Variables centrées et réduites

Plus en détail

Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique

Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique CHAPITRE 4 DÉRIVATION ET PRIMITIVATION Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique 08. Nombre dérivé Soit f une fonction numérique, définie sur un intervalle ou une réunion d intervalles,

Plus en détail

Chapitre 3 : INFERENCE

Chapitre 3 : INFERENCE Chapitre 3 : INFERENCE 3.1 L ÉCHANTILLONNAGE 3.1.1 Introduction 3.1.2 L échantillonnage aléatoire 3.1.3 Estimation ponctuelle 3.1.4 Distributions d échantillonnage 3.1.5 Intervalles de probabilité L échantillonnage

Plus en détail

Exercice 1 Métropole juin 2014 5 points

Exercice 1 Métropole juin 2014 5 points Le sujet comporte 6 pages. Seule l annexe est à rendre avec la copie. BAC BLANC MATHÉMATIQUES TERMINALE STMG Durée de l épreuve : 3 heures Les calculs doivent être détaillés. Les calculatrices sont autorisées,

Plus en détail

Exercice 1 QCM. 4 i. e π ou. e π, ou : 4 ( i) 1 /4. e π. e π Réponse d. 1. Le carré de z est : ce qui donne : soit : , soit 4i

Exercice 1 QCM. 4 i. e π ou. e π, ou : 4 ( i) 1 /4. e π. e π Réponse d. 1. Le carré de z est : ce qui donne : soit : , soit 4i TSTI2D - Bac 203 - Polynésie STI2D -.0 - Corrigé.doc - Page /5 Terminale STI2D - Bac 203 - Polynésie - Corrigé. TSTI2D - Bac 203 - Polynésie STI2D -.0 - Corrigé.doc - Page 2/5 Exercice QCM. Le carré de

Plus en détail

Université René Descartes Faculté de Pharmacie - Master Professionnel Dimension Économique des Produits de Santé 14 décembre 2005

Université René Descartes Faculté de Pharmacie - Master Professionnel Dimension Économique des Produits de Santé 14 décembre 2005 Université René Descartes Faculté de Pharmacie - Master Professionnel Dimension Économique des Produits de Santé 14 décembre 2005 Prise en Compte de l Incertitude dans l Évaluation des Technologies de

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2014 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2014 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2014 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) L attention des candidats est attirée sur le fait que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements

Plus en détail

Brevet de technicien supérieur Polynésie session mai 2012 - Informatique de gestion

Brevet de technicien supérieur Polynésie session mai 2012 - Informatique de gestion Brevet de technicien supérieur Polynésie session mai 2012 - Informatique de gestion A. P. M. E. P. ÉPREUVE OBLIGATOIRE Durée : 3 heures Coefficient : 2 Exercice 1 7 points Les parties A et B de cet exercice

Plus en détail

BTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL

BTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL BTS Groupement A Mathématiques Session 11 Exercice 1 : 1 points Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL On considère un circuit composé d une résistance et d un condensateur représenté par

Plus en détail

Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions

Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions ISTIL, Tronc commun de première année Introduction aux méthodes probabilistes et statistiques, 2008 2009 Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions Exercice 1 Dans un centre avicole, des études

Plus en détail

Baccalauréat STL Biotechnologies juin 2014 Polynésie Correction

Baccalauréat STL Biotechnologies juin 2014 Polynésie Correction Baccalauréat STL Biotechnologies juin 014 Polynésie Correction EXERCICE 1 Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis, si nécessaire,

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Simulation de variables aléatoires S. Robin INA PG, Biométrie Décembre 1997 Table des matières 1 Introduction Variables aléatoires discrètes 3.1 Pile ou face................................... 3. Loi de

Plus en détail

Examen Mesures de Risque de Marché

Examen Mesures de Risque de Marché ESILV 2012 D. Herlemont Mesures de Risque de Marché I Examen Mesures de Risque de Marché Durée: 2 heures. Documents non autorisés et calculatrices simples autorisées. 2 pt 1. On se propose d effectuer

Plus en détail

Cours 9 Une variable numérique : distribution et répartition

Cours 9 Une variable numérique : distribution et répartition Cours 9 Une variable numérique : distribution et répartition Lorsqu'une variable est qualitative et l'autre numérique, il est courant que la première identie des sous-populations (sexe, catégories socio-économiques,

Plus en détail

Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques

Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques Fiche TD avec le logiciel : a2-1-c Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques Sylvain Mousset Rappels de probabilités / statistiques Table des matières 1 Probabilités

Plus en détail

Baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014

Baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014 Baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014 Durée : 3 heures EXERCICE 1 Cet exercice est un Q.C.M. 4 points Pour chaque question posée, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.

Plus en détail

Réseau SCEREN. Ce document a été numérisé par le CRDP de Bordeaux pour la. Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel.

Réseau SCEREN. Ce document a été numérisé par le CRDP de Bordeaux pour la. Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Ce document a été numérisé par le CRDP de Bordeaux pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Campagne 2013 Ce fichier numérique ne peut être reproduit, représenté, adapté

Plus en détail

CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Probabilités Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli.

CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Probabilités Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli. 1 ère - 3 Chap.9 : Loi binomiale. Échantillonnage. 1 ère - Chapitre 9 : LOI BINOMIALE. ÉCHANTILLONNAGE. Textes officiels (30 septembre 2010) : CONTENU CAPACITÉ ATTENDUE COMMENTAIRE Probabilités Épreuve

Plus en détail

LOIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ

LOIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ LOIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ Une expérience aléatoire consiste à choisir au hasard un nombre réel X dans l'intervalle I = ]0 ; 0]. L'univers est l'intervalle I. C'est un univers infini. On ne peut pas

Plus en détail

CONCOURS POUR LE RECRUTEMENT DE :

CONCOURS POUR LE RECRUTEMENT DE : CONCOURS POUR LE RECRUTEMENT DE : Techniciens supérieurs de la météorologie de première classe, spécialité «instruments et installations» (concours interne et externe). ***************** SESSION 205 *****************

Plus en détail

«L art de la réussite consiste à s entourer des meilleurs» STAGE INTENSIF OBJECTIF BAC PROBABILITES & SES LOIS

«L art de la réussite consiste à s entourer des meilleurs» STAGE INTENSIF OBJECTIF BAC PROBABILITES & SES LOIS «L art de la réussite consiste à s entourer des meilleurs» STAGE INTENSIF OBJECTIF BAC PROBABILITES & SES LOIS PONDICHERY 2015 Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie

Plus en détail

Brevet de technicien supérieur Métropole Session mai 2014 - Comptabilité et gestion des organisations

Brevet de technicien supérieur Métropole Session mai 2014 - Comptabilité et gestion des organisations Brevet de technicien supérieur Métropole Session mai 2014 - Comptabilité et gestion des organisations Exercice 1 11 points Une entreprise fabrique un certain type d articles. Sa capacité maximale de production

Plus en détail

Baccalauréat STL biotechnologies Métropole La Réunion 18 juin 2015

Baccalauréat STL biotechnologies Métropole La Réunion 18 juin 2015 Baccalauréat STL biotechnologies Métropole La Réunion 18 juin 2015 Calculatrice autorisée conformément à la circulaire n o 99-186 du 16 novembre 1999. Le candidat doit traiter les quatre exercices. Il

Plus en détail

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures) CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un

Plus en détail