Suite arithmétique. Rang n Suite u n u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 10 u 11 u 12 Abonnements

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1 Suite arithmétique ENONCE : Une société de téléphonie mobile propose un nouveau forfait à partir du mois de janvier En janvier 2009, elle a enregistré 2000 abonnements souscrits pour ce forfait. Elle prévoit une augmentation mensuelle de 600 abonnements dans les trois années à venir. On note u 1 le nombre d'abonnements souscrits pour le mois de janvier 2009, u 2 le nombre prévisionnel qui seront souscrits pour le mois de février 2009, et ainsi de suite pour chaque mois. Ainsi, u 36 est le nombre prévisionnel d'abonnements à ce nouveau forfait souscrits pour le 36 ième mois après la date de lancement, soit pour le mois de décembre ) Vérifier que l'on a bien défini ainsi une suite arithmétique u 1, u 2, u 3,, u n-1, u n,, u 36. Préciser le premier terme et la raison de cette suite arithmétique. 2) Compléter le tableau suivant donnant les valeurs prévisionnelles des abonnements des premiers 12 mois de l'année Rang n Suite u n u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 10 u 11 u 12 Abonnements ) Déterminer le nombre prévisionnel d'abonnements souscrits pour le mois de décembre ) Préciser à partir de quelle date (mois et année) la société aura atteint abonnements. 5) Calculer S 36 le nombre total cumulé prévisionnel d'abonnements souscrits sur les 3 ans. 6) On admet que le nombre total prévisionnel d'abonnements souscrits au rang n est donné par S n = f(n) la fonction f étant définie par f(x) = 100 x ( x ) pour x dans l'intervalle [ 0 ; 36 ] Compléter le tableau de valeurs suivant : x f(x) ) Tracer dans un repère orthogonal la courbe C f de la fonction f sur l'intervalle [ 0 ; 36 ] à l'aide du tableau du 6). Montrer avec la courbe C f que la suite S n ne peut pas être une suite arithmétique. 8) Résoudre graphiquement f(x) > et en déduire à partir de quelle date ( mois et année ) le nombre cumulé prévisionnel d'abonnements souscrits dépasse

2 Correction à l aide de la Graph ) Par construction, on déduit le terme de rang n, u n,, à l'aide du terme de rang n-1, u n-1, soit : u n = u n Il s'agit donc d'une suite arithmétique de premier terme u 1 = et de raison r = ) On peut écrire la relation : u n = u 1 + ( n-1) r soit : u n = (n-1) 600 Pour compléter le tableau nous allons utiliser l application TABLE. Appuyer sur et à l aide du bouton directionnel sélectionner l application TABLE et faire. Il faut alors définir la variable. Appuyer alors sur puis sur et sélectionner ( RANG ) puis faire. Dans le cas où des fonctions sont déjà présentes, il faut les effacer une à une en utilisant la touche ( DEL) et puis (YES), et se déplacer à l aide du bouton directionnel. 2

3 Lorsque l écran ne comporte pas de fonctions, utiliser les touches pour la variable X, pour saisir la fonction : Y1 = (X-1) et valider avec. On va, maintenant, calculer Y1 pour des valeurs entières X de 1 à 36. Sélectionner la touche ( RANG) et entrer les données : Strt : 1, End : 36, Ptch : 1. Puis, appuyer sur la touche. Sélectionner alors la touche (TABL) Il apparaît ainsi un tableau à 2 colonnes. La colonne X correspond aux valeurs des entiers n. La colonne Y1 correspond aux valeurs de u n pour chaque valeur de n. A l aide du bouton directionnel dérouler toutes les valeurs vers le bas jusqu à 36. 3

4 Tableau de valeurs : Rang n Suite u n u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 10 u 11 u 12 Abonnements ) En se déplaçant vers le bas du tableau on peut lire pour n = 36 la valeur : u 36 = ) En se déplaçant sur la colonne des x, on voit que pour n = 31 on a : u 31 = A partir du mois de juillet 2011, le nombre prévisionnel d'abonnements souscrits atteint ) La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule: S n = n ( u 1 + u n ) / 2 donc S n = n ( (n-1)600 ) / 2 = n( n ) / 2 On trouve donc S n = 100 n ( n ) = f(n) formule admise dans cet énoncé. Après avoir fait bouton directionnel pour sortir du tableau de valeurs, il faut se placer sur la ligne Y2 avec le et rentrer la fonction : Y2 = 100 X (17+3X) 4

5 Sélectionner la touche ( TABL) et se déplacer avec vers la droite pour faire apparaître la colonne Y2 correspondante aux valeurs de S n. En se déplaçant jusqu'à la valeur n=36 on obtient S 36 = abonnements Le nombre total prévisionnel d'abonnements souscrits sur les 3 ans est de ) Le tableau de valeurs s'obtient en se déplaçant dans la table avec : x f(x) ) Pour tracer la courbe, il faut utiliser l'application GRAPH. Appuyer sur et à l aide du bouton directionnel sélectionner l application GRAPH et faire. Il faut alors appuyer sur la touche pour ne pas sélectionner Y1. 5

6 Sélectionner puis ( V-Window ) et saisir les valeurs Xmin : 0 ; max : 36 ; scl : 1 ; A l aide du bouton se déplacer vers le bas et saisir les valeurs Ymin : 2000 ; max : ; scl: 1000 ; Ensuite, faire et (DRAW) pour tracer la courbe. La courbe obtenue n'est pas une droite. Or pour une suite arithmétique, les points ( n, S n ) devraient être sur une droite. La suite S n n'est donc pas une suite arithmétique. 6

7 8) Pour faire une résolution graphique, à partir de la courbe on sélectionne puis ( Trace ). Apparaît alors une croix que l on peut déplacer sur la courbe à l aide du bouton en cliquant sur la flèche à droite pour augmenter les valeurs de x, ou la flèche à gauche pour les diminuer. L équation de la courbe apparaît en haut et les valeurs obtenues en bas de l écran. On obtient pour x = 29,076 une valeur de Y2 = On peut en conclure qu'à partir de x > 29 on a f(x) > , c'est-à-dire qu'à partir du mois de mai 2011 le nombre cumulé prévisionnel d'abonnements sera de plus de

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