Rapport de Projet Informatique Simulation Monte-Carlo du modèle XY

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1 Rapport de Projet Informatique Simulation Monte-Carlo du modèle XY Alejandro Daniel Paredes Cabrel sous la direction de : Xavier Leoncini Centre de Physique Théorique de Marseille Fevrier- 29 Objectif Nous allons étudier, à l aide de méthodes de Monte-Carlo, les courbes Energie-Température et Magnétisation-Température du modèle XY qui est une modification du modèle d Ising. L analyse sera restreinte à une région de basse température où nous attendons à observer une transition de phase. Le langage de programmation utilisé est Fortran 9. 2 Modèle d Ising [] Le modèle d Ising a été introduit dans les années 2, afin de modéliser de façon simple certains phénomènes physiques, comme l aimantation, ou les interactions entre particules dans un mélange de deux phases liquides. Sa description est simple : il s agit d un reseau Z 2, avec en chaque site (i, j) de ce reseau un spin S ij égal à +(up) ou (down). n m Fig. Configuration aléatoire (σ) de spins du modèle d Ising. Les points noirs et blancs indiquent que la valeur du spin est et respectivement L énergie E et la magnétisation M associées à une configuration σ donnée peuvent se calculer à partir des expressions : E(σ) = S i,j S i,j <i,j;i,j > M(σ) = i,j S i,j où < i, j > indique que la somme est faite sur les voisins les plus proches de chaque point. alejandparedes@gmail.com

2 La probabilité qu on soit dans une certaine configuration σ pour une température β( T ) donnée s obtient à partir la loi de distribution de Boltzman : P (σ) = Z e E(σ)β Z = σ e E(σ)β où σ parcourt l ensemble de toutes les configurations de spins possibles (2 nm configurations au total). 3 Le Modèle XY Dans le modèle XY à la place de prendre une valeur de spin discret (up ou down) nous utiliserons un vecteur unitaire bidimensionel S, alors pour chaque point (particule) du réseau nous definissons ce vecteur S i,j = (Cos(θ i,j ), Sin(θ i,j )), θ i,j [, 2π > chaque S est parfaitement défini par l angle θ i,j. L énergie et la magnétisation pour une configuration donnée dans le modèle XY deviennent : E(σ) = <i,j> S i,j S i,j = <i,j> Cos(θ i,j θ i, j) M(σ) = i,j S i,j et la probabilité P d avoir une configuration σ à une temperature donnée sera comme dans le cas précédent : P (σ) = Z e E(σ)β Z = σ e E(σ)β Si l on connait comment calculer la probabilité d une configuration donnée il est possible, au moins en théorie, de calculer la moyenne statistique de n importe quelle observable, sauf que pour cela il faut connaître toutes les configurations possibles. Par exemple pour un réseau carré dans le modèle d Ising de taille le nombre de configurations possibles 38 que implique deja un calcul assez lourd et pas pratique. Dans le modèle XY le problème est plus sérieux dû au fait que les angles θ i,j qui definissent une configuration prennent des valeurs continues. Pour resoudre cette difficulté nous allons choisir un sous-ensemble de l ensemble total de configurations possibles et faire de calcul avec lui. Maintenant la question légitime que on se pose est : Quel sous-ensemble doit on choisir et comment? La réponse nous est donnée par l algorithme de Metropolis. 4 Algorithme de Metropolis Cet algorithme nous permet d explorer, à partir d une configuration initiale, un sous-ensemble de l ensemble total des configurations possibles avec la condition que le sous-ensemble obtenu est en accord avec la loi de distribution de Boltztman. L algorithme peut être détaillé de la façon suivante : 2

3 . On prend une configuration aleatoire A avec énergie E(A). On perturbe cette configuration et on obtient une configuration voisine B. Voir Fig(2). 2. On calcule E(B). Si E(B) < E(A) on accepte la nouvelle configuration avec une probabilité égale à. 3. Si E(B) > E(A) on accepte la configuation B avec une probabilité p = e β(e(b) E(A)) (a) Configuration A (b) Configuration B Fig. 2 Pour produire une configuration voisine B à partir de A, on choisit au hasard un point de la configuration A, dans notre cas (3,4) et on change le vecteur en ce point pour un autre de direction aleatoire en rouge. 5 Conditions spécifiques du problème Pour l étude nous avons pris un réseau carré de N N particules avec les bords verticaux et horizontaux identifiés, c est à dire notre réseau est un tore. Voir Fig3(a) Comme voisins proches nous avons pris les quatre premiers voisins qui sont à la même distance de chaque point. Voir Fig3(b) N N + N (a) N + (b) Fig. 3 la Fig3(a) montre l identification des lignes (, j) et (N +, j) et les colonnes (j, ) et (j, N + ). La Fig3(b) indique que le voisin proche du point en noir sont les points en rouge 6 Difficulté La première dificulté trouvée le long du projet a été la generation de bonnes configurations aleatoires initiales. Si on prend une configuration aleatoire quelconque l algorithme de Metropolis devra chercher un nombre assez grand de configurations pour que la moyenne calculée converge vers une valeur stable. Comme le but de notre travail est d étudier la region de basse température où nous cherchons une transition de phase, nous attendons de trouver, dans cette region, tous les vecteurs de spin plus ou moins alignés, alors une bonne configuration initiale sera un ensemble de θ i,j aleatoires compris entre et T. Une fois choisies les bonnes configurations initiales nous avons encore un paramètre libre R dans le code qui nous permet de varier le nombre de configurations utilisées dans chaque calcul de valeurs moyennes. Pour fixer ce paramètre on compare les courbes résultantes pour différentes valeurs de R et on prend la valeur de R pour laquelle les courbes se stabilisent. 3

4 Le code n est pas completement optimisé puisque pour calculer l énergie d une configuration voisine il fait le calcul complet à la place d isoler la partie qui n a pas changé et calculer seulment la perturbation. Cette difficulté est traduite par un delai de temps considerable pendant l éxécution du programme. 7 Résultats D abord il faut fixer la valeur du parametre R et cela nous le faissons à partir de la Fig4 où nous voyons que pour la valeur de R= 5 les courbes se stabilisent. Pour la suite de calculs nous allons prendre cette valeur de R Courbes Energie vs pour diferents valeurs de R 2 R= 2, NC[8,4], t=m,865s R= 3, NC[62,458], t=m5,2s R= 4, NC[549,743], t=2m43,59s R= 5, NC[5788,9865], t=29m44,88s R= 6, NC[627,9858], t=297m8,43s.5 Energie (a) Courbes Magnetisation vs pour diferents valeurs du parametre R.4.2 R= 2, NC[8,4], t=m,865s R= 3, NC[62,458],t=m5,2s R= 4, NC[549,743], t=2m43,59s R= 5, NC[5788,9865], t=29m44,88s R= 6, NC[627,92858],t=297m8,43s Magnetisation (b) Fig. 4 Courbes de Energie vs Température (a) et Magnetisation vs Température (b) pour quatre valeurs de R = 3, 4, 5, 6 Maintenant nous voulons savoir quels sont les effets de la taille du réseau sur les courbes d Energie et Magnetisation. Dans la Fig5 nous montrons les courbes pour quatre tailles de resseau 6 6, et et Les courbes de Energie vs ont été deplacées +2 unitées dans l axe des ordonées pour avoir le minimum d énergie à T=O. 4

5 2 Courbes Energie vs differents tailles de reseau N=6 N=32 N=64 N=28 E(T)=.42823*T Energie (a) Courbes Magnetisation vs pour differentes tailles de reseau.2 N=6 N=32 N=64 N=28 Magnetisation (b) Fig. 5 Courbes Energie vs Température (a) et Magnetisation vs Température (b) pour quatre resseaux de tailles diferents N= 6, 32, 64 et 68 8 Conclusions Les seuls résultats d importance sont ceux qui sont obtenus pour une valeur de R supèrieure à 5. La taille du réseau ne modifie pas trop les courbes d Energie et Magnétisation à très basse température, par contre au delà de T= la taille prend d importance. Pour la région de températures compris entre et.4 nous pouvons identifier une dépendance linéaire de l énergie et la température. La dependance linéaire est affichée dans la Fig.5(a) La température de transition de phase d un système bouge vers la droite avec la taille du réseau, mais quand même nous voyons que la transition phase est comprise entre T =. et T =.8 5

6 Références [] Werner K., Four lectures on computational statistical physics, http ://lanl.arxiv.org/abs/9.2496v,29 6