CALCUL MATRICIEL. tels que x j = p a ij e i.

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1 CALCUL MATRICIEL Dans tout le chapitre, K désigne R ou C, et p, q, n désignent des entiers naturels non nuls I Matrices I1 Définitions Déf 1: Une matrice à p lignes et q colonnes (ou de type (p, q)), à coefficients dans K, est une application { 1 ; p 1 ; q K A : notée : (i, j) a ij a 11 a 12 a 1q A = (a ij ) 1 i p = a 21 a 22 a 2q 1 j q a p1 a p2 a pq On notera : M p,q (K) l ensemble des matrices de type (p, q) à coefficients dans K M n,n (K), ensemble des matrices carrées de type (n, n), ou d ordre n, se note plus simplement M n (K) Déf 2: Soit A = (a ij ) M p,q (K) Pour (i, j) 1 ; p 1 ; q, on appelle : jème vecteur colonne de A le vecteur C j = (a 1j, a 2j,, a pj ) K p ième vecteur ligne de A le vecteur L i = (a i1, a i2,, a iq ) K q Déf 3: Une matrice de type (1, q) est appelée une matrice ligne Une matrice de type (p, 1) est appelée une matrice colonne I2 Matrice d un système de vecteurs Déf 4: Soit F un K-espace vectoriel de dimension p, rapporté à une base B F = (e 1,, e p) et (x 1,, x q ) des vecteurs de F Alors, pour tout j 1 ; q, il existe (a ij ) 1 i p K p tels que x j = p a ij e i A = (a ij ) 1 i p 1 j q M p,q (K) s appelle la matrice des (x j ) dans la base B F Il s agit donc de la matrice obtenue en écrivant dans chaque colonne les coordonnées dans B des vecteurs de la famille Cela peut être visualisé ainsi : i=1 x 1 x 2 x q a 11 a 12 a 1q e 1 M BF (x 1,, x q ) = a 21 a 22 a 2q e 2 a p1 a p2 a pq e p Cours PSI* TLEGAY Lycée d Arsonval 1/19 31 août 2018

2 I3 Matrice d une application linéaire Déf 5: Soit E un K-espace vectoriel de dimension q, rapporté à une base = (e 1,, e q ) et F un K-espace vectoriel de dimension p, rapporté à une base B F = (e 1,, e p), et soit u L (E, F) On appelle matrice de u dans les bases et B F la matrice dans B F du système de vecteurs ( u(e1 ),, u(e q ) ) On la notera M BF (u) ou M BE,B F (u) ou M(u;, B F ) Ainsi : M BF (u) = (a ij ) M p,q (K), où a ij désigne la ième coordonnée de u(e j ) dans la base B F soit : Cette matrice peut être visualisée ainsi : j 1 ; q, u(e j ) = p a ij e i u(e 1 ) u(e 2 ) u(e q ) ( M BF (u) = M BF u(be ) ) a 11 a 12 a 1q e 1 = a 21 a 22 a 2q e 2 a p1 a p2 a pq e p i=1 Prop 1: L application L (E, F) M p,q (K) est une bijection de L (E, F) sur M p,q (K) u M BF (u) (cette bijection dépend évidemment du choix des bases et B F ) Cela découle directement du fait qu une application linéaire est entièrement déterminée par la donnée des images des vecteurs d une base Corollaire 11: Soit A M p,q (K) Alors il existe une et une seule application linéaire a L (K q,k p ) telle que la matrice de u dans les bases canoniques respectives de K q et K p soit égale à a a s appelle l application linéaire canoniquement associée à a I4 Rang d une matrice Déf 6: Le rang d une matrice A M p,q (K) est, par définition, le rang de ses vecteurs colonnes (éléments de K p ) On le note : rg A Si A est la matrice, dans une base B F, d un système de vecteurs (x 1,, x q ) de F, le rang de A est aussi celui, dans F, du système de vecteurs (x 1,, x q ) (c est-à-dire la dimension du sous-espace vectoriel de F engendré par (x 1,, x q )) Si A est la matrice, dans des bases et B F d une application linéaire u L (E, F), le rang de A est aussi le rang de u Propriétés: 1 Si A M p,q (K), rg A min(p, q) Cours PSI* TLEGAY Lycée d Arsonval 2/19 31 août 2018

3 En effet, si u L (E, F ), rg u dim E (par exemple par le théorème du rang), et rg u dim F, puisque Im u F 2 Si A M p,q (K) est la matrice dans des base et B F de u L (E, F), alors : rg A = p u surjective, rg A = q u injective Cela découle immédiatement de la proposition 4 du chapitre II que nous rappelons brièvement ci-dessous : u injective rg u = dim E (découle par exemple du th du rang) u surjective rg u = dim F (découle directement de la déf d une application surjective) II Opérations sur les matrices II1 Addition Soit E un K-espace vectoriel de dimension q, rapporté à une base = (e 1,, e q ) et F un K-espace vectoriel de dimension p, rapporté à une base B F = (e 1,, e p) Soient A = (a ij ) et B = (b ij ) deux matrices de M p,q (K) On peut alors leur associer, de manière unique, deux applications linéaires u, v L (E, F) telles que A = M BF (u) et B = M BF (v) On définit alors la matrice C = A + B par : C = M BF (u + v) Il est facile de vérifier que C M p,q (K), et que : (i, j) 1 ; p 1 ; q, c ij = a ij + b ij En effet, en reprenant les notations précédentes, on a, pour tout j 1 ; q : p u(e j ) = a ij e i et v(e j ) = donc i=1 (u + v)(e j ) = p b ij e i i=1 p (a ij + b ij )e i, i=1 ce qui montre que la matrice de u + v (dans les mêmes bases) a pour coefficients les a ij + b ij II2 Multiplication externe Avec les mêmes notations que ci-dessus, si λ K, on note λa la matrice : λa = M BF (λu) On a alors : λa M p,q (K), et (i, j) 1 ; p 1 ; q, (λa) ij = λa ij Théorème 1: Muni des lois précédentes, ( M p,q (K), +, ) { est un K-espace vectoriel, et l application L (E, F) Mp,q (K) ϕ : u M BF (u) est un isomorphisme de K-espaces vectoriels C est un simple transport de structure Remarques 1 L élément neutre pour l addition dans M p,q (K) est la matrice nulle (dont tous les termes sont nuls), notée O p,q, ou plus simplement 0 s il n y a pas d ambiguïté 2 Une base de M p,q (K) est formée de la famille des matrices (E kl ) (k,l) 1;p 1;q, définies par : E kl est la matrice de type (p, q) dont tous les termes sont nuls sauf celui d indice (k, l) qui vaut 1 Ainsi, le terme d indice (i, j) de E kl vaut : ( E kl )ij = δ kiδ lj Cours PSI* TLEGAY Lycée d Arsonval 3/19 31 août 2018

4 L écriture d une matrice A = (a ij ) M p,q (K) dans cette base est : A = a ij E ij 1 i p 1 j q Autrement dit, les coordonnées de A dans cette base sont les a ij 3 On en déduit : dim(l (E, F)) = dim(m p,q (K)) = pq Déf 7: La base (E kl ) (k,l) 1;p 1;q est appelée base canonique de M p,q (K) II3 Multiplication Soient G, E, F trois K-espaces vectoriels de dimensions respectives r, q, p, rapportés respectivement à des bases B G = (e 1,, e r ), = (e 1,, e q ), B F = (e 1,, e p ) Soient : A M p,q (K), et u L (E, F) tq A = M BF (u), B M q,r (K), et v L (G, E) tq B = M BE B G (v) et C M p,r (K), tq C = M BF B G (u v) (avec u v L (G, F)) Un simple calcul montre alors que : (i, k) 1 ; p 1 ; r, c ik = Disposition pratique : voir explications au tableau q a ij b jk Par définition, la matrice C = (c ik ) (i,k) 1;p 1;r s appelle le produit de A par B, noté C = AB Remarques 1 Cette définition n a un sens que si A est de type (p, q) et B de type (q, r) Ainsi, le produit AB peut être défini sans que BA ne le soit 2 On a : M BF B G (u v) = Propriétés: M BF (u) M BE B G (v), avec la même base 1 Si A M p,q (K), B M q,r (K) et C M r,s (K), alors : A(BC) = (AB)C 2 Si A M p,q (K) et B 1, B 2 M q,r (K), on a : A(B 1 + B 2 ) = AB 1 + AB 2 3 Si A 1, A 2 M p,q (K) et B M q,r (K), on a : (A 1 + A 2 )B = A 1 B + A 2 B 4 Si A M p,q (K), B M q,r (K) et λ K, on a : (λa)b = A(λB) = λ(ab) 5 Soient A M p,q (K) et B M q,r (K) Alors : rg(ab) min(rg A, rg B) Toutes ces propriétés découlent immédiatement de celles sur les applications linéaires Prop 2: Si (E ij ) 1 i p 1 j q est la base canonique de M p,q (K) et (E kl ) 1 k q 1 l r la base canonique de M q,r (K), on a : où (E il ) 1 i p 1 l r (i, j) 1 ; p 1 ; q, (k, l) 1 ; q 1 ; r : E ij E kl = δ jk E il est la base canonique de M p,r (K) Cours PSI* TLEGAY Lycée d Arsonval 4/19 31 août 2018

5 II4 Interprétation matricielle d une application linéaire E un K-espace vectoriel de dimension q, rapporté à une base = (e 1,, e q ) F un K-espace vectoriel de dimension p, rapporté à une base B F = (e 1 Soient,, e p ) u L (E, F) et A = (a ij ) M p,q (K) = M BF (u) Soit x E, x = q x j e j et y = u(x) F, y = p y i e i i=1 Soit enfin X la matrice colonne des coordonnées de x dans : X = t( ) x 1 x q Mq,1 (K) et Y la matrice colonne des coordonnées de y dans B F : Y = t( ) y 1 y p Mp,1 (K) On a alors : i 1 ; p, y i = q a ij x j (expression analytique de u dans les bases et B F ) ce qui se traduit matriciellement par : Y = AX q Si x = X j1 e j, alors u(x) = q X j1 u(e j ) = q a ij e i ( p X j1 i=1 i=1 q d où Y i1 = a ij X j1 et on reconnaît bien là l expression du produit matriciel AX ) = ( p q ) a ij X j1 e i = y Rem: Si A est la matrice d une application linéaire, on peut dire pour simplifier que on lit en colonne les coordonnées des images des vecteurs de base ; et on lit en ligne les coordonnées de l image d un vecteur Rem: Cas d une forme linéaire : Soit E un K-espace vectoriel de dimension q, rapporté à une base = (e 1,, e q ) et ϕ : E K une forme linéaire sur E Sa matrice dans les bases de E et {1} de K est une matrice ligne, de type (1, q) : A = (a 1 a 2 a q ), avec a i = ϕ(e i ) Si x = q x j e j E, on a alors : ϕ(x) = q a j x j (expression analytique de ϕ) II5 Opérations par blocs Déf 8: Soit A M p,q (K) On appelle bloc de A toute matrice (a ij ) i I, où I et J sont respectivement des j J parties de 1 ; p et 1 ; q formées d entiers consécutifs (NB : si on ne suppose plus ces entiers consécutifs, on obtient ce qui est appelé une matrice extraite) Cours PSI* TLEGAY Lycée d Arsonval 5/19 31 août 2018

6 Prop 3: Soient A, B M p,q (K), décomposées en blocs avec le même découpage : A 11 A 1j A 1m p1 B 11 B 1j B 1m p1 A = A i1 A ij A im p i p et B = B i1 B ij B im p i p A l1 A lj A lm pl B l1 B lj B lm pl q 1 q j q m q 1 q j q m q q Alors, si λ K, la matrice λa + B s écrit, par blocs : λa 11 + B 11 λa 1j + B 1j λa 1m + B 1m p1 λa + B = λa i1 + B i1 λa ij + B ij λa im + B im pi p λa l1 + B l1 λa lj + B lj λa lm + B lm p l q 1 q j q m q Théorème 2: produit par blocs Soient A M p,q (K) et B M q,r (K), décomposées en blocs comme suit : A 11 A 1j A 1m p1 B 11 B 1k A 1n q1 A = A i1 A ij A im p i p et B = B j1 B jk B jn q j q A l1 A lj A lm pl B m1 B mk B mn qm q 1 q j q m r 1 r k r n q r et soit C = AB M p,r (K), décomposée en blocs : C 11 C 1k C 1n p1 C = C i1 C ik C in pi p C l1 C lk C ln p l r 1 r k r n r m Alors : (i, k) 1 ; l 1 ; n, on a : C ik = A ij B jk Cours PSI* TLEGAY Lycée d Arsonval 6/19 31 août 2018

7 II6 Transposition Déf 9: Soit A = (a ij ) 1 i p M p,q (K) 1 j q On appelle transposée de A la matrice t A = (a ji ) 1 j q M q,p (K) définie par : 1 i p On peut la noter aussi A Propriétés: 1 Si A M p,q (K), t ( t A) = A 2 Si A, B M p,q (K), t (A + B) = t A + t B 3 Si A M p,q (K) et λ K, t (λa) = λ t A 4 Si A M p,q (K) et B M q,r (K), t (AB) = t B t A (i, j) 1 ; p 1 ; q, a ji = a ij Prop 4: L application : A t A est un isomorphisme du K-espace vectoriel M p,q (K) sur le K-espace vectoriel M q,p (K) Prop 5: Soit A M p,q (K), décomposée en blocs : A 11 A 1j A 1m p1 A = A i1 A ij A im pi p A l1 A lj A lm pl q 1 q j q m q Alors la matrice transposée de A s écrit, par blocs : t A 11 t A i1 t A l1 q1 t A = t A 1j t A ij t A lj qj q t A 1m t A im t A lm q m p 1 p i p l p Cours PSI* TLEGAY Lycée d Arsonval 7/19 31 août 2018

8 III L algèbre M n (K) Dans M n (K), la multiplication des matrices est une loi de composition interne Les propriétés précédentes sont résumées dans le théorème suivant Théorème 3: M n (K) est une K-algèbre (non commutative et non intègre dès que n 2) Le terme K-algèbre sert à résumer les propriétés suivantes : (M n (K), +, ) est un K-espace vectoriel ; la multiplication interne des matrices est une loi associative, possédant un élément neutre et distributive à droite et à gauche par rapport à l addition ; enfin, on a : λ K, (A, B) M n (K) 2, λ(ab) = (λa)b = A(λB) Rem: Dire que M n (K) est non intègre signifie qu il existe dans M n (K) des diviseurs de zéro, c est-à-dire que l on peut trouver des matrices A, B telles que : A 0, B 0 et AB = 0 Cela implique que les éléments de M n (K) ne sont pas réguliers en général, c est-à-dire qu une égalité de la forme AB = AC n implique pas toujours B = C Déf 10: Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, rapporté à une base, et u L (E) On appelle matrice de u dans la matrice M BE (u), notée simplement M BE (u) ou M(u; ) Remarques 1 On notera I n l élément neutre de l algèbre M n (K) (pour la loi ) On a alors, pour tout K-espace vectoriel E de dimension n et toute base de E : I n = M BE (Id E ) I n est donc la matrice carrée d ordre n dont tous les éléments sont égaux à 0, sauf ceux de sa diagonale, qui sont égaux à 1 2 Le K-espace vectoriel M n (K) est de dimension n 2 Pour sa base canonique, voir plus haut Prop 6 et déf 11 : On notera GL n (K) l ensemble des éléments inversibles de M n (K) pour la loi (GL n (K), ) est un groupe (non abélien), appelé groupe linéaire d ordre n Découle directement du fait que (GL(E), ) est un groupe (voir chap précédent) En particulier, on a : Prop 7: Si A, B GL n (K), alors AB GL n (K) et : (AB) 1 = B 1 A 1 Prop 8: invariance du rang par multiplication par une matrice inversible Soient A M p,q (K) et B M q,r (K) Si p = q et A GL p (K), rg(ab) = rg(b), et, si q = r et B GL q (K), rg(ab) = rg(a) cf théorème 14 du chapitre II Prop 9: Soit A GL n (K) Alors t A GL n (K) et ( t A) 1 = t (A 1 ) Cours PSI* TLEGAY Lycée d Arsonval 8/19 31 août 2018

9 Il suffit de calculer : ( t A)( t (A 1 )) = t (A 1 A) = t I n = I n et ( t (A 1 ))( t A) = t (AA 1 ) = t I n = I n Théorème 4: Pour une matrice A M n (K), les propriétés suivantes sont équivalentes : (a) A est inversible (b) A est inversible à droite (c) A est inversible à gauche (d) rg A = n C est une conséquence directe d une propriété similaire démontrée dans le chapitre sur les applications linéaires Théorème 5: Le rang d une matrice non nulle A M p,q (K) est le plus grand entier r 1 tel que l on puisse extraire de A une matrice carrée inversible d ordre r Démonstration: ( ) Cours PSI* TLEGAY Lycée d Arsonval 9/19 31 août 2018

10 Exemple: La matrice a a b b est de rang 2 si et seulement si l un au moins des trois déterminants : c c a a b b, b b c c et a a c c est non nul Corollaire 51: Si A M p,q (K), rg A = rg( t A) En effet, si on peut extraire de A une matrice carrée inversible A d ordre r, on pourra extraire de t A la matrice t A, inversible d ordre r, donc rg t A rg A On a l inégalité dans l autre sens en changeant A en t A IV Matrices carrées remarquables IV1 Matrices triangulaires Déf 12: Une matrice carrée A = (a ij ) M n (K) est dite triangulaire supérieure (resp inférieure) si : (i, j) 1 ; n 2, [j < i a ij = 0] ( resp [j > i a ij = 0]) On notera T n + (K) (resp Tn (K)) l ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp inférieures) d ordre n Il est clair que : A T n + (K) t A Tn (K) Théorème 6: Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, = (e 1,, e n ) une base de E Soit u L (E), et A = M BE (u) M n (K) Alors : A est triangulaire supérieure j 1 ; n, Vect(e 1,, e j ) est stable par u En effet, A est triangulaire supérieure si et seulement si pour tout j les (n j)-èmes derniers coefficients de la j -ème colonne sont nuls, ce qui équivaut à dire que u(e j ) appartient à Vect(e 1,, e j ) Donc : Si A T S n(k), pour tout j, u(e 1 ),, u(e j ) appartiennent à Vect(e 1,, e j ) donc Vect(e 1,, e j ) est stable par u Réciproquement, si pour tout j Vect(e 1,, e j ) est stable par u alors on a bien u(e j ) Vect(e 1,, e j ) et A T S n(k) Théorème 7: T + n (K) est une sous-algèbre de M n(k), de dimension n(n + 1) 2 Le terme sous-algèbre signifie que T n + (K) est un sous-espace vectoriel de M n(k) qui est de plus stable pour la multiplication interne et qui contient son élément neutre, I n T + n (K) est une sous-algèbre de M n(k) : I n T + n (K) Si A, B T + n (K) et λ K, λa + B T + n (K) : facile Soient A, B T + n (K) Montrons que AB T + n (K) On peur faire une démonstration purement calculatoire en revenant à la définition du produit matriciel, mais il y a mieux : Si A = M BE (u) et B = M BE (v), alors, j 1 ; n, Vect(e 1,, e j ) est stable par u et par v donc par u v Ainsi, AB = M BE (u v) est triangulaire supérieure Cours PSI* TLEGAY Lycée d Arsonval 10/19 31 août 2018

11 Remarques Si A = (a ij ) est triangulaire supérieure, alors A = a ij E ij = a ij E ij donc la famille (E ij ) 1 i j n est génératrice i,j i j de T n + (K) Elle est libre puisque c est une sous-famille de la base canonique, donc c est une base de T n + (K), et elle comporte ( n n(n+1) 2) + n = éléments 2 1 T n (K) est évidemment aussi une sous-algèbre de M n(k), isomorphe en tant qu espace vectoriel à la précédente (par la transposition), 2 Si A = (a ij ) et B = (b ij ) sont triangulaires supérieures, alors C = AB, triangulaire supérieure, a pour coefficients diagonaux c ii = a ii b ii Prop 10: Soit A = (a ij ) T + n (K) Alors A est inversible si et seulement si, pour tout i 1 ; n, a ii 0 ; dans ce cas, A 1 est une matrice triangulaire supérieure, dont les éléments diagonaux sont les 1 a ii Prop 11: Soit A = (a ij ) T + n (K) Alors A est nilpotente si et seulement si, pour tout i 1 ; n, a ii = 0 Supposons A triangulaire supérieure et nilpotente Alors il existe p N tel que A p = 0 Or les coefficients diagonaux de A p sont les a p ii donc a ii = 0 pour tout i Supposons A triangulaire supérieure à éléments diagonaux nuls (une telle matrice est parfois dite triangulaire supérieure stricte) Soit E un K -espace vectoriel de dimension n, = (e 1,, e n) une base de E et soit u L (E) tel que A = M BE (u) Pour tout k 1 ; n, notons E k = Vect(e 1,, e k ), et E 0 = {0} L hypothèse faite sur A implique que, pour tout k 1 ; n, u(e k ) E k 1 Donc u n (E) = u n (E n) u n 1 (E n 1 ) u(e 1 ) = E 0 = {0}, ce qui prouve que u n = 0, donc A n = 0 et A nilpotente On dispose d une sorte de réciproque de ce résultat : Cours PSI* TLEGAY Lycée d Arsonval 11/19 31 août 2018

12 Théorème 8: (HP) Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, et u L (E) u est nilpotent si et seulement si il existe une base B de E telle que M B (u) soit triangulaire supérieure à éléments diagonaux nuls Rem : Ce théorème sera démontré dans le DM n 1 IV2 Matrices diagonales Déf 13: Une matrice carrée A = (a ij ) M n (K) est dite diagonale si et seulement si : (i, j) 1 ; n 2, j i a ij = 0 On note alors : A = diag(a 11, a 22,, a nn ) On notera D n (K) l ensemble des matrices diagonales d ordre n On a évidemment : D n (K) = T n + (K) T n (K) Prop 12: D n (K) est une sous-algèbre commutative de M n (K), de dimension n Il suffit de vérifier les propriétés : I n appartient à D n(k) ; λ K, (A, B) D n(k) 2, λa + B D n(k) ; (A, B) D n(k) 2, AB D n(k) et AB = BA ce qui est immédiat Prop 13: Soit A = diag(a 11,, a nn ) D n (K) Alors A est inversible si et seulement si pour tout i 1 ; n, ( ) 1 a ii 0 ; et dans ce cas, A 1 1 = diag,, a 11 a nn découle directement de la propriété similaire pour les matrices triangulaires Prop 14: Soit D = diag(d 11,, d nn ) D n (K) dont les éléments diagonaux sont distincts Une matrice A M n (K) commute avec D si et seulement si A est diagonale Il existe une démonstration astucieuse de ce résultat (utilisant les notions de sous-espaces propres, voir plus tard) mais une simple démonstration calculatoire est possible : n n Avec les hypothèses, on a : (i, k) 1 ; n 2, (AD) ik = (DA) ik, soit a ij d jk = d ij a jk } {{ } } {{ } =a ik d kk =d ii a ik Donc (i, k) 1 ; n 2, a ik (d kk d ii ) = 0 d où a ik = 0 pour i k, c est-à-dire A diagonale IV3 Matrices scalaires Déf 14: Une matrice carrée A = (a ij ) M n (K) est dite scalaire si elle est de la forme diag(λ,, λ) Cours PSI* TLEGAY Lycée d Arsonval 12/19 31 août 2018

13 Prop 15: Une matrice carrée A d ordre n est une matrice scalaire si et seulement si c est la matrice, dans n importe quelle base d un K-espace vectoriel de dimension n, d une homothétie Prop 16: L ensemble des matrices de M n (K) qui commutent avec toutes les autres est exactement l ensemble des matrices scalaires IV4 Matrices symétriques, antisymétriques Déf 15: Une matrice carrée A = (a ij ) M n (K) est dite symétrique (resp antisymétrique) si t A = A (resp t A = A) On notera S n (K) l ensemble des matrices symétriques d ordre n et A n (K) l ensemble des matrices antisymétriques d ordre n Prop 17: S n (K) et A n (K) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de M n (K), de dimensions respectives n(n + 1) n(n 1) et 2 2 Soit E = M n(k) et soit s : E E A t A On vérifie facilement que s est linéaire et que s 2 = Id E Ainsi, s est une symétrie On a : A Inv(s) A = t A A symétrique; A Opp(s) A = t A A antisymétrique On obtient ainsi que l ensemble S n(k) des matrices symétriques d ordre n et l ensemble A n(k) des matrices antisymétriques d ordre n sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E De plus, la décomposition de A M n(k) comme somme (de façon unique) d une matrice symétrique et d une matrice antisymétrique est : A = A + t A 2 }{{} sym + A t A 2 }{{} antisym Soit A S n(k) A = a ij E ij = a ii E i + a ij (E ij + E ji ) i,j i i<j Cours PSI* TLEGAY Lycée d Arsonval 13/19 31 août 2018

14 Ainsi la famille formée des E ii pour 1 i n et des E ij + E ji pour 1 i < j n est une famille génératrice ( de S n(k) Il ) n n(n+1) est facile de vérifier que cette famille est libre; c est donc une base de S n(k), et elle a pour cardinal n + 2 = 2 IV5 Matrices par blocs Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n 1, E 1 et E 2 deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E, dim(e 1 ) = p, dim(e 2 ) = n p, B 1 et B 2 deux bases de E 1 et E 2 respectivement, et B = B 1 B 2, de sorte que B est une base de E Soit u L (E), et A = M B (u), écrite par blocs sous la forme : [ ] A1 B 2 p A = B 1 A 2 n p p (on remarquera que A 1 et A 2 sont des matrices carrées, que A 1 = M B1 (p 1 u E1 ) et que A 2 = M B2 (p 2 u E2 ), où p 1 (resp p 2 ) sont les projections sur E 1 (resp E 2 ) parallèlement à E 2 (resp E 1 )) Alors : Théorème 9: 1 E 1 est stable par u B 1 = 0 2 E 2 est stable par u B 2 = 0 n p Déf 16: 1 Ainsi, si E 1 est stable par u, A est de la forme : [ A1 0 ] B 2 A 2 Une telle matrice est dite triangulaire supérieure par blocs A 1 est alors la matrice de l endomorphisme induit par u sur E 1 [ ] A1 0 2 Si E 1 et E 2 sont stables par u, A est de la forme 0 A 2 Une telle matrice est dite diagonale par blocs A 1 et A 2 sont alors les matrices des endomorphismes induits u E1 et u E2 Prop 18: L ensemble des matrices de la forme par multiplication [ ] A1 B 2 p 0 A 2 n p p n p est un sous-espace vectoriel de M n (K), stable On peut faire une démonstration calculatoire en utilisant les opérations sur les matrices par blocs Plus astucieusement, on démontre que l ensemble des endomorphismes de E laissant stable E 1 est une sous-algèbre de L (E), ce qui est immédiat Prop 19: A = [ ] A1 B 2 p 0 A 2 n p p n p Et, dans ce cas, A 1 est de la forme : A 1 = est inversible si et seulement si A 1 et A 2 le sont [ A 1 1 B 2 ] 0 A 1 2 p n p p n p Cours PSI* TLEGAY Lycée d Arsonval 14/19 31 août 2018

15 Corollaire 191: [ ] A1 0 A = est inversible si et seulement si A 0 A 1 et A 2 le sont 2 [ ] A Et, dans ce cas, A 1 est égale à : A 1 1 = A 1 2 Rem: Les résultats ci-dessus se généralisent sans difficulté aux cas des matrices triangulaires supérieures par A 11 A 1n blocs, de la forme : 0, où les A ii sont des matrices carrées, A nn et aux matrices diagonales par blocs de la forme A A nn V Changements de base V1 Matrices de passage Déf 17: Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, et B = (e 1,, e n ) et B = (e 1,, e n ) deux bases de E On appelle matrice de passage de B à B la matrice du système (e 1,, e n ) dans la base B On la note P B B ou P B,B Ainsi, la j-ème colonne de P B B est formée des coordonnées de e j dans B Interprétations : P B B est aussi la matrice, dans la base B de l endomorphisme u de E défini par : i 1 ; n, u(e i ) = e i P B B Conséquences: est aussi la matrice, dans les bases B et B de l application Id E, c est-à-dire M B B (Id E) 1 Si B, B et B sont trois bases de E, on a : P B B = P B B P B B ( ) 1 2 P B B est inversible et P B B = P B B Cours PSI* TLEGAY Lycée d Arsonval 15/19 31 août 2018

16 1 Démonstration savante : On a le diagramme suivant (E, B ) u=id E P B B (E, B ) v=id E P B B v u=id E (E, B) P B B et il suffit d écrire que la matrice de v u est égal au produit des matrices de v et u Démonstration plus élémentaire : (mais c est en fait la même) En notant A = P B B, B = PB B k 1 ; n, e k = et C = PB B, et les autres notations évidentes, on a : ( n n n ) ( n n ) b jk e j = b jk a ij e i = a ij b jk e i i=1 i=1 Ainsi la coordonnée c ik de e k sur e i est-elle égale à : c ik = n a ij b jk ce qui signifie, par la formule du produit matriciel, que l on a C = AB 2 On applique la relation précédente avec B = B V2 Formules de changement de bases Prop 20: Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, B et B deux bases de E, et P la matrice de passage de B à B Soit x un vecteur de E, X la matrice colonne de ses coordonnées dans B et X celle de ses coordonnées dans B On a alors la relation : X = P X Démonstration savante : On a le diagramme suivant (E, B ) u=id E P B B (E, B) (x, X ) u=id E (x, X) Démonstration plus élémentaire : En notant P = (a ij ) et avec des notations naturelles on a, pour tout i 1 ; n : ( n n n ) ( n n ) x = x j e j = x j a ij e i = a ij x j e i donc x i = n a ij x j pour tout i, c est-à-dire X = P X par la formule du produit matriciel i=1 i=1 Cours PSI* TLEGAY Lycée d Arsonval 16/19 31 août 2018

17 Prop 21: Soient : E un K-espace vectoriel de dimension q, muni de deux bases et B E F un K-espace vectoriel de dimension p, muni de deux bases B F et B F P GL q (K) la matrice de passage de à B E Q GL p (K) la matrice de passage de B F à B F Soit enfin u L (E, F), A = M BF (u) et A = M B F B E(u) (A, A M p,q (K)) On a alors la relation : A = Q 1 AP Démonstration savante : Encore un beau diagramme qui explique tout (E, B E ) Id E P (E, ) u A (F, B F ) Q (F, B F ) Id F (QA )Id F u u Id E (AP ) A u Démonstration plus élémentaire : Soit x un vecteur de E, et X, X les matrices colonnes de ses coordonnées dans et B E Soit ensuite y = u(x), et Y, Y les matrices colonnes de ses coordonnées dans B F et B F On a alors, d après les résultats précédents : X = P X, Y = QY, Y = AX et Y = A X On en tire : Y = AX et Y = QY impliquent AX = QA X = QA P 1 X, et comme cela est vrai pour tout X M q,1 (K) on en déduit A = QA P 1 Corollaire 211: Cas d un endomorphisme : Soient : E un K-espace vectoriel de dimension n, muni de deux bases et B E P GL n (K) la matrice de passage de à B E u L (E), A = M BE (u) et A = M B E (u) (A, A M n (K)) On a alors la relation : A = P 1 AP Théorème 10: Toute matrice A M p,q (K), de rang r, peut s écrire sous la forme : où A = Q 1 J r P Q GL p (K), P GL q (K) et J r = [ ] Ir 0 r,q r 0 p r,r 0 p r,q r Rem: D après la proposition 8 page 8, la réciproque du théorème précédent est vraie : si A = Q 1 J r P avec P et Q inversibles, alors rg A = rg J r = r Cours PSI* TLEGAY Lycée d Arsonval 17/19 31 août 2018

18 Corollaire 101: Si A M p,q (K), rg A = rg t A [ ] Ir 0 Si A est de rang r, elle est équivalente àj r = r,q r : il existe Q GL 0 p r,r 0 p(k) et P GL q(k) telles que p r,q r [ ] A = Q 1 J rp Alors t A = t P t J t r Q 1 donc t A a même rang que t Ir 0 J r = r,p r, qui est de rang r 0 q r,r 0 q r,p r V3 Matrices semblables Déf 18: On dit qu une matrice carrée A M n (K) est semblable à la matrice A M n (K) s il existe P GL n (K) telle que A = P 1 AP Cela équivaut à dire que A et A sont les matrices, dans deux bases différentes, d un même endomorphisme u d un espace vectoriel de dimension n Exercice: Montrer que la matrice : A = est semblable à la matrice : B = VI Trace d une matrice, d un endomorphisme Déf 19: On appelle trace d une matrice carrée A = (a ij ) M n (K) le scalaire : n tr A = a ii i=1 Théorème 11: 1 L application tr : M n (K) K est une forme linéaire 2 A M n,p (K), B M p,n (K), tr(ab) = tr(ba) Rem: Soient A, B, C M n (K) Le résultat ci-dessus donne : tr(abc) = tr(bca) = tr(cab) mais on n a pas tr(abc) = tr(bac) en général ( ) ( ) Exemple : A =, B =, C = ( ) Cours PSI* TLEGAY Lycée d Arsonval 18/19 31 août 2018

19 Théorème 12: Deux matrices carrées semblables ont même trace En effet, tr(p 1 AP ) = tr(p P 1 A) = tr A Déf 20: Soit E un K-espace vectoriel de dimension n 1, et u L (E) Pour toute base B de E, le scalaire tr ( M B (u) ) ne dépend donc pas de la base B choisie Ce scalaire s appelle la trace de l endomorphisme u, noté tr u Propriétés: 1 L application tr : L (E) K est une forme linéaire 2 u, v L (E), tr(v u) = tr(u v) Prop 22: Soit E un K-espace vectoriel de dimension n 1 Si p est un projecteur de E, alors : tr p = rg p 2 Si E 1 et E 2 sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E et si s est la symétrie par rapport à E 1 de direction E 2, alors : tr s = dim(e 1 ) dim(e 2 ) Cours PSI* TLEGAY Lycée d Arsonval 19/19 31 août 2018