Les droites dans un repère

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1 R.Oppé Chapitre Bac Pro Les droites dans un repère Les apprentissages : Comment construire une droite? Comment trouver l équation d une droite? Les outils et leurs modes d emploi : ( à consulter chaque fois que nécessaire ) o les différents repères o méthode de repérage d un point

2 Activités Transformer un énoncé sous forme mathématique : Une famille circule en voiture à une vitesse moenne de 65 km/h. Le déplacement prévu a pris 7h. Problème posé : quelle a été la distance parcourue? o Calculons les distances parcourues pour certains temps de parcours. C est le tableau de valeurs. Temps t (en h) Distance d (en km) d/t Réponse au problème posé : entre 9 et 5 km pour 7 h de parcours o Trouvons la formule qui permet de calculer la distance parcourue pour un temps donné. C est la relation ou l équation. d = 65 t avec d la distance et t le temps la vitesse étant de 65 km/h Réponse au problème posé : d = 65 7 = 55 km pour 7 h de parcours o Représentons par un dessin les valeurs du tableau. C est la représentation graphique. distance en km km temps en h 7 h Réponse au problème posé : par lecture 5 km pour 7 h de parcours Bac Pro Chapitre Les droites dans un repère

3 Activités Transformer un ème énoncé sous forme mathématique : Le réservoir d une voiture contient au départ 6 l d essence. La voiture consomme 8 l d essence au km. Problème posé : quelle distance peut-elle parcourir? o Calculons les quantités d essence restant dans le réservoir pour certaines distances parcourues. C est le tableau de valeurs. Distance parcourue d (en km) Volume restant V (en l) = = = = = = o Trouvons la formule qui permet de calculer la distance parcourue pour un temps donné. C est la relation ou l équation. V = 6.8 d avec V le volume d essence restant dans le réservoir et d la distance la consommation étant de 8 l au km ou.8 l/km o Représentons par un dessin les valeurs du tableau. C est la représentation graphique. volume en l distance en km 75 km Réponse au problème posé : la distance sera parcourue quand le réservoir sera vide : V = l = 6.8 d.8 d = 6 6 d = d =75 km.8 confirmé par le tableau de valeurs et la lecture graphique Bac Pro Chapitre Les droites dans un repère

4 . COMMENT DEFINIR UNE DROITE par points par un point et une pente ou coefficient directeur POUR CELA IL FAUT UN REPERE C est-à-dire un quadrillage et aes ae des ordonnées ae des abscisses - - j O i Repère orthonormal Repère orthogonal ET UNE METHODE DE REPERAGE DES POINTS D ( - ; ) A ( ; ) le principe c est : M ( l abscisse ; l ordonnée ) C ( - ; - ) - - B ( ; - ) Bac Pro Chapitre Les droites dans un repère

5 A UNE DROITE CORRESPOND UNE EQUATION (OU UNE RELATION) ET INVERSEMENT A UNE EQUATION CORRESPOND UNE DROITE Eemple : la relation = = + (-)+= += - (-)+= -+= - += +=...+= +=...+= += 5 += 6+= = o à une valeur de donné correspond une valeur de calculée ; ces valeurs donnent un point dans le repère ; l ensemble des points forme une droite et une seule et à l inverse o un point quelconque de la droite vérifie l équation ou la relation Bac Pro Chapitre Les droites dans un repère 5

6 Eemple : la relation = - (-) = = = = = Bac Pro Chapitre Les droites dans un repère 6

7 . UN PEU DE VOCABULAIRE LA FONCTION LINEAIRE a / a a a un tableau de proportionnalité de coefficient de proportionnalité a les trois éléments sont liés une équation du tpe: une droite passant = a par l origine du repère = a = un nombre de coefficient directeur a - LA FONCTION AFFINE une équation du tpe: = a + b = a + b = un nb + un nb les trois sont liés = a + b un tableau de valeurs sans proportionnalité - - une droite ne passant pas par l origine du repère de coefficient directeur a Bac Pro Chapitre Les droites dans un repère 7

8 . COMMENT CONSTRUIRE UNE DROITE CONNAISSANT SON EQUATION POUR LES FONCTIONS LINEAIRE DU TYPE : = a METHODE :: er Eemple : ème eemple : = = - La représentation graphique donne obligatoirement une droite passant par l origine du repère O Il suffit de trouver un ème point en complétant un tableau à cases = = - = = - = a une valeur simple à choisir un calcul à effectuer en utilisant la relation = Placer le ème point et tracer la droite passant par ce point et l origine =- Remarques : quand a> comme a= dans le er eemple la pente est ascendante la fonction est croissante quand a< comme a=- dans le ème eemple la pente est descendante la fonction est décroissante Bac Pro Chapitre Les droites dans un repère 8

9 POUR LES FONCTIONS AFFINE DU TYPE : = a + b METHODE :: La représentation graphique donne obligatoirement une droite mais ne passant pas par l origine du repère Il suffit de trouver points en complétant un tableau à 6 cases = a un er choi de un calcul de correspondant un ème choi un calcul de correspondant Placer les points et tracer la droite passant par ces points er Eemple : = - -= -= = =- Vérifications: quand a> la fonction est croissante quand a< la fonction est décroissante pour = = a + b = b l ordonnée à l origine b est l ordonnée du point d intersection de la droite avec l ae vertical ème eemple : = = - += = =-+ - Bac Pro Chapitre Les droites dans un repère 9

10 OU PAR LA METHODE DU COEFFICIENT DIRECTEUR METHODE :: La représentation graphique donne obligatoirement une droite. Il suffit de trouver point en complétant un tableau à cases = a = a +b un choi simple eemple = le calcul de correspondant = origine du repère =b intersection avec l'ae vertical et une pente (coefficient directeur) mais sous forme de fraction a = Δ Δ Δ dénominateur horizontal Δ numérateur vertical er Eemple : ème eemple : = = - = ou =- a = = ou = ce qui donne l origine du repère car les fonctions sont linéaires - 5 a = - = ou = = Placer le point, matérialiser la pente ou le coefficient directeur et tracer la droite. - =- -5 ème eemple : = - + intersection = - sur la verticale + à pente : a = - = - - =-.5+ Bac Pro Chapitre Les droites dans un repère

11 . COMMENT TROUVER L EQUATION D UNE DROITE CONNAISSANT POINTS DE LA DROITE. METHODE :: Tracer le repère et placer les points L équation est de la forme : = a + b B( B ; B A( A ; A ) Δ Δ Eemple : trouver l équation de la droite passant par les points : A ( ; ) et B ( ; 5) 5 B A Δ Δ o pour le calcul du coefficient directeur a : Δ a = = Δ a est trouvé B A B A o pour le calcul de b : =a+b il suffit de remplacer les coordonnées d un des points dans l équation = a + b (avec a déjà remplacé) une résolution rapide permet de calculer b b est trouvé o Calcul du coefficient directeur a : a = 5 - = = l équation devient : = + b o calcul de l ordonnée à l origine : remplaçons les coordonnées de B(= ;=5) dans = + b ou A(= ;=) dans = + b 5 = + b ou = + b 5 = 6 + b = + b 5-6 = b 5-6 = b - = b b = - - = b b = - D où l équation de la droite est : = - Bac Pro Chapitre Les droites dans un repère