Chapitre. Calcul matriciel. Sommaire. 1 Notions fondamentales

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1 Chapitre Calcul matriciel Les matrices sont les outils de base dans le calcul en plusieurs dimensions Ce chapitre présente l ensemble de leurs propriétés et bien qu il soit axé sur les techniques de calcul, il ne faudra pas perdre de vue qu en pratique une matrice représente toujours quelque chose : des coordonnées de vecteurs, une application linéaire, une équation ou un système d équations, un changement de bases, etc Sommaire 1 Notions fondamentales Définitions Lien avec les applications linéaires Le produit matriciel Transposition 2 Matrices carrées Définition Opérations sur les matrices carrées Matrices inversibles Matrices par blocs 3 Les déterminants Définition Propriétés du déterminant Calcul d un déterminant par récurrence Applications des déterminants Diaporama Liste des énoncés 1 Notions fondamentales Une matrice de type (n, p) avec n et p entiers > 0 est un tableau de nombres formé de n lignes et p colonnes : a 11 a 1p A = n,p (K) a n1 a np où K désigne soit R soit C On peut la noter aussi de façon plus condensée : A = (a i j ) n j=1p Par convention, le premier indice (i et n) est celui des lignes, tandis que le second (j et p) est celui des colonnes On définit 2 opérations sur les matrices : L addition (a i j ) n + (b i j ) n = (a i j + b i j ) n j=1p j=1p j=1p La multiplication par un scalaire λ(a i j ) n = (λa i j ) n j=1p j=1p On reconnaît les opérations usuelles d un espace vectoriel Cours de mathématiques, Spé PC [Raphaël Dieu - 10/2018] page 1

2 Proposition (Espaces vectoriels de matrices) L ensemble n,p (K) muni des opérations + et précédentes est un espace vectoriel sur K REMARQUE On a une base canonique dans n,p (K) : E 11 =, E 12 =,, E np = 0 1 où le 1 prend toutes les positions successives dans la matrice La décomposition d une matrice A = (a i j ) n dans cette base est : j=1p A = a i j E i j On en déduit la dimension de n,p (K) : n j=1p dim K n,p (K) = n p Lien avec les applications linéaires Une matrice peut se visualiser en colonnes A = a 11 a n1 a 1j a nj a 1p a np n,p (K) Y 1 Y j Y p Chaque colonne Y j de A représente un vecteur v j = a 1j,, a nj K n En pratique, on va les identifier, c est-à-dire considérer que Y j = v j On appelle cela l identification canonique L identification canonique consiste à considérer les colonnes d une matrice comme des vecteurs L application linéaire f L(K p, K n ) qui transforme la base canonique c = (e 1,, e p ) de K p en les vecteurs colonne (v 1,, v p ) de A est dite canoniquement associée à A (on peut parfois même identifier canoniquement A à f ) 1 1 EXEMPLE On considère la matrice A = (R) L application linéaire canoniquement associée est f : R 2 R 2 telle que f (e 1 ) = v 1 = e 1 et f (e 2 ) = v 2 = 1 2 e 1 + e 2 On peut visualiser cela en observant la déformation d une figure usuelle page 2 Chapitre Calcul matriciel

3 v2 e2 e1 v1 Transformation d une figure (par transvection) Toutes sortes de transformations sont ainsi possibles (projections, rotations, syme tries, dilatations, homothe ties ) I EXERCICE 1 Quelles sont les applications line aires canoniquement associe es aux matrices suivantes? 2 0 A= B= C= cos θ D= sin θ sin θ cos θ Pre ciser leurs effets sur la figure pre ce dente par exemple Calcul d une image La connaissance seule des images des vecteurs de base permet par line arite de calculer l image de n importe quel vecteur de l espace Il suffit pour cela de le de composer Soit x = (x 1,, x p ) K p et y = f (x) = ( y1,, yn ) Kn, alors par line arite de f, on a : y=f p X x i ei = p X x i f (ei ) = p X x i vi En revenant aux composantes, on a donc : Y = y1 = a11 x a1p x p a11 y1 (S) = yn an1 yn = an1 x anp x p A X a1p x1 xp anp L e criture Y = AX fait intervenir un produit matriciel (dont on va rappeler la de finition apre s) On remarquera l analogie e vidente avec l e criture y = ax avec x, y, a R qui de finit les applications line aires de R dans R I On retiendra que les trois e critures suivantes sont e quivalentes : e criture vectorielle e criture analytique e criture matricielle y = f (x) y1 = a11 x a1p x p (S) yn = an1 x anp x p Y = AX Cours de mathe matiques, Spe PC [Raphae l Dieu - 10/2018] page 3

4 Par exemple trouver le noyau de f (ou de A) revient à résoudre : f (x) = 0 AX = 0 (S) avec y 1 = = y n = 0 De même Im f (ou Im A) est par définition : Im f = f (K p ) = f Vect e 1,, e p = Vect v 1,, v p soit l espace engendré par les colonnes de A En particulier, le rang de A est : rg A = rg f = dim Vect v 1,, v p et on a la formule du rang, rg A = dim K p dim ker A = p dim ker A, p étant la dimension de l espace de départ de f, soit le nombre de colonnes de A Trouver un noyau revient à résoudre un système Une image se lit directement en colonnes REMARQUE Plus généralement, on peut remplacer partout K p par E espace de dimension p muni d une base = (e 1,, e p ) et K n par F espace de dimension n muni d une base = (e 1,, e ) et associer n à A l application linéaire f de E dans F par rapport aux bases et : A = M, (f ) La seule différence est que les colonnes de A sont maintenant des coordonnées au lieu d être directement des vecteurs Dans ce cas, on ne parle plus d identification canonique, mais de représentation dans des bases Opérations sur les applications linéaires Soient f, g L(E, F) et λ K où E et F sont deux espaces vectoriels sur K On définit : f + g : E F et λ f : E F x f (x) + g(x) x λf (x) Ces opérations vont nous permettre de décomposer des applications linéaires en combinaisons linéaires d applications plus simples (notamment des projecteurs, technique de réduction), tout comme on le fait déjà avec les vecteurs EXEMPLES L homothétie de E de rapport λ 0 est l application h λ définie sur E par h λ (x) = λx On peut l écrire sous la forme h λ = λ id La symétrie de E par rapport à F parallèlement à G où F G = E est l application s définie sur E par s(x) = x F x G où x = x F + x G est l unique décomposition de x selon la somme directe F G On peut écrire s comme une combinaison de projecteurs, s = p F p G Les opérations sur les applications linéaires se traduisent matriciellement page 4 Chapitre Calcul matriciel

5 Proposition (Structure d espace vectoriel de L(E, F)) L ensemble L(E, F) muni des opérations + et définies précédemment est un espace vectoriel sur K Si dim E = p et dim F = n et que l on fixe des bases et de E et F respectivement, alors l application : M, : L(E, F) n,p (K) f M, (f ) est un isomorphisme d espaces vectoriels En particulier, l espace L(E, F) est de dimension finie et dim L(E, F) = dim n,p (K) = n p En choisissant des bases, toute opération sur des matrices se traduit par la même opération sur des applications linéaires et vice versa Le produit matriciel On généralise la définition déjà donnée de la manière suivante : b 1j a i1 a ip b p j A n,p (K) B p,q (K) = c i j C n,q (K) Pour simplifier l écriture, on n a représenté que les coefficients entrant en jeu dans la définition i v1, nw, j v1, qw, c i j = a i1 b 1j + + a ip b p j = C est un produit ligne par colonne ; noter la condition d existence : p a ik b k j k=1 type(n, p) type(p, q) = type(n, q) On a déjà vu que ce produit permet d obtenir l image d un vecteur (Y = AX ) Plus généralement, ce produit s interprète comme une composition d applications linéaires E,dim q g F,dim p f f g G,dim n On a A = (a i,j ) n j=1p B = (b i, j ) p j=1q C = (c i, j ) n j=1q = M, (f ) = M, (g) = M, (f g) alors C = AB Cours de mathématiques, Spé PC [Raphaël Dieu - 10/2018] page 5

6 PREUVE Il suffit de calculer : p f g(e j ) = f b k j e = k k=1 p b k j f (e k ) = k=1 p n k=1 b k j a ik e = i n p a ik b k j e i k=1 }{{} c i j par linéarité de f et en intervertissant l ordre des symboles dans la dernière égalité On en déduit deux propriétés de la multiplication des matrices : Proposition (Propriétés du produit matriciel) Le produit matriciel est associatif (on peut déplacer les parenthèses) et distributif par rapport à l addition (on peut développer) Il commute avec la multiplication par un scalaire (on peut déplacer un scalaire dans un produit de matrices) Le déplacement d un scalaire dans un produit matriciel est appelé voyage des scalaires Attention : toute autre propriété de la multiplication est fausse pour les matrices Le produit matriciel n est pas commutatif : en général, AB BA On ne peut pas simplifier par des matrices : on peut avoir AB = 0 avec ni A ni B nulle On peut avoir AB = AC avec A 0 et B C On donnera des exemples lors de l étude des matrices carrées Transposition Transposer une matrice consiste à écrire ses lignes en colonnes : a 11 a 1p Si A = n,p (K), a 11 a n1 a n1 a np alors t A = p,n(k) a 1p a np Pour respecter la règle habituelle sur les indices (ligne, colonne), on a donc : A = (a i j ) n j=1p = t A = (a i j ) p j=1n avec a i j = a ji (ce n est pas la lettre i ou j qui indique un numéro de ligne ou de colonne, mais sa position) À part cela, la transposition est une opération très simple : Proposition L application t : n,p (K) p,n (K) est une application linéaire A t A On trouve aussi la notation A T = t A pour la transposition EXERCICE 2 Montrer que si A et B sont deux matrices que l on peut multiplier, alors t (AB) = t B t A page 6 Chapitre Calcul matriciel

7 Soient X, Y R n deux vecteurs identifiés à des matrices colonnes de n,1 (R) Donner une interprétation géométrique du produit t XY Quelle différence y-a-t-il avec X t Y? EXERCICE 3 La transposition permet de représenter matriciellement un produit scalaire 2 Matrices carrées Une matrice est carrée si elle a autant de lignes que de colonnes a 11 a 1n A = n,n (K) = n (K) a n1 a nn On sait donc déjà que n (K) est un espace vectoriel de dimension n 2 sur K De plus, l application f canoniquement associée à A vérifie C est un endomorphisme de K n f L(K n, K n ) = L(K n ) Plus généralement, si E est un espace vectoriel de dimension n sur K muni d une base = (e 1,, e n ), on peut voir A comme la matrice d un endomorphisme f de E dans la base c est à dire que f (e j ) = A = M, (f ) = M (f ) n a i j e i = v j correspond à la j ième colonne de A On prend donc le même espace et la même base au départ et à l arrivée Opérations sur les matrices carrées L addition ou la multiplication de deux matrices carrées A, B n (K) sont toujours possibles et redonnent des matrices carrées, c est-à-dire que A + B et AB sont encore dans n (K) C est une propriété de stabilité Proposition (Propriétés de n (K)) L ensemble n (K) des matrices carrées à coefficients dans K est stable par addtition et produit matriciel 1 0 La matrice I n = (diagonale de 1) est neutre pour le produit matriciel dans n (K) 0 1 On l appelle matrice identité d ordre n Pour toute matrice A n (K), on a AI n = I n A = A Cours de mathématiques, Spé PC [Raphaël Dieu - 10/2018] page 7

8 En particulier, on peut définir les puissances successives d une même matrice A On pose pour tout entier k 1 A 0 = I n (par convention), A 1 = A, A 2 = A A,, A k = A A (k fois) En terme d endomorphisme, ces puissances correspondent à des puissances de composition Avec les notations précédentes, on pose f 0 = id E, f 1 = f, f 2 = f f et f k = f f f (k fois) Géométriquement, cela revient à appliquer plusieurs fois de suite l endomorphisme f Attention à la convention A 0 = I n et f 0 = id E REMARQUES En général, deux matrices quelconques A et B dans n (K) ne commutent pas, c est-à-dire que AB BA Cela se produit dès que n 2 : = et = A B B A En particulier, les identités remarquables (qui sont toutes basées sur la commutativité) ne sont plus valables avec des matrices quelconques : (A + B) 2 = (A + B)(A + B) = A 2 + AB + BA + B 2 (A + B)(A B) = A 2 AB + BA B 2 Si deux matrices particulières A et B vérifient AB = BA, on dit qu elles commutent Dans ce cas elles vérifient les identités remarquables habituelles Proposition (Identités remarquables) Si A et B dans n (K) commutent, c est-à-dire AB = BA, alors on a : Formule du binôme : p 0, (A + B) p = p p A k B p k k L identité remarquable : A p B p = (A B)(A p 1 + A p 2 B + + B p 1 ) k=0 En général, une matrice quelconque A n (K), n a pas d inverse A On peut avoir AB = 0 avec A et B non nulles = A 0 B 0 Dans un produit, on ne peut pas simplifier par une matrice, même non nulle On peut avoir A 0 et A n = 0 pour un certain entier n Une telle matrice est dite nilpotente : = 0 Ce genre de matrice est très utile pour la formule du binôme 1 2 A 0 page 8 Chapitre Calcul matriciel

9 EXERCICE 4 Soient A, B n (K) Montrer que si X K n, on a AX = BX, alors A = B EXERCICE 5 Rappeler la définition d une matrice triangulaire supérieure (puis inférieure) Montrer que le produit de deux matrices triangulaires supérieures est encore triangulaire supérieure EXERCICE 6 Rappeler la définition d une matrice diagonale Calculer les puissances d une telle matrice Matrices inversibles Une matrice quelconque A n (K) n admet pas forcément d inverse On pose la définition suivante Définition et proposition (Matrice inversible) Une matrice A n (K) est inversible s il existe B n (K) telle que AB = I n On a alors aussi BA = I n et on note B = A 1 PREUVE On note f et g les endomorphismes de K n associés recpectivement à A et B de sorte que AB = I n se traduit par f g = id On en déduit que x K n, x = f (g(x)), donc f est surjective, soit rg f = n Par la formule du rang, on en déduit que f est aussi injective, donc elle est bijective Finalement, on a g = f 1, donc g f = id, soit matriciellement BA = I n Plus généralement, si f L(E), un espace vectoriel de dimension n muni d une base, alors on a : M (f 1 ) = M (f ) 1 NOTATION On note GL n (K) n (K) l ensemble des matrices carrées n n qui sont inversibles GL n (K) s appelle le groupe linéaire d ordre n GL n (K) est stable par produit matriciel et inversion Pour A, B GL n (K), on a En outre on a trivialement I 1 n (AB) 1 = B 1 A 1 et (A 1 ) 1 = A = I n, donc I n GL n (K) De même on note GL(E) l ensemble des automorphismes de E ; c est le groupe linéaire de E Caractérisation des matrices inversibles Une matrice A n (K) est inversible si et seulement si l une des conditions suivantes est vérifiée (i) Son noyau est nul (ses colonnes sont linéairement indépendantes), (ii) Son rang est égal à n (ses colonnes engendrent K n ), (iii) Son déterminant est non nul (ses colonnes forment une base de K n ) En fait, on peut remplacer partout colonnes par lignes car : t (AA 1 ) = t A 1 t A = t I n = I n Donc A GL n (K) t A GL n (K) Dans ce cas, t (A 1 ) = ( t A) 1 Cours de mathématiques, Spé PC [Raphaël Dieu - 10/2018] page 9

10 EXERCICE 7 Calculer l inverse de la matrice A = par la méthode du pivot Vérifier ensuite en recalculant le produit EXERCICE 8 Interpréter les opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes (échange, combinaisons linéaires) d une matrice par des produits matriciels EXERCICE 9 Montrer que l inverse d une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) est encore une matrice triangulaire (idem) Matrices par blocs Travailler par blocs, consiste à décomposer une matrice en sous-matrices plus petites, donc plus simples à utiliser Les opérations matricielles peuvent alors s effectuer par blocs de manière habituelle EXEMPLE Soient A = et B = On partitionne les matrices A et B sous la forme suivante (par exemple), A = A11 A = 12 A 21 A et B = B11 B = 12 B 21 B On peut alors calculer la somme A+ B et le produit A B par blocs En effet, dans ce cas, les tailles des blocs sont compatibles avec ces opérations On obtient A11 + B A + B = 11 A 12 + B 12 A11 B et A B = 11 + A 12 B 21 A 11 B 12 + A 12 B 22 A 21 + B 21 A 22 + B 22 A 21 B 11 + A 22 B 21 A 21 B 12 + A 22 B 22 Ce type de calcul se généralise à des matrices de taille quelconque, avec un nombre quelconque de blocs Bien vérifier la compatibilité des tailles des blocs avec les opérations Au delà de l aspect purement algébrique, le partitionnement en blocs des matrices revient à décomposer l espace en somme sous-espaces plus petits et décomposer les endomorphismes sur ces sous-espaces Soit f L(E) où E est un espace vectoriel de dimension n sur K Définition (Sous-espace stable par un endomorphisme) On dit qu un sous-espace F de E est stable par f si pour tout x F, on a f (x) F Dans ce cas, la restriction de f à F est un endomorphisme de F appelé endomorphisme induit par f sur F EXEMPLES f (0) = 0 E est stable par f car f est un endomorphisme de E L espace nul {0} l est aussi car Dans l espace euclidien usuel R 3, le plan d une réflexion f est stable par f Une droite D = Vect(x) est stable par f si et seulement s il existe un scalaire λ K tel que f (x) = λx On dit alors que D est une direction propre de f page 10 Chapitre Calcul matriciel

11 EXERCICE 10 EXERCICE 11 Montrer que si f 0 stabilise toutes les droites de E alors f est une homothétie (résultats à connaître) Montrer que si f et g sont deux endomorphismes de E qui commutent, c est à dire que f g = g f, alors ker f et Im f sont stables par g Proposition (Caractérisation matricielle de la stabilité) Un sous-espace F de E est stable par f si et seulement si la matrice A de f dans une base adaptée à F est triangulaire par blocs, c est-à-dire de la forme : A A = B 0 C, avec A p (K), p = dim F A est la matrice de l endomorphisme induit par f sur F PREUVE Une base adaptée à F est de la forme = (e 1,, e p, e p+1,, e n ), où (e 1,, e p ) est une base de F Notons A = ( a i j ) i,j v1,nw = M (f ) Si F est stable par f, alors en particulier, j v1, pw, on a f (e j ) F, donc λ 1,, λ p K tels que f (e j ) = Or par définition de la matrice A, on a aussi f (e j ) = base, on en déduit que p λ i e i n a i j e i Par unicité de la décomposition dans une λ 1 = a 1j,, λ p = a p j et a i j = 0 pour i > p La matrice A a donc bien la forme indiquée De plus, les colonnes de A représentent les coordonnées des vecteurs images de la base (e 1,, e p ) de F, donc c est la matrice de l endomorphisme induit par f dans F Réciproquement, si A est de la forme indiquée, on considère x F et on montre que f (x) F Le vecteur x se décompose sous la forme x = p x ie i (en s arrêtant à l indice p), donc par linéarité de f, f (x) = p x i f (e i ) D après la forme de la matrice A, on a f (e i ) F, donc par stabilité d un sous-espace par combinaisons linéaires, on a f (x) F Plus généralement, on peut pousser la décomposition plus loin Proposition Soit E = F 1 F 2 F p une décomposition de E en somme directe, alors f stabilise chacun des sous-espaces F i si et seulement si sa matrice dans une base adaptée à la somme directe est diagonale par blocs, c est à dire de la forme : où A i est une matrice carrée de taille dim F i A 1 A 2 0 A = 0 Ap PREUVE Une base adaptée à la somme directe est de la forme = ( 1,, p ) où chaque i = (e i1,, e ini ) est une base de F i Pour i vi, pw, F i est stable par f si et seulement si j v1, n i w, f (e i j ) F i donc est combinaison linéaire des vecteurs de i seulement Cours de mathématiques, Spé PC [Raphaël Dieu - 10/2018] page 11

12 REMARQUE A i est la matrice dans la base i de l endomorphisme f i induit par f sur F i On peut recomposer f à partir des f i : soient x E et x i sa composante selon F i, alors : p f (x) = f i (x i ) et comme les F i sont en somme directe, cette écriture est unique EXEMPLES Une réflexion de l espace euclidien R 3 se décompose en l identité d un plan d une part et une symétrie centrale selon un axe orthogonal au plan F 2 id Matriciellement, on obtient, A = F 1 id (où les coefficients non écrits sont nuls) L affinité de rapport λ par rapport à F 1 parallèlement à F 2, où E = F 1 F 2 se décompose en l identité de F 1 d une part et une homothétie de F 2 d autre part A = 1 1 λ λ F 1 F 2 λ id id Matriciellement, les blocs reflètent le découpage de l espace : cela revient à mettre l espace «à plat» On visualise très facilement ainsi des espaces grande dimension EXERCICE 12 Que fait l endomorphisme de R 3 euclidien dont la matrice dans une base orthonormée est cos θ sin θ A = sin θ cos θ? 1 EXERCICE 13 Soient A et B deux matrices carrées de n (K) qui commutent Calculer les puissances A B sucessives de la matrice M = 0 A 3 Les déterminants Les déterminants fournissent un procédé de calcul simple permettant de détecter les dépendances linéaires Ils ont de très nombreuses applications en algèbre et en géométrie (recherche d éléments propres, calculs de volumes, ) On peut les définir pour des matrices, des familles de vecteurs ou des endomorphismes page 12 Chapitre Calcul matriciel

13 Soit A n (R) une matrice carrée On définit son déterminant en mesurant le volume occupé par ses vecteurs colonnes (notés Y i, i v1, nw) dans l espace R n Y 2 Y 3 Y 1 Y 2 Y 1 Volume en dimension 2 Volume en dimension 3 On parle ici de volume algébrique, dont le signe tient compte de l orientation Un tel volume est linéaire par rapport à chaque vecteur et change de signe par échange de deux vecteurs (propriété d antisymétrie) On généralise ensuite ces propriétés à des matrices à coefficients complexes Proposition et définition (Déterminant d une matrice carrée) Il existe une unique application det : n (K) K, A det(a) telle que det(i n ) = 1, det est linéaire par rapport à chaque colonne de sa variable A et antisymétrique par rapport aux colonnes de A det(a) est appelé déterminant de la matrice A On verra ultérieurement que det( t A) = det(a), donc toutes les propriétés du déterminant se traduisent aussi sur les lignes de A NOTATION Si A = (a i j ) i, j v1,nw, alors le déterminant de A se note matriciellement a 11 a 1n det(a) = a n1 a nn Toutefois, un déterminant n est pas une matrice En particulier, il n est pas linéaire par rapport à la matrice, mais multi-linéaire par rapport aux colonnes (et aux lignes) En général, det(a + B) det(a) + det(b) Un déterminant ne se comporte pas comme une matrice EXEMPLE Déterminant d une matrice diagonale a 11 0 Soit A = n (K) une matrice diagonale On a par multilinéarité 0 a nn C est le produit des éléments diagonaux 1 0 det(a) = a 11 a nn = a 11 a nn 0 1 Cours de mathématiques, Spé PC [Raphaël Dieu - 10/2018] page 13

14 Calcul d un déterminant par opérations élémentaires Plus généralement, l anti-symétrie et la multi-linéarité permettent d effectuer des opérations élémentaires sur les colonnes (ou les lignes) d un déterminant On distingue La permutation Y i Y j (échange) : le déterminant change de signe par anti-symétrie En particulier, si Y i = Y j, alors le déterminant est nul La dilatation (Y i λy i ) (multiplication par λ) : le déterminant est multiplié par λ par multilinéarité En particulier, si Y i = 0, alors le déterminant est nul La transvection (Y i Y i + λy j ) (combinaison linéaire) : le déterminant est inchangé par multilinéarité et anti-symétrie Ces opérations correspondent à des multiplications à droite (ou à gauche) par des matrices élémentaires EXERCICE 14 Calculer les déterminants = et = Un déterminant triangulaire est égal au produit de ses coefficients diagonaux EXERCICE 15 Rappeler les expressions des matrices élémentaires (permutation, dilatation, transvection) et donner leur déterminant Vérifier que leurs transposées ont le même déterminant Propriétés du déterminant On vient d établir qu un déterminant dont deux colonnes sont égales ou qui a une colonne nulle est nul Plus généralement, l annulation d un déterminant caractérise les dépendances linéaires c est-à-dire l inversibilité d une matrice Théorème (Caractérisation de l inversibilité) Soit A n (K), alors A est inversible si et seulement si det(a) 0 Les colonnes de A sont liées si elles occupent un volume nul PREUVE Si A est inversible, alors A est équivalente par colonnes à la matrice identité D après les règles de calcul précédentes, on en déduit que donc det(a) 0 det(a) = λ det(i n ) = λ avec λ K Réciproquement, si A n est pas inversible, alors l une de ses colonnes est combinaison linéaire des autres Par exemple n Y 1 = λ i Y i i=2 avec λ i K, i v2, nw Par linéarité du déterminant par rapport à la première colonne, on en déduit que n det(a) = λ i det(y i, Y 2,, Y n ) = 0 i=2 page 14 Chapitre Calcul matriciel

15 car tous les termes de la somme sont des déterminants ayant au moins deux colonnes égales On a vu qu en général le déterminant n est pas compatible avec l addition des matrices Par contre, il l est avec le produit matriciel Proposition (Déterminant d un produit ou d un inverse) Soient A, B n (K), alors det(ab) = (det A)(det B) Si A est inversible, alors det(a 1 ) = 1 det(a) PREUVE Pour le produit, on distingue deux cas Si la matrice A n est pas inversible, alors la matrice AB ne l est pas non plus, à cause du rang On a donc det(ab) = 0 = (det A)(det B) d après le théorème précédent Si A est inversible, alors on peut poser f (B) = det(ab), de sorte que f est une application linéaire par det A rapport à chaque colonne de B et anti-symétrique par rapport aux colonnes de B d après la définition du produit matriciel En outre, on a f (I n ) = det(a) det(a) = 1 Par unicité du déterminant, on a donc f = det et en particulier, f (B) = det(b), d où le résultat Pour l inverse, on applique ce qui précède avec B = A 1, soit det(aa 1 ) = det(i n ) = 1 = (det A)(det A 1 ), d où le résultat EXERCICE 16 En écrivant une matrice A comme produit de matrices élémentaires, justifier l égalité det( t A) = det(a) On distinguera le cas où A est inversible et celui où elle ne l est pas Calcul d un déterminant par récurrence À chaque coefficient a i j de la matrice A, on associe la sous-matrice A i j obtenue en supprimant la ligne i et la colonne j dans A, selon le schéma suivant A = a 11 a 1n a i j a n1 a nn On définit le cofacteur γ i j d indices i et j par la relation : A i j = γ i j = ( 1) i+ j det(a i j ) a 11 a 1n a n1 a nn } {{ } n 1 (K) ce qui se fait par récurrence car A i j n 1 (K) est d ordre inférieur à celui de A Le coefficient ( 1) i+ j prend alternativement les valeurs +1 et 1 et forme par conséquent un «damier de signe» + + ( 1) i+ j = + i, j=1n + + On a alors le résultat fondamental, Cours de mathématiques, Spé PC [Raphaël Dieu - 10/2018] page 15

16 Proposition (Développement selon une ligne ou une colonne) Avec les notations précédentes, on a n i v1, nw, det(a) = a i j γ i j (développement selon la ligne i) j v1, nw, det(a) = j=1 n a i j γ i j (développement selon la colonne j) ( ) PREUVE On se limite au développement selon la première ligne, le cas général se prouvant de manière analogue et le développement en colonne par transposition de la matrice On note Y 1,, Y n les colonnes de A et E 1,, E n les vecteurs de la base canonique de K n On considère le déterminant (écrit colonne par colonne), det(y 1 a 11 E 1,, Y n a 1n E 1 ) Ce déterminant a toute sa première ligne nulle, à cause des opérations effectuées, donc il est nul Par ailleurs en le développant par multilinéarité et en enlevant tous les termes nuls, c est-à-dire ceux où E 1 est répété, on obtient det(y 1 a 11 E 1,, Y n a 1n E 1 ) = det(a) où le E 1 se déplace en position j On en déduit que det(a) = n a 1j det(y 1,, E 1,, Y n ) j=1 n a 1j det(y 1,, E 1,, Y n ) j=1 Par antisymétrie, on effectue des permutations pour ramener E 1 en première position, soit det(a) = n a 1j ( 1) 1+ j det(e 1, Y 1,, Y n ) j=1 où le dernier déterminant ne contient pas la colonne Y j (qui a été remplacée par E 1 ) Par unicité du déterminant, on a reconnait det(a 1 j ) = det(e 1, Y 1,, Y n ) puisque ce dernier vaut 1 lorsque les Y 1,, Y n sont les vecteurs de base canonique E 2,, E n, d où le résultat EXEMPLES Calcul direct des déterminants d ordre 2 ou 3 a11 a Soit A 2 (K), A = 12 En développant selon la première ligne, on a a 21 a 22 det(a) = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 De même, si A 3 (K), on a, toujours par développement selon la première ligne, a 11 a 12 a 13 det A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a = a a 22 a a 32 a 33 a a 21 a a 31 a 33 + a a 21 a a 31 a = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 33 + a 13 a 22 a 31 page 16 Chapitre Calcul matriciel

17 Cette formule est connue sous le nom de règle de Sarrus, mais elle ne se généralise pas aux dimensions supérieures à 3 De plus, elle donne une forme complètement développée du déterminant Un déterminant est une expression polynômiale en les coefficients de la matrice Calcul direct d un déterminant triangulaire ou triangulaire par blocs Soit A n (K) une matrice triangulaire supérieure On a a 11 a 1n det(a) = n = a ii 0 a nn On procède par récurrence sur n, en développant selon la dernière ligne On obtient le même résultat pour une matrice triangulaire inférieure ou diagonale Plus généralement, si on considère une matrice triangulaire par blocs, c est-à-dire de la forme A C M = 0 B où A p (K), B q (K) et C p,q (K), alors det(m) = A C 0 B = det(a) det(b) On procède par récurrence sur la taille p du bloc A Si p = 1, alors le déterminant précédent est de la forme a c 1 c n 0 det(m) = = a det(b) B 0 par développement selon la première colonne On suppose le résultat démontré pour toute matrice A d ordre p 1 1 (la taille de B étant inchangée q) On considère alors une matrice A = (a i j ) i, j v1,pw p (K) et on développe le déterminant selon sa première colonne, a 11 a 1p c 11 c 1q det(m) = a p1 a pp c p1 c pq = 0 B p ( 1) i+1 a i1 det Ai1 C i 0 B où A i1 est la sous-matrice A sans sa ligne i colonne 1 et C i la sous-matrice de C sans sa ligne i Par hypothèse de récurrence, A i1 étant d ordre p 1, on a Ai1 C det i = det(a 0 B i1 ) det B donc, en mettant det(b) en facteur p det(m) = ( 1) i+1 a i1 det(a i1 ) det(b) = det(a) det(b) On peut généraliser à des matrices ayant davantage de blocs, triangulaires inférieures ou diagonales par blocs, en procèdant par récurrence sur le nombre de blocs Par contre, un déterminant quelconque ne se calcule pas par blocs en général Cours de mathématiques, Spé PC [Raphaël Dieu - 10/2018] page 17

18 REMARQUE En pratique, on calcule les déterminants en combinant des opérations sur les lignes ou colonnes et des développements convenables selon des lignes ou colonnes Le but est d obtenir une forme la plus factorisée possible 1 1 EXERCICE 17 Soit le déterminant d ordre n, D n = où les coefficients non écrits sont tous 1 1 nuls Trouver une relation de récurrence liant D n à D n 1 En déduire D n en fonction de n EXERCICE 18 Calculer le déterminant d ordre n, D n = EXERCICE 19 Le déterminant de Vandermonde Soient α 0,, α n K On appelle déterminant de Vandermonde le déterminant d ordre n + 1 suivant, α 0 α 1 α n V n (α 0,, α n ) = α 2 α 2 α n α n α n α n 0 1 n On a la relation V n (α 0,, α n ) = 0i< jn (α j α i ) Applications des déterminants Les déterminants ont de très nombreuses applications en algèbre et en géométrie : obtention d équations, calculs d aire et de volume, orientation des angles, inversion de matrices, résolution de systèmes, recherche de sous-espaces stables Déterminant d une famille de vecteurs Soient E un espace vectoriel de dimension n sur K et (u 1,, u n ) une famille de vecteurs de E On se ramène à des matrices en choisissant une base = (e 1,, e n ) de E Définition (Déterminant d une famille de vecteurs) On appelle déterminant de la famille (u 1,, u n ) dans la base le déterminant de sa matrice dans, det (u 1,, u n ) = det M (u 1,, u n ) M (u 1,, u n ) s obtient en écrivant en colonne les coordonnées des vecteurs u 1,, u n dans D un point de vue géométrique, un déterminant mesure un volume algébrique (construit sur les vecteurs de la famille) Il est linéaire par rapport à chacun de ses vecteurs Son signe correspond à l orientation de la famille par rapport à celle de la base page 18 Chapitre Calcul matriciel

19 u 1 u 2 + u 2 u 1 Volume positif Volume négatif On peut ainsi orienter un espace de n importe quelle dimension On voit notamment qu un échange de vecteurs change le signe du déterminant C est la propriété d antisymétrie Théorème (caractérisation des bases) La famille (u 1,, u n ) est une base de E si et seulement si det (u 1,, u n ) 0 (u 1,, u n ) est une base si et seulement si elle occupe un volume non nul PREUVE La famille (u 1,, u n ) est une base de E si et seulement si sa matrice dans est inversible EXERCICE 20 Déterminer une équation du plan de R 3 engendré par les vecteurs u 1 = (1, 0, 1) et u 2 = (2, 3, 1) ; de l hyperplan de R 4 engendré par u 1 = ( 1, 0, 1, 2), u 2 = (2, 0, 1, 1) et u 3 = (3, 3, 1, 0) Cours de mathématiques, Spé PC [Raphaël Dieu - 10/2018] page 19