Exercices Les nombres complexes ENONCES. DECLIC TS 2012.

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1 Exercices Les nombres complexes ENONCES DECLIC TS 0 ) N 8 page 8 Déclic TS Pour tout nombre complexe z, on définit le polynôme ( ) ( ) ( ) ) a) Calculer P ( ) b) Déterminer deux réels et P z = z + z + z 8 a b tels que : P ( z) ( z )( z az b) = + + ) Résoudre dans C l équation P ( z ) = 0 On appelle z et z les solutions de l équation autres que, z ayant une partie imaginaire positive Vérifier que : z + z = Déterminer le module et un argument de z et de z ) a) Placer dans le plan, muni d un repère orthonormé direct ( O; u, v) A d affixe, B et C d affixes respectives z et z, et I le milieu du segment [AB], (unité graphique de cm), les points b) Démontrer que le triangle OAB est isocèle direct En déduire une mesure de l angle ( u; OI ) c) Calculer l affixe z I du point I milieu du segment [AB], puis le module de z I d) Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de cos et de sin 8 8 e) En déduire la valeur exacte de tan 8 ) N 86 page 9 Déclic TS Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( O; u, v), (unité graphique de cm) ) Résoudre dans l ensemble C l équation z + 6z + 8 = 0 On donnera les solutions sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique et sous forme exponentielle ) On note A et B les points d affixes respectives : a = i et b = a a) Placer ces points sur le graphique qui sera complété au fur et a mesure du déroulement de ce problème b) Déterminer l affixe du point c du point C tel que OC = OB et ( OB; OC) = [ ] c) Déterminer l affixe d du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme ) On cherche à déterminer l ensemble ( ) MA + MB + MC = BD a) Justifier que le point D appartient à l ensemble ( E ) E des points M du plan complexe tels que : b) On note z l affixe d un point M Déterminer l affixe du vecteur MA + MB + MC M ( E) z + + i = 5 c) En déduire la nature de l ensemble ( E ) et le représenter Montrer que

2 ) N 9 page 5 Déclic TS Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( O; u, v) ) ROC On rappelle les prerequis suivants : Soit z un nombre complexe non nul et M le point d affixe z On appelle ( ) tel que ( u, OM ) = α [ ] Arg z un nombre réel α Soit s et t deux vecteurs non nuls s et t sont colinéaires si, et seulement si, on a ( ) s, t = k, k Z Démontrer que le complexe z est un imaginaire pur si, et seulement si, on a : z = 0 ou Arg ( z) = + k, k Z ) On désigne par ( E ), l ensemble des points M d affixe z tels que i 6 a) La point A d affixe e appartient-il à ( E )? z soit un imaginaire pur b) On note B le point d affixe b = i Calculer un argument du complexe b = i puis montrer que le point B appartient à l ensemble ( E ) i c) On suppose que z 0 et on note z = re α, où r est un réel strictement positif et α un réel Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur le réel α pour que le complexe z soit un imaginaire pur E, déduire des résultats précédents que l ensemble d) Après avoir vérifié que le point O appartient à ( ) ( E ) est la réunion de trois droites que l on déterminera Placer les points A et B, et représenter l ensemble ( E ) sur une figure ) Application On veut résoudre l équation ( F ) ( z i)( z i) : = 0 a) En utilisant une forme exponentielle du complexe z, montrer que toute solution de l équation F : z + 8i z 8i = 0 a un module égal à ( ) ( )( ) b) En utilisant les résultats du ), démontrer que les solutions de l équation ( F ) ( z i)( z i) sont les affixes des points d intersection d un cercle de centre O avec l ensemble ( ) E Donner la liste des solutions sous forme exponentielle : = 0

3 ) N 8 page 8 Déclic TS Dans l ensemble C des nombres complexes, i désigne le nombre complexe de module et dont un argument vaut ) Montrer que ( i) 6 + = 8i ) On considère l équation ( ) E : z = 8i a) Déduire de la première question une solution de l équation ( E ) b) L équation ( E ) possède deux solutions : écrire ces deux solutions sous forme algébriques ) a) Déduire également de la première question une solution notée t de l équation ( ) b) On pose i j = e Démontrer que ) On considère dans le repère orthonormé direct ( O; u, v) E ' : z = 8i jt et j t sont aussi des solutions de l équation ( ') les points A, B et E C d affixes respectives t, jt et j t a) Donner une forme exponentielle de chacune de ces affixes, puis représenter dans le repère les trois points A, B et C b) Démontrer que le triangle ABC est équilatéral 5 ) N 0 page 5 Déclic TS Utiliser la notation exponentielle i Soit z = e et z = e i z ) Ecrire le quotient z sous forme exponentielle puis sous forme algébrique ) En notant a = cos et b = sin montrer que z a + b b a = + i z ) En déduire, en résolvant un système, les valeurs exactes de a = cos et b = sin Méthode : L égalité e e ia i( a b) = e est efficace pour calculer un quotient ib iα On passe ensuite à la forme algébrique en utilisant e cos( α ) i sin ( α ) particulière dont on connait le cosinus et le sinus = +, à condition que α soit une valeur

4 6 ) N 85 page 9 Déclic TS BAC Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( O; u, v) ) PARTIE A ROC On rappelle le prérequis suivant : Dans un repère orthonormé deux vecteurs t et t ' de coordonnées respectives et seulement si on a : xx ' + yy ' = 0 ) Démontrer la propriété : «Deux vecteurs t et t ' d affixes respectives z et z ' sont orthogonaux si, et seulement si z z ' R i x y et x ' y ' sont orthogonaux si ) En déduire que si N a pour affixe z et N ' a pour affixe iz, alors le triangle ONN ' est isocèle et rectangle en O On admet dans ce cas que le triangle ONN ' est direct, c est-à-dire que ( ON; ON ') = + [ ] ) PARTIE B ) a) Déterminer le nombre complexe α tel que ( i) b) Vérifier que iα = + i α + = + i ) Pour tout nombre complexe z on pose f ( z) z ( i) z ( i ) a) Montrer que f ( z ) s écrit sous la forme ( z α )( z iα ) = b) En déduire les solutions dans C, sous forme algébrique, de l équation f ( z ) = 0 ) PARTIE C ) On considère les points A et B d affixes respectives a = + i et b = + i Placer A et B dans le repère et compléter au fur et à mesure L unité graphique est cm Démontrer que le triangle OAB est isocèle rectangle ) On considère le point C d affixe c = + i Déterminer l affixe d du point D tel que le triangle OCD soit isocèle rectangle direct en O ) On appelle M le milieu du segment [ BC ] a) Déterminer les affixes des vecteurs OM et DA OM et DA sont perpendiculaires b) Démontrer que les droites ( ) ( ) c) Etablir que ) On appelle, et OM = DA J K L les milieux respectifs des segments [ ],[ ] et [ ] CD DA AB a) Démontrer que le quadrilatère JKLM est un parallélogramme b) En utilisant la partie A)= démontrer que JKLM est un carré

5 Exercices TS Les nombres complexes ENONCES DECLIC TS 0 CORRECTIONS ) N 8 page 8 Déclic TS Pour tout nombre complexe z, on définit le polynôme ( ) ( ) ( ) ) a) Calculer ( ) ( ) ( ) P z = z + z + z 8 P = 0 P = + + = + + Soit ( ) b) Déterminer deux réels et a b tels que : P ( z) ( z )( z az b) ( ) ( )( ) ( ) ( ) = + + On développe P z = z z + az + b = z + az + bz z az b = z + a z + b a z b, relation que l on identifie avec ( ) ( ) ( ) a = ( ) a = + a = b a = ( ) b = b = P z = z + z + z 8, on obtient alors le système suivant : b 8 b = = b =, conclusion ( ) = + ( ) + ( ) 8 = ( )( + + ) P z z z z z z z ) résoudre dans C l équation ( ) 0 une partie imaginaire positive ( ) ( )( ) P z = On appelle z et z les solutions de l équation autres que, z ayant P z = z z + z + = z = z + z + = 0 0 ou 0 donc on calcul = = = i donc deux solutions complexes conjuguées: + i i z = et z =, soit z = + i et z = z= i, donc { ; ; } S = + i i Vérifier que : z + z = ( ) ( ) z + z = + i + i = + i i =, donc z + z = Déterminer le module et un argument de z et de z ( ) ( ) z = z = + = donc z = z = Soit α un argument de z = + i, donc ( ) ( ) cos α = et sin α =, ce qui signifie que α = est un argument de z = i +, donc ce complexe peut également s écrire : 5

6 z = i + sous forme algébrique z = cos + i sin sous forme trigonométrique z =ei sous forme exponentielle Soit β un argument de z = i, donc ( ) ( ) 5 cos β = et sin β =, ce qui signifie que β = ou bien la mesure principale est β =, donc un argument de z = i est β =, donc ce complexe peut également s écrire : z = i sous forme algébrique z = cos + isin sous forme trigonométrique z =e i sous forme exponentielle ) a) Placer dans le plan, muni d un repère orthonormé direct ( O; u, v) A d affixe, B et C d affixes respectives z et z, et I le milieu du segment [AB], (unité graphique de cm), les points 6

7 b) Démontrer que le triangle OAB est isocèle direct En déduire une mesure de l angle ( u; OI ) OA = z = = OB, et ( OA; OB) = ( u; OB) = Arg ( z ) = [ ], donc le triangle OAB est isocèle direct en O, d où la médiane (OI) est aussi hauteur, médiatrice et bissectrice, de ce fait ( u; OI ) = ( OA; OB) =, donc ( u; OI ) = [ ] soit 67,5 8 c) Calculer l affixe z I du point I milieu du segment [AB], puis le module de z I zi = z + z = + i, donc ( A ) ( ) Donc son module vaut z I zi = + i = + = =, soit z I = d) Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de cos et de sin 8 8 Le complexe z I s écrit donc sous forme trigonométrique : zi = cos + i sin 8 8 forme algébrique zi = + i, donc par identification on obtient : cos = et sin = 8 8 cos et sin = = 8 8 cos = et sin = 8 8 ( ) cos = et sin = 8 8 ( ) ( ) ( ) cos = et sin = 8 8 Donc cos = 8 et sous Puis sin = = = = sin = 8 soit enfin 7

8 e) En déduire la valeur exacte de tan 8 sin + 8 ( ) tan = = = = = = = = 8 ( ) ( ) cos + 8 Soit tan = + 8 On peut vérifier ces trois résultats avec la calculatrice, ce qui donne : 8

9 ) N 86 page 9 Déclic TS Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( O; u, v), (unité graphique de cm) ) Résoudre dans l ensemble C l équation z + 6z + 8 = 0 On donnera les solutions sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique et sous forme exponentielle z + 6z + 8 = 0 donc on calcul = = = i 6 + 6i 6 6i z = et z=, soit z = i et z = z= i z = z = = 8 = donc deux solutions complexes conjuguées: +, donc S = { + i; i} Soit α un argument de z = + i, donc ( ) ( ) cos α = = et sin α = =, ce qui signifie que α = est un argument de z = + i, donc ce complexe peut également s écrire : z = i + sous forme algébrique z = cos + i sin sous forme trigonométrique z = ei sous forme exponentielle Soit β un argument de z = z = i 5 que β = ou bien la mesure principale est ce complexe peut également s écrire : z = z = i sous forme algébrique z = cos + isin sous forme trigonométrique z = e i sous forme exponentielle cos = = et sin = =, ce qui signifie β =, donc un argument de z = z = i est β =, donc, donc ( β ) ( β ) ) On note A et B les points d affixes respectives : a = i et b = a = + i a) Placer ces points sur le graphique qui sera complété au fur et a mesure du déroulement de ce problème Voir graphique page 8 9

10 b) Déterminer l affixe du point c du point C tel que OC = OB et ( OB; OC) = [ ] a = i et b = a = + i = e i ( u; OC ) = ( u; OB) + et OC = OB, donc Donc c = i i 5 i i + c = e = e = e = i c) Déterminer l affixe d du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme ABCD soit un parallélogramme si te seulement si AB = DC b a = c d d = c b + a = i + i + i, donc d = 9i ) On cherche à déterminer l ensemble ( ) MA + MB + MC = BD a) Justifier que le point D appartient à l ensemble ( ) E des points M du plan complexe tels que : E D ( E) DA + DB + DC = BD, or DA + DC = DB, car ABCD est un parallélogramme donc DA + DB + DC = DB et donc DA + DB + DC = BD D E, ce qui donne bien ( ) b) On note z l affixe d un point M Déterminer l affixe du vecteur MA + MB + MC, est Z = a z + b z + c z = a + b + c z = i z = ( + i + z) MA+ MB+ MC Donc M E MA+ MB+ MC = BD + i+ z = d b z+ + i = 6 i ( ) ( ) z + + i = 6 + z + + i = 6 + Montrer que M ( E) z + + i = 5 z i 6 z i = = =, soit M ( E) z + + i = 5 c) En déduire la nature de l ensemble ( E ) et le représenter M ( E) z i 5 z ( i) = =, soit GM = 5, avec G le point d affixe i et E des points M du plan complexe tels que : MA + MB + MC = BD, est le cercle donc l ensemble ( ) de centre G ( ; ) et de rayon 5 On remarque que ce point G est le centre de gravité du triangle ABC, en effet GA + GB + GC = 0 a g + b g + c g = a + b + c g = i i = 0 ( ) 0

11 D où la figure complète :

12 ) N 9 page 5 Déclic TS ) ROC : z est un imaginaire pur, on peut noter par exemple de la manière suivante, z R i cela signifie que ce nombre complexe imaginaire pur peut s écrire z = ki avec k R On considère alors le vecteur OM d affixe z, qui est colinéaire au vecteur v d affixe i, donc, d après les pre requis, et comme le repère est orthonormé O M = k v z = k i M = O o u ( v ; O M ) = 0 [ ] direct, on a donc ( u ; v ) = ( v ; O M ) = ( v ; u ) + ( u ; O M ) 0 ( u ; O M ) ( u ; O M ) = + = [ ] Conclusion : si M = 0 alors 0 d après la relation de Chasles, donc z = et si ( u; OM ) = [ ] = + λ R, CQFD alors Arg ( z) λ avec ) : Soit ( C ) l ensemble des points M du plan d affixe z tel que i 6 a) Le point A d affixe z e A C = appartient à ( ) i i 6 z soit un imaginaire pur Justification : Il suffit de calculer ( za ) = e = e = i ir b) On note B le point d affixe z = i On calcule zb = i = et soit α un argument de B donc ( ) α = Arg z B = 5 6 B 5 5 i i 6 = =, z, il vérifie donc cos ( α ) et sin ( α ) 5 6 Donc i zb = e, ce qui donne ( zb ) = 8 e = 8e = 8i ir, donc B ( C) c) z ir θ = + k, avec k Z, puisque z est un complexe non nul, on trouve donc que k θ = +, avec k Z 6 d) Ce qui donne 6 valeurs pour l argument soit 5 7 θ =, θ =, θ =, θ =, θ =, θ =, soit six demi-droites faisant un angle θ avec l axe des réels, et en les associant par deux, on obtient les trois droites

13 ) Application: iα a) On pose z re avec r 0 F z = 6 r = 6 r = = >, alors ( ) r = 6 6 6iα i r = 6 b) z = 6 r e = 6e k 6α = + k, k Z α = +, k Z 6 Les solutions sont représentées par les points communs au cercle de centre O et à l ensemble (C) de la deuxième question, on trouve alors les six points d affixes suivants : i 5 7 i 6 i 6 i i 6 i 6 e ; e ; e ; e ; e ;e ) N 8 page 8 Déclic TS ) + i = e i 6 Donc ( ) ( ) 6 6 i i + = = soit ( i) 6 i e 8e Autre méthode ( ) ( ) [ ] ) a) ( i) + = 8i 6 + i = + i = i = 8i = 8i + = 8i b) ( + i) et son opposé ( i) ( ) ( ) S = { + i; i} donc ( + i) est solution de l équation (E) + ont le même carré, donc encore solution de l équation (E) Et comme + i = i + i = + i, on en déduit donc que l ensemble des solutions de l équation (E) est ) a) On a ( ) t = + i = i solution de l équation (E ) i b) ( ) ( ) ( ) jt = j t = e t = 8i = 8i, de même 6 j t = j t = t = 8i ) a) Soit les points b) AB = jt t = ; équilatéral de coté 7 i i i 6 6 A e, B e et C e AC j t t = = et BC j t jt On peut aussi le démontrer avec les angles et les arguments = =, donc le triangle ABC est

14 5 ) N 0 page 5 Déclic TS ) z z i i = e = e = i ) ( a + ib) + i ( a + ib) + i z a + ib a + b b a = = = = + i z + i i + i + ) L écriture algébrique d un nombre complexe étant unique, on obtient par identification des deux écritures (exponentielle et algébrique) le système suivant : a + b = a + b = a + b = 6 et puis par addition, on obtient b a b a = b a = = b = 6 soit 6 b = et donc a = 6 + Ce qui nous donne enfin, les valeurs exactes de 6 + cos = et de 6 sin = On peut en déduire aussi Soit Tan = sin 6 ( 6 ) 6 8 Tan + = = = = = 6 ( 6 )( 6 ) 6 cos + +

15 6 ) N 85 page 9 Déclic TS ) PARTIE A ROC On rappelle le prérequis suivant : x x ' Dans un repère orthonormé deux vecteurs t et t ' de coordonnées respectives et sont orthogonaux si y y ' et seulement si on a : xx ' + yy ' = 0 ) Démontrer la propriété : «Deux vecteurs t et t ' d affixes respectives z et z ' sont orthogonaux si, et seulement si z z ' R i Soit z = x + iy et z ' = x ' + iy ' alors on obtient z z ' = ( x + iy)( x ' iy ') = ( xx ' + yy ') + i ( x ' y xy ') z z ' ir Re z z ' = 0 xx ' + yy ' = 0 ti t ' = 0 t et t ' sont orthogonaux Donc ( ) ) En déduire que si N a pour affixe z et N ' a pour affixe iz, alors le triangle ONN ' est isocèle et rectangle en O + z iz = z ( i) z = i ( x + y ) et comme x + y R alors z iz R i et, d après le ), les vecteurs ON et ON ' sont orthogonaux, c est-à-dire que le triangle ONN ' est rectangle en O Comme de plus on a ON ' = iz = z = ON on en déduit que le triangle ONN ' est rectangle isocèle en O On admet dans ce cas que le triangle ONN ' est direct, c est-à-dire que ( ON; ON ') = + [ ] ) PARTIE B ) a) Déterminer le nombre complexe α tel que ( i) ( + i )( i) α ( i) i α α + i ( + i)( i) α + = + i + i i + i + + i + = + = = = = b) Vérifier que iα = + i On calcule ( ) ( ) ( ) ce qui donne α = + i iα = i + i = i + i = i + i = i = + i, ce qu il fallait démontrer ) Pour tout nombre complexe z on pose f ( z) z ( i ) z ( i ) a) Montrer que f ( z ) s écrit sous la forme ( z α )( z iα ) = Pour cela on développe : z α z iα = z i z i + i = z i z i + ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) = z iz + z z + i iz i = z i + + i z + i = z + i z + + i ce qu il fallait démontrer b) En déduire les solutions dans C, sous forme algébrique, de l équation f ( z ) = 0 ( )( ) Donc S = { + i; + i} f ( z) = 0 z α z iα = 0 z α = 0 ou z iα = 0 z = α = + i ou z = iα = + i 5

16 ) PARTIE C ) On considère les points A et B d affixes respectives a = + i et b = + i Placer A et B dans le repère et compléter au fur et à mesure L unité graphique est cm Démontrer que le triangle OAB est isocèle rectangle Comme ( ) b = + i = i + i = ia, d après la partie A, on en déduit que le triangle OAB est isocèle rectangle direct en O ) On considère le point C d affixe c = + i Déterminer l affixe d du point D tel que le triangle OCD soit isocèle rectangle direct en O d = ic = i + i = i d = i ( ) ) On appelle M le milieu du segment [ ] BC a) Déterminer les affixes des OM et DA b + c On obtient de façon assez simple zm = = + i et par suite l affixe des vecteurs OM et DA sont z = + i et z = a d = + i OM DA b) Démontrer que les droites ( OM ) et ( ) DA sont perpendiculaires Le repère étant orthonormé, on calcule le produit scalaire : OM DA = = 0 OM et DA sont perpendiculaires i donc ( ) ( ) c) Etablir que OM = DA On calcule les longueurs OM = + i = puis DA = + i = = OM donc OM = ) On appelle, et J K L les milieux respectifs des segments [ ],[ ] et [ ] CD DA AB a) Démontrer que le quadrilatère JKLM est un parallélogramme On obtient les affixes des milieux : 5 J i, K ( i), L + i et M ( + i) 5 5 Donc z = et = JK ML i z i soit JK = ML donc JKLM est un parallélogramme b) En utilisant la partie A)= démontrer que JKLM est un carré 5 De plus z = + i, c est-à-dire que z =i z JM JM JK, d où d après la partie A, KJM est un triangle isocèle rectangle direct en J et donc le parallélogramme JKLM est un carré direct DA 6