Petit cours d automatique

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1 Petit cours d automatique Pourquoi ce cours? Modèle d un système physique Résolution par transformée de Laplace Réponse en fréquence, spectre Commande par rétro-action Commande PID Simulation Matlab/Simulink Commande par ordinateur Transformée en Z Simulation Matlab/Simulink

2 Pourquoi ce cours? Les systèmes embarqués s adressent à de nombreux domaines d application et beaucoup de ces domaines traitent et contrôlent des données issues du monde physique :. il est important de savoir comment les spécialistes de ces domaines procèdent pour pouvoir coopérer avec eux ; 2. les ordinateurs interagissant avec les systèmes physiques forment des systèmes complexes qui acquièrent, par cette interaction, de nouvelles propriétés : des changements mineurs du point de vue informatique peuvent avoir des conséquences importantes du point de vue système ; 3. des langages et outils de simulation, d origine automatique et traitement de signal, deviennent par extension, des outils de programmation dont l importance croît ; certains sont devenus des standards de fait (avionique, automobile,...). Il est important de connaître et comprendre cette «informatique venue d ailleurs»

3 Modèle d un système physique Une suspension de voiture x Forces en présence : k.. f - ressort : k(x x 0 ) - amortisseur : fx - inertie : mx - force externe, pesanteur,... bilan : équation différentielle mx + fx + kx = u normalisation : x + 2zwx + w 2 x = w 2 u w pulsation propre z amortissement

4 Résolution par transformée de Laplace X(s) = L(x) = 0 x(t)e st dt propriétés : linéarité : L(ax + by) = al(x) + bl(y) transforme les équations différentielles en équations algébriques : L(x ) = sl(x) x(0) transforme les exponentielles en fractions rationnelles : ( ) t n L n! e λt = (s + λ) n+

5 Application x + 2zwx + w 2 x = w 2 u s 2 X + 2zwsX + w 2 X = w 2 U X = w 2 s 2 + 2zws + w 2 U Recherche de solutions : trouver les racines du dénominateur (pôles) décomposer en éléments simples et inverser la transformée. Trois cas (réponse impulsionnelle U = ) : z 2 < : racines complexes conjuguées : z 2 = : racine double z 2 > : racines réelles

6 z 2 < : racines complexes conjuguées : X = A s + zw + iw z 2 + B s + zw iw z 2 A = x = w 2 2iw z, B = w 2 2 2iw z 2 z2 t e iw z 2 t w eiw e zwt z 2 2i w x = z 2 e zwt sin(w z 2 t) régime oscillant (suspension trop molle)! z 2 = : racine double x = w 2 te wt z 2 > : racines réelles x = (suspension trop dure)! w z2 (e w(z+ z 2 )t e w(z z 2 )t )

7 Réponse en fréquence, spectre A la mémoire de Joseph Fourier u = e iwt U = s + iw X = H s + iw X = AH + B s + iw B = H( iw) Les exponentielles complexes sont les vecteurs propres des opérateurs ; H( iw) est la valeur propre associée au vecteur propre e iwt.

8 Exemple de la suspension H = H( iw) = w 2 0 s 2 + 2zw 0 s + w 2 0 w 2 0 w 2 2izw 0 w + w 2 0 H( iw) est une fonction complexe de la fréquence d excitation w Elle se décompose en amplitude et phase : H( iw) = w 2 0 (w 2 0 w 2 ) 2 + 4z 2 w 2 0 w2 ArgH( iw) = Arctg 2zw 0w w 2 0 w2 les pages suivantes décrivent le spectre d amplitude en fonction de w pour w 0 = et des valeurs croissantes de z 2 = 0.5,, 2, 4.

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10 Commande par rétro-action Le système à commander : grue mono-dimensionnelle, linéarisée X 0 a T X mg m X = k( X 0 X) + m g - pesanteur : m g - tension du cable : k( X 0 X) - inertie : m X Projection sur l axe vertical : my = k(y 0 y) mg 0 = kl mg k = m g l avec w = g l aucun amortissement! pulsation propre du pendule. Projection sur l axe horizontal : mx = k(x 0 x) x = g l (x 0 x) X = w 2 s 2 +w 2 X 0

11 Notion de feedback Commander en fonction de l écart entre position désirée x 0 et obtenue x : x 0 e x C H Calcul formel de ce diagramme! b e = x 0 x x = H(Ce + b) x = H(C(x 0 x) + b) ( + HC)x = H(Cx 0 + b) x = HC + HC x 0 + H + HC b

12 x = HC + HC x 0 + H + HC b Idée de base : C grand Mais attention au pompage : HC + HC, H + HC 0, x x 0 H = w 2 s 2 +2zws+w 2 C = k HC + HC = w 2 k s 2 + 2zws + w 2 ( + k) w = w + k z = z + k k grand : le système devient de plus en plus oscillant.

13 Commande PID Pour réduire les oscillations, ajouter de la dérivée k s Pour rallier le but, ajouter de l intégrale k s C = k + k s + k s Application à la grue (w = ) HC + HC = k s 2 + ks + k s 3 + k s 2 + (k + )s + k

14 Placement des pôles Choix des paramètres : identification à un dénominateur s 3 + k s 2 + (k + )s + k = (s + )(s 2 +.4ws + w 2 ) s 3 + k s 2 + (k + )s + k = s 3 + ( +.4w)s 2 + (w 2 +.4w)s + w 2 D où Par exemple k = w 2, k = w 2 +.4w, k = +.4w k = 4, k = 5.8, k = 3.8

15 Simulation Matlab/Simulink Scope Step s 2+2s+ Transfer Fcn In Out SubSystem s 2+ Transfer Fcn White Noise 5.8 Gain2 In 4 Gain s Integrator Out 3.8 du/dt Gain Derivative

16 Résultats Sans bruit 2 Avec bruit Time offset: 0 Time offset: 0

17 Commande par ordinateur Et les ordinateurs dans tout ça? idée générale : schémas d intégration à pas constant échantillonnage et fonctionnement périodique deux techniques : construire un contrôleur continu et l échantillonner ; échantillonner le système à contrôler et construire un contrôleur échantillonné (théorie de la commande échantillonnée). Dans tous les cas, il faut choisir la période.

18 Commande échantillonnée Fondée sur le parallèle Continu Echantillonné Modèle équations différentielles équations aux différences Solutions exponentielles puissances Transformée L(f) = f(t)e st dt Z(f) = f(n)z n 0 Intégrale s z z Retard e T s z 0

19 Propriétés de la transformée en z linéarité : Z(ax + by) = az(x) + bzl(y) transforme les équations aux différences en équations algébriques : Z(x(n + )) = z(z(x) x(0)) transforme les puissances en fractions rationnelles : Z(C k na n k ) = ( z ) k+ z a

20 Choix de la période Solution théorique : Théorème de Shannon : la fréquence d échantillonnage doit être supérieure à deux fois la fréquence de coupure. Solution pratique : analyse numérique Théorème fondamental de l analyse numérique Théorème des accroissements finis : Pour tout x, t, il existe α [0, ] tel que x(t + T ) = k 0 T i i! x(i) (t) + T k+ (k + )! x(k+) (t + αt )

21 Exemple : schéma d Euler x(t + T ) x(t) + T x (t) car x(t + T ) (x(t) + T x (t)) T 2 2 sup t x (t) Application : exponentielle x(t) = e at x (t) = a 2 e at a 2 En pratique on prend. T 2 a T 0.4 a T = 0. a

22 Z, Laplace,... est l opérateur retard unité z Si on choisit un pas d échantillonnage T on peut donc écrire : z = e st On a alors l approximation du premier ordre (développement limité) Donc, au premier ordre, e st st st z st z = z z s z zt

23 Z, Laplace et Euler Et Euler? s z zt Appliquons à une fonction de transfert H : H(s) H( z zt ) On est passé d un système continu à un système échantillonné, imtable sur calculateur Cela correspond à la méthode d Euler : sx(s) z zt x(z) x (t) x(n) x(n ) T

24 Simulation Matlab/Simulink 5.8 Gain2 4 T Out In Gain Hold Integrator 3.8 Gain 0. Discrete Filter

25 Résultats 0.5 Sans bruit Avec bruit Time offset: 0 Time offset: 0 comparables à ceux obtenus en continu

26 Z et Lustre 5.8 Gain2 4 T Out In Gain Hold Integrator 3.8 Gain 0. Discrete Filter Le même en Lustre : y = 5.8*x + 4.0*yi + 3.8*yd ; yi = T*x + (0.0 -> pre yi) ; yd = (x - (0.0 -> pre x))/t ;

27 De Z à Lustre En transformée en Z Y i = T z z X D où (z )Y i = T zx zy i = T zx Y i Y i = T X z Y i Le même en Lustre : yi = T*x + (0.0 -> pre yi) ;

28 Conclusion On note la parenté (filiation) entre Lustre et les méthodes de l automatique : Tous deux réfléchissent en termes de réseaux d opérateurs agissant globalement sur des signaux. L automatique linéaire a un calcul symbolique plus riche (fractions rationnelles) mais limité au linéaire. Lustre a aussi un calcul symbolique bien que plus restreint (commutation des pre) Cela explique sans doute la bonne acceptation de Lustre dans le monde de l automatique.