MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

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1 VARIABLES ALÉATOIRES à 1 dimension définition fonction de répartition variable aléatoire discrète variable aléatoire continue moyenne - variance - écart type espérance mathématique TRANSFORMATION VARIABLE ALÉATOIRE Y = φ () discrète à discrète continue à continue: transformation générale continue à continue: transformation monotone continue à discrète 1

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4 Définition : variable aléatoire E : expérience aléatoire S : espace échantillonnal associé fonction de S dans les nombres réels ( R ) est une variable aléatoire ; ( o ) est un nombre réel Exemple : lancement d une pièce de monnaie 3 fois = nombre de fois «P I L E» = 0, 1, 2, 3 F : Face P : Pile S. FFF. FFP. FPF. PFF. FPP. PFP. PPF. PPP R Les probabilités sur S se transportent sur R 4

5 Fonction de répartition F une variable aléatoire x une valeur (réelle) prise par Événement : { x } x F ( x ) = P ( x ) : fonction de répartition propriétés 1. 0 F ( x ) 1 2. x - F (x) 0 F 1 3. F x F (x) 1 (x) non décroissante 4. F (x) continue à droite F 1 0 discrète continue 0 5

6 VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE est une variable discrète si elle prend un nombre fini ou infini de valeurs distinctes généralement des entiers 0, 1, 2, 3, 4, Exemples (comptages) nombre de défauts de surface ; nombre de versions d'un dessin de définition pendant une année; nombre de pièces non conformes dans un lot de 500 ; nombre de pièces en attente devant une machine; Fonction de masse p (x) = P ( = x) p (x) 0 Fonction de répartition F (x ) = p (u) u x Distributions importantes - Bernouilli - Binomiale - Géometrique - Poisson - Hypergéométrique étudiées au chapitre 5 6

7 Exemple variable discrète : loi binomiale essais de Bernoulli : expérience avec 2 dénouements possibles SUCCÈS ÉCHEC Prob(SUCCÈS) = θ Prob(ÉCHEC) = 1 θ 0 θ 1 observation (échantillonnage) d une suite de n essais n : taille de l échantillon : nombre de succès dans une suite de n essais valeurs possibles de x = 0, 1, 2,, n est une variable binomiale notation ~bin(n,θ) p x (x) = [n! / x! (n- x)!] θ x (1 θ) n x k = x F (x) = [n! / k! (n- k)!] θ k (1 θ) n k k = 0 étude détaillée : chapitre 5 x = 0, 1, 2,.., n x = 0, 1, 2,.., n 7

8 Exemple : variable aléatoire discrète distribution binomiale n = 30 θ = 0, Bar/Column Plot (ch3.sta 10v*31c) binom 8

9 moyenne - variance - écart type Moyenne : E [ ] = μ = x p (x ) premier moment par rapport à l origine centre de masse Exemple : ~ bin(n, θ) E [ ] = n θ n = 30 θ = 0,3 E [ ] = 9 Variance : Var [ ] = σ 2 = ( x - μ ) 2 p (x ) = x 2 p (x ) - μ 2 Exemple : ~ bin(n, θ) σ 2 = n θ ( 1 - θ ) n = 30 θ = 0,3 Var [ ] = σ 2 = 6,3 Écart type : ET [ ] = σ = Var [ ] Exemple : ~ b i n ( n = 30, θ = 0,3 ) ET [ ] = σ = 2,51 9

10 VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE L'espace de la variable aléatoire est un intervalle sur les nombres réels sa fonction de répartition F ( x ) est dérivable La dérivée de F ( x ) notée f est la densité de Exemples (mesures) - volume d un réservoir d eau - temps requis pour finaliser une conception - tension d'un câble métallique 10

11 VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE P lim ( = x) = x = x 0 [ F ( x + x) F ( ) ] 0 x d f ( x) = F ( x) ( x) = dx F f ( t) dt P ( a x b) = f ( x) dx f ( x) 0 = Moyenne et Variance R b a f ( x) dx 1 x E ( ) = xf ( t) dt = µ [ ] + 2 VAR = ( x µ ) f ( x) dx + = x 2 f 2 ( x) dx µ 11

12 Exemple : distribution uniforme (équiprobabilité) k f ( x ) = 0 si a ou b = k si a b k =? 0 a b 0 k = 1 / ( b a ) E () = ( a + b ) / 2 Var () = ( b a ) 2 / 12 F ( x ) = 0 si a Application = (x a) / ( b a ) si a b = 1 si b 0 a b générateurs de nombres (pseudo) aléatoires de la loi uniforme 1 méthode linéaire congruente : I i + 1 = ( a I i + b ) mod m i = 0, 1, 2, À choisir : a, b, m, I 0 ( semence ) ; u i = I i / m 0 u i 1 employé pour la SIMULATION : STATISTICA fonction Rnd 12

13 Exemple : simulation observations distribution uniforme fonction RnD de STATISTICA Histogram (distribution uniforme.sta 5v*1000c) % 1 = 1000*0.1*beta(x; ; ) 11% 11% 11% 10% 100 9% 10% 10% 9% 80 8% 60 No of obs % % 1 13

14 Espérance mathématique va discrète va continue p (x): fonction de masse de f x (x) : densité de h fonction de R dans R h : R R espérance mathématique de h E(h()) E[h()] = h(x) p (x) si est discrète Cas particuliers de h = h(x) f x (x)dx si est continue h() = moyenne μ h () = 2 2 ième moment par rapport à l origine 0 h () = ( μ) 2 variance h () = k k - ième moment par rapport à l origine h () = ( μ) k k ième moment par rapport à la moyenne μ 14

15 Espérance mathématique Propriétés E(a + b) = a + b E() Var(a + b) = b 2 var() ET(a + b) = b ET() Variable centrée-réduite Z Z = ( E()) / ET() Alors E(Z) = 0 ET(Z) = 1 15

16 Espérance mathématique Exemple : soumission pour la réalisation d'un travail d ingénierie v.a. «nombre de jours requis pour le travail» Vous estimez vos «probabilités» x < total p(x) 0 1/8 4/8 2/8 1/8 1 Y = profit net = φ () dépend du nombre de jours pour réaliser le travail x Y = φ (x) 10K$ 3K$ 0,7K$ -1,5K$ ça vaut-il la peine? 16

17 Espérance mathématique Exemple : soumission pour la réalisation d'un travail d ingénierie v.a. «nombre de jours requis pour le travail» Vous estimez vos «probabilités» x < total p(x) 0 1/8 4/8 2/8 1/8 1 Y = profit net = φ () dépend du nombre de jours faire le travail x Y = φ (x) 10K$ 3K$ 0,7K$ -1,5K$ Profit net moyen =? E(Y ) = 10K$ *1/8 + 3K$ * 4/8 + 0,7K$ * 2/8 + (-1,5K$) * 1/8 = 2,73K$ Critère de décision basé sur profit net moyen si E(profit net Y) = profit net moyen 0 on accepte le travail 17

18 Exemple - vous achetez des billets du spectacle des «RS» à 40,00$ dans l'espoir de les revendre 70,00$ le soir du spectacle - votre estimation de la demande billets nombre billets x probabilité p(x) 0,02 0,04 0,08 0,16 0,32 0,18 0,12 0,08 combien de billets S =? stocker pour minimiser les pertes (profit max) - perte = 40$/billet si vous stockez trop de billets: x S - perte = 30$/billet si vous ne stockez pas assez de billets: x S+1 Fonction de perte L (x, s) L(x, s) = 40 (s - x) si 23 x s stock excessif L(x, s) = (70-40) (x s) si s+1 x 30 stock manquant perte moyenne E(L) E[ L(, s)] = s 40( s x) ( x) + x= 23 x= s+ 1 p ( x Quelle valeur de S minimise E(L)? s) p ( x) 18

19 Exemple suite S 40(s x)p(x) 30(x s)p(x) E [ L(, s) ] 23 0,00 124,20 124, ,80 94,80 95, ,20 66,60 69, ,80 40,80 49, ,80 19,20 40,60 minimum 28 45,60 6,20 51, ,60 0,00 77, ,40 0,00 114,40 profit net réalisé avec S = 27 : 27*30$ = 810$ Si on a une nouvelle distribution de probabilité x prob 0,30 0,20 0,15 0,12 0,10 0,08 0,04 0,01 solution optimale devient S = 24 19

20 Fonction d une variable aléatoire discrète R Y = φ () R Y. x i1... x i2. x i3.. Y j.. p Y ( y j ) = P Y ( Y = y j ) = x i k Ω j P ( x i k ) 20

21 Exemple 1 : fonction d une variable aléatoire discrète : nombre de pannes en une semaine x p (x) 4/9 2/9 1/9 1/9 1/9 Y : coût d un service de dépannage coût fixe 500$ + 200$ par panne Déterminer - masse de probabilité de Y : p Y (y) - moyenne et écart type de Y 21

22 Exemple 1 : fonction d une variable aléatoire discrète : nombre de pannes en une semaine Y = * : coût ($) par semaine y p Y (y) 4/9 2/9 1/9 1/9 1/9 Moyenne de Y = E(Y) = 500*(4/9) + 700*(2/9) + 900*(1/9) *(1/9) *(1/9) = 6700 / 9 = 744,44 Écart type de Y = [ E(Y 2 ) (E(Y)) 2 ] 0.5 = 279,32 22

23 Exemple 2 : fonction d une variable aléatoire discrète : variable aléatoire discrète x p (x) 4/9 2/9 1/9 1/9 1/9 Y = 2 Déterminer - masse de probabilité de Y : p Y (y) - moyenne et écart type de Y 23

24 Exemple 2 : fonction d une variable aléatoire discrète Y = 2 x y p (x) 4/9 2/9 1/9 1/9 1/9 p Y (Y=0) = p (= 0) = 1/9 p Y (Y=1) = p (= -1) + p ( = 1) = 2/9 + 1/9 = 3/9 p Y (Y=4) = p (= -2) + p ( = 2) = 4/9 + 1/9 = 5/9 y p Y (y) 1/9 3/9 5/9 moyenne de Y = E(Y) = 0*(1/9) + 1*(3/9) + 4*(5/9) = 23/9 écart type de Y = ET(Y) = [ E(Y 2 ) ( E(Y)) 2 ] 0.5 = [ 0 2 *(1/9) *(3/9) *(5/9) (23/9) 2 ] 0.5 = 1,64 24

25 Fonction continue d une variable aléatoire continue cas : transformation non monotone Exemple 3 : variable aléatoire continue de densité f f (x) = ½ si -1 x 1 1/2 0 = 0 sinon -1 1 x F (x) = Prob ( x) = 0 si x < -1 = (x + 1) / 2 si -1 x 1 = 1 si x > 1 densité de Y = 2 0 < y < Y Fonction de répartition de Y : F Y (y) = Prob( Y y) = Prob ( 2 y) = Prob( - y 0.5 y 0.5 ) = F ( y 0.5 ) F ( - y 0.5 ) = ( y ) / 2 - (- y ) / 2 = y

26 Fonction continue d une variable aléatoire continue cas : transformation non monotone Exemple 3 : suite densité de Y = 2 Fonction de répartition de Y F Y (y) = Prob( Y y) = Prob ( 2 y) = Prob( - y 0.5 y 0.5 ) 1/ ?? = F ( y 0.5 ) F ( - y 0.5 ) = ( y ) / 2 - (-y ) / 2 = y f? 0 0 Y densité de Y : f Y (y) = (d/dy) F Y (y) = 0,5 y y 1 f Y (y) = 0 ailleurs 0 0,

27 Fonction continue d une variable aléatoire continue : cas d une transformation monotone v.a.c. densité f x φ fonction continue Y = φ () Y est une v.a.c Densité f Y =? Pour trouver la densité il faut : 1. Obtenir F Y (y) = P( Y y ) par l'événement de R équivalent à (Y y) dans R y 2. Dériver F Y (y) par rapport à y pour obtenir la fonction de densité f y 3. Trouver l'espace image de cette v.a.c. THÉORÈME Si est une v.a.c. de densité f x telle que f x > 0 pour a < x < b et y = φ (x ) est une fonction continue strictement monotone, alors la v.a.c Y = φ ( ) possède une densité f Y f Y ( y) = f ( x) dx dy avec x = φ - 1 (y ) exprimé en terme de y 27

28 Fonction continue monotone d une variable continue Exemple 4 : diamètre d un fil - distribution uniforme intervalle 1,00 à 1,01 f ( x ) = 100 1,00 x 1,01 = 0 autrement ,00 1,01 Y = aire de la section = π (/2) 2 = 0,25 π 2 = 0, y = 0,78540 si x = 1,00 y = 0,80118 si x = 1,01 = 1,2732 Y 0,5 dx/dy = 0,5642 y - 0,5 f Y ( y) dx dy = f ( x) f y (y ) = 100 (0,5642 y - 0,5 ) = 56,42 y - 0,5 f y (y) 63, ,03 0, ,

29 Exemple 5 : transformation continue à discrète loi exponentielle f x (x ) = λ e λ x x 0 = 0 x < 0 E [ ] λ x λ x = xλ e dx = xe λ x 1 e dx = 0 λ Var [ ] = 0 x - λ e 2 λ 1 dx λ 2 x = 1 / λ 2 Le temps jusqu'à la défaillance (ex, tube à rayons cathodiques) durée vie suit une loi exponentielle, λ taux de défaillance Posons : Y variable Bernoulli définie par le fait que excède ou non sa durée moyenne 1/ λ Y = 0 si 1 / λ = 1 si > 1 / λ 29

30 Exemple 5 : (suite) transformation var. continue à var. discrète probabilités de Y p Y 1/ λ 1/ λ = λ t λ t ( 0) λ e dt = e = 1 e p Y (1) = λ t λ t λ e dt = e = e 1/ λ 1/ λ Ne dépend pas de λ 30