LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES. D. Azé

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1 LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul Différentiel et Équations Différentielles D. Azé Université Paul Sabatier Toulouse 2008

2 Table des matières 1 Généralités sur les espaces normés Espaces vectoriels normés Espaces de Banach Applications linéaires continues Normes équivalentes Applications multilinéaires continues Espaces de Hilbert Applications différentiables dans les espaces normés Définition d une application différentiable Opérations sur les applications différentiables Applications à valeurs dans un produit d espaces Applications définies sur un produit d espaces Théorème des Accroissements Finis et Applications Théorème des Accroissements Finis Applications du Théorème des Accroissements Finis Applications Strictement Différentiables Opérateurs de Nemicki Primitives et Intégrales des Fonctions Réglées Différentielles d Ordre Supérieur Définition des Différentielles d Ordre Supérieur Propriétés de Symétrie des Différentielles d Ordre Supérieur Formules de Taylor Conditions d Optimalité Théorèmes d Inversion et Applications Théorèmes d inversion Théorème des Fonctions Implicites Application : Multiplicateurs de Lagrange Introductions aux sous-variétés Immersion et submersion locale Définitions équivalentes des sous-variétés

3 5.4.3 Sous-espace tangent Équations Différentielles : Existence et Unicité des Solutions du Problème de Cauchy Rappels et Compléments d Analyse Applications Lipschitziennes Théorème des Applications Contractantes Equations Différentielles : Généralités Résolution Locale du Problème de Cauchy Solution Globale du Problème de Cauchy Flot d une Équation Différentielle Lemme de Gronwall Tube de solutions Propriétés du flot d une équation différentielle

4 Chapitre 1 Généralités sur les espaces normés 1.1 Espaces vectoriels normés Définition Étant donné un espace vectoriel réel E, une norme est une fonction vérifiant i) x = 0 = x = 0, : E R +, ii) λx = λ x, pour tout λ R et x E, iii) x + y x + y, pour tout x, y E. A toute norme est associée une distance d(x, y) = x y. Un espace normé est un espace métrique et donc un espace topologique. Une partie U E est ouverte si, pour tout a U, il existe r > 0 tel que B(a, r) U où B(a, r) = {x E : x a r}. Les boules ouvertes B(a, r) = {x E : x a < r} sont des ouverts et tout ouvert est réunion d une famille de boules ouvertes. Une partie F de E est fermée si son complémentaire est ouvert (les boules fermées sont des fermés). Une suite (x n ) d éléments de E est dite converger vers x E si la suite réelle ( x n x ) converge vers 0. On écrit alors x = lim x n ou x n x. La limite, quand elle n existe, est unique ; elle est caractérisée par la propriété : pour tout ε > 0, il existe n 0 N tel que, pour tout n n 0, x n x ε. Les ensembles fermés F sont alors caractérisés par le fait que tout x E tel que pour tout r > 0, F B(x, r) appartient à F, ce qui équivaut à dire qu ils contiennent toute limite d une suite à valeurs dans F (le démontrer en exercice). Remarque a) Pour tout x, y X on déduit des inégalités x x y + y 3

5 et que l on a y y x + x x y x y. b) Les applications (λ, x) λx et (x, y) x + y sont continues respectivement de R E dans E et de E E dans E. En effet si les suites (x n ), (y n ) et (λ n ) convergent respectivement vers x E, y E et λ R, on a (x n + y n ) (x + y) x n x + y n y, λ n x n λx = (λ n λ)x n + λ(x n x) λ n λ x n + λ x n x λ n λ M + λ x n x où M = sup x n < + car une suite convergente est bornée. Il en résulte bien que x + y = n N lim (x n + y n ) et que λx = lim λ n x n. n n c) Dans le cas où E = R n, on identifiera u R n à une matrice n 1. Cela donne un sens au produit matriciel AX R n d une matrice A M(m, n) par un vecteur X R n. Avec ces notations, le produit scalaire euclidien s écrit, pour X, Y R n, n X, Y = Y T X = X i Y i, où Y T M(1, n) est la matrice uniligne transposée de Y M(n, 1). Etant donnée une famille finie d espaces normés E 1,, E d dont les normes sont indifféremment dénotées par. Nous utiliserons sur le produit cartésien E = E 1 E d les normes suivantes (démontrer en exercice que ce sont bien des normes). Définition On pose et plus généralement pour p 1 on pose aussi (x 1,, x d ) 1 = i=1 d x i, i=1 ( d ) 1/2, (x 1,, x d ) 2 = x i 2 i=1 ( d ) 1 (x 1,, x d ) p = x i p p, i=1 (x 1,, x d ) = sup x i. 1 i d C est un exercice facile de montrer qu une suite (x n ) n N dans E 1 E d converge pour ces normes vers x si et seulement si les d suites (x n i) n N convergent vers x i pour tout i [1, d]. 4

6 1.2 Espaces de Banach Rappellons que dans un espace métrique (E, d), une suite (x n ) est dite de Cauchy si ce qui équivaut à lim d(x n, x m ) = 0, (m,n) pour tout ε > 0, il existe n 0 tel que pour tout m, n n 0, d(x n, x m ) ε. L espace métrique (E, d) est dit complet si toute suite de Cauchy est convergente. Définition Un espace de Banach est un espace normé (E, ) complet pour la distance associée à la norme. Exemple a) Considérons R d muni de l une des normes 1, 2, de la définition On a, pour tout x R d, x 2 x 1 n x et x x 2. Ces inégalités montrent que les suites convergentes sont les mêmes pour ces trois normes et qu une suite converge si et seulement si les d suites de ses composantes convergent au sens usuel de R vers des limites qui sont alors les composantes de la limite. L espace R d est alors de Banach pour ces trois normes (il est en fait complet pour toute norme comme on le verra dans la suite de ce chapitre). b) Plus généralement un produit fini d espaces de Banach est de Banach pour les normes de la définition où c) Soit p un élément de R tel que 1 p, on définit l p = {(x n ) n N R : x p < + } ( ) 1/p x p = x n p si 1 p < +, n=1 x = sup x n si p = +. n 1 Pour montrer que p est une norme sur l p pour 1 p < +, il faut faire appel aux inégalités de Hölder et de Minkowski, le cas p = + étant plus simple (voir T.D.). Montrons que l p est complet pour la norme p. Remarquons que si (x n ) n N est une suite dans l p, chaque terme x n est une suite de nombres réels dont les termes sont notés (x n i ) i N. On a donc un tableau infini à double entrée, x 1 1,, x 1 i,. x n 1,, x n i,. 5

7 Traitons le cas où 1 p < +. Soit (x n ) n N une suite de Cauchy. Pour tout ε > 0, il existe n 0 N tel que, pour tout m, n n 0, on ait x n i x m i p ε p. i=1 Pour tout i N on obtient donc que la suite (x n i ) n N est de Cauchy dans R et converge donc vers un réel x i. Pour tout N N, on a N x n i x m i p i=1 En faisant tendre m vers +, il vient x n i x m i p ε p. i=1 N x n i x i p ε p (1.1) i=1 ce qui implique que x n x l p d où x = x n (x n x) l p car l p est un espace vectoriel. Enfin, passant à la limite sur N dans l inégalité 1.1, on obtient que pour tout n n 0, x n x p ε, d où le résultat. Dans le cas p = +, la démonstration est analogue. d) On se donne un espace métrique (X, d), un espace normé (Y, ) et on considère l ensemble C b (X, Y ) des applications de X dans Y qui sont continues et bornées (i.e. sup x X f(x) < + ). On munit C b (X, Y ) de la norme f = sup f(x). x X Quand Y = R, on notera simplement C b (X, R) = C b (X). C est un exercice facile de montrer que (C b (X, Y ), ) est un espace de Banach quand c est le cas pour (Y, ). Dans le cas particulier où X = N et Y = R, on retrouve l exemple c) en remarquant que C b (N) = l car toute fonction définie sur N est continue! e) L ensemble C 1 ([0, 1]) des fonctions continuement dérivables sur [0, 1] est un espace de Banach muni de la norme f C 1 = f + f est un espace de Banach (le démontrer en exercice). Plus généralement il en est de même de l ensemble C m ([0, 1]) des fonctions m fois continuement dérivables sur [0, 1] avec m N muni de la norme f C m = f + f + + f (m). f) L espace C([0, 1]) des fonctions continues sur [0,1] à valeurs réelles muni de la norme f 1 = n est pas un espace de Banach (le démontrer) f(t) dt

8 Définition Soit (E, ) un espace normé et (x n ) une suite dans E. On pose, pour tout n N, S n = n i=0 x i. On dit que la série de terme général (x n ) converge s il en est de même de la suite (S n ) et on pose x i = lim S n. n i=0 On dit que la série de terme général (x n ) est normalement convergente si la série de terme général ( x n ) est convergente. Théorème Dans un espace de Banach (E, ), toute série normalement convergente est convergente et x n x n. Démonstration. Soit n > m, on a n=0 n=0 S n S m = x m x n T n T m, où T n = n i=0 x i. La suite (T n ) étant convergente est de Cauchy. Il en est donc de même de (S n ) qui est donc convergente. Par ailleurs passant à la limite quand n + dans l inégalité S n T n on obtient que S T, d où le résultat. 1.3 Applications linéaires continues Théorème Soient (E, ) et (F, ) deux espaces normés et f : E F une application linéaire. Les propriétés suivantes sont équivalentes i) f continue sur E, ii) f continue en 0, iii) il existe M 0 tel que pour tout x E, f(x) M x. Démonstration. Il est clair que i) ii) et que iii) i) car, pour tout x, y X, f(x) f(y) = f(x y) M x y. Il reste à montrer que ii) iii). De part la continuité de f en 0, il existe η > 0 tel que, pour tout z B(0, η), f(z) = f(z) f(0) 1. Soit alors x E\{0}. Remarquant que z := η x B(0, η), on obtient x η f(x) = f(z) 1, x 7

9 d où f(x) (1/η) x. On notera L(E, F ) l ensemble des applications linéaires continues de E dans F. Si F = R, on note E = L(E, R) et on dit que E est le dual topologique de E. Remarque On peut montrer, en utilisant le Théorème de Hahn-Banach, que pour tout espace normé (E, ), E = L(E, R) {0}. On peut aussi montrer qu il existe des applications linéaires non continues. Définition Pour tout f L(E, F ), on pose : f = inf{m 0 : pour tout x E, f(x) M x }. Cette définition a bien un sens car l ensemble de réels dont on considère la borne inférieure est non vide (Théorème 1.3.1) et minoré par 0. Proposition La fonction. définie ci-dessus est une norme sur L(E, F ) et l on a, f(x) f = sup x 0 x = sup f(x) = sup f(x). x 1 x =1 Démonstration. Soit M 0 tel que f(x) M x pour tout x E. On a donc pour tout x 0, f(x) M, x d où Passant à la borne inférieure sur M, il vient Soit alors ε tel que 0 < ε < f, on a f(x) sup x 0 x f(x) sup x 0 x M. f. f ε {M 0 : pour tout x E, f(x) M x }. Il existe donc z 0 tel que Il vient alors f(z) > ( f ε) z. f(x) sup x 0 x f(z) z > f ε, 8

10 d où f(x) sup x 0 x en faisant tendre ε vers 0. On a donc bien f f(x) f = sup x 0 x, on a alors, notant que f(x) x = f( x x ) Par ailleurs f(x) f = sup x 0 x sup f(z). z =1 sup f(x) f x 1 car f(x) f x pour tout x X. En résumé on a sup f(x) sup f(x) f sup f(x), x =1 x 1 x =1 d où le résultat. Nous laissons alors au lecteur le soin de vérifier que la fonction ainsi définie sur L(E, F ) est une norme. Remarque a) Pour montrer qu une application linéaire est continue, il suffit donc de montrer qu elle est bornée sur la boule unité de l espace de départ. b) Ce qu il faut retenir c est que si une application linéaire de E dans F est telle qu il existe M 0 telle que, pour tout x E, f(x) M x, alors f est continue et f M. Notons également que pour tout f L(E, F ) et pour tout x E, on a f(x) f x, on en déduit aisément que, pour tout f L(E, F ), g L(F, G), on a En effet, pour tout x E avec x 1 d où g f g f. (1.2) g(f(x)) g f(x) g f, g f = sup g(f(x)) g f. x 1 L inégalité 1.2 ne peut pas être remplacée par une égalité. En effet si f et g sont les projections orthogonales sur deux sous-espaces orthogonaux non réduits à {0} de R d, on a g f = 0 et f = g = 1. 9

11 Exemple a) Soit E = C([0, 1]) l ensemble des fonctions continues définies sur [0, 1) muni de la norme f = sup t [0,1] f(t). L application L : E R définie par L(f) = 1 0 f(t) dt est linéaire continue et L 1. En effet, pour tout f E L(f) 1 0 f(t) dt 1 0 f(t) dt 1 0 f dt f. b) Soit 1 < p < + et soit l p défini dans l exemple b). Soit 1 < q < + tel que 1 p + 1 q = 1. Soit y lq et L : l p R définie pour tout x l p par L(x) = x n y n. n=1 La série définissant L(x) est convergente, L est linéaire et L(x) y q x p ce qui montre que L est linéaire et L y q (voir T.D.). c) Soient E, F, G des espaces normés et soient f L(E, F ), g L(F, G). Pour tout x E on a g(f(x)) g f(x) f g x. il en résulte que g f L(E, G) et De plus les applications et g f g f. (1.3) L : L(E, F ) L(E, G) f f g M : L(F, G) L(E, G) g f g sont linéaires. Elles sont aussi continues car pour tout f L(E, F ), g L(F, G) il découle de (1.3) que L(f) g f et M(g) f g. 10

12 Théorème Soient (E, ) un espace normé et (F, ) un espace de Banach. Alors L(E, F ) est un espace de Banach muni de la norme de la Définition Démonstration. Soit (f n ) une suite de Cauchy dans L(E, F ). Pour tout ε > 0, il existe n 0 N tel que, pour tout m, n n 0, f n f m = sup f n (x) f m (x) ε, (1.4) x 1 Pour tout x B = B(0, 1), la suite (f n (x)) est de Cauchy, elle converge donc vers un élément noté ϕ(x). Il existe donc une application ϕ : B F telle que la restriction f n B converge uniformément vers ϕ. Posons, pour tout x X\{0} Pour tout x 0, il vient d où f(x) = x ϕ(x/ x ) et f(0) = 0. f n (x) = x f n (x/ x ), lim f n(x) = x ϕ(x/ x ) = f(x). n Il est alors aisé de vérifier, en passant à la limite dans les égalités f n (λx) = λf n (x) et f n (x + y) = f n (x) + f n (y), que f est linéaire. Montrons que f est continue. En effet en prennant n = n 0 et en faisant tendre m vers l infini dans (1.4) il vient d où sup f n0 (x) f(x) ε, x 1 sup f(x) f n0 + ε, x 1 ce qui, compte tenu de la Remarque a) montre la continuité de f. Enfin, revenant à 1.4, on a faisant tendre m vers l infini, f n f = sup f n (x) f(x) ε x 1 et ce, pour tout n n 0, ce qui achève la démonstration. Définition Soient E et F des espaces normés. On dit que f L(E, F ) est un isomorphisme si f est bijective et si f 1 L(F, E). On note alors Isom (E, F ) l ensemble éventuellement vide des isomorphismes de E dans F. 11

13 Remarque a) Si E est un espace de Banach et si F est isomorphe à E, alors F est un espace de Banach. En effet, il existe D > 0 telles que, pour tout y, y F, f 1 (y) f 1 (y ) D y y. Il en résulte que si (y n ) est de Cauchy dans F alors (f 1 (y n )) est de Cauchy dans E et converge donc vers un élément x E, ce qui implique la convergence de (y n ) vers y = f(x). b) Il est clair que la composée de deux isomorphismes est un isomorphisme. c) Il existe des applications linéaires continues et bijectives qui ne sont pas des isomorphismes. Cependant on a le résultat positif suivant que nous démontrerons dans le chapitre 4. Théorème Soient E et F des espaces de Banach et soit f L(E, F ) telle que f est bijective. Alors f est un isomorphisme. Définition On dit que f L(E, F ) est une isométrie si pour tout x E f(x) = x. Exemple Soit E un espace normé. Pour tout h E on définit l application ϕ h : R E t th On a ϕ h L(R, E) et l application ϕ qui à h associe ϕ h est un isomorphisme et une isométrie de E dans L(R, E). En effet ϕ h = max( ϕ h (1), ϕ h ( 1) ) = ϕ h (1) = h. L isométrie réciproque ψ : L(R, E) E est définie par ψ(f) = f(1) pour tout f L(R, E). Dans la suite, on identifiera L(R, E) et E par cette isométrie. Le résultat suivant a d importantes applications. Théorème Soient E, F des espaces de Banach, alors Isom (E, F ) est ouvert (éventuellement vide) dans L(E, F ) et l application u u 1 est continue sur Isom (E, F ). Démonstration. Soit v L(E) tel que v < 1. La série de terme général (v n ) est alors normalement convergente car v n v n. Posons S n = n k=0 vk, on a v S n = S n v = S n+1 I 12

14 où I désigne l application identique de E dans E. Il résulte alors de la continuité des applications u u v et u v u (voir Exemple (1.3.1), c)) que S = k=0 vk vérifie (I v) S = S (I v) = I, donc que I v est bijective, c est donc un isomorphisme d après le Théorème Soit alors u Isom (E, F ) et v L(E, F ). On a, v Isom(E, F ) u 1 v Isom(E). Or u 1 v = I w avec w = I (u 1 v) = u 1 (u v). On a, w = u 1 (u v) u 1 (u v). donc B(u, 1/ u 1 ) Isom (E, F ). Par ailleurs on a d où On obtient alors v 1 u 1 v 1 = (u (I w)) 1 = (I w) 1 u 1, v 1 u 1 = ((I w) 1 I) u 1 = w k u 1 k=1 w k u 1. k=1 w k u 1 k=1 Comme w tend vers 0 quand v tend vers u on a bien le résultat. w 1 w u Normes équivalentes Définition Soit E un espace vectoriel muni de deux normes 1 et 2. On dit que ces deux normes sont équivalentes si elles définissent la même topologie (i.e. si les suites convergentes et leurs limites sont les mêmes). Ceci équivaut à la continuité des applications linéaires : Il en résulte immédiatement le I : (E, 1 ) (E, 2 ) I : (E, 2 ) (E, 1 ). Théorème Soient 1 et 2 deux normes sur un espace vectoriel E. Les propriétés suivantes sont équivalentes, i) 1 et 2 sont des normes équivalentes, ii) il existe a, b > 0 telles que, pour tout x E, x 1 a x 2 et x 2 b x 1. 13

15 Démonstration. Elle résulte de la Définition et du Théorème 1.3.2, remarquant que ii) équivaut à la continuité des applications linéaires I : (E, 2 ) (E, 2 ) et I : (E, 1 ) (E, 2 ). Dans le cas des espaces de dimension finie, on a Théorème Toutes les normes sont équivalentes dans R d. Démonstration. Posons, pour tout x R d, x = d i=1 x i et considérons une norme ρ(.) sur R d. Pour tout i = 1,, d définissons le vecteur e i = (0,, 1,, 0), dont toutes les composantes sont nulles sauf celle de rang i. Pour tout x, y R d on a ( d ) ρ(x y) = ρ (x i y i )e i i=1 d x i y i ρ(e i ) i=1 M x y, où M = sup 1 i d ρ(e i ). La fonction ρ(.) est donc continue, elle atteint alors sa borne inférieure sur le compact S = {x R d : x = 1}. Il existe donc m > 0 tels que, pour tout x 0, on a m ρ(x/ x ), d où m x ρ(x) M x, ce qui montre que les normes et ρ(.) sont équivalentes. Soient alors ρ 1 et ρ 2 deux normes sur R d. Comme ρ 1 est équivalente à et que est équivalente à ρ 2, on obtient que ρ 1 est équivalente à ρ 2 (le vérifier). Corollaire i) R d est un espace de Banach pour toute norme. ii) Toute application linéaire de R d dans un espace normé (F, ) est continue. Démonstration. i) Résulte du fait qu un espace de Banach l est encore quand on remplace sa norme par une norme équivalente, du Théorème et du fait que R d est complet muni de l une de ses normes usuelles (voir Exemple a)). ii) Exercice facile. 14

16 Remarque a) Soit (E, ) un espace vectoriel de dimension d rapporté à une base (u 1,, u d ). L application d ϕ(x 1,, x d ) = x i u i est bijective linéaire et continue (le démontrer) de R d dans E. La bijection réciproque ϕ 1 est aussi continue. En effet la fonction ϕ(.) qui est une norme sur R d est équivalente à la norme. Il existe donc c > 0 tel que c ϕ(.), ce qui implique bien la continuité de ϕ 1. Ainsi E est isomorphe à R d et le Théorème ainsi que le Corollaire sont vrais en remplaçant R d par un espace vectoriel E de dimension finie d. b) On peut montrer que la boule unité d un espace normé de dimension infinie n est jamais compacte (Théorème de F. Riesz). 1.5 Applications multilinéaires continues Définition Soient E 1,, E n, F des espaces vectoriels, on dit qu une application i=1 f : E 1 E n F est multilinéaire si, pour tout i [1, n], et pour tout a = (a 1,, a n ) E 1 E n, les applications f i : E i F définies par sont linéaires. f i (x) = f(a 1,, a i 1, x, a i+1,, a n ) Théorème Soient E 1, E n, F des espaces normés et soit une application multilinéaire f : E 1 E n F. On munit l espace vectoriel E 1 E n d une norme définissant la topologie produit (par exemple l une des normes équivalentes de la Définition 1.1.2). Alors, les deux propriétés suivantes sont équivalentes. i) f est continue sur E 1 E n, ii) il existe M 0 telle que, pour tout x E 1 E n, on a f(x) M x 1 x n. Démonstration. i) ii). Comme f est continue en 0 et f(0) = 0, Il existe η > 0 tel que, x = sup x i η f(x) 1. 1 i n Soit alors x (E 1 \{0}) (E n \{0}). Posons y = η(x 1 / x 1,., x n / x n ), on a y η. Il en résulte f(y) 1, et donc f(x) (1/η n ) x 1. x n. 15

17 Enfin, si l un des x i est nul l inégalité ci-dessus est vérifiée avec 0 des deux côtés de l inégalité. ii) i). On procède par récurrence sur n. Soient x, h E 1 E n. On a f(x + h) f(x) f(x + h) f(x + k) + f(x + k) f(x) où k = (0, h 2,, h n ). On a alors f(x + h) f(x + k) M h 1 ( x 2 + h 2 ) ( x n + h n ) C h 1 pourvu que h 1. Par ailleurs l application g : E 2 E n F définie par g(z 2,, z n ) = f(x 1, z 2,, z n ) est telle que g L(E 2 E n, F ) et vérifie g(z 2,, z n ) M z 2 z n avec M = M x 1. De plus f(x + k) f(x) = g(x 2 + h 2,, x n + h n ) g(x 2,, x n ). On applique alors l hypothèse de récurrence et on obtient l existence de η > 0 tel que g(x 2 + h 2,, x n + h n ) g(x 2,, x n ) ε/2 pourvu que sup 2 i n h i η. Il en résulte que pour sup 1 i n h i max(η, ε/2c), on a f(x + h) f(x) C h 1 + ε/2 ε, ce qui démontre i). On note L(E 1,, E n ; F ) l ensemble des applications multilinéaires continues de E 1 E n dans F. Si E 1 = = E n = E, on note L(E 1,, E n ; F ) = L n (E; F ). Nous laissons au lecteur le soin de démontrer que pour tout choix d une norme sur E 1 E n est une norme sur L(E 1,, E n, F ), que f = sup f(x) x 1 f = inf{m R + : pour tout x E 2 E n, f(x) M x 1 x n }, et que si F est de Banach, l espace L(E 1,, E n ; F ) est un espace de Banach muni de cette norme (s inspirer de la démonstration du Théorème 1.3.2). Enfin le lecteur démontrera que si E 1,, E n sont de dimension finie toute application multilinéaire définie sur E 1 E n est continue. Le résultat suivant est fondamental pour l étude des différentielles d ordre supérieur. 16

18 Théorème L application Φ : L m (E; L n (E; F )) L n+m (E; F ) définie pour g L m (E; L n (E; F )) et (x 1,, x n+m ) E n+m par Φ(g)(x 1,, x n+1 ) = g(x 1,, x m )(x 2,, x n+1 ) est une isométrie de L m (E; L n (E; F )) dans L n+m (E; F ) et l isométrie réciproque Ψ : L n+m (E; F ) L m (E; L n (E; F )) est définie, pour tout f L n+m (E; F ), (z 1,, z m ) E m et (x 1,, x n ) E n par Démonstration. On a (Ψ(f)(z 1,, z m ))(x 1,, x n ) = f(z 1,, z m, x 1,, x n ). Φ(g)(x 1,, x n+m ) g(x 1,, x m ) L n (E;F ) (x m+1 x n+1 ce qui montre que Φ(g) L n+m (E; F ) et Par ailleurs, pour tout (z 1,, z m ) E m, g L m (E;L n (E;F )) x 1 x m x 2 x n+1 Φ(g) L n+m (E;F ) g L m (E;L n (E;F )). (1.5) Ψ(f)(z 1, z m )(x 1,, x n ) f L n+m (E;F ) z 1 z m x 1 x n ce qui montre que Ψ(f) L m (E; L n (E; F )) et d où Ψ(f)(z 1,, z m ) L n (E;F ) f L n+1 (E;F ) z 1 z m Ψ(f) L m (E;L n (E;F )) f L n+m (E;F ). (1.6) Les applications Φ et Ψ sont donc linéaires continues. Il est clair qu elles sont aussi réciproque l une de l autre. On a alors pour tout f L n+m (E; F ), g L m (E; L n (E; F )) et f L n+m (E;F ) = (Φ Ψ)(f) L n+m (E;F ) = Φ(Ψ(f)) L n+m (E;F ) Ψ(f) L m (E;L n (E;F )) g L m (E;L n (E;F )) = (Ψ Φ)(g) L m (E;L n (E;F )) = Ψ(Φ(g)) L m (E;L n (E;F )) Φ(g) L n+m (E;F ), ce qui combiné à (1.5) et (1.6) montre que Φ(g) L n+m (E;F ) = g L m (E;L n (E;F )) et On a donc bien le résultat. Ψ(f) L m (E;L n (E;F )) = f L n+m (E;F ). 17

19 1.6 Espaces de Hilbert Définition Un produit scalaire.,. sur un espace vectoriel E est une fonction de E E dans R qui est bilinéaire symétrique ( x, y = y, x pour tout x, y E) non dégénérée positive ( x, x 0 pour tout x E et x, x = 0 implique x = 0), E muni du produit scalaire.,. est dit alors préhilbertien. Exemple a) Pour tout x, y R d on pose On définit ainsi un produit scalaire. x, y = x 1 y x d y d. b) Soit l 2 défini dans l exemple 1.2.1, c). Pour x, y l 2, on a, pour tout N N, N x n y n n=1 ( N ) 1 ( N x n 2 2 n=1 n=1 y 2 n ) 1/2 ( ) 1 ( ) x n 2 2 1/2. y n 2 n=1 Il en résulte que n=1 x ny n <. On pose alors On définit ainsi un produit scalaire. x, y = x n y n. n=1 c) Soit E = C([0, 1]) l ensemble des fonctions continues définies sur l intervalle [0, 1]. Pour tout f, g E posons On définit ainsi un produit scalaire. f, g = 1 0 n=1 f(t)g(t) dt. Théorème INÉGALITÉ DE CAUCHY-SCHWARZ Soit (E,.,. ) un espace préhilbertien. Alors pour tout x, y E, x, y 2 x, x y, y avec égalité si et seulement si x et y sont colinéaires. Démonstration. On peut supposer que y, y > 0. Soit λ R, on a x + λy, x + λy 0 d où λ 2 y, y + 2λ x, y + x, x 0. 18

20 Le discriminant du trinôme du second degré est donc négatif ou nul, ce qui donne l inégalité annoncée. Par ailleurs il est clair que l inégalité est une égalité si y = µx. Réciproquement si x et y sont non colinéaires alors x + λy 0 pour tout λ R ce qui montre que le trinôme n a pas de racine réelle. Il en résulte que son discriminant est strictement négatif, d où x, y 2 < x, x y, y. Proposition Soit (E,.,. ) un espace préhilbertien. On définit alors une norme sur E en posant pour tout x E x = x, x 1/2. Démonstration. La seule vérification non évidente est celle de l inégalité triangulaire. Soient x, y E, on a, utilisant l inégalité de Cauchy-Schwarz On a donc bien x + y x + y. x + y 2 = x 2 + y x, y x 2 + y x y ( x + y ) 2. Remarque a) Théorème de Pyhagore. Soit (E,.,. ) un espace préhilbertien et soient x, y E tels que x, y = 0. Alors x + y 2 = x 2 + y 2. En effet x + y 2 = x + y, x + y = x, x + x, y + y, y = x, x y, y = x 2 + y 2. b) Soit (E,.,. ) un espace préhilbertien et soit a E. Définissons L a : E R par L a (x) = a, x pour tout x E. Utilisant l inégalité de Cauchy-Schwarz, on a L a (x) a x ce qui montre que l application linéaire L a est continue et que L a a. De plus L a (a) = a 2 donc L a a ce qui montre que L a = a. Définition Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien (H,.,. ) qui est complet pour la norme définie dans la Proposition

21 Exemple a) L espace Euclidien R d muni du produit scalaire usuel (exemple 1.6.1, a)) est un espace de Hilbert. b) Soit l 2 défini dans l exemple 1.2.1, c) muni du produit scalaire x, y = x n y n. (exemple 1.6.1, b)). Alors l 2 est un espace de Hilbert pour ce produit scalaire. n=1 c) L espace E = C([0, 1]) muni du produit scalaire n est pas un espace de Hilbert. f, g = 1 0 f(t)g(t) dt. Définition Soit (E, d) un espace métrique, a E et soit B une partie non vide de E). La distance de a à la partie B est d(a, B) = inf{d(a, b) : b B}. On dit que b B est une projection de a sur B si d(a, b) = d(a, B). En général la projection n existe pas et, s il en existe, il peut en exister plusieurs. Définition Une partie C d un espace vectoriel E est dite convexe si, pour tout x, y C et pour tout λ [0, 1] λx + (1 λ)y C. Dans le cas d un espace préhilbertien il y a existence et unicité de la projection sur une partie convexe complète comme le montre le résultat fondamental suivant. Théorème PROJECTION SUR UN CONVEXE COMPLET Soit C une partie convexe et complète d un espace préhilbertien (E,.,. ). Alors, pour tout x E, il existe y C unique tel que x y = d(x, C). Le vecteur p C (x) = y C est alors caractérisé par pour tout z C. x p C (x), z p C (x) 0 20

22 Démonstration. Remarquons que d(x, C) = d(0, C x). Comme C x est aussi convexe complet, on peut supposer que x = 0. Soit y n C tel que Pour tout x, z E, on a d où On obtient alors y n d(0, C) + 1 n. x z 2 + x + z 2 = 2 x z 2, x z 2 = 2 x z 2 4 x + z 2. 2 y m y n 2 = 2 ym y n 2 4 y m + y n 2. 2 Comme C est convexe, on a y m + y n C donc 2 d(0, C) y m + y n. 2 Il en résulte que y m y n 2 2 y 2 m + 2 y n 2 4d 2 (0, C) 4d(0, C)(1/m + 1/n) + 2/m 2 + 2/n 2. La suite (y n ) est donc de Cauchy dans C qui est complet, elle converge donc vers un certain y C (C est fermé car C est complet). Passant à la limite dans l inégalité y n d(0, C) + 1/n, il vient y d(0, C) et donc y = d(0, C) car y d(0, C). Montrons l unicité de y. Si y 1 et y 2 sont solutions, on a y 1 y y y 2 2 4d 2 (0, C) = 0 donc y 1 = y 2. Enfin, revenant au cas général, p C (x) est caractérisé par x p C (x) 2 x z 2 pour tout z C. Soit y C et t [0, 1], on a z = p C (x) + t(y p C (x)) C par convexité, d où soit x p C (x) 2 x p C (x) t(y p C (x)) 2 0 2t x p C (x), y p C (x) + t 2 y p C (x) 2. Divisant par t et faisant tendre t vers 0 on a bien x p C (x), y p C (x) 0 pour tout y C. Réciproquement, supposant que z C est tel que x z, y z 0 pour tout y C, il vient x y 2 = x z 2 + z y 2 x z, y z 21

23 d où pour tout y C, et donc z = p C (x). x y 2 x z 2 Proposition Soit C une partie convexe et complète d un espace préhilbertien (E,.,. ). Alors, pour tout x 1, x 2 E p C (x 1 ) p C (x 1 ) x 1 x 2. Démonstration. Posons y 1 = p C (x 1 ) et y 2 = p C (x 2 ). On a x 1 y 1, y 2 y 1 0 (1.7) et On a alors x 2 y 2, y 1 y 2 0. (1.8) x 1 x 2, y 1 y 2 = x 1 y 1, y 1 y 2 + y 1 y 2, y 1 y 2 + y 2 x 2, y 1 y 2. D après (1.7) et (1.8), le premier et le troisième terme de l inégalité précédente sont positifs ou nuls. Il en résulte que On a alors d où ce achève la démonstration. x 1 x 2, y 1 y 2 y 1 y 2, y 1 y 2 = y 1 y 2 2. x 1 x 2 y 1 y 2 x 1 x 2, y 1 y 2 y 1 y 2 2 y 1 y 2 x 1 x 2 Définition Soit (E,.,. ) un espace préhilbertien et soient x, y E. On dit que x est orthogonal à y et on note x y si x, y = 0. Étant donné F E, on note Remarque Remarquons que F = {y E : x, y = 0, pour tout x F }. F = x F Ker x,. et que x,. est linéaire continue (voir Remarque (1.6.1), b)). On obtient alors que F est fermé comme intersection de fermés. Dans le cas où C est un sous-espace vectoriel le Théorème prend la forme suivante 22

24 Théorème PROJECTION SUR UN SOUS-ESPACE VECTORIEL COMPLET Soit F un sous-espace vectoriel complet d un espace préhilbertien (E,.,. ). Alors et E = F F p F L(E). Pour tout x E, p F (x) est l unique vecteur de F tel que x p F (x), y = 0 pour tout y F. De plus, pour tout x E. p F (x) x Démonstration. D après le Théorème p F (x) est l unique vecteur de F tel que Pour tout z F on a p F (x) + z F d où ce qui implique, changeant z en z que x p F (x), y p F (x) 0 pour tout y F. x p F (x), z 0 pour tout z F x p F (x), z = 0 pour tout z F donc x p F (x) F. Tout vecteur x E s écrit alors où x = p F (x) + x p F (x) p F (x) F et x p F (x) F. Comme F F = {0}, on a bien E = F F. De plus p F (.) est la projection algébrique sur F parallèlement à F, c est donc une application linéaire. Remarquons alors que, d après le Théorème de Pythagore x 2 = x p F (x) 2 + p F (x) 2 p F (x) 2, ce qui montre que p F (x) x pour tout x E et que p F est continue. Voici un résultat très utile dans la pratique. Corollaire Soit F un sous-espace vectoriel fermé d un espace de Hilbert (H,.,. ). Alors a) F = F. b) F = H F = {0}. 23

25 Démonstration. a) Observons que F F et que F est un sous-espace vectoriel fermé de E (F = x F ker x,. et ker x,. est fermé comme noyau d une forme linéaire continue (Remarque 1.6.1, b))). Les sous-espaces vectoriels F et F sont donc complets ce qui permet d appliquer le Théorème On a alors donc F = F. F F E = F F E = F F b) Si F = H il est clair que F = {0}. Réciproquement si F = {0} on a H = F {0} donc F = E. Définition On dit qu une famille de vecteurs (e i ) i I est orthogonale si e i, e j = 0 pour tout i, j I, i j. On dit que la famille orthogonale (e i ) i I est orthonormée si e i = 1 pour tout i I. Le résultat suivant dont la démonstration élémentaire est laissée au lecteur est d une grande importance pratique. Proposition Soit (e 1,, e n ) une famille orthononormée d un espace préhilbertien (E,.,., soit n N et λ 1,, λ n R. Posons x = n i=1 λ ie i, alors λ i = x, e i pour tout i [1, n], et x 2 = n λ i 2. i=1 Théorème Soit (E,.,. ) un espace préhilbertien et soit (e 1,, e n ) une famille orthonormée. On pose E n = [e 1,, e n ] (sous-espace vectoriel engendré par e 1,, e n ). Alors pour tout x E, a) p En (x) = n i=1 x, e i e i, b) x 2 d 2 (x, E n ) = n i=1 x, e i 2. Démonstration. Remarquons qu un sous-espace vectoriel de dimension finie est complet (voir Remarque 1.4.1). On peut donc appliquer le Théorème On sait que p En (x) est caractérisé par x p En (x), e i = 0 pour tout i [1, n]. 24

26 Il en résulte que n n p En (x) = p En (x), e i e i = x, e i e i. i=1 i=1 De plus, on a x = x p En (x) + p En (x) et (x p En (x)) p En (x). D après le Théorème de Pythagore, il vient x 2 x p En (x) 2 = p En (x) 2, ce qui montre bien que x 2 d 2 (x, E n ) = n x, e i 2. i=1 Théorème INÉGALITÉ DE PARSEVAL-BESSEL Soit (E,.,. ) un espace préhilbertien et (e i ) i N une famille orthonormée. Alors pour tout x E, la série de terme général ( x, e i 2 ) converge et x, e i 2 x 2. i=1 Démonstration. Pour tout n N, on a p En (x) 2 x 2 et, d après le Théorème et la Proposition on a n p En (x) 2 = x, e i 2, d où le résultat. i=1 Définition Soit (e n ) n N une famille de vecteurs d un espace normé (E, ). On dit que cette famille est totale si E = F n, n=1 où F n = [e 1,, e n ]. Autrement dit, si pour tout x X et pour tout ε > 0, il existe n 1 et x n F n tel que x x n ε. De façon équivalente la famille (e n ) n N est totale si et seulement si pour tout x E, on a lim n d(x, E n ) = 0 (le démontrer). Proposition Soit (H,.,. ) un espace de Hilbert. Alors la famille (e n ) n N est totale si et seulement si {e n : n N } = 0. 25

27 Démonstration. On a ( ) {e n : n N } = F n. n=1 En effet il est clair que ( ) {e n : n N } = F n, et l orthogonal d un sous espace vectoriel est égal à celui de son adhérence (le vérifier). On a donc n=1 si et seulement si d où le résultat. F n = H n=1 ( ) F n = {0}, n=1 On a alors une caractérisation simple des familles totales. Proposition Soit (H,.,. ) un espace de Hilbert et (e i ) i N une famille orthonormée. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes, i) la famille (e i ) i N est totale, ii) pour tout x H, x 2 = i=1 x, e i 2, iii) pour tout x H, x = i=1 x, e i e i. Démonstration. i) ii). Étant donné ε > 0, il existe n N et des réels λ 1,, λ n tels que On a alors x 2 i=1 x n λ i e i ε. i=1 n x, e i 2 = x p En (x) 2 x n 2 λ i e i ε 2, d où x 2 i=1 x, e i 2 + ε 2 ce qui implique bien ii) en faisant tendre ε vers 0. ii) iii). On a x = (x p En (x)) + p En (x) et x p En (x) et x p En (x) sont orthogonaux. On obtient donc x 2 p En (x) 2 = x p En (x) 2 = d 2 (x, E n ) soit utilisant le Théorème (1.6.4) x 2 i=1 n x, e i 2 = x p En (x) 2, i=1 26

28 il en résulte que lim n p En (x) = x d où le résultat car p En (x) = n i=1 x, e i e i. iii) i). Évident. Exemple Soit dans l 2 la famille (e i ) i N définie par e i n = δ i,n. Pour x l 2, on a x, e i = x i, la famille (e i ) i N est donc totale dans l 2 d après le Théorème 1.6.4, ii). Soit alors (H,.,. ) un espace de Hilbert et a H. L application l a : H R définie par l a = a,. est linéaire et on a a, x a x Il en résulte que l a est continue : l a H. Le résultat suivant montre que tous les éléments de H sont représentables de cette manière. Théorème Soit (H,.,. un espace de Hilbert. Alors l application l : H H x l x est une isométrie surjective de H dans H. Démonstration. Il est clair que l est linéaire. Soit ϕ H, si ϕ = 0 on a ϕ = l 0. On peut donc supposer que ϕ 0. Le noyau F = ker ϕ est donc un hyperplan fermé de H. Il existe alors b F tel que b F car dans le cas contraire on aurait F F et donc H = F F F ce qui impliquerait la contradiction F = H. Remarquons alors que F = [b] car H = F [b], H = F F et [b] F. Comme ker l b = ker ϕ, il existe un réel λ tel que ϕ = λl b = l a avec a = λb. L application l est alors linéaire et bijective de H dans H. De plus l a (x) a x pour tout x H et l a (a) = a a, d où l a = a. On identifiera le plus souvent H avec H par l isométrie définie ci-dessus. 27

29 28

30 Chapitre 2 Applications différentiables dans les espaces normés 2.1 Définition d une application différentiable Dans toute la suite, E et F sont des espaces normés, U est un ouvert de E, f est une application de U dans F et a est un élément de U. Définition On dit que l application f : U F est différentiable au point a U s il existe ϕ L(E, F ) telle que pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que pour tout x B(a, η) On note alors Df(a) = ϕ. f(x) f(a) ϕ(x a) ε x a. Remarque a) Pour simplifier l écriture, on écrira souvent, h étant un vecteur de E, Df(a)h au lieu de Df(a)(h). b) La définition s écrit de façon équivalente, posant R(x) = f(x) f(a) ϕ(x a), où lim x a R(x) x a = 0. Cela s écrit aussi f(x) = f(a) + ϕ(x a) + R(x), f(x) = f(a) + ϕ(x a) + x a ε(x), où Cela équivaut bien sûr à où lim ε(x) = 0. x a f(a + h) = f(a) + ϕ(h) + h δ(h) lim δ(h) = 0. h 0 29

31 On note parfois o( h ) une fonction α(h) définie au voisinage de 0 et à valeurs réelles telles que lim h 0 h 1 α(h) = 0. La différentibilité en a s écrit alors f(a + h) = f(a) + ϕ(h) + o( h ). c) Si f est différentiable en a, alors f est continue en a. En effet f(x) f(a) = ϕ(x a) + R(x), d où utilisant la continuité en a de ϕ et le fait que lim x a R(x) = 0, lim(f(x) f(a)) = 0. x a d) Si f est différentiable en a, alors pour tout h E, f(a + th) f(a) Df(a)(h) = lim. (2.1) t 0 t En effet, f(a + th) f(a) = tdf(a)(h) + th ε(th). Il en résulte que f(a + th) f(a) t = Df(a)(h) + h ε(th), d où le résultat. On remarque que cette propriété montre que la différentielle Df(a), quand elle existe, est unique. e) On note également que l application f est différentiable en a si et seulement si il existe ϕ L(E, F ) telle que (f(x) f(a) ϕ(x a)) lim = 0, x a x a où x a signifie x tend vers a et x a. f) Si f est différentiable en a et si une application g coincide avec f sur un voisinage de a, alors g est différentiable en a et Dg(a) = Df(a) (immédiat en utilisant (2.1)). g) La différentiabilité de f ne change pas quand on remplace les normes de E et F par des normes équivalentes (exercice facile). h) Si f : U F est constante alors Df(x) = 0 pour tout x U, c est immédiat. Définition Soit f : I E une fonction vectorielle définie sur un intervalle ouvert I de R. On dit que f est dérivable en t 0 I si la limite existe. On pose alors f(t) f(t 0 ) lim t t 0 t t 0 f (t 0 ) = df dt (t 0) = lim t t0 f(t) f(t 0 ) t t 0. 30

32 Théorème Soit f : I E une fonction vectorielle définie sur un intervalle ouvert I de R. Alors les deux propriétés suivantes sont équivalentes i) f est dérivable en t 0 I, ii) f est différentiable en t 0 I. De plus pour tout h R, on a Df(t 0 )(h) = h df dt (t 0), df dt (t 0) = Df(t 0 )(1). Démonstration. On sait (voir chap. 1, Exemple que L(R, E) s identifie à E quand on identifie ϕ L(R, E) avec le vecteur ϕ(1) et x E avec ϕ L(R, E) définie par ϕ(t) = tx. Remarquons que f(t) f(t 0 ) lim = x t t 0 t t 0 équivaut à avec lim h 0 ε(h) = 0, ce qui démontre le théorème. f(t) f(t 0 ) (t t 0 )x = (t t 0 )ε(t t 0 ) Exemple a) Soit (E,. ) un espace normé, alors la norme n est pas différentiable en 0. Dans le cas contraire, on aurait (remarque 2.1.1, d)) pour tout h E D(. )(0)h = lim t 0 th /t ce qui est absurde car le rapport th /t a une limite à droite égale à h et une limite à gauche égale à h quand t tend vers 0. b) Soient E, F des espaces normés et soit f L(E, F ). Il découle de l égalité, f(x) f(a) f(x a) = 0 pour tout x, a E que, pour tout a E, f est différentiable en a E et que sa différentielle en a est Df(a) = f. c) Soit E, F, G des espaces normés, soit f L 2 (E, F ; G) une application bilinéaire continue et soient a, x E, b, y F. On a f(x, y) = f(a + (x a), b + (y b)) = f(a, b) + f(a, y b) + f(x a, b) + f(x a, y b). Notons que l application linéaire L : E F G définie par L(u, v) = f(a, v) + f(u, b) pour tout (u, v) E F 31

33 est continue car L(u, v) f a v + f b u ( f a + f b ) (u, v) où (u, v) = sup( u, v ). Enfin ce qui montre que f(x a, y b) f x a y b f (x a, y b) 2, lim (x,y) (a,b) f(x a, y b) (x a, y b) = 0. Il en résulte que toute application bilinéaire continue f L 2 (E, F ; G) est différentiable sur E F et que pour tout (a, b) E F, (u, v) E F Df(a, b)(u, v) = f(a, v) + f(u, b). Plus généralement si E 1,, E m, G sont des espaces normés et si f L(E 1,, E m ; G) est une application multilinéaire continue, alors f est différentiable sur E 1 E m et pour tout (a 1,, a m ), (u 1,, u m ) E 1 E m on a Df(a 1,, a m )(u 1,, u m ) = f(u 1, a 2,, a m ) + + f(a 1,, a m 1, u m ), (exercice facile et fastidieux ou voir Corollaire 2.4.3). d) Soit U un ouvert de R n, f : U R une application et soit a U. On rappelle que la dérivée partielle f x i (a) est égale quand elle existe au nombre dérivé ϕ (a i ) où ϕ i est la fonction de la variable réelle définie au voisinage de a i par ϕ i (z) = f(a 1,, z,, a n ). En d autre termes soit f f(a 1,, z,, a n ) f(a 1,, a n ) (a) = lim, x i z ai z a i f f(a 1,, a i + t,, a n ) f(a 1,, a n ) (a) = lim. x i t 0 t Autrement dit f f(a + te i ) f(a) (a) = lim, x i t 0 t { 0 si j i f où (e i ) j =. Il résulte donc de (2.1) que si f est différentiable en a alors (a) 1 si j = i x i existe. On a de plus ( n ) Df(a)(h) = Df(a) h i e i = i=1 n Df(a)(e i )h i = i=1 n i=1 f x i (a)h i. 32

34 Autrement dit Df(a)(h) = f(a), h pour tout h R n f (a) x où.,. désigne le produit scalaire usuel sur R n 1 et f(a) =. est appelé le vecteur f (a) x n gradient de f en a. On montrera dans la suite que si pour tout i = 1,, n la fonction f x i (.) est définie au voisinage de a et continue en a alors f est différentiable en a et que sa différentiellle en a est définie par Df(a)(h) = f(a), h. e) Plus généralement, si U R n est un ouvert et si l application Df(a)(h) = lim t 0 f(a + th) f(a) t f = (f 1,, f m ) : U R m est différentiable en a. On montrera un peu plus loin que f 1,, f m sont alors différentiables en a. On a alors d après (2.1), pour tout h R n, ( = lim donc f 1 (a + th) f(a) t 0 t Df(a)(h) = ( f 1 (a), h,, f m (a), h ), f m (a + th) f(a) ),, lim, t 0 t autrement dit Df(a)(h) = J f (a)h f 1 (a) T où J f (a) est la matrice à m lignes et n colonnes dont les lignes sont., autrement dit f m (a) T [J f (a)] ij = f i x j (a) pour tout (i, j) [1, m] [1, n]. On dit que J f (a) est la matrice Jacobienne de f en a. On montrera que si les dérivées partielles ( fi ) (.) existent au voisinage de a et sont continues en a on montrera que f est x j (i,j) [1,m] [1,n] différentiable en a et que Df(a) est donné, pour tout vecteur h R m par Df(a)(h) = J f (a)h. La notion de vecteur gradient s étend au cadre des espaces de Hilbert Définition Soit U un ouvert d un espace de Hilbert E et soit f : E R une application différentiable en a. On a Df(a) E, on désigne alors par f(a) E l unique vecteur fourni par le Théorème de Riesz, tel que Df(a)(h) = f(a), h pour tout h E. 33

35 Définition Soit f : U E F une application. On dit que f est de classe C 1 sur U si f est différentiable sur U et si l application, x Df(x) est continue de U dans L(E, F ). Théorème Soient E, F des espaces normés. Alors l application I : Isom (E, F ) Isom (F, E), définie par I(u) = u 1 est de classe C 1 et pour tout h L(E, F ), DI(u)(h) = u 1 h u 1. Démonstration. On sait que Isom (E, F ) est ouvert dans L(E, F ) (Chapitre 1, Théorème 1.3.4). On remarque que L(.) définie par L(h) = u 1 h u 1 est linéaire ; L(.) est aussi continue car L(h) u 1 u 1 h. Soit u Isom (E, F ), on peut supposer que h est assez petit pour que u + h Isom (E, F ). On a alors I(u + h) I(u) = (u + h) 1 u 1 = (u + h) 1 u u 1 (u + h) 1 (u + h) u 1 = (u + h) 1 (u (u + h)) u 1 = (u + h) 1 h u 1. Posons R(h) = I(u + h) I(u) L(h). On a donc Montrons alors que lim h 0 h 1 R(h) = 0. On a R(h) = (u + h) 1 h u 1 + u 1 h u 1 = (u 1 (u + h) 1 ) h u 1 R(h) (u 1 (u + h) 1 ) h u 1. Or d après le Théorème du chapitre 1, on sait que (u 1 (u + h) 1 ) ε/ u 1, pour h assez petit, ce qui prouve la différentiabilité de I(.) en u Isom (E, F ). Il reste à prouver que DI(.) est continue de Isom (E, F ) dans L(L(E, F ), L(F, E)). Posons pour tout v, w L(F, E) et h L(E, F ) Ψ(v, w)(h) = v h w 34

36 Il est clair que Ψ(v, w)(.) est linéaire de L(E, F ) dans L(F, E). Elle est aussi continue car Ψ(v, w)(h) v w h. Observons que l application Ψ : L(F, E) L(F, E) L(L(E, F ), L(F, E)) ainsi définie est bilinéaire (évident) et continue car Ψ(v, w) v w. On a alors DI = Ψ (I, I) ce qui montre que DI est continue comme composée d applications continues. 2.2 Opérations sur les applications différentiables Le résultat suivant découle de la continuité des opérations (voir chapitre 1, Remarque 1.2). (λ, x) λx et (x, y) x + y Proposition Soient f, g : U F deux applications différentiables en a U et soit λ R. Alors les applications λf et f + g sont différentiables en a et l on a D(λf)(a) = λdf(a), D(f + g)(a) = Df(a) + Dg(a). Le résultat suivant est très important en calcul différentiel et il est impératif de savoir l appliquer sans hésitation. Théorème Soient E, F, G des espaces normés U E, V F des ouverts et soient f : U V différentiable en a U, g : V G différentiable en b = f(a) V. Alors l application g f est différentiable en a et D(g f)(a) = Dg(f(a)) Df(a). Démonstration. On a, f(x) = f(a) + Df(a)(x a) + r 1 (x), g(y) = g(b) + Dg(b)(y b) + r 2 (y), 35

37 avec et On donc Il en résulte que où Il reste à montrer que Observons que ce qui montre que lim x a lim y b r 1 (x) x a = 0 r 2 (y) y b = 0. g(f(x)) = g(b) + Dg(b)(Df(a)(x a) + r 1 (x)) + r 2 (f(x)). g(f(x)) = g(b) + (Dg(b) Df(a))(x a) + R(x), R(x) = Dg(b)(r 1 (x)) + r 2 (y). lim x a R(x) x a = 0. Dg(b)(r 1 (x)) Dg(b) r 1 (x), Dg(b)(r 1 (x)) lim x a x a = 0. r 1 (x) Par ailleurs utilisant le fait que lim = 0, il existe α > 0 tel que x a x a r 1 (x) x a pour tout x tel que x a α. Il vient, pour tout x B(a, α), f(x) b = Df(a)(x a) + r 1 (x) Df(a)(x a) + r 1 (x) Df(a) (x a) + r 1 (x), donc Soit alors ε > 0, il existe η > 0 tel que f(x) b ( Df(a) + 1) x a. (2.2) r 2 (y) pour tout y tel que y b η. Pour tout x tel que x a min utilisant (2.2), ε y b (2.3) Df(a) + 1 f(x) b η, 36 ( α, η ) il vient, Df(a) + 1)

38 et donc, utilisant (2.3), r 2 (f(x)) ce qui achève la démonstration. ε f(x) b Df(a) + 1 ε ( Df(a) + 1) x a Df(a) + 1 ε x a, Corollaire a) Soit I R un intervalle ouvert de R, soient E, F des espaces normés et soit x : I E et f : U F une application définie sur un ouvert U de E. On suppose que x(i) U, que x(.) est dérivable en t I et que f est différentiable en x(t). Alors f x est dérivable en t et (f x) (t) = Df(x(t))(x (t)). b) Soit I R un intervalle ouvert de R, soient E, F, G des espaces normés, soient x : I E et y : I F. Soit f L 2 (E, F ; G) une application bilinéaire continue. On suppose que x(.) et y(.) sont dérivables en t I. Posons z(t) = f(x(t), y(t)), alors z(.) est dérivable en t et z (t) = f(x (t), y(t)) + f(x(t), y (t)). Démonstration. a) D après le Théorème 2.2.1, f x est différentiable en t donc dérivable en t et (f x) (t) = D(f x)(t)(1) = (Df(x(t)) Dx(t))(1) = Df(x(t)(x (t)). b) On a z = f g où g(.) = (x(.), y(.)). D après le Théorème il résulte que Dz(t) = Df(x(t), y(t)) Dg(t). Appliquant le Théorème de la section 2.3 on a Il vient alors z (t) = Dz(t)(1) Dg(t) = (Dx(t), Dy(t)). = Df(x(t), y(t))(dx(t)(1), Dy(t)(1)) = Df(x(t), y(t))(x (t), y (t)). Utilisant l Exemple 2.1.1, c), on obtient bien le résultat. Exemple Si (E,, ) est un espace de Hilbert et x, y : I E sont dérivables en t I, on déduit du corollaire précédent que ( x(t), y(t) ) = x (t), y(t) + x(t), y (t). 37

39 2.3 Applications à valeurs dans un produit d espaces Soient F 1,, F m des espaces normés et F = F 1 F m leur produit cartésien. On définit, pour tout i = 1,, m p i : F F i par p i (x 1,, x m ) = x i et u i : F i F par u i (y) = (0,, y,, 0), où toutes les composantes sont nulles sauf celle de rang i qui est égale à y. On a p i L(F, F i ), u i L(F i, F ) (le démontrer) et, p i u i = I Fi. Théorème Soit f : U F = F 1 F m une application définie sur un ouvert U d un espace normé E à valeurs dans un produit d espaces normé. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes, i) f est différentiable en a U, ii) f 1,, f m sont différentiables en a où f = (f 1,, f m ). De plus pour tout h E, Df(a)(h) = m (u i Df i (a))(h) = (Df 1 (a)(h),, Df m (a)(h)). (2.4) i=1 Démonstration. Comme f est différentiable en a, l application f i = p i f est aussi différentiable en a pour tout i = 1, m, d après le Théorème Réciproquement, supposons que f 1,, f m sont différentiables en a. Alors, pour tout i = 1,, m, u i f i est différentiable en a comme composée d une application différentiable en a et d une application différentiable sur F i. Il en résulte que f qui est égal à m i=1 u i f i est différentiable en a et que, utilisant de nouveau le Théorème pour tout h E ce qui achève la démonstration. Df(a)(h) = = m i=1 m i=1 ( ) Du i (f i (a)) Df i (a) (h) ( ) u i Df i (a) (h), Corollaire Soit U un ouvert de R n et soit f : U R m. Alors f est différentiable en a U si et seulement si f 1,, f m sont différentiables en a et on a, pour tout h R n, Df(a)(h) = J f (a)h, (2.5) 38

40 f 1 (a) T oú J f (a) =. est la matrice m n définie par [J f (a)] ij = f i (a), soit x j f m (a) T J f (a) = f 1 x 1 (a). f m (a) x 1 f 1 (a) x n. f. m (a) x n Démonstration. La première partie de la conclusion découle du Théorème Utilisant ce même Théorème, il vient Df(a)(h) = (Df 1 (a)(h),, Df m (a)(h)). Par ailleurs, pour i [1, m], on a f i x j (a) = Df i (a)(e j ) où e j est le j eme vecteur de la base canonique de R n de telle sorte que Df i (a)(h) = n h j Df i (a)(e j ) = j=1 n j=1 h j f i x j (a) = f i (a), h. On a donc bien f 1 (a), h Df(a)(h) =. = J f (a)h. f m (a), h 2.4 Applications définies sur un produit d espaces Nous aurons besoin dans cette section de la Proposition que nous démontrerons au chapitre suivant. Nous en donnons ici une autre démonstration basée sur la proposition suivante dont la démonstration fait appel au Théorème de Hahn-Banach. Proposition Soit (E,. ) un espace normé. Alors pour tout x X on a x = sup{ l(x) : l E, l 1}. Proposition Soit f : U E F une application différentiable définie sur un ouvert convexe d un espace normé à valeurs dans un espace normé. On suppose qu il existe M R + tel que sup Df(x) M. x U Alors pour tout x, z U f(z) f(x) M z x. 39

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