Calcul matriciel et Systèmes linéaires

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1 Marino Alexandre Feuille d exercices 17 Massena ECS 1 Calcul matriciel et Systèmes linéaires Les exercices à regarder sont mentionnés par une * A priori les exercices seront traités dans l ordre suivant : 2, 4, 10, 18, 19, 22, 23, 25, 27, 32, 33, 34, 36, 15, 7, 39, 30, 37, 48, 50 Opérations sur les matrices Exercice 1 : Montrer que les ensembles suivants sont des espaces vectoriels ; en déterminer une base et la dimension 1 E = { A M n (R tous les coefficients de la matrice sont égaux } 2 E = { A M 3 (R la somme des termes situés sur la 1 ère ligne de A est nulle } (*Exercice 2 : Soit E = A = a b c c a + b b + c (a, b, c R 3 b c a + b Montrer que E est un R-espace vectoriel En donner une base Montrer que E est stable pour la multiplication des matrices a a a 0 Exercice 3 : Soient A = b b b, M = 2 0 0, V = c c c Calculer AV, AW et AM 2 Calculer t V A, t W A et t MA et W = 3 Trouver une matrice dont le produit avec A (à gauche ou à droite à déterminer est : α γ a 0 a + a b 0 b + b β c 0 c + c b b b a + b a + b a + b b c b c b c (*Exercice 4 : Soit A = a + 2a + a a 0 b + 2b + b b 0 c + 2c + c c 0 δ Exercice 5 : Soit A = ( a b c et B = b c b c b c b b b 3b 3b 3b Déterminer toutes les matrices B telles que BA = ( α β γ Que valent AB? BA? (AB n? (BA n? Exercice 6 : Dans chacun des cas suivants, calculer A n pour tout entier naturel n non nul A = 1 1 C = D = E = F = a a 1 0 a a (a étant un nombre réel fixé G = a + b 0 a 0 b a a 0 a + b ( ( (*Exercice 7 : Soient A = et B = matrice diagonale et de la matrice B Calculer A n ( ( 6 2 Exercice 8 : Soient A = et P = 2 6 Exercice 9 : Soit M M n (K on pose M = (a i, j avec (i, j [1, n], a i, j = 1 Ecrire A sous la forme d une combinaison linéaire d une Calculer P 1 AP puis ( P 1 AP n En déduire A n 1

2 1 Calculer M p pour p N On pose N = , calculer N 2 et N 3 Puis calculer N p pour p N (*Exercice 10 : Soit (a, b R 2 et A = 1 Calculer A 2 sa ( a 1 a 1 b b On pose s = a + b et on suppose dans la suite que s ]0; 2[ 2 En déduire qu il existe deux suites (u n n 0 et (v n n 0 telles que n N, A n = u n A + v n I Préciser les relations de récurrence vérifiées par les termes des suites (u n n 0 et (v n n 0 3 Montrer que la suite (u n+1 u n n 0 est géométrique et trouver sa raison En déduire u n et v n en fonction de n 4 Que vaut A n? Exercice 11 : Soit A une matrice de M n (K, triangulaire supérieure et n ayant que des zéros sur la diagonale Montrer que A est nilpotente (ie p N tq A p = 0 Pour cela on procédera par récurrence finie sur k [1, n], et on montrera, en le traduisant en termes de coefficients 0 0 de matrice, que l on a : A k = 0 } k diagonales de zéros 0 En déduire que A n = 0 et conclure Exercice 12 : Soit A = En utilisant la formule du binôme, calculer An Exercice 13 : Pour tout a K, on définit la matrice M a = Calculer M a M b Calculer ( M a n Montrer que M a est inversible et calculer ( M a 1 Exercice 14 : Soit m C et A = 0 m m 2 1/m 0 m 1/m 2 1/m a a 1 a 2 / Calculer (A + I(A 2I A est-elle inversible? Si oui, calculer A 1 2 Soit B = 1 3 (A + I et C = 1 3 (A 2I Calculer Bn et C n pour tout entier naturel non nul n 3 En déduire l expression de A n en fonction de n, B et C ( n 0 (On remarquera que A = 2B C 4 Cette expression est-elle encore valable pour n < 0? (*Exercice 15 : Soit E = { (u n n N R } N n N, u n+3 = 6u n+2 12u n+1 + 8u n On pose, pour tout n 0 : U n = u n+2 u n+1 u n 1 Déterminer une matrice A telle que n 0, U n+1 = AU n Expliciter U n en fonction de A, n et U 0 2 Soit P = , calculer P 1 AP En déduire A n puis, pour tout n 0, u n en fonction de u 0, u 1 et u (On peut remarquer que seule la dernière ligne de A n est utile pour cela, et donc ne calculer qu elle 3 Donner enfin une base de E 2

3 Exercice 16 : Soit A M n (K et E i,j la matrice de la base canonique de M n (K définie par E i,j = Calculer AE i,j et E i,j A A quelle condition ces deux matrices sont-elles égales? Quel est l ensemble des matrices qui commutent avec tous les éléments de M n (K? {( a b Exercice 17 : Soit G = (a, b R b a 2 \ {(0, 0}} 1 Montrer que si A, B G alors AB G 2 Montrer que si M G alors M est inversible et calculer M 1 (j 1 (i Matrice d une application linéaire (*Exercice 18 : Soit A la matrice de u dans la base canonique de R 3 Déterminer Ker u et Im u dans chacun des cas suivants : 1 A = B = A = B = (*Exercice ( 19 : Soient ( R f : 3 R 4 R et g : 4 R 3 (x, y, z (3x 2y, 3y 2z, 3z 2x, x + y + z (x, y, z, t (2x y, 3y t, z + t Montrer que f et g sont des applications linéaires dont on déterminera les matrices dans les bases canoniques de R 3 et R 4 Déterminer ensuite les matrices des applications f g et g f, puis expliciter ces deux applications Exercice 20 : Vérifier rapidement que les applications suivantes sont bien définies et linéaires Donner leur matrice dans les bases canoniques des espaces vectoriels correspondants : ( R 1 f : 3 R (x, y, z 2x + 3y + z ( R2 [X] R 2 f : 4 [X] P P X 3 P ( M 2 (K K 3 [X] 3 f : a b a + bx + cx c d 2 + dx 3 ( R3 [X] R 4 f : 4 P ( P (1, P (2, P (3, P (4 5 f L(R 2, R 3 telle que f ( (1; 2 = (0, 5, 8 et f ( (2; 3 = (5, 0, 1 6 f L(C 2 [X], C 4 telle que f(1 + X = (2, 1, 0, 1, f(1 + X 2 = (0, 3, 0, 3 et f(1 + X + X 2 = (3, 2, 1, 0 Exercice 21 : On définit une application f sur R 3 [X] par f(p = P + XP + X 2 P pour tout P R 3 [X] Vérifier que f est un endomorphisme de R 3 [X] Déterminer sa matrice dans les bases canoniques de R 3 [X] L application f est-elle bijective? Si oui, que vaut f 1? (*Exercice 22 : 1 Montrer que B = (1, X 1, (X constitue une base de l espace vectoriel R 2 [X] ( R2 [X] R 2 On considère : f : 2 [X] P f(p = 2(X + 1P (X 2 2X + 1P Montrer que f est un endomorphisme de R 2 [X], et donner la matrice de f dans la base B (*Exercice 23 : Soit f l endomorphisme de R n [X] défini par f(p = (X 1P αp (1 1 Quelle est la matrice de f dans la base canonique de R n [X] 2 Quelle est la matrice de f dans la base ((X 1 k, k [0, n] 3

4 ( ( M2 (R M Exercice 24 : Soit A = et f : 2 (R Montrer que f est une application 0 1 M AM MA linéaire Déterminer sa matrice dans la base canonique de M 2 (R et déterminer Ker f, Im f et rg f (*Exercice 25 (: Soit P = et f l application définie sur M 2 (R par : M M 2 (R, f(m = MP Écrire la matrice de f dans la base canonique de M 2 (R Déterminer le noyau et l image de f Exercice 26 : Soit B = (e 1, e 2, e 3 une base du K-espace vectoriel E et G = (e 1, e 2, e 2 + e 3 Montrer que la famille G est une base de E Exprimer les matrices de B dans G puis de G dans B ( R3 [X] R (*Exercice 27 : Soit u : 3 [X] P P (X + 1 P (X 1 Montrer que u est un endomorphisme 2 Écrire la matrice A de l endomorphisme u dans la base canonique (1, X, X 2, X 3 3 Déterminer Ker u, Im u et rg u Exercice 28 : E = R 4, F = { (x, y, z, t x = z + t et y = x + t }, G = { (a, b, b, a (a, b R 2 } Montrer que E = F G puis écrire les matrices des projections sur F parallèlement à G, et sur G parallèlement à F dans la base canonique de R 4 Exercice 29 : Soit E = C (R On considère dans E le sous-espace vectoriel F = Vect(f 1, f 2, f 3, f 4 avec f 1 : x ch x f 2 : x sh x f 3 : x x ch x f 4 : x x sh x 1 Démontrer que B = {f 1, f 2, f 3, f 4 } est une base de F 2 Soit D l application qui à toute fonction f de F associe sa dérivée f (*Exercice 30 : (a Vérifier que D L(F (b Déterminer A = mat B (D (c Calculer pour tout p N, les matrices A 2p et A 2p+1 On considère la matrice M = 1 Calculer M 2 + M 2I Montrer que M est inversible et calculer M 1 3 Si M est la matrice d un endomorphisme f de R 3 par rapport à la base canonique (i, j, k et si e 1 = i + j + k, e 2 = j et e 3 = k donner la matrice de f 1 dans la base (e 1, e 2, e 3 de R 3 Exercice 31 : Soit f l endomorphisme de R 2 de matrice A = e 1 = ( 2, 3 et e 2 = ( 2, 5 1 Montrer que E = (e 1, e 2 est une base de R 2 et déterminer Mat ε (f 2 Calculer A n pour n N 3 Déterminer l ensemble des suites réelles qui vérifient ( 2 2/3 5/2 2/3 dans la base canonique Soient n N, x n+1 = 2x n y n et y n+1 = 5 2 x n 2 3 y n (*Exercice 32 : Soit E = R 3 [X] 1 On définit f sur E par : P E, f(p = P (X P (X 2P (X + 1 Montrer que f est un endomorphisme de E 2 Déterminer la matrice de f dans la base canonique de R 3 [X] 3 Donner une base de Ker f et de Im f et montrer qu il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est

5 (*Exercice 33 : Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3 et f L(E \ {0} tel que f 2 = 0 Montrer qu il existe une base dans laquelle la matrice de f est (*Exercice 34 : Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3 rapporté à la base B = {e 1, e 2, e 3 } Soit u L(E défini par : u(e 1 = 2e 2 + 6e 3 u(e 2 = 3e 1 5e e 3 u(e 3 = e 1 2e 2 + 7e 3 1 Déterminer la matrice A de u dans la base B 2 Montrer que u est un projecteur En donner ses éléments caractéristiques 3 Donner une base B de E dans laquelle la matrice de u est diagonale Exercice 35 : Soit A = et soit f L(R 3 dont la matrice dans la base canonique de R 3 est A 1 Trouver trois vecteurs u, v et w formant une base de R 3 et tels que f( u = v u, f( v = w v et f( w = w 2 Démontrer que A = P BP 1 avec B = et P une matrice inversible que l on explicitera Calculer A n pour tout entier naturel n (*Exercice 36 : Opérations élémentaires sur les matrices, rang, calcul de l inverse 1 Résoudre en fonction de (a, b, c R 3 le système suivant : 2x + 2y + 3z = a x y = b x + 2y + z = c 2 En déduire que la matrice M = est inversible et en déduire son inverse (*Exercice 37 : Les matrices suivantes sont-elles inversibles, si oui inversez les! M 1 = , M 2 = , M 3 = Exercice 38 : On considère la matrice M = M n (R Déterminer sans calculs une base de Ker u et Im u (*Exercice 39 : Déterminer le rang de la matrice A = Exercice 40 : Discuter, selon les valeurs de α réel, le rang de la matrice A = Exercice 41 : On considère les matrices A = 1 A est-elle inversible? Si oui, calculer A Soit C = AB Est-elle inversible? Si oui, calculer C 1 et B = α 1 α 1 α

6 Exercice 42 : Les matrices suivantes sont-elles inversibles? Si oui, calculer leur inverse A = B = C = D = Exercice 43 : Préciser si A = + a 1 + b 1 + c est inversible, et calculer dans ce cas son inverse a b b Exercice 44 : Discuter si la matrice A = b b de M n(k est inversible ; calculer alors A 1 b b a Exercice 45 : Étudier le rang de A = Exercice 46 : a 0 0 b b a b a b a où a et b sont des réels non nuls Discuter suivant les valeurs de λ R le rang de la matrice /2 1/3 1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 λ Exercice 47 : En utilisant uniquement des opérations sur les colonnes, et en précisant à chaque opération le système de vecteurs représentés, déterminez le rang des matrices suivantes, l image et le noyau des applications linéaires (de R p dans R n associées : A = E = B = F = C = G = D = λ 1 0 λ 1 0 λ 1 Systèmes linéaires (*Exercice 48 : Résoudre les systèmes suivants d inconnues (x, y, z R 3 ou (x, y, z, t, u R 5 : x 2y + z = 5 2x 4y z = 11 x + y + z = 2 3x 2y + z = 5 x y z = 6 2x y + 2z = 1 x 2y + 2z 2t + u = 1 2x y + z t u = 2 x y + 2z t + u = 4 x 3y 2z = 1 2x + y 4z = 3 x + 4y 2z = 4 5x + 6y 10z = 10 Exercice 49 : Résoudre les systèmes suivants d inconnues (x, y R 2 ou (x, y, z R 3 ou (x, y, z, t R 4 en fonction des paramètres : { kx + y = 1 1 x + ky = 1 { 9(m 1x (m + 2y = p 2 (4m + 8x (m 1y = m + p 6

7 3 4 (*Exercice 50 : x + ay + z = 1 ax + y + (a 1z = a x + y + z = a + 1 αx + y + z + t = 1 x + αy + z + t = 1 x + y + αz + t = 1 x + y + z + αt = 1 Déterminer a R pour que le système - n ait aucune solution - ait une infinité de solution - ait une unique solution x + y z = 1 x + 2y + az = 2 2x + ay + 2z = 3 Exercice 51 : Résoudre suivant les valeurs de λ R le système suivant : ax + ay + bz = b Exercice 52 : Discuter les solutions du système : ax + by + az = b bx + ay + az = b b x + ay + a 2 z = 0 Exercice 53 : Discuter les solutions du système : āx + y + az = 0 ā 2 x + āy + z = 0 complexe a ax + 2by + 2z = 1 Exercice 54 : Discuter les solutions du système : 2x + aby + 2z = b 2x + 2by + az = 1 et b λx + y + z = 1 x + λy + z = 1 (2λ + 1x + 3y + (λ + 2z = 3 suivant les valeurs des paramètres a et suivant les valeurs du paramètre suivant les valeurs des paramètres a Suppléments Exercice 55 : Soit n 2 On appelle trace de la matrice A M n (K la somme de ses coefficients diagonaux : n T r(a = a k,k k=1 1 Montrer que l application T r est une forme linéaire sur M n (K Est-elle injective? surjective? 2 Vérifier que (A, B ( M n (K 2, T r(ab = T r(ba 3 Peut-on trouver deux matrices A et B dans M n (K telles que AB BA = I? Exercice 56 (: Résoudre les( équations suivantes, où l inconnue X est ( un élément de M 2 (R X = 2 X X = Pour le second exemple, on pourra remarquer que X commute avec la matrice du second membre et en déduire des conditions sur les coefficients Exercice 57 : Trouver toutes les matrices A de M 2 (R telles que 1 A 2 = A 2 A 2 = 0 3 A 2 = I ( Exercice 58 : Soit A =, on note C l ensemble des matrices qui commutent avec A Montrer que C est un sous-espace vectoriel de M 2 (R, en déterminer une base ainsi que sa dimension On appellera C le commutant de la matrice A Exercice 59 : Soit K = R ou C, on note D n (K = {M M n (K, M diagonale} 1 Montrer que D n (K est un sous-espace vectoriel de M n (K stable par la multiplication ; donner sa dimension 2 Déterminer l ensemble {A M n (K, tel que D D n (K, AD = DA} 7

8 Exercice 60 : Soit S (resp A l ensemble des matrices symétriques (resp antisymétriques de M n (R Montrer que M n (R = S A Dans le cas où n = 2, écrire la matrice du projecteur sur S parallèlement à A (resp sur A parallèlement à S dans la base canonique B de M n (R, où B = ( E 1,1, E 1,2, E 2,1, E 2,2 Exercice 61 : On considère la matrice A = Calculer A 2 et A 3 Montrer que A est inversible et calculer A 1 Exercice 62 : Dans l espace vectoriel E = R 3 [X], on pose A = X 4 1 et B = X 4 X Soit ϕ : E E définie par ϕ(p = R, où R est le reste de la division de AP par B Montrer que ϕ est un endomorphisme de E, déterminer sa matrice dans la base canonique de R 3 [X] Quel est son noyau? son image?