Correction du brevet blanc avril 2010 EPREUVE DE MATHEMATIQUES

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1 Correction du brevet blanc avril 200 EPREUVE DE MATHEMATIQUES 2 points de présentation et rédaction I ACTIVITES NUMERIQUES : 4 points Exercice On considère le programme de calcul cicontre. Choisir un nombre de départ. Ajouter. Calculer le carré du résultat obtenu. Lui soustraire le carré du nombre de départ. Écrire le résultat final.. a. choisi. + = = = 4 = 3 3 obtenu. Lorsque le nombre de départ est, le résultat final du programme de calcul est 3.. b. 2 choisi. 2 + = = = 9 4 = 5 5 obtenu. Lorsque le nombre de départ est 2, le résultat final du programme de calcul est 5.. c. x choisi. x + (x + ) 2 (x + ) 2 x 2 Lorsque le nombre de départ est x, le résultat final du programme de calcul est (x + ) 2 x P = (x +) 2 x 2 = x 2 + 2x + x 2 = 2x x + = 5 2x + = 5 2x = 4 2 2x = 2 4 x = 7 Vérification: 7 choisi. 7 + = = = = 5 5 obtenu. Pour obtenir 5, il faut rentrer 7 dans le programme de calcul.

2 Exercice 2 On donne cidessous les représentations graphiques de trois fonctions. Ces représentations sont nommées C, C 2 et C 3. L une d entre elles est la représentation graphique d une fonction linéaire. Une autre est la représentation graphique de la fonction f telle que f : x 0,4x + 3. Les coordonnées du point B sont ( 4 ; 4,6). 2. Les abscisses des points d intersection de la courbe C3 avec l axe des abscisses sont:, 2 et La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine donc, C est la représentation graphique de la fonction linéaire. 4. La fonction f est une fonction affine, elle est représentée par la droite d'équation y = 0,4x + 3 dont le coefficient directeur est 0,4 et l'ordonnée à l'origine est 3. La droite représentative de la fonction f passe donc par le point de coordonnées (0 ; 3), c'est donc C Graphiquement, on constate que l antécédent de par la fonction f est 5. Preuve par le calcul: f(x) = 0,4x + 3 = 0,4x = 3 0,4x = 2 2 x = = 5 0,4 On retrouve bien que l antécédent de par la fonction f est 5. Exercice et 74 sont tous les deux pairs et donc divisibles par 2, ils n'admettent donc pas comme seul diviseur commun et ne sont donc pas premiers entre eux. 0,5 point 2. a. Déterminons le PGCD de 850 et 74 par l'algorithme d'euclide.,5 point Le PGCD de 850 et 74 est le dernier reste non nul de l'algorithme, donc PGCD(850 ; 74) = 34. b. Simplifions 850 par le PGCD de 850 et 74, c'estàdire par 34 pour obtenir une fraction irréductible = = 25 2

3 II ACTIVITES GEOMETRIQUES : Exercice. 2 points 2. B [AM] donc AM = AB + BM = 4 + = 5 2 points Nous savons que: Puisque ABEF est un carré, d'après la définition d'un carré, l'angle BAF est droit et puisque les points A, B et M sont alignés, le triangle AMF est rectangle en A. Utilisons le théorème de Pythagore. FM 2 = AF 2 + AM 2 FM 2 = = = 4 FM = 4 6,4 La longueur du segment [FM] est de 4 cm, soit 6,4 cm à 0, près. 3. Nous savons que: 2 points Dans le triangle MAF: C (MA). I (MF). (AF) // (DI) puisque les côtés opposés d'un carré sont parallèles et que I (DC). Utilisons le théorème de Thalès. MI MF = MC MA = IC AF or M [BC] donc MC = BC MC = 4 = 3 d'où MI MF = 3 5 = IC 4 IC = = 2 5 = 2,4 La longueur du segment [IC] est de 2,4 cm. 4. Calculs préliminaires: AB AM = 4 5 = 0,8 2 points AJ AF = 3,2 4 = = = 4 5 = 0,8 Nous savons que: Dans le triangle AMF: B (AM). J (AF). La position du point B par rapport aux points A et M est la même que celle du point J par rapport aux points A et F.

4 AB AM = AJ AF Utilisons le théorème réciproque de Thalès. (BJ) // (MF). 5. Nous savons que: 2 points ABJ est un triangle rectangle en A. Utilisons la définition: côté opposé à l' angle tan ABJ = ABJ côté adjacent à l' angle ABJ tan ABJ = AJ AB tan ABJ = 3,2 4 ABJ 38,7 La mesure de l'angle ABJ est de 38,7 à 0, près. Exercice 2 Une boîte de chocolats a la forme d'une pyramide tronquée (figure cicontre). Le rectangle ABCD de centre H et le rectangle A'B'C'D' de centre H' sont dans des plans parallèles. On donne : AB = 6 cm ; BC = 8 cm ; HH' = 8 cm ; SH = 24 cm. V = Aire de la base ABCD Longueur de la hauteur [SH] 3 V = 3 AB BC SH = = Le volume V de la pyramide SABCD est de 864 cm ,5 point H' [SH] donc SH' = SH HH' = 24 8 = 6 Le coefficient k de la réduction qui permet de passer de la pyramide SABCD à la pyramide SA'B'C'D' est: SH ' SH = 6 24 = Nous savons que: La pyramide SA'B'C'D' est une réduction de la pyramide SABCD de rapport Utilisons la propriété: Les réductions de rapport k multiplient les volumes par k 3. V SA'B'C'D' = V SABCD = = = Le volume de la pyramide SA'B'C'D' est de 256 cm 3. SH ' SH = 2 3. V boîte de chocolat = V SABCD V SA'B'C'D' = = 608 Le volume de la boîte de chocolat est de 608 cm 3. 0,5 point

5 III PROBLEME :. 2 points Nombre de spectacles Dépense de M. Scapin Dépense de M. Purgon 2 points = = = = = = = = = Prix payé par M. Scapin pour x spectacles = s(x) = 8x Prix payé par M. Purgon pour x spectacles = p(x) = 4x x = 4x + 20,5 point 8x 4x = 4x x 4x = x = 4 20 x = 5 La solution de l'équation est 5. Cela signifie que messieurs Scapin et Purgon paieront le même prix s'ils assistent tous deux à 5 spectacles. 4. La fonction s est une fonction linéaire, sa représentation graphique est donc une droite qui passe par l'origine. La droite (d S ) représentant la fonction s passe par l'origine et les points de coordonnées: (4 ; 32) ; (9 ; 72) ; (5 ; 20). La fonction p est une fonction affine, sa représentation graphique est donc une droite. La droite (d P ) représentant la fonction s passe par les points de coordonnées: (0 ; 20) ; (4 ; 36) ; (9 ; 56) ; (5 ; 80). 3 points

6 5. a) On retrouve graphiquement que M. Scapin et M. Purgon paieront le même prix s'ils assistent tous les deux à 5 spectacles. Ils paieront alors 40. b) Le tarif le plus avantageux pour un spectateur qui assisterait à 8 spectacles durant la saison est le tarif P. Il faut alors payer 52. c) Le tarif le plus avantageux pour M. Harpagon qui ne souhaite pas dépenser plus de 50 pour toute la saison est le tarif P. M. Harpagon pourra alors assister à 7 spectacles.,5 point Tarif P 50 p(x) 50 4x x x x 4 30 x 7,5 On retrouve qu'avec 50, le tarif P, permet de voir jusqu'à 7 spectacles. Tarif S 50 s(x) 50 8x x 8 50 x 6,25 On retrouve qu'avec 50, le tarif S, permet de voir jusqu'à 6 spectacles. C'est donc bien le tarif P qui est le plus avantageux pour 50.