Fonctions Affines. 1. Activité 1

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1 1. Activité 1 Fonctions Affines La centrale PS10 en Espagne (Séville) produit de l électricité au moyen de 624 miroirs de 120 m 2 chacun qui concentrent les rayons du soleil au sommet d une tour de 115 m (économie de tonnes de CO2 par an dans l atmosphère) L Europe a subventionné le projet de 5 millions d Euros La subvention de l Espagne s élève à 1,21 million d Euros pour la construction ainsi que 0,18 Euros pour chaque kilowattheure produit. On note x le nombre de kwh produit par la centrale a. Déterminer la fonction f qui modélise le montant total des subventions donnée par l Europe et l Espagne en fonction de x b. Cette fonction est-elle linéaire? Justifier la réponse

2 2. Activité 2 Le prix de location d'une voiture est de 20 euros puis de 0,10 euro du kilomètre effectué. On peut alors compléter le tableau suivant : nombre de kilomètres parcourus prix payé (euros) a. Écrire la fonction qui à x kilomètres parcourus fait correspondre le prix y à payer Lorsque l'on parcourt x kilomètres, le prix y vaut : y = 0,10 x + 20 b. Tracer dans un repère orthogonal la courbe représentative de cette fonction Sur l axe des abscisses : 2 cm pour 100 km Sur l axe des ordonnées : 1 cm pour 10 c. Quelle remarque peut-on faire à propos de cette représentation graphique? 3. Définition Étant donné deux nombres réels a et b, le procédé qui à tout nombre x fait correspondre le nombre ax + b s'appelle une fonction affine. On note : x ax + b (qui se lit 'qui à x associe le nombre ax + b') On dit que ax + b est l'image de x. On dit que x est l antécédent de ax + b Cas particuliers : les fonctions linéaires sont un cas particuliers des fonctions affines. En effet, si b = 0, alors la fonction s'écrit : x ax Exemple : location de voiture sans prise en charge et à 0,2 du kilomètre Dans le cas où a = 0, la fonction s'écrit : x b. C'est une fonction constante. Exemple : location de voiture avec prise en charge de 50 et kilométrage illimité

3 4. Représentation graphique La représentation graphique de la fonction affine x ax + b est la droite d'équation y = ax + b. a est le coefficient directeur de la droite, b est l'ordonnée à l'origine. exemple : Traçons la représentation graphique de la fonction f(x) = 2x + 6 f est une fonction affine, sa représentation graphique est la droite (d 1 ) d'équation y = 2x + 6 Comme f(- 2) = 2 (2) + 6 = = 2, alors (d 1 ) passe par le point de coordonnées (-2; 2). Comme f(1) = = = 8, alors (d 1 ) passe par le point de coordonnées (1; 8). (En vert sur le dessin) Traçons la représentation graphique de la fonction g(x) = -x + 3 g est une fonction affine, sa représentation graphique est la droite (d 2 ) d'équation y = -x + 3. Comme g(3) = = 0, alors (d 2 ) passe par le point de coordonnées (3; 0). Comme g(-1) = -(-1) + 3 = = 4, alors (d 2 ) passe par le point de coordonnées (-1; 4). (en rouge sur le dessin) Traçons la représentation graphique de la fonction h(x) = x h est une fonction linéaire, sa représentation graphique est la droite (d 3 ) d'équation y = x. Elle passe par O. Comme h(3) = 3, alors (d 3 ) passe par le point de coordonnées (3; 3). (en bleu sur le dessin) Traçons la représentation graphique de la fonction j(x) = 5 j est une fonction affine (constante), sa représentation graphique est la droite (d 4 ) d'équation y = 5 (en violet sur le dessin)

4 5. Proportionnalité des accroissements Pour une fonction f(x) = ax + b, on appelle accroissement de f(x), quand la valeur de x passe de x 1 à x 2, la différence f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 1 ) = ax 1 + b f(x 2 ) = ax 2 + b Donc f(x 2 ) f(x 1 ) = a(x 2 x 1 ) Les accroissements de f(x) sont donc proportionnels à ceux de x 6. Exercice 1 A - Mr Durand voyage en train. Il fait le voyage aller-retour Chambéry-Paris selon les horaires suivants : Trajet aller Trajet retour Départ Chambéry : 6 h 01 min Départ Paris : 19 h 04 min Arrivée Paris : 9 h 01 min Arrivée Chambéry : 21 h 58 min La distance entre les 2 villes est de 542 km. 1) Calculer la vitesse moyenne du train à l aller. Arrondir à l unité. 2) Calculer la vitesse moyenne du train au retour. Arrondir à l unité. B - Mr Dubois doit effectuer fréquemment des trajets en train entre les deux villes. Il a le choix entre deux tarifs : Tarif A : le prix d un trajet est 58. Tarif B : le prix total annuel g(x) est donné par g(x) = 29x où x est le nombre de trajets par an. 1) Mr Dubois effectue 8 trajets dans l année. Calculer le prix total pour chaque tarif. 2) Mr Dubois effectue x trajets dans l année et on note f(x) le prix total avec le tarif A. Exprimer f(x) en fonction de x. 3) Un employé de la gare doit expliquer le tarif B à quelqu un. Que doit-il dire?

5 4) Quel tarif est le plus avantageux? 5) Représenter graphiquement les deux fonctions f et g. 6) Vérifier graphiquement la réponse à la question 4). 7) Peut-on trouver un nombre de trajets pour lequel les deux tarifs sont équivalents, Répondre précisément par le calcul. 7. Exercice 2 ABCD est un trapèze rectangle. M est un point mobile du segment [BC]. On pose BM = x. A) 1) Que peut-on dire de x? 2) Exprimer l aire A 1 (x) du triangle ABM en fonction de x. 3) Exprimer l aire A 2 (x) du triangle MDC en fonction de x. 4) Exprimer l aire A 3 (x) du triangle AMD en fonction de x. B) 1) Représenter graphiquement les trois fonctions affines qui correspondent aux trois aires en fonction de x : x : A 1 (x) x : A 2 (x) x : A 3 (x) 2) Pour quelle valeur de x l aire de ABM est-elle égale à celle de AMD? 3) Pour quelle valeur de x l aire de ADM est-elle égale à celle de MCD? 4) Pour quelle valeur de x l aire de ABM est-elle égale à celle de MCD? 5) Classer, suivant les valeurs de x, les aires de ces trois triangles. C) En résolvant des équations, retrouver les résultats des questions 2) et 3) de la partie B.

6 8. Exercice 3 Florence habite dans une grande station de ski. Pour pratiquer son sport favori, le ski alpin, elle a le choix entre 2 formules : Formule J : chaque journée de ski coûte 20 Formule C : une cotisation annuelle de 80 au club de sport de la station permet de ne payer que 12 par jour. Le but du problème est de déterminer la formule la moins coûteuse en fonction du nombre de journées de ski que fera Florence l'an prochain. Nombre de journées de ski x Dépense avec la formule J Dépense avec la formule C 1. Compléter le tableau ci-dessus : 2. Résoudre l'équation 20x = 12x + 80 En faisant le lien avec la situation qui précède, à quoi correspond la solution de cette équation? 3. Dans un repère orthogonal, prendre : en abscisse : 1 cm pour 2 unités, en ordonnée : 1 cm pour 20 unités, en plaçant l'origine en bas à gauche d'une page entière. Soit f et g les fonctions définies par : f(x) = 20x et g(x) = 12x Tracer les droites représentant les fonctions f et g ; on les nommera d j et d c 4. D'après le graphique, proposer à Florence la solution la plus économique en fonction du nombre de journées de ski qu'elle prévoit de faire. (Justifier la réponse en expliquant de façon précise ce que l'on voit sur le graphique). 9. Quelques situations Monsieur Dupain, boulanger dispose d'un stock de 275 kg de farine et utilise 25 kg par jour pour la fabrication de son pain. Quelle est l'évolution de son stock dans le temps? Monsieur Dupond habite à Petitville et Monsieur Durand à Granville, située à 900 km de Petitville. Monsieur Dupond quitte son domicile à 8h du matin et roule vers Grandville à la vitesse de 90 km/h, Au même instant, Monsieur Durand part de Grandville pour rejoindre son ami à la vitesse de 60 km/h Où et quand vont-ils se rejoindre? L inflation est en moyenne de 2% par an (c est-à-dire que les prix à la consommation augmentent en moyenne de 2% par an). 1. Exprimez l'évolution des prix en fonction du temps

7 2. Que deviendra en 2019 le prix d un repas d un restaurant d entreprise valant 4,5 en 2009? 3. Quel sera le pourcentage d augmentation du prix de ce repas en 10 ans? Un employeur propose, à l embauche de ses cadres, deux types de contrats : Contrat n 1 : Salaire net fixé au départ et une augmentation de 2% par an Contrat n 2 : même salaire net au départ et augmentation de 50 par an Comparez les deux contrats en fonction du salaire initial proposé au bout de 5 ans? au bout de 10 ans?