Force de Lorentz. I.1 Champs électrique et magnétique. I.2 Force de Lorentz. I.3 Ordre de grandeur de la force de Lorentz

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1 I Force de Lorentz I.1 Champs électrique et magnétique Un champ est la donnée d une grandeur physique en chaque point de l espace et du temps. Les champs électriques et magnétiques sont des champs vectoriels dont l étude sera entreprise en 2ème année. Retenons que le champ électrique E est créé par une distribution de charges et qu il est lié à la notion de tension électrique alors que le champ magnétique B l est par une distribution de courants. Unités Le champ électrique s exprime en V m 1 et le champ magnétique en Tesla T. I.2 Force de Lorentz La force de Lorentz est la force qui s exerce sur une particule chargée de charge q animée d une vitesse v. Elle a pour expression F L = q( E + v B ) On distingue dans cette expression une composante électrique et une composante magnétique. priori, les champs dépendent du point de l espace considéré, mais nous restreindrons l étude des mouvements à des champs uniformes (constants dans l espace) et permanent (constant dans le temps). I.3 Ordre de grandeur de la force de Lorentz Pour un électron, q = 1, C et m = 9, kg. On peut comparer la norme du poids et de la composante électrique de la force de Lorentz, en appliquant un champ (assez faible) E = E = 1 V m 1 P = mg F L,elec qe = 9, , 8 1, Le poids est donc en général négligeable dans le mouvement des particules chargées soumises à un champ électrique. De même, pour un champ magnétique B = B = 10 2 T et une vitesse (assez facilement atteinte) v = 10 5 m s 1, on peut comparer le poids et la composante magnétique de la force de Lorentz P = mg F L,mag qvb = 9, , 8 1, Le poids est donc en général négligeable dans le mouvement des particules chargées soumises à un champ magnétique. En conclusion, on négligera le poids dans les bilans de force effectués dans la suite du chapitre. 1

2 I.4 Puissance et travail de la force de Lorentz I.4.1 Puissance La puissance de la force de Lorentz s écrit P L = q( E + v B ) v Or la composante magnétique est perpendiculaire à la vitesse à cause du produit vectoriel, donc la puissance se réduit à la puissance de la composante électrique P L = q E v Compte tenu du théorème de la puissance cinétique, la composante magnétique ne peut donc pas faire varier l énergie cinétique, et donc ne peut pas faire varier la norme de la vitesse. I.4.2 Travail Le travail élémentaire est obtenu en multipliant l expression de la puissance par dt P L dt = δw FL = q E v = q E d l On admet la propriété suivante du champ électrique : il existe une grandeur notée V et appelée potentiel électrique telle que dv = E d l L intégration de cette relation entre deux points et B donne W Fl = δw FL = a dv = V (B) V () = E d l La composante électrique de la force de Lorentz est donc conservative, et on peut donc définir une énergie potentielle électrique (à une constante, prise nulle ici, près) E p,el = qv II II.1 Mouvement dans un champ électrique uniforme et permanent Étude du mouvement On étudie le mouvement d une particule de charge q et de masse m dans le champ électrique E. On choisit comme système de coordonnées un système cartésien tel que E = E u y, x(0) = y(0) = z(0) = 0 et v 0 = v 0 (cos α u x + sin α u y ). L analogie avec le mouvement d un projectile dans le champ de pesanteur terrestre est évidente. 2

3 Compte tenu des intensités de la force de Lorentz et du poids, on néglige ce dernier dans le bilan des forces, donc la deuxième loi de Newton donne m a = q E. EN projetant sur les trois axes du système de coordonnées, on obtient ẍ = 0 ÿ = qe m z = 0 ẋ = ẏ = qe m t + B ż = C Compte tenu des conditions initiales sur la vitesse, = v 0 cos α, B = v 0 sin α et C = 0, donc ẋ = v 0 cos α ẏ = qe m + v 0 sin α ż = 0 x(t) = v 0 cos αt + D y(t) = qe 2m t2 + v 0 sin αt + E z(t) = F Compte tenu des conditions initiales sur la position, D = E = F = 0, on obtient les équations horaires du mouvement x(t) = v 0 cos αt y(t) = qe 2m t2 + v 0 sin αt z(t) = 0 ce qui permet d obtenir simplement la trajectoire, en éliminant le temps des équations t = x/(v 0 cos α) y(x) = qe 2mv 2 0 cos2 α x2 + x tan α II.2 II.2.1 Utilisation pratique des champs électriques Lien entre tension et champ électrique pour un champ uniforme On a vu précédemment que V (B) V () = E d l La différence de potentiel, ou tension U est alors telle que U = V () V (B) = E d l Le champ étant uniforme, il a donc en particulier la même direction partout, que l on peut prendre égale à celle de u x en coordonnées cartésiennes. On obtient alors, en exprimant le déplacement élémentaire en coordonnées cartésiennes U = où d est la distance entre les points et B. xb E d l = E dx = Ed x 3

4 II.2.2 ccélération de particules chargées On considère dans cette partie que le champ électrique est colinéaire à la vitesse initiale, ce qui correspond à α = π/2. On a alors un mouvement à une dimension pour lequel un traitement énergétique est adapté (on peut aussi reprendre les équations du mouvement ci-dessus) à l aide du théorème de l énergie cinétique E c = E c (B) E c () = E p,el = q(v () V (B)) La différence de potentiel U = V () V (B) est appelée tension accélératrice. Cette tension est en général appliquée entre deux électrodes séparées par la distance d dans un compartiment vide, formant un condensateur. On peut réécrire la formule précédente en faisant apparaitre les vitesses : 1 2 m(v2 B v 2 ) = qu Dans le cas assez courant dans un accélérateur, où v est négligeable, on a alors la vitesse en sortie d accélérateur v B = 2qU m Cette accélération permet d atteindre avec des champs relativement peu importants des vitesses relativement grandes. Pour un électron, par exemple, et une différence de tension U = 100 V, on obtient v B = 2 1, , = 0, m s 1 ce qui commence à être proche de la vitesse de la lumière. On commence donc à sortir du cadre de la mécanique classique et les formules ne sont plus adaptées pour calculer les vitesses atteintes (voir analyse documentaire). II.2.3 Déviation de particules chargées Comme le montrent les équations du mouvement et la trajectoire, un faisceau d électrons rentrant dans une zone de champ électrique avec une vitesse perpendiculaire au champ (ie α = 0) est dévié. La trajectoire dans la zone où le champ est non nul est une parabole y(x) = qe 2mv 2 0 x 2 Si la zone où le champ est non nul a pour longueur l, alors on peut calculer la pente de la tangente en x = l ( ) dy = qe dx l mv0 2 l 4

5 Lorsque le champ est uniforme, on a la relation U = Ed donc ( ) dy = qu dx l mdv0 2 l qui est aussi la valeur de la tangente de l angle de déviation β tan β = qul mdv 2 0 C est ce principe qui est utilisé dans les tubes cathodiques des anciens téléviseurs et des anciens oscilloscopes. III III.1 Mouvement dans un champ magnétique uniforme Étude du mouvement On considère une particule M de masse m et de charge q < 0 placé dans un champ magnétique uniforme B = B u z (B > 0 dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen). On suppose de plus que la particule n est pas relativiste et qu elle entre dans la zone de champ B avec une vitesse v 0 = v 0 u x (v 0 > 0). La seule force non négligeable ici est la composante magnétique de la force de Lorentz F L = q v B. L application du PFD donne alors m a = q v B L accélération est donc en permanence perpendiculaire à la vitesse. La composante magnétique de la force de Lorentz ne travaille donc pas, ce qui impose E c = 0. Le mouvement se fait donc à norme de vitesse constante. On admet, conformément au programme, que la trajectoire est un cercle (voir demo en TD). Compte tenu de ces remarques, on utilise une base de coordonnées cylindriques dont le centre se trouve au centre O du cercle parcouru par M OM = R u r v = R θ u θ a = R θ u θ R θ 2 u r Par ailleurs, la vitesse étant constante en norme, v = v 0 u θ, donc v 0 = R θ est une constante, donc Enfin, a = R θ 2 u r = v2 0 R u r q v B = qv 0 u θ B u z = qv 0 B u r ce qui permet de donner le rayon de la trajectoire en projetant le PFD sur u r : m v2 0 R = qv 0B R = mv 0 qb > 0 5

6 Remarquons que pour une particule chargée positivement, et avec la même vitesse initiale, la trajectoire est aussi un cercle, mais parcouru dans le sens trigonométrique inverse. On a alors, avec la même définition de la base cylindrique v 0 = R θ. On obtient alors avec le même raisonnement qui est aussi positif. R = mv 0 qb Pulsation On appelle pulsation cyclotron ω c la période du mouvement circulaire uniforme d une particule chargée dans un champ magnétique T = 2πR = 2πmv 0 = 2πm v 0 q Bv 0 q B ω c = 2π T = q B m C est aussi la valeur constante de la vitesse angulaire θ = ω c. III.2 III.2.1 pplications Spectrographe de masse Un spectrographe de masse est un appareil destiné à séparer les isotopes d un même élément, que l on ne peut pas séparer par des méthodes chimiques puisqu ils ont les mêmes propriétés chimiques (déterminées par la structure électronique de l atome et non par son noyau). Pour cela : On ionise le mélange des deux isotopes en le bombardant avec des électrons : les chocs entre les électrons et les atomes arrachent les électrons périphériques des atomes. On trie ensuite les ions obtenus : en sortant de la chambre d ionisation, les ions ont tous la même charge q. On accélère les ions ainsi obtenus à l aide d un champ électrique. Le faisceau d ions ainsi formé arrive dans un déviateur, zone où règne un champ magnétique uniforme et orthogonal à la vitesse des particules. Chaque type d ion prend alors une trajectoire circulaire dont le rayon dépend du rapport q m (puisque v 0 et B sont identiques). Comme deux isotopes n ont pas la même masse, leurs trajectoires seront différentes et on pourra les séparer en plaçant des fentes réglables au niveau des points M 1 et M 2 (cf schéma ci-dessous). III.2.2 Cyclotron Le cyclotron est un accélérateur de particule dont le principe sera vu en en TD. III.2.3 Synchrotron Un synchrotron est composé de cavité accélératrices (à l aide du champ électrique) et de parties comportant des aimants permettant de dévier les particules chargées. 6