Travaux numériques : 12 points
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- Josiane Gamache
- il y a 4 ans
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1 Travaux numériques : 1 points EX 1 : Ecrire A et B sous forme de fractions irréductibles. 4 1) A B ) E (10 ) 3 4, (9 ) , (-1) EX Dans cet exercice, toutes les longueurs sont données en cm. La mesure du côté du carré est Les dimensions du rectangle sont et ) Aire carré : ( 3 + 3) ( 3) ) Aire rectangle :( + 3 6) ) les deux aires sont égales EX 3 On considère le programme de calcul ci-dessous. Programme de calcul : Choisir un nombre de départ. Ajouter 1. Calculer le carré du résultat obtenu. Lui soustraire le carré du nombre de départ. Écrire le résultat final. 1) a) Vérifier que lorsque le nombre de départ est 1, on obtient 3 au résultat final. 1 ; ; 4 ; b) Lorsque le nombre de départ est, quel résultat final obtient-on? ; ; 3 9 ; le résultat final est 5 c) Le nombre de départ étant x, exprimer le résultat final en fonction de x. (x + 1) x ) On considère l expression P (x + 1) x. Développer puis réduire l expression P. (x + 1) x x + x + 1 x x + 1 3) Quel nombre de départ doit-on choisir pour obtenir un résultat final égal à 15? il faut résoudre l équation : x soit x 14 donc x 14. On doit choisir le nombre au départ pour obtenir un résultat final égal à 15
2 Travaux Géométriques : 1 points EX 1 : La figure n est pas à l échelle Données de la figure CDE est un triangle rectangle en C. A appartient au segment [CD]. B appartient au segment [CE]. La droite (AB) est parallèle à la droite (DE). Le point F est le milieu du segment [AC] et le point O est le milieu de [AB]. Le point G est le symétrique de F par rapport à O. AF 0,9 cm ; AO,5 cm ; DE 1 cm ; AB 4,5 cm et AC 1,8 cm. 1) Quelle est la nature du quadrilatère AFBG? Justifier sa réponse. On sait que : O est le milieu de [AB] et G est le symétrique de F par rapport à O donc O est milieu de [FG]. Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme donc FBGA est un parallélogramme ) Montrer que la droite (FO) est parallèle à la droite (CB). On sait que : F est le milieu du segment [AC] et O est le milieu de [AB] dans le triangle ABC. Dans un triangle, la droite passant par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième donc (FO) est parallèle à (BC) 3) Calculer la longueur CD. D après la propriété de Thalès, dans le triangle CDE sachant que (AB)//(CD) : CA CD CB CE AB 1,8 soit DE CD 4,5 1,8 1 donc CD 4,8 1 4,5 CD mesure 4,8 cm 4) Calculer une valeur approchée au degré près de l angle BAC. ABC est un triangle rectangle en C cos BAC AC 1,8 soit cos BAC 0,5 d où BAC 66 AB 4,5
3 EX La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur; on ne demande pas de la reproduire. Les points N, 0, R d'une part et les points M, 0, S d'autre part sont alignés dans cet ordre. OS 6 cm ; OM 9 cm; ON 5,4 cm et OR 3,6 cm. 1) Les droites (MN) et (RS) sont parallèles? Justifier. OM OS 9 ON 1,5 et 6 OR 5,4 OM 1,5 donc 3,6 OS ON OR de plus, les points O, M et S sont alignés dans le même ordre que les points O, N et R donc d après la réciproque de la propriété de Thalès, (MN) // (RS) ) On suppose que SR 4,8 cm. Le triangle ORS est-il rectangle? Justifier. OS 6 36 et OR + SR 3,6 + 4,8 36 Donc OS OR + SR D après la réciproque de la propriété de Pythagore, ORS est un triangle rectangle en R 3) Calculer MN. D après la propriété de Thalès dans les triangles OMN et OSR sachant que (MN)//(SR), OR ON SR 3,6 donc MN 5,4 4,8 5,4 4,8 donc MN, MN 3,6 MN mesure, cm 4) On admettra que les droites (MN) et (NR) sont perpendiculaires. Quelle est l'aire du quadrilatère MNSR? Justifier. Aire de MNSR Aire MNR + aire NSR MNR étant un triangle rectangle en N, son aire est : MN NR N M, (5,4 + 3,6) 3,4 MNR et NRS sont deux angles alternes internes égaux car (MN)//(SR) donc NRS 90 NRS étant donc un triangle rectangle en R, son aire est : NS RS (5,4 + 3,6) 4,8 O 1,6 S R Aire de MNSR 3,4 + 1,6 54 L aire de MNSR est 54 cm Problème : 1 points Dans ce problème, toutes les longueurs sont données en cm.. 1) a) Construire un trapèze rectangle ABCD comme schématisé ci-contre et vérifiant: AB 6, CD 15 et AD 8. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Les droites (AB) et (AD) sont perpendiculaires. A B L aire du trapèze ABCD est donnée par la formule : (AB + DC ) AD D C
4 b) On considère un point quelconque M situé sur le segment [AD] et on pose AM x. Donner un encadrement pour x. 0 x 8 ) Calculer l'aire A 1 (x) du triangle DMC. A 1 (x) 15 (8 x) 10 15x 3) Calculer l'aire du trapèze ABCD. Aire du trapèze (6 + 15) 8 En déduire l'aire A (x) du quadrilatère ABCM x 60,5x A (x) 84 (60,5x) ,5x 4 +,5x L aire du trapèze est de 84 cm 4) Les tracés demandés dans cette partie seront réalisés sur une feuille de papier millimétré fournie. Le point O origine du repère sera placé en bas à gauche. On choisira cm pour unité sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 4 unités sur l'axe des ordonnées. Tracer dans ce repère les droites D 1 et D, représentations graphiques des fonctions f et g définies par : f : x 60,5x g : x,5x + 4 On pourra se limiter aux représentations graphiques de ces fonctions lorsque 0 x 8. Si x 0, f(0) 60 donc le point de coordonnées (0 ;60) D 1 Si x 8, f(8) 60,5 8 0 donc le point de coordonnées (8 ;0) D 1 f est un fonction affine donc sa représentation graphique est un droite Si x 0, g(0) 4 donc le point de coordonnées (0 ;4) D Si x 8, g(8), donc le point de coordonnées (8 ;84) D g est un fonction affine donc sa représentation graphique est un droite 5) Calculer les coordonnées du point K, intersection des droites D 1 et D. On résout l équation suivante : 60,5x,5x + 4 soit x donc x 36 15,4 si x,4 alors f(,4) 60,5,4 4 donc K(,4 ;4) Quels renseignements les coordonnées du point K nous donnent-elles au sujet des aires du triangle DMC et du quadrilatère ABCM? Les aires du triangle DMC et du quadrilatère ABCM sont égales lorsque si x,4 6) Répondre aux questions suivantes en utilisant le graphique obtenu à la quatrième question. a) Ou se trouve le point M lorsque l'aire du triangle DMC mesure 30 cm? Justifier votre réponse. Le point M est à 4 cm du point A. b) Combien mesure l'aire du quadrilatère ABCM lorsque AM 6 cm? Justifiez votre réponse. 69 cm ) Résoudre les questions 6)a) et 6)b) en effectuant les calculs appropriés. a) 60,5x ,5x 30,5 x x 4 b),5 6 +,4 69
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Activités numériques [13 Points]
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