Exercices 14 Calcul matriciel

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1 Lycée Jean Bart MPSI Année janvier 2019 Produits et puissances de matrices Exercices 14 Calcul matriciel Exercice 1. Calculer tous les produits possibles de deux matrices parmi les suivantes : A = Exercice 2. Soit A la matrice ; B = ; C = 1 Déterminer toutes les matrices B de M 2 R telles que AB = 0M 2R Déterminer toutes les matrices C de M 2 R telles que AC = CA = 0M 2R. Exercice 3. Commutant d'une matrice, bis. Soit A la matrice et D = Déterminer toutes les matrices de M 2 K qui commutent avec A, c'est-à-dire l'ensemble des matrices M de M 2 K telles que AM = MA. * Exercice 4. Commutant d'une matrice. Déterminer le commutant de la matrice A = réels distincts, c'est-à-dire l'ensemble des matrices M M 2 K telles que AM = MA. Exercice 5. a 0 0 b a et b Commutant d'une matrice diagonale, cas général. Soient λ 1,..., λ n n réels distincts, et D la matrice diagonale diagλ 1,..., λ n. Déterminer les matrices de M n R qui commutent avec D. 1 Exercice 6. Soit A = 0. Calculer A n pour tout entier naturel n. 2 Exercice 7. Soit A = Exercice 8. Pour θ R, on pose A θ = pour tout entier naturel n. Exercice 9. On considère la matrice A = Exercice 10. On considère la matrice A = Exercice 11. On considère la matrice A = entier naturel n. Exercice 12. On considère les matrices B = tout entier naturel n.. Calculer A n pour tout entier naturel n. cos θ sin θ. Calculer A θ A φ, puis en déduire A θ n sin θ cos θ 0 b a b 0 a 1 a b c 1 où b est un réel. Calculer A n pour tout n N. Exercice 13. Racines carrées de la matrice nulle. Déterminer toutes les matrices M M 2 C telles que : M 2 = 0M 2C. Exercice 14. Racines carrées de la matrice identité. Déterminer toutes les matrices M M 2 C telles que : M 2 = I 2. Exercice 15. Racines carrées d'une matrice. Déterminer toutes les matrices M M 2 R telles que : M 2 = M M 2 C? *. L'ensemble de ces matrices est appelé le commutant de la matrice A. où a et b sont deux réels. Calculer A n pour tout n N. où a, b et c sont trois réels. Calculer A n pour tout et C = Calculer B n puis C n pour. La réponse change t-elle si l'on considère

2 2 MPSI Année Calcul matriciel 09/01/19 Matrices inversibles Exercice 16. Lorsque c'est possible, calculer l'inverse de la matrice A dans chacun des cas suivants : A = 1 + i 0 2 A = 0 i A = A = A = A = 7 A = α 0 8 A = avec α et β complexes 0 β Exercice 17. Calculer l'inverse lorsque c'est possible de la matrice A dans chacun des cas suivants : 1 A = 2 A = 3 A = cht sh t 4 A = sh t cht avec t réel quelconque 5 A = 6 A = Exercice 18. On considère la matrice de M 4 R suivante : A = 1 Montrer que A est inversible et calculer A 1 en utilisant la méthode AX=B. 2 Une autre méthode pour le calcul de A 1. a Calculer A 2, et vérier que A 2 = I 4. b Déduire de la question précédente que A est inversible, et préciser A Exercice 19. Soit A = 1 Calculer A + I 3. 2 Déduire de la question précédente que A est inversible et calculer son inverse. 7 A = 8 A = A = Exercice 20. Soit A une matrice de M n K telle que : A 4 + 2A 2 + 5A I n = 0. Montrer que A est inversible, et exprimer son inverse en fonction de A. Exercice 21. On considère la matrice M a, b = 1 Calculer M 2 a, b. a b b b a b b b a 2 Montrer qu'il existe deux réels α et β tels M 2 a, b = αi 3 + βm a, b.. où a et b sont deux réels. 3 Déduire de la question précédente à quelles conditions sur les réels a et b la matrice M a, b est inversible. Et lorsque c'est possible, expliciter alors M a, b 1.

3 Exercice 22. Soit A = 1 Calculer A + I 3. MPSI Année Calcul matriciel 09/01/ Déduire de la question précédente que A est inversible et calculer son inverse. Exercice 23. Soit M = Pour n entier naturel non-nul, calculer M + I 3 n. 2 Déduire de la question précédente que M est inversible, et expliciter son inverse. 3 Déterminer M n pour tout entier naturel n. Exercice 24. Soit A une matrice de M n K telle que : A 4 + 2A 2 + 5A I n = 0. Montrer que A est inversible, et exprimer son inverse en fonction de A. Matrices semblables B = P 1 AP Exercice 25. On considère les matrices de M 3 R suivantes : 1 Calculer P 1. A = ; P = 2 Vérier que P 1 AP est une matrice diagonale. 3 Déterminer A n pour tout entier naturel n et Q = Exercice 26. CB1, partie spécique aux PCSI. Dans cette partie, on cherche à déterminer le terme général de la suite réelle u n satisfaisant la relation suivante u 0 = 3, u 1 = 5, u 2 = 8 et n N, u n+3 4u n+2 + 5u n+1 2u n = 0. On suppose que la suite u n vérie la relation. On pose pour tout entier naturel n : X n = u n+2 u n+1 u n 1 Montrer qu'il existe une matrice A M 3 R que l'on explicitera telle que : n N, X n+1 = AX n. 2 Etablir par récurrence que : n N, X n = A n X 0. Que vaut X 0? On pose P = 2. Montrer que P est inversible et déterminer son inverse Soit T = P 1 AP. Vérier que T = D + N où D = 0 et N = Etablir que : n N, A n = P T n P 1. 6 En déduire l'expression de u n en fonction de n. Indication : vous avez montré précédemment que pour tout n N, X n = A n X 0 = P T n P 1 X 0. Commencez par calculer P 1 X 0, puis multipliez à gauche par T n, puis multipliez à gauche par P et P = Exercice 27. On note : A = 1 Montrer que P est inversible et calculer P 1. 2 Calculer D = P 1 AP, et vérier que D est diagonale..

4 4 MPSI Année Calcul matriciel 09/01/19 3 Etablir que : n N, A n = P D n P 1. 4 Etude du commutant de A. Dans cette question, on cherche à déterminer le commutant de la matrice A, càd l'ensemble noté COMA des matrices M M 3 R telles que AM = MA. a Soit M M 3 R quelconque. On pose N = P 1 MP. Montrer que : [AM = MA] [ND = DN]. b Déterminer COM D. En déduire COM A. Exercice 28. Exo 27-bis. On note : A = 1 Montrer que P est inversible et calculer P 1. 2 Calculer D = P 1 AP, et vérier que D est diagonale. 3 Etablir que : n N, A n = P D n P et P = Etude du commutant de A. Dans cette question, on cherche à déterminer le commutant de la matrice A, càd l'ensemble noté COMA des matrices M M 3 R telles que AM = MA. a Soit M M 3 R quelconque. On pose N = P 1 MP. Montrer que : [AM = MA] [ND = DN]. b Déterminer COM D. En déduire COM A. Matrices symétriques et antisymétriques. Exercice 29. Dans chacun des cas suivants, écrire M sous la forme S + A avec S symétrique et A antisymétrique. 1 M = Exercice cht cht 2 M = sh t sh t 3 M = Matrices symétriques et antisymétriques Dans M 2 R, toute matrice symétrique S peut a b s'écrire sous la forme générale : S = avec a, b et d réels. b d On introduit la notation suivante : E ij désigne la matrice dont le coecient e ij situé à la i-ème ligne et à la j-ème colonne vaut 1, et tous les autres sont nuls. On a ainsi, dans M 2 R : E 11 =, E 12 =, E 21 = et E 22 = Avec cette notation, toute matrice symétrique S peut alors s'écrire comme combinaison linéaire de trois matrices : 1 1 S = a + b + d c-à-d : S = ae b E 12 + E 21 + de Ecrire la forme générale d'une matrice antisymétrique dans M 2 R. 2 Matrices symétriques et antisymétriques de M 3 R. a Ecrire la forme générale d'une matrice symétrique dans M 3 R. b Ecrire la forme générale d'une matrice antisymétrique dans M 3 R. c Déduire de ce qui précède que toute matrice symétrique peut s'écrire comme combinaison linéaire de 6 matrices que l'on explicitera, et que toute matrice antisymétrique peut s'écrire comme combinaison linéaire de 3 matrices que l'on explicitera également.. Que l'on obtient en exploitant l'égalité t A = A.. Cette notation est relative à l'espace ambiant. Explicitement, dans M 3 R la matrice E 21 désigne

5 Exercice 31. MPSI Année Calcul matriciel 09/01/19 5 Généralisation Matrices symétriques et antisymétriques dans M n R. Dans cet exercice, n désigne un entier supérieur ou égal à 2. 1 Ecrire la forme générale d'une matrice symétrique dans M n R, puis celle d'une matrice antisymétrique de M n R. 2 A l'aide de ce qui précède, montrer que toute matrice symétrique resp. antisymétrique peut s'écrire comme combinaison linéaire de s n resp. a n matrices. Exprimer s n et a n en fonction de n. Divers Exercice 32. Calcul matriciel et Python Résolution de systèmes 2 2. Ecrire un programme chargé { ax1 + bx 2 = b 1 de faire pour vous la résolution d'un système linéaire de la forme : cx 1 + dx 2 = b 2 Concrètement, le programme devra demander à l'utilisateur les valeurs de a, b, c, d, b 1 et b 2 et renvoyer un message du genre Pas d'unicité de la solution lorsque c'est le cas, et renvoyer l'unique couple solution sinon. Exercice 33. naturel m. Soit A une matrice nilpotente de M n K, c'est-à-dire telle que A m = 0 pour un certain entier 1 Montrer que I n A est inversible, et expliciter son inverse En déduire l'inverse de la matrice A = 1. 1 Exercice 34. Soit M M 3 R telle que : M t M M = I 3. Montrer que M est inversible. Puis montrer que M est symétrique. Exercice 35. Soit n un entier 2, et soit ω U n, avec ω 1. On dénit une matrice A = a ij M n C en posant a ij = ω i 1j 1. 1 Calculer AĀ où Ā désigne la matrice conjuguée de C, dénie en posant : Ā = a ij. 2 En déduire que A est inversible, et expliciter A 1. Exercice 36. colonne sont égales. Dans M 9 K, on considère l'ensemble F des matrices dont les sommes des coecients de chaque Montrer qu'il existe 73 matrices de M 9 K telle que toute matrice de F est combinaison linéaire de celles-ci.