LYCEE VICTOR HUGO 3.3 Exercice 1 : (6 points) Partie A : Partie B : Partie C :

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1 LYCEE VICTOR HUGO 3.3 L attention est attirée sur le fait que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entrent pour une part importante dans l appréciation des copies. Exercice 1 : (6 points) Partie A : Soit LAC un triangle rectangle en A. On donne : LA = 9 cm ; AC = 12 cm. [AH] est la hauteur issue de A. a) Calculer l'aire du triangle LAC. b) Montrer que : LC = 15 cm. c) En exprimant différemment le calcul de l'aire du triangle LAC, montrer que : AH = 7,2 cm. On place un point M sur le côté [LC] du triangle LAC. Notons x la distance LM, exprimée en cm. a) Quel est l ensemble des valeurs que peut prendre x? b) Exprimer en fonction de x la longueur MC. c) Montrer que l'aire du triangle LAM, exprimée en cm 2, est 3,6 x. d) Montrer que l'aire du triangle MAC, exprimée en cm 2, est 54 3,6x. e) Pour quelle valeur de x les deux triangles LAM et MAC ont-ils la même aire? Quelle est alors cette aire? Partie C : a) Tracer la représentation graphique des fonctions f et g définies par : f(x) = 3,6 x et g(x) = 54 3,6 x. b) Déterminer graphiquement la valeur de x pour laquelle l'aire du triangle MAC est égale à 36 cm². c) Soit K le point d'intersection des deux droites obtenues. Déterminer graphiquement les coordonnées du point K. Que représente l'abscisse du point K? Que représente l'ordonnée du point K? 1

2 Exercice 2 : (6 points) Partie A : Une entreprise fabrique des coquetiers en bois qu'elle vend ensuite à des artistes peintres. Elle propose deux tarifs aux choix pour ces coquetiers : Tarif n 1 : 25 DH le coquetier. Tarif n 2 : un forfait de 400 DH et 15 DH le coquetier. 1) Compléter le tableau suivant : 20 coquetiers 30 coquetiers Tarif n 1 Tarif n 2 2) On note x le nombre de coquetiers commandés. Exprimer en fonction de x, les prix P 1 au tarif n 1 et P 2 au tarif n 2 de x coquetiers. 3) Construire, dans le même repère orthogonal ci-dessous, les droites d 1 et d 2 qui représentent les deux fonctions P 1 et P 2. 4) Par simple lecture graphique, répondre aux trois questions suivantes : a) Quel est le plus grand nombre de coquetiers qu'un peintre peut acheter avec 600 DH? b) Pour quel nombre de coquetiers, les prix P 1 et P 2 sont-ils les mêmes? c) À quelle condition, le tarif n 2 est-il le plus avantageux? Le coquetier est fabriqué avec un cylindre de 3 cm de rayon et de 6 cm de hauteur que l'on évide en creusant un cône de même base circulaire de centre O que le cylindre et dont le sommet est le centre I de l'autre base du cylindre. 1) Montrer que la valeur exacte du volume (en cm 3 ) d'un coquetier est 36π et donner sa valeur arrondie au cm 3. 2) On sectionne l'objet par un plan P parallèle à la base du cylindre. Les points O' et A' appartiennent à ce plan P. 2

3 a) Sachant que la longueur OO' est 4 cm et que les droites (OA) et (O'A') sont parallèles, démonter que la longueur O'A' est égale à 1 cm. b) Dessiner la section du coquetier par le plan P. c) Calculer la valeur exacte de l'aire de cette section. Exercice 3 : (5 points) Bachir adore skier à l Oukaimeden dans la station de ski de Marrakech. Il lui faut choisir entre trois formules : Formule J : chaque journée de ski coûte 110 DH. Formule C : une cotisation annuelle de 440 DH au club des sports de la station permet de bénéficier d'une réduction de 40 % sur le prix de chaque journée de ski. Formule S : la carte saison coûte 1600 Dh et donne libre accès aux remontées de la station durant tout l'hiver. Le but du problème est de déterminer la formule la moins coûteuse en fonction du nombre de journées de ski que fera Bachir. a) Compléter le tableau suivant : Nombre de journées de ski Dépense avec la formule J Dépense avec la formule C Dépense avec la formule S b) On appelle x le nombre de journées de ski. Exprimer en fonction de x, les dépenses selon les trois formules J, C et S. c) Résoudre l'équation : 110 x = 66 x En faisant le lien avec la situation qui précède, à quoi correspond la solution de cette équation? d) Tracer ci-dessous les droites : d J dont l'équation est y = 110x, d C dont l'équation est y = 66 x et d S dont l'équation est y = e) D'après le graphique, proposer à Bachir la solution la plus économique d'après le nombre de journées de ski qu il prévoit de faire. Rédiger clairement votre proposition et justifier. Exercice 4 : (3 points) On considère les points A(2 ; 5), B( 1 ; 7), C( 3 ; 7) et D(9 ; 8) a) Déterminer une équation de la droite (AB). b) Déterminer une équation de la droite (CD). 2x + 3y = 19 c) Résoudre le système suivant :, puis en donner une interprétation géométrique. 5x 4y = 13 3

4 Correction : Exercice 1 : (6 points) Partie A : LA AC 9 12 a) Le triangle LAC est rectangle en A donc l'aire du triangle LAC vaut : = = 54 cm². 2 2 b) Dans le triangle LAC rectangle en A, on a d après le théorème de Pythagore : LC² = LA² + AC² = donc LC² = 225 d où LC = 225 = 15 cm. LC AH 15 AH 54 2 c) On a : A LAC = = = 54 donc AH = = 7,2 cm a) Le point M est un point du segment [LC] donc x la longueur LM peut varier entre 0 et 15. b) On a : MC = LC LM = 15 x. LM AH x 7,2 c) On a : A LAM = = = 3, 6x. 2 2 d) On a : A = A A = 54 3, x. AMC LAC LAM 6 e) On a : 3,6x = 54 3,6x donc 3,6x + 3,6x = 54 donc 7,2x = 54 donc x = 54 = 7, 5 donc pour x = 7,5 cm, 7,2 les deux triangles LAM et MAC ont la même aire (remarque M est alors au milieu de [LC], (AM) est une médiane). Cette aire vaut : 3,6 7,5 = 27 cm². Partie C : a) Traçons la représentation graphique des fonctions f et g définies par : f(x) = 3,6 x et g(x) = 54 3,6 x. b) Graphiquement la valeur de x pour laquelle l'aire du triangle MAC est égale à 36 cm² est x = 10 cm. c) Graphiquement les coordonnées du point K sont (7,5 ; 27). L'abscisse du point K représente la valeur de x pour laquelle les deux triangles LAM et MAC ont la même aire. L'ordonnée du point K représente la valeur de cette aire. 4

5 Exercice 2 : (6 points) Partie A : 1) Complétons le tableau suivant : 20 coquetiers 40 coquetiers Tarif n Tarif n ) On a : P 1 (x) = 25x et P 2 (x) = x. 3) Construisons, les droites d 1 et d 2 qui représentent les deux fonctions P 1 et P 2. 4) Par simple lecture graphique, répondre aux trois questions suivantes : a) Le plus grand nombre de coquetiers qu'un peintre peut acheter avec 600 DH est 24. b) Les prix P 1 et P 2 sont les mêmes pour l achat de 40 de coquetiers. c) Le tarif n 2 est le plus avantageux si x est supérieur à 40 car la droite d 2 est au dessous de la droite d 1 pour x supérieur à 40. π 3² 6 1) On a : V cylindre = π 3 ² 6 = 54π et V cône = = 18π donc V coquetier = 54 π 18π = 36π. La valeur 3 exacte du volume d'un coquetier est 36π cm 3 c'est-à-dire environ 113 cm 3. 2) O ' [ IO] a) Dans le triangle IOA, on a : A' [ IA] donc d après le ( O ' A' ) // ( OA) IO ' IA' O ' A' 6 4 O ' A' théorème de Thalès : = = donc = donc O A IO IA OA = = 1 cm. 6 b) La section du coquetier par le plan P est la couronne dessinée cicontre. c) On a : A sec tion = π 3² π 1² = 9π π = 8π. L'aire de cette section est 8π cm² 5

6 Exercice 3 : (5 points) a) Complétons le tableau suivant : Nombre de journées de ski Dépense avec la formule J Dépense avec la formule C Dépense avec la formule S = = = ,6 = ,6 = ,6 = b) On a : J(x) = 110x, C(x) = ,6 110 x = x et S(x) = c) On a : 110 x = 66 x donc 110x 66x = 440 donc 44x = 440 donc x = = 10. La solution de 44 l équation est 10. Pour 10 journées de ski, bachir payera le même tarif avec la formule J et la formule C. d) Traçons ci-dessous les droites : d J dont l'équation est y = 110x, d C dont l'équation est y = 66 x et d S dont l'équation est y = e) D'après le graphique, Bachir a intérêt de prendre la formule J s il désire faire moins de 10 journées de ski, la formule C s il désire faire entre 10 et 17 journées de ski et la formule S s il désire faire plus de 18 journées de ski. La droite d j est en dessous des deux autres droites pour x inférieur à 10, la droite d c est en dessous des deux autres droites pour x compris entre 10 et 17, la droite d s est en dessous des deux autres droites pour x supérieur ou égal à 18. 6

7 Exercice 4 : (3 points) On considère les points A(2 ; 5), B( 1 ; 7), C( 3 ; 7) et D(9 ; 8) a) Une équation de la droite (AB) est de la forme y = ax + b. Or A appartient à (AB) donc 2a + b = 5 et B 2 a = 2a + b = 5 3a = 2 3 appartient à (AB) donc a + b = 7. On a : donc une a + b = 7 a + b = b = 7 = équation de la droite (AB) est y = x b) Une équation de la droite (CD) est de la forme y = ax + b. Or C appartient à (CD) donc 3a + b = 7 et 3a + b = 7 12a = 15 D appartient à (CD) donc 9a + b = 8. On a : 9a + b = 8 9a + b = a = = donc une équation de la droite (CD) est y = x b = 8 = = y = 3 2x + 3y = x + 15y = 95 23y = 69 y = = 3 c) On a : x 4y = x 8y = 26 2x + 3y = 19 x = = 5 2x + 9 = 19 2 La solution du système est le couple (5 ; 3). 19 2x x 5 13 On a : 2x + 3y = 19 donc y = = x + et 5x 4y = 13 donc y = = x donc le couple (5 ; 3) solution du système représente les coordonnées du point d intersections des droites (AB) et (CD). 7

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