Chapitre 5 Les lois de la mécanique et ses outils

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1 DERNIÈRE IMPRESSION LE 1 er août 2013 à 12:49 Chapitre 5 Les lois de la écanique et ses outils Table des atières 1 Les référentiels et repères 2 2 Les grandeurs de l évolution Le vecteur de position Le vecteur vitesse Le vecteur accélération Application Quelques ouveents classiques Le ouveent rectiligne unifore Le ouveent uniforeent varié Le ouveent circulaire unifore Le ouveent circulaire non unifore Les forces usuelles Le poids (force de chap) La réaction (force de contact) Tension d un fil (force de contact) La poussée d Archiède La force gravitationnelle (de Newton, force de chap) La force électrostatique (de Coulob, force de chap) Les lois de Newton Preière loi ou principe d inertie Deuxièe loi ou principe fondaental de la dynaique Troisièe loi ou principe de l action et de la réaction Application des lois de Newton PAUL MILAN 1 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALE S

2 2 LES GRANDEURS DE L ÉVOLUTION 1 Les référentiels et repères Définition 1 : On appelle référentiel un objet par rapport auquel on étudie un ouveent. On distingue trois types de référentiel : Le référentiel terrestre : le solide de référence est un objet fixe à la surface de la Terre. Les trois axes sont, par exeple, la verticale, les axes est-ouest et nordsud. Ce référentiel est adapté à l étude des ouveents de faible aplitude et de courte durée à la surface de la Terre tels que les ouveents étudiés dans un laboratoire. Le référentiel géocentrique : le solide de référence est le centre de la Terre. Les trois axes sont dirigés vers trois étoiles fixes. Un tel référentiel subit le ouveent de révolution de la Terre autour du Soleil ais pas le ouveent de rotation de la Terre autour de l axe des pôles. Il est adapté à l étude du ouveent des satellites en orbite autour de la Terre. Le référentiel héliocentrique : le solide de référence est le centre du Soleil. Les trois axes sont les êes que ceux du référentiel géocentrique, dirigées vers trois étoiles fixes. Il est adapté à l étude des astres en orbite autour du Soleil. Définition 2 : Pour les ouveents dans l espace, on associe au référentiel un repère cartésien(o, ı, j, k) défini par une origine et trois vecteurs unitaires deux à deux perpendiculaires. On réduit ce repère à(o, ı, j) pour un ouveent plan et par (O, ı) pour un ouveent rectiligne. 2 Les grandeurs de l évolution 2.1 Le vecteur de position Définition 3 : Tout objet ponctuel M dans l espace, est repéré par trois coordonnées x, y, z, fonction du teps t, dans le repère(o, ı, j, k) associé au référentiel. On définit alors le vecteur position OM et la distance OM par : OM = x(t) ı+y(t) j+z(t) k OM = x 2 (t)+y 2 (t)+z 2 (t) Les fonctions x(t), y(t) et z(t) sont appelées équations horaires du ouveent du point M. La courbe décrite par M en fonction du teps est appelée trajectoire du point M Exeple : Un point M a pour équations horaires dans le référentiel terrestre : x(t) = t+1, y(t) = 3t 2 et z(t) = 2. a) Décrire la trajectoire du point M b) Déteriner la distance OM à la date t = 3 s PAUL MILAN 2 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALE S

3 2.2 LE VECTEUR VITESSE a) Pour déteriner la trajectoire du point M, il faut éliiner le teps en déterinant une relation entre x, y et z. Par exeple, on exprie t en fonction de x : t = x 1 que l on replace dans l expression de y. On obtient alors : y = 3(x 1) 2 z = 2 y = 3x 5 z = 2 La trajectoire du point M est donc une droite d équation y = 3x 5 dans le plan d altitude 2 b) Pour déteriner la distance OM, il faut calculer la nore du vecteur OM à la date t = 3 s. On trouve alors M(4; 7; 2), d où : 2.2 Le vecteur vitesse OM = = 69 8, 31 Définition 4 : On définit le vecteur vitesse v coe la dérivée du vecteur de position en fonction du teps. v = d OM dt soit v = dx dy dz ı+ j+ dt dt dt k Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire Rearque : On utilise de préférence la notation différentielle pour la dérivée, plutôt que la notation athéatique x (t), y (t) et z (t), rappelant ainsi que la vitesse est obtenue coe le rapport d une variation de position sur une variation du teps. L utilisation de la dérivée s explique par le passage à la liite de la vitesse oyenne v : OM v = 2 OM 1 = OM OM v = li v = li = d OM t 2 t 1 t t 0 t 0 t dt Si l on veut connaître l intensité de la vitesse, il suffit de prendre la nore du vecteur vitesse : (dx ) 2 ( ) dy 2 ( ) dz 2 v = v = + + dt dt dt Exeple : Un point M a pour équations horaires dans le référentiel terrestre : x(t) = 2t 2 3t+1, y(t) = 3t 2 et z(t) = 2. a) Calculer les coordonnées du vecteur vitesse au cours du teps b) Déteriner la vitesse du point M à l instant t = 5 s PAUL MILAN 3 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALE S

4 2 LES GRANDEURS DE L ÉVOLUTION a) On dérive les coordonnées du point M en fonction du teps, on obtient alors : v = (4t 3 ; 3 ; 0) b) Pour déteriner la vitesse du point M à l intant t = 5 s, il faut calculer la nore du vecteur vitesse à l instant t = 5 s 2.3 Le vecteur accélération v(5) = = , 26.s 1 Définition 5 : D une façon analogue au vecteur vitesse v, on définit le vecteur accélération a coe la dérivée du vecteur vitesse en fonction du teps v = d v dt soit a = dv x dt ı+ dv y dt j+ dv z dt k Si on revient au vecteur position, le vecteur accélération est donc la dérivée seconde du vecteur OM en fonction du teps. En utilisant la notation différentielle, on obtient : a = d2 OM dt 2 soit v = d2 x d2 y d2 z dt 2 ı+ dt 2 j+ dt 2 k Rearque : La notation d2 x qui se lit «dé deux x sur dé t deux» correspond à dt2 la dérivée seconde de x en fonction du teps qui s écrit en athéatique x (t) Exeple : Un point M a pour équations horaires dans le référentiel terrestre : x(t) = 2t 2 3t+1, y(t) = 3t 2 et z(t) = 2. Déteriner la l accélération du point M à l instant t = 2 s Il faut dériver deux fois les coordonnées du point M, pour obtenir le vecteur accélération a = (4 ; 0 ; 0) soit a = 4.s Application Les coordonnées d un obile dans le plan (O, ı, j), associé au référentiel terrestre, sont données par : x(t) = 4t 2 y(t) = t 2 2t+1 a) Déteriner la position du obile aux instants t = 0 et t = 2 s b) Déteriner l accélération du obile à l instant t = 10 s c) Établir l équation cartésienne de la trajectoire du obile M et en donner une représentation en indiquant le sens de parcours du point M PAUL MILAN 4 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALE S

5 a) On déterine les coordonnées du point M aux instant t = 0 et t = 2 s OM (0) = ( 2 ; 0) et OM (2) = (6 ; 1) b) Pour déteriner l accélération à l instant t = 10 s, il faut dériver deux fois le vecteur position : v = (4 ; 2t 2) et a = (0 ; 2) L accélération est donc constante donc a(10) = 2.s 2 c) Pour déteriner l équation cartésienne de la trajectoire, il faut éliiner t des équations horaires. De l expression de x(t), on a : t = x+2 que l on 4 replace dans l expression de y(t) en rearquant que : t 2 2t+1 = (t 1) 2 M(0) a(0) trajectoire a(2) M(2) v(2) ( x+2 2 ( x+2 4 y = 1) = 4 4 ) v(0) = (x 2)2 16 = 1 16 x2 1 4 x+ 1 4 La trajectoire est donc une parabole de soet S(2; 0). Pour connaître le sens du parcours il suffit de repérer les points M(0) et M(2). 3 Quelques ouveents classiques 3.1 Le ouveent rectiligne unifore Définition 6 : On appelle ouveent rectiligne unifore un ouveent dans lequel le obile se déplace sur une droite à vitesse constante. Si le obile M(x(t); 0; 0) se déplace sur l axe Ox, on a alors le schéa suivant : O M(0) x 0 v M(t) x(t) v x Le vecteur vitesse est alors constant : v = Cte car sa nore et son sens sont constants (trajectoire rectiligne). Le vecteur accélération a est donc nul a = 0. Si à t = 0 le obile se trouve à l abscisse x 0 et en appelant v l intensité de la vitesse, on obtient l équation horaire suivante : x(t) = vt+x 0 PAUL MILAN 5 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALE S

6 3 QUELQUES MOUVEMENTS CLASSIQUES 3.2 Le ouveent uniforeent varié Définition 7 : On appelle ouveent rectiligne uniforéent varié un ouveent dans lequel le obile se déplace sur une droite avec une accélération contante. Deux cas peuvent se présenter : L accélération et la vitesse ont le êe sens : v a > 0. Le ouveent est alors uniforéent accéléré L accélération et la vitesse ont des sens contraires : v a < 0. Le ouveent est alors uniforéent retardé Si le obile M(x(t); 0; 0) se déplace sur l axe Ox, on a alors le schéa suivant : O M(0) x 0 a v 0 M(t) a v(t) x(t) x Le vecteur accélération est alors constant : a = Cte car sa nore et son sens sont constants (trajectoire rectiligne). Pour trouver l équation horaire, il faut intégrer deux fois le vecteur accélération a x (t) = a v x (t) = at+v 0 x(t) = 1 2 at2 + v 0 t+x 0 Rearque : v 0 et x 0 sont les constante d intégration. Exeple : Soit un obile M subissant une accélération contante sur l axe Ox tel que a = 4.s 2. On suppose qu à t = 0 s, le point M est iobile en O. Déteriner la distance parcourue par M à l instant t = 5 s. Coe le obile M est iobile en O à t = 0 s, alors les constantes d intégration sont nulles : v 0 = 0.s 1 et x 0 = 0. On a alors l équation horaire suivante : x(t) = 1 2 at2 = 2t 2 Le obile aura parcouru la distance x(5) à l instant t = 5 s, soit : x(5) = 2 25 = Le ouveent circulaire unifore Définition 8 : On appelle ouveent circulaire unifore un ouveent circulaire dont le odule de la vitesse est constante. Rearque : Le vecteur vitesse ici n est pas nul car la direction de ce vecteur varie dans le teps. On a donc : v = Cte et v = Cte Si le point M se déplace dans le plan Oxy sur un cercle de centre O et de rayon R, on a alors la figure suivante : PAUL MILAN 6 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALE S

7 3.4 LE MOUVEMENT CIRCULAIRE NON UNIFORME Si le odule du vecteur vitesse est constant, on peut ontrer que : y v l accélération est dirigée vers O : l accélération est centripède a M(t) on a la relation entre l accélération et le vitesse suivante : O θ = ωt M(0) x a = v2 R Déonstration : Montrons que dans un ouveent circulaire unifore, l accélération est centripède (dirigée vers le centre du cercle). Supposons qu à t = 0 s le point M soit sur l axe Ox. À un instant t = 0, le point M est repéré par l angle θ sur le cercle. Coe le ouveent est unifore, la vitesse angulaire ω est constante. On a donc : θ = ωt. Les équations horaires sont donc : OM x(t) = R cos θ = R cos ωt y(t) = R sin θ = R sin ωt En dérivant une fois, on obtient les coordonnées du vecteur vitesse, puis une seconde fois le vecteur accélération : v x (t) = Rω sin ωt v v y (t) = Rω cos ωt et a x (t) = Rω 2 cos ωt a a y (t) = Rω 2 sin ωt On rearque que : a = ω 2 OM. L accélération est dirigé vers le centre du cercle. L accélération est donc centripède. Calculons les nores des vecteurs vitesse et accélération : v = v 2 x + v 2 y = R 2 ω 2 (sin 2 ωt+cos 2 ωt) = Rω a = a 2 x + a 2 y = R 2 ω 4 (cos 2 ωt+sin 2 ωt) = Rω 2 On a alors : a = v2 R 3.4 Le ouveent circulaire non unifore Dans un ouveent circulaire non unifore, l accélération tangentielle n est pas nulle. Si le point M se déplace dans le plan Oxy sur le cercle de centre O et de rayon R, On a le schéa suivant : PAUL MILAN 7 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALE S

8 4 LES FORCES USUELLES On peut utiliser un repère de Frenet (M(t), τ, n). Dans ce repère, on décopose le vecteur accélération en accélération norale a N et accélération tangentielle a T. Coe le ouveent n est pas unifore, la nore de la vitesse n est pas constante et donc l accélération tangentielle n est pas nulle. On a alors coe vecteur accélération : a = a T τ+a N n = dv v2 τ+ dt R n L accélération norale a la êe expresion que dans le ouveent unifore. y O n θ τ v a N a T M(t) M(0) x 4 Les forces usuelles 4.1 Le poids (force de chap) Dans le référentielle terrestre, tout corps de asse est souis au chap de pesanteur g. Cette force correspond au poids du corps : origine : centre de gravité direction : verticale sens : vers le bas nore : P = g avec g = 9.81.s La réaction (force de contact) La force de réaction du sol R en cas de frotteent possède deux coposantes : une coposante norale au sol R N qui ne travaille pas et une coposante parallèle au sol f dans le sens contraire au déplaceent (force de frotteent) R = f + RN R f R N 4.3 Tension d un fil (force de contact) La force de tension T d un fil est une force qui s exerce par un fil sur un systèe. Ses caractéristiques sont : origine : point du systèe en contact avec le fil direction : le fil sens : du systèe vers le fil nore : T T PAUL MILAN 8 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALE S

9 4.4 LA POUSSÉE D ARCHIMÈDE 4.4 La poussée d Archiède Un corps plongé dans un fluide reçoit une poussée π de bas en haut égale au poids du volue du fluide déplacé. Cette force π a coe caractéristiques : origine : centre de gravité de la partie iergée direction : verticale sens : vers le haut nore : poids du fluide déplacé π π = ρ f V g G avec ρ f : asse voluique du fluide, V : volue iergé (partie hachurée) et g : intensité de la pesanteur fluide de asse voluique ρ f 4.5 La force gravitationnelle (de Newton, force de chap) A F B/A F A/B B r Définition 9 : Deux corps A et B de asses respectives A et B s attirent. Cette force d attraction F A/B et F B/A est inverseent proportionnelle à la distance r des deux corps : F A/B = F B/A = G A B r 2 G : contante de gravitation SI 4.6 La force électrostatique (de Coulob, force de chap) F B/A A F B/A F A/B B F A/B q A r q B q A q B < 0 attraction q A q B > 0 répulsion PAUL MILAN 9 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALE S

10 5 LES LOIS DE NEWTON Définition 10 : Deux corps A et B de charges électriques respectives q A et q B s attirent (si de charges contraires) ou se repoussent (si de êe charge). Cette force d attraction ou de répulsion F A/B et F B/A est inverseent proportionnelle à la distance des deux corps : F A/B = F B/A = K q Aq B r 2 K constante de Coulob (dans l air) SI 5 Les lois de Newton 5.1 Preière loi ou principe d inertie Loi d inertie : Dans un référentiel galiléen, tout systèe reste iobile ou conserve un ouveent rectiligne unifore aussi longteps que la soe vectorielle des forces extérieures est nulle. F ext = 0 systèe en repos ou en ouveent rectiligne unifore Rearque : L inertie, c est à dire la résistance au changeent de ouveent, est donc une propriété intrinsèque de la atière. Exeple : Les astronautes d Appolo en 1969 ont arrêté leurs oteurs et ont continué leur voyage vers la Lune sans aucune force otrice. Il faut coprendre cependant que la loi d inertie, la preière loi fondaentale de la Nature est une loi idéale. Nulle part dans l Univers, un objet peut être libéré copléteent des influences externes. L idée de ouveent sur une ligne droite infinie n est pas réaliste, surtout dans un cosos encobré de galaxies. Définition 11 : On appele référentiel galiléen ou référentiel d inertie, un référentiel dans lequel le principe d inertie est vérifié. On adettra que les référentiels terrestre, géocentrique et héliocentrique sont des référentiels galiléens dans leur doaine de validité 5.2 Deuxièe loi ou principe fondaental de la dynaique Principe fondaental de la dynaique (PFD) : La soe vectorielle des forces extérieures s exerçant sur un solide (asse constante) est proportionnelle à son accélération. F ext = a est la asse du solide en kg et a est l accélération en N.kg 1 PAUL MILAN 10 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALE S

11 5.3 TROISIÈME LOI OU PRINCIPE DE L ACTION ET DE LA RÉACTION Rearque : Le PFD est le prolongeent de la loi d inertie. En effet si la soe vectorielle des forces extérieures est nulle alors l accélération est nulle. Exeple : Un satellite tourne autour de la Terre car celle-ci exerce une force centripède sur ce satellite. 5.3 Troisièe loi ou principe de l action et de la réaction Action et réaction : Si un corps A exerce une force F A/B corps B exerce une force F B/A sur le corps A telle que : F A/B = F B/A sur un corps B, alors le Exeple : Si une valise est posé sur le sol, cette valise exerce son poids sur le sol qui en contre-partie exerce une force identique dans le sens opposé à cette valise. 5.4 Application des lois de Newton Un skieur de 80 kg descend une piste de 150 inclinée de 20 par rapport à l horizontale. Déteriner sa vitesse en bout de piste en considérant deux cas de figure : 1) On néglige la force de frotteent sur les skis 2) On considére que la force de frotteent sur les skis est constante et vaut 150 N PS : On prendra g = 9, 81.s 2. On négligera la resistance de l air et on supposera que le skieur ne décolle pas et ne perd pas de ski en route! 1) a) Analyse du problèe : référentiel, repère, bilan des forces, PFD. Le ouveent du skieur est de faible aplitude et de courte durée, on peut donc considérer que le référentiel terrestre est galiléen. Faisons une figure pour visualiser le bilan des forces : Données : = 80 kg OA = 150 α = 20 Le skieur part de O sans vitesse initiale. Repère : On prendra le repère lié à Oxy. On décopose alors le poids P en une coposante sur x, P x, et une coposante sur y, P y. Coe il n y a pas de force de frotteent la force de réaction est norale au sol Par perpendicularité on retrouve l angle α en G PAUL MILAN 11 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALE S A x α R N Px P G α y Py O

12 5 LES LOIS DE NEWTON b) Résolution du problèe : vitesse v en A. D après le principe fondaental de la dynaique (PFD), on a : P + R = a On suppose que le skieur ne décolle pas donc l accélération n a lieu que sur l axe Ox. En projetant alors sur Ox et Oy, on a : P x = a x P sin α = ax (1) P y + R N = 0 R N = P y De (1), coe P = g, on obtient : g sin α = a x a x = g sin α On constate que l accélaration du skieur ne dépend pas de sa asse! On intègre deux fois pour obtenir la vitesse et l équation horaire : v(t) = g sin α t+v 0 = g sin α t car v 0 = 0 x(t) = 1 2 g sin α t2 + x 0 = 1 2 g sin α t2 car x 0 = 0 On peut alors déteriner le teps t A où le skieur est en bout de piste OA = 1 2 g sin α 2OA t2 A t A = g sin α 9, 5 s On peut enfin trouver la vitesse v en bout de piste : 2OA v = v(t A ) = g sin α t A = g sin α g sin α = 2g sin α OA 32.s 1 Pour trouver la vitesse en k.h 1, on ultiplie par 3,6 : v = 114 k.h 1 2) a) Analyse du problèe : référentiel, repère, bilan des forces, PFD. Par rapport au cas précédent, il faut rajouter une force de frotteent f dans le sens contraire au ouveent : Données : = 80 kg OA = 150 α = 20 f = 150 N Le skieur part de O sans vitesse initiale. Repère : On décopose la réaction R en une coposante sur x, f, et une coposante sur y, R N. L angle β correspond à l angle de la réaction R l axe Ox avec PAUL MILAN 12 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALE S A x α R N Px G P R β α f y Py O

13 5.4 APPLICATION DES LOIS DE NEWTON b) Résolution du problèe : vitesse v en A. D après le principe fondaental de la dynaique (PFD), on a : P + R = a On suppose que le skieur ne décolle pas donc l accélération n a lieu que sur l axe Ox. En projetant alors sur Ox et Oy, on a : P x f = a x P y + R N = 0 De (1), coe P = g, on obtient : P sin α f = ax (1) R N = P y g sin α f = a x a x = g sin α f On constate dans ce cas que l accélaration du skieur dépend de sa asse. On intègre deux fois pour obtenir la vitesse et l équation horaire : ( v(t) = g sin α f ) ( t+v 0 = g sin α f ) t car v 0 = 0 x(t) = 1 ( g sin α f ) t 2 + x 0 = 1 ( g sin α f ) t 2 car x 0 = On peut alors déteriner le teps t A où le skieur est en bout de piste OA = 1 2 ( g sin α f ) t 2 2OA A t A = g sin α f 14, 2 s On peut enfin trouver la vitesse v en bout de piste : ( v = v(t A ) = g sin α f ) ( t A = g sin α f ) 2 OA g sin α 2(g sin α f) OA = 21.s 1 Pour trouver la vitesse en k.h 1, on ultiplie par 3,6 : v = 76 k.h 1 Rearque : Si l on veut connaître l angle β que fait R avec l axe Ox. tan β = f P y = f g cos α β = arctan g cos α f 78, 5 PAUL MILAN 13 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALE S

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