Allocation de portefeuille: comparaison de l analyse technique et des méthodes mathématiques

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1 1/43 : comparaison de l analyse technique et des méthodes mathématiques Université Montesquieu Bordeaux IV GREΘA et IMB CHRISTOPHETTE BLANCHET (Université de Nice) RAJNA GIBSON (Université de Zurich) ETIENNE TANRÉ et DENIS TALAY (INRIA Sophia Antipolis) Séminaire MBF 3 avril 2007

2 Plan 2/ de travail 3 Etude de la fonction 4

4 4/43 Investissement Approche fondamentale principes économiques Analyse technique comportement passé des prix Approche mathématique modèles mathématiques Objectif Comparer les performances de l analyse technique et de l approche mathématique

5 Analyse technique 5/43 Anticiper les hausses et les baisses à partir de l analyse graphique du cours cours de l euro en dollars US, juillet 2003 mai 2004 source : http ://

6 Analyse technique Moyenne mobile 6/43 Moyenne mobile M δ t = 1 δ t t δ Si S t > M δ t S u du achat Si S t < Mt δ vente cours du dollar US en francs suisses, 23 avril mai 2004 toutes les heures moyennes mobiles 7 heures, 17 heures, 34 Optimiser heures source : http :// la taille de la fenêtre δ les instants de décision

7 Approche mathématique 7/43 Marché : Actif sans risque Actif risqué S 0 t S t Objectif stratégie π t [0, 1] proportion de la richesse investie dans l actif risqué richesse W π t richesse correspondant à la stratégie π Modéliser la dynamique de S t Résoudre le problème d optimisation sup E[U(WT π )] π

8 Approche mathématique Modélisation 8/43 Actif sans risque ds 0 t = S 0 t rdt Actif risqué ds t = µ(t)s t dt + σs t db t B mouvement Brownien standard µ(t) {µ 1, µ 2 } indépendant de B, µ 1 < r < µ 2

9 Travaux précédents Modèle 9/43 BLANCHET, DIOP, GIBSON, KAMINSKI, TALAY, TANRÉ (2005) Un seul changement de dérive µ(t) = µ 1 si t < τ µ(t) = µ 2 si t τ avec P(τ > t) = e λt Stratégie détecter τ µ 1 = 0.2, µ 2 = 0.2, σ = 0.15, λ = 2.

10 Travaux précédents 10/43 Etude théorique du problème d optimisation Etude théorique de la détection de rupture détection bien calibrée détection mal calibrée moyenne mobile Conclusion Moyenne mobile meilleure si paramètres mal calibrés Taux d erreur à partir duquel c est vrai

12 de travail 12/43 Marché : Actif sans risque Actif risqué dst 0 = St 0rdt ds t = µ(t)s t dt + σs t db t µ(t) {µ 1, µ 2 }, avec plusieurs changements de valeur coûts de transaction

13 Nouveau modèle 13/43 Plusieurs changements de dérive (ξ 2n+1 ) iid Exp(λ 1 ) (ξ 2n ) iid Exp(λ 2 ) τ 0 = 0, τ n = ξ ξ n { µ1 if τ µ(t) = 2n t < τ 2n+1 µ 2 if τ 2n+1 t < τ 2n+2 Coûts de transaction g 01 coût d achat g 10 coût de vente µ 1 = 0.2, µ 2 = 0.2, σ = 0.15, λ 1 = λ 2 = 2.

14 Contrôle Stochastique 14/43 Variable d état du système : la richesse W t évoluant suivant une dynamique probabiliste Processus de contrôle π t : la proportion de la richesse investie dans l actif risqué valeur choisie à tout instant en fonction de l information disponible à cet instant influence la dynamique de W t : W π t = π t S t + (1 π t )S 0 t Critère de performance à maximiser : espérance de l utilité U de la richesse au temps terminal T U(x) = x α, 0 < α < 1

17 Optimisation 15/43 Objectif V = sup E[WT π ] π Déterminer la fonction valeur Trouver un contrôle optimal (s il en existe)

18 Stratégies admissibles 16/43 Stratégie : π t {0, 1} proportion de la richesse investie dans l actif risqué Observations : cours de l actif risqué Problème deux sources d aléa indépendantes le mouvement brownien la dérive = Reformuler le problème de contrôle avec une seule source brownienne d aléa.

19 Filtrage 17/43 Projection optionnelle : F t = P(µ(t) = µ 1 S u, 0 u t) Nouveau mouvement brownien : B t = 1 σ ( log S t S 0 Etat : couple (W t, F t ) Dynamique : t 0 ( µ1 F s + µ 2 (1 F s ) σ2 ) ) ds 2 dw π t W π t = ( π t (µ 1 F t + µ 2 (1 F t )) + (1 π t )r ) dt + π t σd B t g 01 δ( π t = 1) g 10 δ( π t = 1) df t = ( λ 1 F t + λ 2 (1 F t ) ) dt + µ 1 µ 2 F t (1 F t )d σ B t,

23 Définition 19/43 Si π t = 0 Si π t = 1 J 0 (t, x, f, π) = E[U(W π T ) W π t = x, F t = f ] J 1 (t, x, f, π) = E[U(W π T ) W π t = x, F t = f ] valeur V 0 (t, x, f ) = sup J 0 (t, x, f, π) π V 1 (t, x, f ) = sup J 1 (t, x, f, π) π

24 Régularité 20/43 Comparaison Continuité Pour tous i {0; 1} 0 t,ˆt T x, ˆx > 0 0 f,ˆf 1 : V i (ˆt, ˆx,ˆf ) V i (t, x, f ) V 0 (t, x, f ) V 1 (t, (1 g 01 )x, f ) V 1 (t, x, f ) V 0 (t, (1 g 10 )x, f ) C(1 + x α 1 + ˆx α 1 ) ( ˆx x + x( ˆf f + ˆt t 1/2 ) )

25 Principe de la Programmation Dynamique 21/43 Principe de la Programmation Dynamique Pour tout temps d arrêt θ tel que 0 t θ T et pour tous x, f, i : V i (t, x, f ) = sup π E[V π θ (t, W θ,x,f,π θ, F t,f θ )]

26 Equations d Hamilton Jacobi Bellman 22/43 Dépendance en x : V i (t, x, f ) = sup π t,x,f,π E[U(WT )] = x α V i (t, 1, f ) Equations d Hamilton Jacobi Bellman { max { V 0 t + L 0 V 0 ; V 0 (t, f ) + (1 g 01 ) α V 1 (t, f ) } = 0 max { V 1 t + L 1 V 1 ; V 1 (t, f ) + (1 g 10 ) α V 0 (t, f ) } = 0 L 0 ϕ(t, f ) = αrϕ(t, f ) + ` λ 1 f + λ 2 (1 f ) ϕ f (t, f ) + 1 µ1 µ 2 2f 2 (1 f ) 2 2 ϕ 2 σ f 2 (t, f ) L 1 ϕ(t, f ) = α µ 1 f + µ 2 (1 f ) + +α(µ 1 µ 2 )f (1 f ) ϕ f (t, f ) (α 1)σ2 2 µ1 µ 2 σ ϕ(t, f ) + ` λ 1 f + λ 2 (1 f ) 2f 2 (1 f ) 2 2 ϕ f 2 (t, f )

27 Schéma numérique pour le calcul des fonctions valeur 23/43 Initialisation ˆV 0 (T, f ) = ˆV 1 (T, f ) = 1 Itération Avec la partie EDP de HJB, calculer V 0 (t, ) et V 1 (t, ) à partir de ˆV 0 (t + dt, ) et ˆV 1 (t + dt, ) Comparaison si V 0 (t, f ) (1 g 01 ) α V 1 (t, f ), prendre ˆV 0 (t, f ) = V 0 (t, f ) sinon ˆV 0 (t, f ) = (1 g 01 ) α V 1 (t, f ) si V 1 (t, f ) (1 g 10 ) α V 0 (t, f ), prendre ˆV 1 (t, f ) = V 1 (t, f ) sinon ˆV 1 (t, f ) = (1 g 10 ) α V 0 (t, f )

30 valeur V 0 Tracé 24/43 Paramètres : T = 3, µ 2 = 0.2, µ 1 = 0.21, λ 1 = λ 2 = 2, σ = 0.15, g 01 = g 10 = V(t,f) f temps

31 valeur V 0 Régularité I 25/43 Coûts de transaction g 01 = g 10 = 1 Zoom entre t = 2.5 et t = 3 = T V(t,f) f temps 2.450

32 valeur V 0 Régularité II 26/43 Coupe en f = Coupes en t = 2.90, t = 2.91, t = 2.92, t = 2.93, t = 2.94, t = 2.95,

34 Stratégie 28/43 Calculer ˆV 0, ˆV 1 Estimer ˆF t à partir de cours de l actif risqué Comparer ˆV 0 (t, ˆF t ) et ˆV 1 (t, ˆF t ) : achat si ˆV 0 (t, ˆF t ) = (1 g 01 ) α ˆV 1 (t, ˆF t ) vente si ˆV 1 (t, ˆF t ) = (1 g 10 ) α ˆV 0 (t, ˆF t ) buying zone selling zone Estimated F µ 1 = 0.2, µ 2 = 0.2, σ = 0.15, λ 1 = 2, λ 2 = 2, T = 3

35 Comparaison stratégie / fonction valeur 29/43 Calcul de la fonction valeur : pas de discrétisation en temps 10 6 pas de discrétisation en espace simulations de Monte Carlo de la stratégie F ˆV Stratégie F ˆV Stratégie

36 des performances 30/43 Simulation du cours de l actif risqué avec les vrais paramètres : µ 1 = 0.2, µ 2 = 0.21, σ = 0.15, λ 1 = 2, λ 2 = 2. Calcul des zones de transaction et de F t avec plusieurs jeux de mauvais paramètres Mise en oeuvre pour T = 3, U(x) = x, δ = pour la moyenne mobile. Coûts de transaction : 0.25%, 0.5%, 1%.

37 Jeux de mauvais paramètres 31/43 µ 1 µ 2 λ 1 λ 2 σ Vrais Jeu Jeu Jeu Jeu Jeu Jeu Jeu

38 Coûts de transaction 0.25% Zones de transaction 32/43 Vrais paramètres : µ 1 = 0.2, µ 2 = 0.21, σ = 0.15, λ 1 = 2, λ 2 = 2. Faux paramètres : µ 1 = 0.3, µ 2 = 0.17, σ = 0.30, λ 1 = 0.5, λ 2 = bons parametres mauvais parametres Jeu 2 : mauvaise volatilité bons parametres mauvais parametres Jeu 1 : mauvais λ 0.1 bons parametres mauvais parametres Jeu 3 : mauvaises dérives

39 Coûts de transaction 0.25% Stratégie mal calibrée vs Moyenne mobile 33/43 T = 3, δ = 1000 simulations Monte Carlo Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 2 : mauvaise volatilité Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 1 : mauvais λ Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 3 : mauvaises dérives

40 Coûts de transaction 0.25% Zones de transaction 34/ bons parametres mauvais parametres Jeu 4 : mauvais λ et volatilité bons parametres mauvais parametres Jeu 5 : mauvais λ et dérives bons parametres mauvais parametres Jeu 6 : mauvaises volatilité et dérive bons parametres mauvais parametres Jeu 7 : tout mauvais

41 Coûts de transaction 0.25% Stratégie mal calibrée vs Moyenne mobile 35/ Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 4 : mauvais λ et volatilité Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 5 : mauvais λ et dérives Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 6 : mauvaises volatilité et dérive Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 7 : tout mauvais

42 Coûts de transaction 0.5% Zones de transaction 36/43 Vrais paramètres : µ 1 = 0.2, µ 2 = 0.21, σ = 0.15, λ 1 = 2, λ 2 = 2. Faux paramètres : µ 1 = 0.3, µ 2 = 0.17, σ = 0.30, λ 1 = 0.5, λ 2 = bons parametres mauvais parametres Jeu 1 : mauvais λ bons parametres mauvais parametres Jeu 2 : mauvaise volatilité bons parametres mauvais parametres Jeu 3 : mauvaises dérives

43 Coûts de transaction 0.5% Stratégie mal calibrée vs Moyenne mobile 37/43 T = 3, δ = 1000 simulations Monte Carlo Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 1 : mauvais λ Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 2 : mauvaise volatilité Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 3 : mauvaises dérives

44 Coûts de transaction 0.5% Zones de transaction 38/ bons parametres mauvais parametres Jeu 4 : mauvais λ et volatilité bons parametres mauvais parametres Jeu 5 : mauvais λ et dérives bons parametres mauvais parametres Jeu 6 : mauvaises volatilité et dérive bons parametres mauvais parametres Jeu 7 : tout mauvais

45 Coûts de transaction 0.5% Stratégie mal calibrée vs Moyenne mobile 39/ Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 4 : mauvais λ et volatilité Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 5 : mauvais λ et dérives Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 6 : mauvaises volatilité et dérive Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 7 : tout mauvais

46 Coûts de transaction 1% Zones de transaction 40/43 Vrais paramètres : µ 1 = 0.2, µ 2 = 0.21, σ = 0.15, λ 1 = 2, λ 2 = 2. Faux paramètres : µ 1 = 0.3, µ 2 = 0.17, σ = 0.30, λ 1 = 0.5, λ 2 = bons parametres mauvais parametres Jeu 1 : mauvais λ bons parametres mauvais parametres Jeu 2 : mauvaise volatilité bons parametres mauvais parametres Jeu 3 : mauvaises dérives

47 Coûts de transaction 1% Stratégie mal calibrée vs Moyenne mobile 41/43 T = 3, δ = 1000 simulations Monte Carlo Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 1 : mauvais λ Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 2 : mauvaise volatilité Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 3 : mauvaises dérives

48 Coûts de transaction 1% Zones de transaction 42/ bons parametres mauvais parametres Jeu 4 : mauvais λ et volatilité bons parametres mauvais parametres Jeu 5 : mauvais λ et dérives bons parametres mauvais parametres Jeu 6 : mauvaises volatilité et dérive bons parametres mauvais parametres Jeu 7 : tout mauvais

49 Coûts de transaction 1% Stratégie mal calibrée vs Moyenne mobile 43/ Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 4 : mauvais λ et volatilité Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 5 : mauvais λ et dérives Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 6 : mauvaises volatilité et dérive Performance optimale Buy and Hold Performance mal specifiee Performance chartiste Jeu 7 : tout mauvais